Nghiên cứu công thức điện thế vô hướng để tính toán sự phân bố của điện thế và dòng điện trong vật dẫn bằng kỹ thuật phần tử hữu hạn

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
70 Số 24 
NGHIÊN CỨU CÔNG THỨC ĐIỆN THẾ VÔ HƯỚNG ĐỂ TÍNH TOÁN SỰ PHÂN BỐ 
CỦA ĐIỆN THẾ VÀ DÒNG ĐIỆN TRONG VẬT DẪN BẰNG KỸ THUẬT PHẦN TỬ HỮU HẠN 
STUDYING ELECTRIC SCALAR POTENTIAL FORMULATIONS FOR COMPUTING 
ELECTRIC POTENTIAL AND CURRENT DISTRIBUTION IN CONDUCTING 
MATERIALS BY A FINITE ELEMENT APPROACH 
Đặng Quốc Vương1, Nguyễn Đức Quang2 
1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, 2Trường Đại học Điện lực 
Ngày nhận bài: 11/07/2020, Ngày chấp nhận đăng: 24/08/2020, Phản biện: TS. Vũ Thị Thu Nga 
Tóm tắt: 
Tính toán và mô phỏng bài toán điện từ ngày càng có vai trò quan trọng đối với các nhà nghiên cứu, 
chế tạo và vận hành thiết bị điện - điện tử. Do đó, việc nghiên cứu, tính toán và phân tích bài toán 
điện từ nói chung và bài toán điện động nói riêng luôn là chủ đề mang tính thời sự. Nội dung bài 
báo này phát triển công thức điện thế vô hướng để phân tích, tính toán và mô phỏng sự phân bố 
của vectơ điện thế, vectơ dòng điện trong vật liệu dẫn từ và dẫn điện bằng phương pháp phần tử 
hữu hạn. Sự phát triển của phương pháp được kiểm nghiệm và áp dụng vào bài boán thực tiễn. 
Từ khóa: 
công thức điện động, điện thế vô hướng, mật độ dòng điện, phương pháp phần tử hữu hạn. 
Abstract: 
Computing and simulating electromagnetic prolems play an increasingly important role for 
researchers, manufacturers and operators of electrical-electronic equipments. Hence, studying, 
computing and analyzing electromagnetic problems in general and electrokinetic problems in 
particular are always a matter of concern and topicality for researchers and designers in Viet Nam as 
well as all over the world. This journal developes electrokinetic formulations to analyse, compute and 
simulate the distribution of elecctric scalar potentials and electric currents in conducting materials by 
a finite element approach. The development of the method is illustrated and validated on a practical 
problem. 
Keywords: 
electrokinetic formulations, electric scalar potential, electric current density, finite element approach.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Ngày nay, trong quá thiết kế, chế tạo các 
thiết bị điện, việc tối ưu hoá chi phí luôn 
là một trong những vấn đề quan trọng và 
không thể thiếu đối với các nhà nghiên 
cứu, thiết kế và chế tạo trong và ngoài 
nước. Cùng với sự phát triển của khoa học 
máy tính và các phương pháp nghiên cứu 
mới, việc áp dụng các công cụ mô phỏng 
số để giải bài toán điện từ nói chung và 
bài toán điện động nói riêng luôn được ưu 
tiên và quan tâm với độ chính xác cao, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
Số 24 71 
đặc biệt khi gặp bài toán có cấu trúc hình 
học lớn và phức tạp. 
Để giải được bài toán điện động nói trên, 
những năm gần đây, nhiều nhà nghiên cứu 
áp dụng các phương pháp số như: phần tử 
hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, 
phương pháp lai tích phân. Trong đó, 
phương pháp phần tử hữu hạn là một trong 
những phương pháp phổ biến nhất để tính 
toán, phân tích và mô phỏng các hiện 
tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện 
- điện tử [1, 2]. Ưu điểm của phương pháp 
là giải được bài toán có cấu trúc hình học 
khác nhau, kích thước ma trận lớn với số 
bậc tự do có thể lên tới chục nghìn và kết 
quả cho độ chính xác cao. 
Hình 1. Mô hình bài toán điện động 
Trong bài báo này, phương pháp phần tử 
hữu hạn được phát triển với công thức 
điện thế vô hướng để tính toán sự phân bố 
vectơ điện thế và vectơ dòng điện trong 
vật liệu dẫn từ và dẫn điện (Ω𝑐) như ở 
hình 1. Sự phát triển của phương pháp sẽ 
được minh họa và kiểm chứng thông qua 
bài toán thực tế. 
2. BÀI TOÁN ĐIỆN TỪ 
2.1. Phương trình Maxwell 
Mô hình bài toán điện động được xác 
định trong miền nghiên cứu Ω, với biên 
𝜕Ω = Γ = Γe ∪ Γj trong không gian 
Eculidean 3 (hình 2). 
Hình 2. Miền nghiên cứu 𝛀 
và biên 𝛛𝛀 = 𝚪 = 𝚪e ∪ 𝚪j 
Hệ phương trình Maxwell cùng với các 
luật trạng thái và các điều kiện biên được 
viết trong không gian ba chiều Eculidean 
3 [3]-[9] là: 
curl 𝒆 = 0, div 𝒋 = 0, 𝒋 = 𝜎𝒆. (1a-b-c) 
 Các điều kiện biên: 
𝒏 ∙ 𝒋|Γ𝑗=0, 𝒏 × 𝒆|Γ𝑒=0, (2a-b) 
trong đó e là cường độ điện trường (V/m), 
𝜎 là độ dẫn điện (S/m) ; j là mật độ dòng 
điện được xác định trong miền dẫn từ 
Ω𝑐 (Ω𝑐 ⊂ Ω) và n là vectơ pháp tuyến 
đơn vị có hướng từ trong ra ngoài của 
miền Ω. 
Hình 3. Sơ đồ Tonti của bài toán điện động [4] 
Nghiệm của phương trình Maxwell tìm 
được khi phương trình (1a) và (1b) được 
giải kết hợp trạng thái vật liệu (1c) và hai 
điều kiện biên kể đến thành phần tiếp 
tuyến và thành phần pháp tuyến được cho 

h e
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
72 Số 24 
trong (2 a) và (2 b). 
Đối với bài toán điện động, các trường e, j 
sẽ được xác định và kiểm chứng ràng 
buộc thoả mãn sơ đồ Tonti [4] (hình 3). 
Điều đó có nghĩa rằng 𝒆 ∈ 𝑭𝑒 (curl; Ω) 
(cạnh bên trái), 𝒋 ∈ 𝑭𝑗 (div; Ω ) (cạnh 
bên phải). Trong đó 𝑭𝑒 (curl; Ω) và 
𝑭𝑗 (div; Ω) là các không gian hàm chứa 
các điều kiện biên và các trường tồn tại 
trên các biên Γ𝑗 và Γ𝑒 của miền nghiên 
cứu Ω. Do đó, phương trình rời rạc của 
bài toán điện động sẽ được xác định theo 
sườn bên trái và bên phải của sơ đồ Tonti 
(hình 3). 
2.2. Phương trình rời rạc 
Từ hệ phương trình Maxwell (1a-b) và 
luật trạng thái (1c) ở mục 2.1, phương 
trình rời rạc được thiết lập dựa trên cơ sở 
của công thức Green [3]. Thực vậy, áp 
dụng công thức Green với mô hình grad-
div trong miền nghiên cứu Ω cho trường j 
và hàm thử vô hướng v’, ta có [4]: 
∫ (𝒋 ∙ grad v′)𝑑Ω
𝛺
+ ∫ (div 𝒋 ∙ v′)𝑑Ω
𝛺
= ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v′𝑑Γ
Γ
, ∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω), (4) 
trong đó, 𝑭𝑒
0(Ω) là không gian hàm của 
hàm dạng và hàm thử gian hàm v’. Thành 
phần pháp tuyến của mật độ dòng điện 
𝒏 ∙ 𝒋 trong (4) được xác định theo điều 
kiện biên (2a). Thành phần tích phân thứ 
hai của phương trình (4) được cho trong 
(1b), đo đó phương trình (4) được viết lại 
như sau [4]: 
∫ (𝒋 ∙ grad v′)𝑑Ω
𝛺
= 0, 
∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω). (5) 
Từ phương trình (5), tiếp tục áp dụng 
công thức Green với grad-div, ta có: 
∫ (div 𝒋 ∙ 𝑣′)𝑑Ω
𝛺
= ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v′𝑑Γ
Γ
= 0, 
∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω). (6) 
Phương trình (6) thoả mãn tất tất cả các 
hàm thử thuộc không gian hàm 𝑭𝑒
0(Ω). 
Trường hợp khi kể đến điều kiện chuyển 
tiếp xuất hiện của các bề mặt trong miền 
nghiên cứu Ω, khi đó miền Ω bao gồm hai 
miền nhỏ Ω1 và Ω2 và được ngăn cách bởi 
giao diện Σ (hình 4). 
Hình 4. Giao diện bề mặt giữa hai miền nhỏ 𝜴𝟏 
và 𝜴𝟐 
Một cách tương tự, áp dụng công thức 
Green cho các trường j và v’ cho miền Ω1 
và Ω2, ta có: 
∫ (𝒋 ∙ grad v′)𝑑Ω1 ∪ Ω2
Ω1∪Ω2
= ∫𝒏 ∙ (𝒋1 − 𝒋2)v
′𝑑Σ
Σ
+ ∫ (𝒏 ∙ 𝒋)v′𝑑𝜕(Ω1
𝜕(Ω1∪Ω2)
∪ Ω2), 
∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω), (7) 
trong đó 𝒋1 and 𝒋2 mô tả sự có mặt của 
trường j trên cả hai biên của giao diện Σ. 
Hàm thử v’ lúc này được xác định trong 
miền Ω1 ∪ Ω2 và bằng không trên biên 
𝜕(Ω1 ∪ Ω2). Thành phần pháp tuyến của 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
Số 24 73 
các trường 𝒋1 and 𝒋2 trên giao Σ cũng 
được xác định bằng không, đó là: 
n∙ (𝒋1 − 𝒋2)v
′ = 0. 
Bằng cách kết hợp giữa phương trình (5) 
và luật trạng thái được ở phương trình 
(1c), với đại lượng điện thế vô hướng 
 v ∈ 𝑭𝑒
0(Ω), phương trình (5) được viết lại 
như sau: 
∫ (𝜎grad v ∙ grad v′)𝑑Ω
𝛺
+ ∫(𝒏 ∙ 𝒋)v′𝑑Γ
Γ
= 0, ∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω). (8) 
Điện thế v trong phương trình (8) là đại 
lượng chưa biết và cần phải xác định với 
điều kiện biên, đó là: v|Γe = constant. 
Thông thường, điều kiện biên xuất hiện 
thông qua đại lượng tích phân trong 
phương trình rời rạc (4), (7) và có kể đến 
(2a) được gọi là điều kiện biên “Neuman 
condition”, trong khi đó điều kiện biên 
được mô tả và xác định trong không gian 
hàm 𝑭𝑒
0(Ω) như v|Γe = constant được 
gọi là điều kiện “Dirichlet condition”. 
Đây cũng được xem là điều kiện của bài 
toán được đặt vào để giải phương trình 
(8). Do đó, đại lượng tích phân thứ hai 
của phương trình (8) được phân tích như 
sau: 𝒏 ∙ 𝒋|Γ𝑗= 𝒏 ∙ 𝒋𝒔|Γ𝑗, trong đó 𝒋𝒔 có thể 
được xem như là một đại lượng được đặt 
vào thông qua biên của miền nghiên cứu 
Ω. Phương trình (8) được viết lại như 
sau [4]: 
∫ (𝜎grad v ∙ grad 𝑣′)𝑑Ω
𝛺
+ ∫(𝒏 ∙ 𝒋𝒔)v
′𝑑Γ
Γ
= 0, 
∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω). (9) 
2.3. Rời rạc hoá của trường h 
Điện thế vô hướng trong phương phương 
trình (9) được rời rạc hoá theo các phần tử 
nút, với không gian hàm được xác định 
trong lưới của miền nghiên cứu Ω, đó là: 
𝑣 = ∑ 𝑣𝑛𝑠𝑛
𝑛∈𝑁
, 𝑣 ∈ 𝑆𝑒
0 (Ω), (10) 
trong đó N là tập hợp các nút của miền Ω, 
𝑠𝑛 là hàm nội suy nút được kết hợp với 
nút n và 𝑣𝑛 là giá trị của 𝑣 tại nút n. 
Thay phương trình (10) vào phương trình 
(9), phương trình (9) được viết lại như 
sau: 
∫ (𝜎grad ∑ vnsn
𝑛∈𝑁
 ∙ grad 𝑣′) 𝑑Ω
𝛺
+ ∫(𝒏 ∙ 𝒋𝒔)v
′𝑑Γ
Γ
= 0, 
∀ v′ ∈ 𝑭𝑒
0(Ω). (11) 
3. BÀI TOÁN ÁP DỤNG 
Xét một bài toán điện động có cấu trúc 
hình học 2-D được cho như hình 5. 
Mô hình gồm một tấm kim loại được 
làm bằng vật liệu nhôm có độ dẫn 
điện 𝜎𝑎𝑙 = 2.54 × 10
7S/m và 3 đĩa (disk 
1, disk 2, disk 3) bằng vật liệu sắt từ 
𝜎𝑖𝑟𝑜𝑛 = 1 × 10
6S/m. Điện thế đặt vào 
cạnh bên trái của tấm chắn 1 vôn và cạnh 
bên phải là 1 vôn. 
Hình 5. Mô hình hình học 2D với tấm phẳng 
và đĩa từ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
74 Số 24 
Bài toán được giải với hai kịch bản khác 
nhau: 
 Khi tấm phẳng và các đĩa kim loại có 
cùng đặc tính vật liệu là nhôm; 
 Khi tấm phẳng là vật liệu nhôm và các 
đĩa kim loại là vật liệu sắt từ. 
Mô hình chia lưới 2-D với các phần tử 
lưới tam giác đươc mô tả trong hình 6. 
Hình 6. Mô hình chia lưới 2D 
Trường hợp thứ nhất: Khi cùng đặc tính 
vật liệu, sự phân bố của vectơ điện thế vô 
hướng và dòng điện tĩnh trong tấm phẳng 
và đĩa kim loại được mô tả trong hình 7. 
Nhận thấy rằng khi đặc tính vật liệu giống 
nhau, phân bố của điện thế vô hướng 
(hình 7a) và dòng điện tĩnh (hình 7b) là 
các trường được phân bố đều và có giá trị 
giống nhau tại mọi điểm từ trái qua phải 
và từ trên xuống dưới. 
a) 
b) 
Hình 7. Sự phân bố của điện thế vô hướng (a) 
và dòng điện (b) khi tấm phẳng và đĩa kim loại 
có cùng đặc tính vật liệu 𝝈𝒂𝒍 = 𝟐. 𝟓𝟒𝐱𝟏𝟎
𝟕𝐒/𝐦 
a) 
b) 
Hình 8. Sự phân bố của điện thế vô hướng (a) 
và dòng điện (b) khi tấm phẳng và đĩa kim loại 
có đặc tính vật liệu khác nhau: 
𝛔𝐚𝐥 = 𝟐. 𝟓𝟒𝐱𝟏𝟎
𝟕𝐒/𝐦;𝛔𝐢𝐫𝐨𝐧 = 𝟏𝐱𝟏𝟎
𝟔𝐒/𝐦 
Trường hợp thứ 2: khi đặc tính vật liệu 
khác nhau, sự phân bố của vectơ điện thế 
vô hướng và dòng điện tĩnh trong tấm 
phẳng và đĩa kim loại được mô tả trong 
X
Y
Z
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
Số 24 75 
hình 8. Ở vùng có độ dẫn điện nhỏ (như ở 
trong các đĩa kim loại), điện thế (hình 8a) 
tập trung ít hơn so với với vùng thuộc tấm 
phẳng (bên ngoài đĩa kim loại). Tương tự 
đối với sự phân bố của dòng điện tĩnh 
(hình 8b), dòng điện hầu như tập trung ở 
vùng có độ dẫn điện cao (tấm phẳng) và 
phân bố thấp ở vùng trong của các đĩa 
kim loại. 
a) 
b) 
Hình 9. Sự phân bố của điện thế vô hướng (a) 
và của dòng điện tĩnh (b) dọc theo tấm chắn 
từ trái qua phải với hai trường hợp khác nhau 
của đặc tính vật liệu 
Đặc biệt ở gần khu vực xung quanh đĩa 
kim loại, giá trị của dòng điện sẽ thay đổi 
mạnh và có xu hướng tập trung ở vùng có 
độ dẫn điện cao, vì bên trong đĩa kim loại 
giá trị của mật độ dòng điện thấp hơn so 
với mật độ dòng điện của tấm phẳng. 
Giá trị của điện thế vô hướng và dòng 
điện tĩnh dọc theo tấm phẳng và đĩa kim 
loại từ trái qua phải với hai trường hợp 
khác nhau của đặc tính vật liệu được biểu 
diễn trong hình 9. Giá trị điện của điện thế 
vô hướng (hình 9a) sẽ giảm dần từ trái 
qua phải cho cả hai trường hợp cùng và 
khác đặc tính vật liệu. Trong khi đó, sự 
phân bố của dòng điện tĩnh không đổi đối 
với trường hợp cùng đặc tính vật liệu và 
thay đổi khi đặc tính vật liệu khác nhau. 
4. KẾT LUẬN 
Bài báo đã phát triển thành công công 
thức từ thế vô hướng với phương pháp 
phần tử hữu hạn để phân tích, mô phỏng, 
và tính toán sự phân bố điện thế vô 
hướng, dòng điện tĩnh trong vật liệu dẫn 
từ với hai trường hợp khác nhau (cùng và 
và khác đặc tính). Sự phát triển của 
phương pháp đã được áp dụng và minh 
họa vào bài toán thực tế bao gồm tấm 
phẳng và đĩa từ như mô tả ở hình 5. Các 
kết quả đạt được từ mô phỏng lý thuyết là 
cơ sở để giúp cho các nhà nghiên cứu và 
chế tạo có bức tranh về sự phân bố của 
điện thế vô hướng và dòng điện tĩnh khi 
nghiên cứu về bài toán điện động với cấu 
trúc hình học có đặc tính vật liệu giống và 
khác nhau. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] S. Koruglu, P. Sergeant, R.V. Sabarieqo, Vuong. Q. Dang, M. De Wulf “Influence of contact 
resistance on shielding efficiency of shielding gutters for high-voltage cables,” IET Electric Power 
Applications, Vol.5, No.9, (2011), pp. 715-720. 
[2] G. Meuier “The finite element method for electromagnetic modeling”, Willey, 2008. 
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
E
le
ct
ri
c 
sc
al
ar
 p
ot
en
ti
al
 (
V
)
x-direction (m)
same materials
different materials
 0
 50
 100
 150
 200
 250
 300
 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18
S
ta
ti
c 
cu
rr
en
t 
de
ns
it
y 
10
6 (
C
/m
2 )
x-direction (m)
same materials
different materials
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
76 Số 24 
[3] Dang Quoc Vuong and Nguyen Duc Quang, “Coupling of Local and Global Quantities by A 
Subproblem Finite Element Method – Application to Thin Region Models,” ISSN 1859-2171 – 
Advances in Science, Technology and Engineering Systems Journal (ASTESJ), Vol 4, no.2, 40-44 
(2019). 
[4] R.V. Sabariego, “The Fast Multipole Method for Electromagnetic Field Computation in Numerical 
and Physical Hybrid System,” Ph. D thesis, 2006, University of Liege, Belgium. 
[5] Vuong Q. Dang, R.V. Sabariego, L. Krähenbühl, C. Geuzaine, “Subproblem Approach for 
Modelding Multiply Connected Thin Regions with an h-Conformal Magnetodynamic Finite Element 
Formulation,” in EPJ AP (Vol. 63, No.1 (2013)). 
[6] P. Dular, R.V. Sabariego, M.V. Ferreira de Luz, P. Kuo-Peng and L. Krahenbuhl “ Perturbation 
Finite Element Method for Magnetic Circuits”, IET Sci. Meas. Technol., 2008, Vol. 2, No.6, 
pp.440-446. 
[7] P. Dular, Vuong Q. Dang, R.V. Sabariego, L. Krähenbühl and C. Geuzaine, “Correction of thin 
shell finite element magnetic models via a subproblem method,” IEEE Trans. Magn., Vol. 47, 
No. 5, pp. 158 –1161, 2011. 
[8] Patrick Dular, Ruth V. Sabariego, Mauricio V. Ferreira de Luz, Patrick Kuo-Peng and Laurent 
Krahenbuhl “Perturbation Finite Element Method for Magnetic Model Refinement of – Air Gaps 
and Leakage Fluxes, Vol 45, No.3, 1400-1404, 2009. 
[9] Vuong Dang Quoc and Christophe Geuzaine “Using edge elements for modeling of 3-D 
Magnetodynamic Problem via a Subproblem Method”, Sci. Tech. Dev. J. ; 23(1) :439-445 
Giới thiệu tác giả: 
Tác giả Đặng Quốc Vương nhận bằng Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện năm 
2013 tại Đại học Liege, vương quốc Bỉ. Hiện tại tác giả là Giám đốc Trung tâm 
TCEE, giảng viên Viện Điện, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 
Lĩnh vực nghiên cứu: mô hình hóa hệ thống điện từ sử dụng mô hình các bài toán 
nhỏ - ứng dụng tới các thiết bị điện từ có cấu trúc mỏng (vỏ máy biết áp, tủ điện 
cao trung thế, màn chắn điện từ, lá thép kỹ thuật điện...); ứng dụng phương 
pháp số (phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn và 
phương pháp phần tử biên) tính toán ảnh hưởng của điện từ trường đến thiết bị điều khiển trong hệ 
thống điện; ứng dụng “subproblem method” tính toán thiết kế tối ưu hóa vật liệu trong thiết bị điện. 
Tác giả Nguyễn Đức Quang nhận bằng Tiến sĩ chuyên ngành kỹ thuật điện 2013 
tại Đại học Ecole Nationale Superieure d’Arts et Metiers Paristech, Pháp. Hiện nay 
tác giả đang là giảng viên Khoa Kỹ thuật điện, Trường Đại học Điện lực. 
Lĩnh vực nghiên cứu: mô hình hóa hệ thống điện từ, ứng dụng các phương pháp 
số (phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp tích phân hữu hạn) trong 
nghiên cứu máy điện và hệ thống điện, tác động của điện từ trường tương hỗ và 
tiết kiệm năng lượng trong thiết bị điện. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NĂNG LƯỢNG - TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC 
(ISSN: 1859 - 4557) 
Số 24 77