Xác định vị trí tàu bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất hiệu độ cao thiên thể

 SỐ 65 (01-2021) 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
5 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ TÀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG 
NHỎ NHẤT HIỆU ĐỘ CAO THIÊN THỂ 
DETERMINING THE SHIP’S POSITION BY THE CELESTIAL ALTITUDE 
DIFFERENCE BASED ON THE LEAST SQUARE METHOD 
NGUYỄN THÁI DƯƠNG 
Khoa Hàng hải, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam 
Email: nguyenthaiduong@vimaru.edu.vn 
Tóm tắt 
Xác định vị trí tàu bằng phương pháp thiên văn 
mặc dù có độ chính xác không cao nhưng là 
phương pháp có tính độc lập, đặc biệt khi hàng 
hải xa bờ. Trong xu hướng hàng hải hiện đại, trên 
tàu sẽ trang bị hai hệ thống thông tin và hiển thị 
hải đồ điện tử (ECDIS), do vậy xác định vị trí tàu 
bằng độ cao thiên thể sẽ là phương pháp dự phòng 
chính. Trong trường hợp này, yêu cầu về độ chính 
xác của vị trí thiên văn sẽ không cao như khi được 
sử dụng làm vị trí dẫn đường trong các phương 
pháp hàng hải trước đây. Phương pháp truyền 
thống, sĩ quan hàng hải sẽ đo đạc, tính toán và 
thao tác đường vị trí thiên văn để xác định vị trí 
tàu trên hải đồ. Hiện nay, đã có một số nghiên cứu 
đề xuất phương pháp giải bài toán thiên văn xác 
định kinh vĩ độ vị trí tàu ứng dụng các thuật toán 
phù hợp. Tuy nhiên, mỗi phương pháp đều có ưu 
nhược điểm và tính ứng dụng nhất định trong thực 
tiễn. Bài báo đề xuất phương pháp tìm kiếm giá 
trị bình phương nhỏ nhất hiệu độ cao thiên thể để 
xác định vị trí xác suất nhất. 
Từ khóa: Phương pháp thiên văn xác định vị trí 
tàu, hiệu độ cao thiên thể, bình phương nhỏ nhất. 
Abstract 
Although the ship's position by the celestial 
navigation fix method is not very accurate, it is an 
independent method, especially when navigating 
on the open sea. In the modern maritime, the 
ship's position by celestial altitude is the main 
backup method because the ship will be equipped 
with two the Electronic Chart Display and 
Information Systems. For that, the requirement 
for the accuracy of the astronomical position will 
not be as strict as used navigation in previous 
navigational methods. In the traditional 
navigational method, the officer of watch must 
measure, calculate, and manipulate astronomical 
position lines to determine the ship's position on 
the chart. Currently, there have been several 
studies that used appropriate algorithms for 
determining the ship's position by the 
astronomical method. However, each method has 
certain advantages and disadvantages and 
certain applicability in practice. This research 
proposes a method to find the minimum squared 
value of the difference of the celestial altitude to 
determine the ship's position with the most 
probability. 
Keywords: The celestial navigation fix method, the 
difference of celestial altitude, least square method. 
1. Đặt vấn đề 
Hàng hải dẫn đường ngày nay chủ yếu sử dụng các 
hệ thống định vị vệ tinh như: GPS, GLONASS, 
GALIEO,... Tuy nhiên, nguyên tắc an toàn hàng hải 
bao giờ cũng cần có một phương pháp xác định vị trí 
tàu dự phòng cho các trường hợp sự cố bất thường trên 
biển. Hội nghị của Tổ chức hàng hải quốc tế (IMO) 
năm 2010 tại Manila, Philipine ban hành sửa đổi Công 
ước Quốc tế về các tiêu chuẩn huấn luyện, cấp chứng 
chỉ và trực ca thuyền viên (STCW 78/2010), trong đó 
tiếp tục nhấn mạnh tầm quan trọng của việc đào tạo 
và huấn luyện khả năng xác định vị trí tàu bằng 
phương pháp thiên văn [1]. Sự tiếp tục nâng cao yêu 
cầu về kiến thức và kỹ năng xác định vị trí tàu bằng 
thiên thể xuất phát từ xu hướng các tàu sẽ trang bị 
ECDIS thay thế hải đồ giấy truyền thống. Trường hợp 
tàu hàng hải xa bờ, vì một lý do khách quan hay chủ 
quan dẫn đến không thể nhận được vị trí vệ tinh, sĩ 
quan trực ca phải quan trắc thiên thể để xác định vị trí 
tàu. Tuy nhiên, do là phương pháp dự phòng nên yêu 
cầu về độ chính xác của vị trí thiên văn không cao như 
khi được sử dụng là vị trí dẫn đường cơ bản trước đây. 
Để có thể xác định vị trí tàu bằng phương pháp thiên 
văn nhanh chóng, hạn chế ảnh hưởng của sai số vị trí 
dự đoán, bài báo tập trung giải quyết một số vấn đề cơ 
bản sau: 
- Cơ sở lý thuyết của việc xác định vị trí tàu bằng 
phương pháp thiên văn; 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
6 SỐ 65 (01-2021) 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
- Đánh giá độ chính xác của vị trí dự đoán; 
- Tính toán giá trị bình phương nhỏ nhất hiệu độ 
cao thiên thể; 
- Xác định vị trí tàu xác suất nhất. 
2. Cơ sở xác định vị trí tàu bằng phương pháp 
thiên văn 
Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của 
sĩ quan hàng hải trong công tác điều khiển tàu là xác 
định vị trí thật của tàu trên mặt biển và thao tác lên 
hải đồ. Xác định vị trí tàu trên biển là xác định kinh 
vĩ độ địa dư ( ,  ) của người quan sát tại một thời 
điểm nhất định nào đó. Trong thiên văn hàng hải, vị 
trí người quan sát được xác định bằng cách tính toán 
vị trí thiên đỉnh trên thiên cầu, chuyển đổi sang hệ 
tọa độ địa dư và thao tác trực tiếp trên hải đồ. Vì thế, 
bước đầu tiên chúng ta phải xét đến mối quan hệ giữa 
tọa độ địa dư với vị trí thiên đỉnh người quan sát trên 
thiên cầu. 
2.1. Quan hệ giữa vị trí tàu và vị trí thiên đỉnh 
của vị trí tàu trên thiên cầu 
Hình 1 biểu diễn thiên cầu, từ vị trí tàu M( 
𝑀
, 
𝑀) trên bề mặt trái đất, chiếu M lên thiên cầu theo 
hướng dây dọi ta được thiên đỉnh ZM. Tương tự, với 
một điểm G trên kinh tuyến gốc, ta có thiên đỉnh của 
nó là ZG. Mối liên hệ giữa vị trí tàu trên bề mặt trái đất 
và thiên đỉnh của nó trên thiên cầu thể hiện qua biểu 
thức [2]: 
 M
EZ eM và E E e eo o (1)
Hay: 
 M Z
  và 
M L G
c ct t (2)
Với: 
e : là giao của kinh tuyến người quan sát với xích 
đạo, 
eo : là giao của kinh tuyến gốc với xích đạo, 
E : là giao của thiên kinh tuyến người quan sát 
với thiên xích đạo, 
Eo : là giao của thiên kinh tuyến gốc với thiên 
xích đạo, 
Z : là xích vĩ của thiên đỉnh người quan sát, 
C
Lt : góc giờ địa phương của thiên thể C, 
C
Gt : góc giờ thế giới của thiên thể C. 
Hình 1. Thiên đỉnh của vị trí tàu trên thiên cầu 
2.2. Nguyên lý xác định vị trí người quan sát 
trên trái đất 
Trên tàu, sĩ quan hàng hải tiến hành quan trắc độ 
cao (h) và phương vị (A) của thiên thể, đồng thời ghi 
lại giờ thời kế 
TKT . Giải tam giác thiên văn sẽ có 
phương trình đường cao vị trí [3]: 
W
sinh sin sin cos cos cos( )E
G
t

    (3)
Với: 
 : xích vĩ của thiên thể (tra lịch thiên văn hàng 
hải với đối số là 
TKT ), 
Gt

: góc giờ thế giới của điểm xuân phân  (tra 
lịch thiên văn hàng hải với đối số là 
TKT ), 
E
Wt : kinh độ vị trí dự đoán. 
Về mặt lý thuyết, để có vị trí tàu phải quan trắc 
đồng thời từ hai thiên thể trở lên. Hệ phương trình xác 
định vị trí tàu bằng phương pháp thiên văn có dạng: 
1 1 1
2 2 2
sinh sin sin cos cos cos( )
sinh sin sin cos cos cos( )
. . .
sinh sin sin cos cos cos( )
E
G W
E
G W
E
n n n G W
t
t
t

   

   

   
 (4)
Hệ phương trình (4) có thể giải được bằng các 
phương pháp khác nhau để xác định vị trí tàu. 
3. Phương pháp đồ giải 
Quan sát hai thiên thể C1 và C2 được độ cao 1h 
và 
2h , đỉnh cự 1Z và 2Z tương ứng tính theo công 
thức: 
0
1 190Z h và 
0
2 290Z h (5)
Mặt cầu tâm 
1C , bán kính là 1Z giao với thiên 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
7 SỐ 65 (01-2021) 
cầu cho đường vị trí là đường BB’. Tương tự, mặt cầu 
tâm 
2C , bán kính là 2Z giao với thiên cầu cho 
đường vị trí là AA’. Giao của hai đường vị trí AA’ và 
BB’ là thiên đỉnh người quan sát 
MZ (Hình 2). 
Chiếu xuyên tâm thiên cầu lên bề mặt trái đất 
nhận được: 
- Cực chiếu sáng của thiên thể 
1C và 2C là 
𝑎1 và 𝑎2, 
- Cực chiếu sáng của thiên đỉnh 
MZ là vị trí 
của người quan sát M , 
- Cạnh 
1C Z của tam giác vị trí là cung 1a M , 
- Hình chiếu của đường vị trí AA’ trên bề mặt 
trái đất là cung tròn aa’, tâm a1, bán kính 
0
1 1 190a M Z h , 
- Hình chiếu của đường vị trí BB’ trên bề mặt 
trái đất là cung tròn bb’, tâm b1, bán kính 
0
1 2 290b M Z h . 
 Hai đường vị trí giao nhau cho vị trí tàu: 
' 'aa bb M . 
Phương pháp đồ giải khó thực hiện được trong 
thực tế vì phải xây dựng quả cầu để thao tác xác định 
vị trí tàu. Với tỷ lệ 1mm trên quả cầu tương ứng với 1’ 
(hay 1 hải lý), đường kính của quả cầu sẽ là: 
360x60/3,14=6878.98mm 7m, kích thước này không 
phù hợp với điều kiện tàu biển. 
Hình 2. Phương pháp đồ giải 
4. Phương pháp đường cao vị trí 
Phương pháp đường cao vị trí được áp dụng hiện 
nay là phương pháp Saint - Hilaire (phương pháp hiệu 
độ cao). Bản chất của phương pháp này là thao tác 
đường cao vị trí dựa vào các yếu tố dịch chuyển của 
nó so với vị trí dự đoán [4]. Các yếu tố của đường cao 
vị trí là: 
Hướng dịch chuyển: 
CA , 
Lượng dịch chuyển : 
S Ch h h . 
Với: 
CA : phương vị dự đoán (phương vị tính), 
h : hiệu độ cao, 
Ch : độ cao tính toán, 
Sh : độ cao thật (đo đạc), 
CZ : đỉnh cự tính toán, 
SZ : đỉnh cự thật . 
Thời điểm xác định vị trí tàu, vị trí dự đoán là 
( , )C C CM  , thiên đỉnh người quan sát và độ cao 
thiên thể tính toán tương ứng là 
CZ và Ch (Hình 3). 
Thiên đỉnh 
CZ sẽ nằm trên vòng tròn đẳng cao
'
C Ch h , 
tâm là vị trí thiên thể C, bán kính là đỉnh cự 
090ZC CZ h . 
Giả sử cùng thời điểm, vị trí thật của tàu là 
0 0 0( , )M  , đo và hiệu chỉnh được độ cao thật tới 
thiên thể C là 
Sh , đỉnh cự thật 
090S SZ h . Vị trí 
thật sẽ nằm trên vòng tròn đẳng cao '
S Sh h , tâm là vị 
trí thiên thể C, bán kính là đỉnh cự thật 090S SZ h . 
Hình 3. Phương pháp đường cao vị trí 
Dựng mặt phẳng thẳng đứng đi qua thiên thể C , 
mặt phẳng này hợp với mặt phẳng thiên kinh tuyến 
người quan sát cho giá trị phương vị 
CA tới thiên 
thể. Vòng thẳng đứng (
CZ C ) sẽ cắt vòng đẳng cao 
thật hShS’ tại điểm K gần với thiên đỉnh CZ : 
0 0(90 ) (90 )
h
C C S c S
S C
h Z K Z Z h h
h h
 (6)
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
8 SỐ 65 (01-2021) 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
Đường thẳng I-I tiếp tuyến với cung của vòng 
đẳng cao thật hShS’ (I-I vuông góc với phương vị 
CZ C ) là đường cao vị trí. Chiếu đường vị trí từ thiên 
cầu lên địa cầu và thao tác trên hải đồ (Hình 4): 
Hình 4. Đường cao vị trí trên hải đồ 
Như vậy, để vẽ đường cao vị trí trên hải đồ cần các 
yếu tố: vị trí dự đoán 
CM , phương vị dự đoán CA 
và hiệu độ cao h . Vị trí tàu sẽ là giao của hai hay 
nhiều đường vị trí thiên văn tương ứng với số lượng 
thiên thể quan trắc. 
Hình 5. Thao tác xác định vị trí tàu trên hải đồ 
5. Phương pháp thiên văn xác định vị trí tàu 
trên cơ sở giá trị bình phương nhỏ nhất của 
sai số độ cao và phương vị thiên thể 
Trên nguyên tắc tính toán vị trí xác suất nhất trong 
miền tìm kiếm lân cận vị trí dự đoán Mc của từng 
đường cao vị trí. Vị trí xác suất nhất xác định theo 
phương pháp bình phương trung bình của các kết quả 
tìm kiếm đơn. Các bước tiến hành như sau: 
Bước 1: Xác định giới hạn miền tìm kiếm 
Vĩ độ giới hạn: 
min max  (giới hạn phía Nam 
0 min và giới hạn phía Bắc maxa ) 
 Kinh độ giới hạn: 
min max  (giới hạn phía 
Tây 
0 min  và giới hạn phía Đông maxb  ) 
Với: 
min C C , max C C , C sai 
số của vĩ độ dự đoán 
C , dấu (-) khi xác định vị trí 
tàu ở Bắc bán cầu, dấu (+) khi xác định vị trí tàu ở 
Nam bán cầu. 
min C C   , max C C   , C sai số 
của vĩ độ dự đoán 
C , dấu (-) khi xác định vị trí tàu 
ở Đông bán cầu, dấu (+) khi xác định vị trí tàu ở Tây 
bán cầu, 
Sai số vị trí dự đoán ( , )C C  được xác định 
bằng phương pháp sai số bình phương trung bình tùy 
thuộc vào điều kiện hàng hải cụ thể sao cho xác suất 
vị trí thật của tàu nằm trong tập A là lớn hơn 
95%. Thực tế, trong trường hợp đặc biệt phải sử dụng 
phương pháp thiên văn dự phòng để xác định vị trí 
thì chắc chắn trên tàu chỉ có vị trí dự đoán. Khi đó, 
bán kính sai số bình phương trung bình (R) của vị trí 
dự đoán theo công thức [5]: 
2 2( ) ( )L TKM S S  (7)
Với: 
S: quãng đường tàu chạy, 
L : sai số trong số hiệu chỉnh la bàn, 
TK : sai số trong số hiệu chỉnh tốc độ kế. 
Bước 2: Thiết lập tập hợp vị trí tàu giả định trong 
miền tìm kiếm. 
Xây dựng mạng kinh vĩ tạo thành tập hợp điểm 
 xyA F 
với:  1,2,..., 1,2,...,x b và y a . 
Vĩ độ giới hạn phía Nam 
0 min và vĩ độ giới 
hạn phía Bắc maxa . 
Kinh độ giới hạn phía Tây 0 min  và kinh độ 
giới hạn phía Đông 
maxb  . 
Khoảng giãn cách đảm bảo: 
0 0
1 1 1 10 000001 và 0 000001i i   . 
Bước 3: Tìm vị trí xác suất nhất tương ứng với 
một độ cao đo (vị trí xác suất đơn) 
Trên tàu tiến hành quan trắc thiên thể
1C , sau khi 
hiệu chỉnh được độ cao đo 1Oh , 
KHOA HỌC - CÔNG NGHỆ 
TẠP CHÍ ISSN: 1859-316X 
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY 
9 SỐ 65 (01-2021) 
Hình 6. Tập hợp điểm trong miền xác định 
Xét một vị trí tàu giả định là xF ( , )xy y  , độ cao 
tính xác định theo công thức sau: 
1h sin [sin sin
 cos cos cos( ]
Cxy x
yE
x G yWt
 
  
 (8)
Hiệu độ cao: 
1xy Cxy Oh h h (9)
Vị trí xác suất nhất
kF ( , )k k  tương ứng với độ 
cao đo thiên thể C1 thỏa mãn điều kiện: 
 
 
1 1
1 1
2 2
2
1
2
01
( ) min ( h )
 min ( )
 ( )
m n xy
Cxy O
m n
h
h h
h h
 (10)
Với: 
  1 11,2,..., 1,2,...,m b và n a 
Như vậy, đo độ cao thiên thể C1, tìm được vị trí 
xác suất đơn tương ứng là 
1 1 1 1 1 1
( , )m n m n m nF  .
Bước 4: Xác định vị trí tàu xác suất nhất 
Để có vị trí tàu, cần đo độ cao ít nhất là hai thiên 
thể. 
Xét trường hợp tổng quát, đo độ cao nhiều thiên 
thể: 1 2,C ,..., kC C , các vị trí xác suất đơn tương ứng 
là: 
1 1 2 2
, ,...,
k km n m n m n
F F F 
Vị trí tàu xác suất nhất ( , )F  có tọa độ tính theo 
phương pháp sai số bình phương trung bình [8]: 
2 2
1 1
( ) ( )
k k
mi ni
và
k k
 
  
 
(11)
Tên của và  lấy theo tên của C Cvà  trong 
trường hợp tổng quát. Trường hợp đặc biệt, miền xác 
định nằm ở hai phía của đường xích đạo, cần xác định 
tên theo từng bán cầu riêng biệt. 
6. Kết luận 
Bài báo đã đề xuất phương pháp tìm kiếm giá trị 
bình phương nhỏ nhất hiệu độ cao thiên thể để xác 
định vị trí tàu xác suất nhất. Phương pháp mới phù 
hợp với yêu cầu về việc xác định vị trí thiên văn dự 
phòng cho hệ thống thông tin và hiển thị hải đồ điện 
tử theo sửa đổi Công ước STCW 78/2010. Điểm 
mạnh của phương pháp là vị trí tàu nhận được không 
phụ thuộc vào độ chính xác của vị trí dự đoán. Cơ sở 
toán học của phương pháp đơn giản, phù hợp với 
trình độ của sĩ quan hàng hải hiện nay. Trong nghiên 
cứu tiếp theo, tác giả đang xây dựng một chương 
trình xác định vị trí tàu tự động, ứng dụng bảng tính 
Excel. Chương trình sẽ được thử nghiệm trên tàu 
biển, so sánh với phương pháp truyền thống và triển 
khai áp dụng vào thực tế. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] International Maritime Organization. 
International Convention on Standards of 
Training, Certification and Watchkeeping for 
Seafarers (STCW 78/2010). 
[2] B. Krasavtsev, B. Khlyustin, Nautical Astronomy, 
Mir Publishers, Moscow, 1970. 
[3] Nathaniel Bowditch, LL.D, The American 
Practical Navigator, National Imagery and 
Mapping Agency, Bethesda, Maryland, 2002. 
[4] David Burch, Celestial Navigation, Starpath 
Publications, 2010. 
[5] Phạm Kỳ Quang, Nguyễn Thái Dương, Nguyễn 
Phùng Hưng. Địa văn hàng hải 2. NXB Khoa học 
và Kỹ thuật, 2012. 
[6] Thai Duong Nguyen. Evaluation of the accuracy 
of the ship location determined by GPS global 
positioning system on a given sea area. Journal of 
Physics: Conference Series. Vol.1515, 2020. 
[7] В. И. Дмитриев, В.Л. Григорян, В.А. Катении. 
Навигация и Лоция. Учебник для вузов. - 
Москва «Моркнига», 458 с. 2009. 
[8] Steven J. Miller. The Method of Least 
SquaresMathematics. Department Brown 
University Providence, RI 02912. 
Ngày nhận bài: 27/10/2020 
Ngày nhận bản sửa: 30/11/2020 
Ngày duyệt đăng: 09/12/2020