Tối ưu hóa quỹ đạo tham chiếu tầm xa cho bom có điều khiển

Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 16 P. T. Hùng, N. Đ. Cương, N. Đ. Thành , “Tối ưu hóa quỹ đạo tham chiếu  bom có điều khiển.” 
TỐI ƢU HÓA QUỸ ĐẠO THAM CHIẾU TẦM XA 
CHO BOM CÓ ĐIỀU KHIỂN 
Phạm Tuấn Hùng1*, Nguyễn Đức Cương2, Nguyễn Đức Thành1 
Tóm tắt: Bài báo trình bày về bài toán tối ưu hóa quỹ đạo tầm xa cho bom có điều 
khiển hoạt động trong dải cận âm và dưới âm trên cơ sở áp dụng sơ đồ quỹ đạo hai giai 
đoạn. Trong đó, việc tối ưu hóa giai đoạn đầu quỹ đạo là trọng tâm của bài báo, với mong 
muốn tận dụng tối đa động năng và thế năng từ điều kiện đầu của quỹ đạo. Mục đích 
nghiên cứu của bài báo là nhằm tạo ra quỹ đạo tham chiếu tầm xa cho bom có điều khiển 
dưới dạng một đa thức toán học để phục vụ bài toán về điều khiển bom. 
Từ khóa: Quỹ đạo tối ưu; Cự ly cực đại; Góc nghiêng quỹ đạo; Bom có điều khiển. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Ngày nay, sự hiện diện của các tổ hợp hỏa lực phòng không hiện đại đang là thách thức lớn, đe 
dọa đến tính mạng của phi công và an toàn của máy bay mang khi nhiệm vụ cường kích chỉ sử 
dụng bom có cự ly tầm gần. Tính chất sống còn đó đã đòi hỏi phải làm rõ các vấn đề về lý thuyết 
và giải pháp để tạo ra một cự ly tầm xa cho bom có điều khiển (bom ĐK). Liên quan về vấn đề tạo 
ra cự ly cực đại cho các thiết bị bay không động cơ (TBB-KĐC), công trình [6] đã trình bày 
chuyến bay xuống có chất lượng khí động cực đại (đoạn bay Kmax) hoạt động ở dải dưới âm. Giải 
pháp thực hiện chuyến bay là duy trì mối liên hệ giữa góc nghiêng quỹ đạo và một thiết lập động 
áp tối ưu (ODP) áp đặt. Để tạo ra cự ly cực đại mới, công trình [7] đã đề xuất một sơ đồ quỹ đạo đa 
giai đoạn cho TBB-KĐC và xem xét khả năng tạo ra cự ly cực đại (Dmax) thông qua sơ đồ kết hợp 
hai giai đoạn, gồm giai đoạn mở rộng quỹ đạo và đoạn bay Kmax. Trong đó, sử dụng hàm quá tải 
pháp tuyến (ny(t)) như một biến hàm trung tâm để tìm ra cực đại cự ly. Kết quả thu được từ hai 
công trình trên đã là cơ sở lý thuyết để bài báo này đề xuất bài toán tối ưu hóa quỹ đạo mới cho 
bom ĐK bắt nguồn từ mối liên hệ của góc nghiêng quỹ đạo và tọa độ cự ly. 
2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ QUỸ ĐẠO TĂNG CƢ LY CỰC ĐẠI 
CỦA BOM CÓ ĐIỀU KHIỂN 
2.1. Sơ đồ quỹ đạo tăng cự ly cực đại của bom có điều khiển 
 a) b) 
Hình 1. Sơ đồ quỹ đạo tăng cự ly hai giai đoạn của bom ĐK (a) 
và góc nghiêng quỹ đạo theo tọa độ cự ly của bom ĐK (b). 
Như đã biết, đoạn bay Kmax (hình 1.a) là chuyến bay xuống được duy trì theo góc nghiêng quỹ 
đạo (θopt2) được xác định: 
 2 max(1/ )opt arctg K (1) 
 max 01/ (2 )xK AC (2) 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 70, 12 - 2020 17 
trong đó, A là hệ số lực cản cảm ứng và Cx0 là hệ số lực cản khi lực nâng bằng không của thiết 
bị bay. Cả A và Cx0 đều phụ thuộc vào số Mach, chúng có tính chất ít biến động ở dải dưới âm 
(thường Mach < 0,6) và biến động mạnh ở dải cận âm [1, 10]. 
Từ công thức (1) và (2) biết rằng, đoạn bay Kmax và góc θopt2 là những đại lượng bị ảnh hưởng 
theo số Mach thông qua hai hệ số A và Cx0. Do đó, ở dải cận âm, cả A và Cx0 đều biến đổi mạnh 
và đoạn bay Kmax không còn duy trì được góc nghiêng quỹ đạo θopt2 = const. Khi đó, đoạn bay 
Kmax có thể không phải là một phương án tối ưu về mặt cự ly. Vì vậy, để tận dụng tối đa động 
năng và thế năng ban đầu từ máy bay mang, cần xem xét thêm phần quỹ đạo mở rộng phù hợp ở 
các dải tốc độ lớn hơn. Trong phạm vi bài báo này, phần mở rộng ở giai đoạn 1 được xem xét là 
dải tốc độ cận âm từ 0,6 ÷ 0,9 [Mach]. 
2.2. Xây dựng phƣơng trình quỹ đạo của bom ĐK theo sơ đồ tăng cự ly 
Theo kết quả từ [7], góc nghiêng quỹ đạo theo tọa độ cự ly có thể được mô tả gần đúng theo 
sơ đồ quỹ đạo hai giai đoạn (hình 1.b). Ở giai đoạn 1, hàm góc nghiêng quỹ đạo là đoạn cong 
chưa biết. Còn ở giai đoạn 2, góc nghiêng quỹ đạo không thay đổi được đặc trưng bởi góc θopt2 = 
const. Trên cơ sở đó, phạm vi bài báo đã xấp xỉ góc nghiêng quỹ đạo theo tọa độ cự ly của giai 
đoạn 1 dưới dạng một đa thức bậc 3. Do đó, hàm góc θ(x) có thể viết như sau: 
2 3
0 1 2 3 1
2 1
( )
opt
a a x a x a x x x
x khi
x x


 (3) 
Từ (3) phương trình quỹ đạo của bom ĐK được xác định: 
1
2 3 431 2
0 1
1
1 2
2 3 4( )
.tan( )optx x
aa a
a x x x x C x x
y x khi
x x
y x x 
 (4) 
trong đó, x, y lần lượt là tọa độ cự ly và tọa độ độ cao; x1 là tọa độ cự ly tại vị trí chuyển giai đoạn 
(tọa độ chuyển giai đoạn); (a0, a1, a2, a3) là các hệ số của đa thức và C là hằng số tích phân. Theo 
(3) và (4), khi x = 0 thì a0 = θ0 là góc nghiêng quỹ đạo ban đầu, còn C = y0 là độ cao ném-thả ban 
đầu (H0). 
3. XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỐI ƢU HÓA 
QUỸ ĐẠO TẦM XA CHO BOM CÓ ĐIỀU KHIỂN 
3.1. Mối liên hệ về quỹ đạo tối ƣu 
Từ các yêu cầu tại tọa độ 1x x , hàm θ(x) phải liên tục, đạo hàm θ’(x) liên tục, θ”(x) = 0 vì 
đoạn cong θ(x) của giai đoạn 1 phải được kết nối liên tục với đoạn Kmax có hàm θ(x) = θopt2. Theo 
biểu thức (3) ta có: 
1
1
2 3
1 0 1 1 2 1 3 1 2
2
1 2 1 3 1
2
2 3 12
( )
2 3 0
2 6 0
opt
x x
x x
x a a x a x a x
d
a a x a x
dx
d
a a x
dx
 


 (5) 
Giải hệ phương trình (5) với 3 ẩn a1, a2, a3 thu được: 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 18 P. T. Hùng, N. Đ. Cương, N. Đ. Thành , “Tối ưu hóa quỹ đạo tham chiếu  bom có điều khiển.” 
1 2 0 1
2
2 2 0 1
3
3 2 0 1
3( ) /
3( ) /
( ) /
opt
opt
opt
a x
a x
a x
 
 
 
 (6) 
Nhận xét, biểu thức (6) xác định mối liên hệ phụ thuộc của quỹ đạo mong muốn (a1, a2, a3) 
với cặp giá trị (θ0, x1). 
3.2. Hệ phƣơng trình mô tả chuyển động bom ĐK theo sơ đồ tăng cự ly 
Để thỏa mãn chuyển động của bom ĐK theo dạng quỹ đạo đặt ra, mô hình toán mô tả chuyển 
động của bom ĐK phải được kết hợp từ phương trình (3), (4) và các phương trình động lực học 
kinh điển của thiết bị bay [1, 2]. 
1
2 3
0 1 2 3 1
2 1
2 3 431 2
0 1
1
1 2
( )
2 3 4( )
.tan( )
x
cos
sin /
cos /
opt
optx x
a a x a x a x x x
x khi
x x
aa a
a x x x x C x x
y x khi
x x
y x x
d
V
dt
dV
X G m
dt
d
Y G mV
dt







 (7) 
trong đó, Y, X, G, V và m lần lượt là lực nâng, lực cản, trọng lực, vận tốc và khối lượng của 
bom ĐK. 
3.3. Bài toán tối ƣu hóa quỹ đạo của bom ĐK theo chỉ tiêu cự ly cực đại 
- Biến số của bài toán tối ưu hóa quỹ đạo 
Xem xét cự ly (D) là giá trị của tọa độ cự ly (x) tại tọa độ y = 0 (
0y
D x
 ). 
Thấy rằng, D là hàm phụ thuộc vào các điều kiện đầu quỹ đạo và điều kiện của quỹ đạo giai 
đoạn 1, gồm [H0, V0, 0, x1, a1, a2, a3]. Trong đó, a1, a2, a3 là các tham số phụ thuộc (6), không 
thể sử dụng làm biến số của bài toán. Còn H0, V0, 0, x1 là các tham số độc lập. Trong đó, giá trị 
cự ly D có thể được tăng lên theo các điều kiện về động năng và thế năng ban đầu (H0, V0), tuy 
nhiên, đây lại là nguồn hữu hạn bị giới hạn bởi tính năng của máy bay mang. Do vậy, phạm vi 
bài báo đã chọn cặp (θ0, x1) làm biến số của bài toán tối ưu hóa quỹ đạo. 
- Đặt bài toán tối ưu: 
Tìm cặp biến số (θ0, x1 )opt thỏa mãn các phương trình (6), (7) để hàm mục tiêu D đạt cực đại hóa. 
 0 1( , ) maxD f x (8) 
 Với các ràng buộc: 
ax
min
y ymC C
V V
 (9) 
Ràng buộc (9) là các điều kiện ứng dụng phụ thuộc theo đặc trưng của thiết bị bay, gồm có hệ 
số lực nâng cực đại (Cymax) và tốc độ tối thiểu (Vmin) [7]. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 70, 12 - 2020 19 
3.4. Giải bài toán tối ƣu hóa quỹ đạo tìm cự ly cực đại 
Giải quyết bài toán hướng đến cực trị có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, gồm các 
phương pháp dùng đạo hàm và phương pháp không dùng đạo hàm [3-5]. Từ một khảo sát về cực 
trị cự ly, hàm D nhận được đã tồn tại nhiều cực trị cục bộ, vì vậy, bài báo đã lựa chọn thuật toán 
tối ưu hóa bầy đàn PSO (Particle Swarm Optimization) như một giải pháp phù hợp [8, 9]. 
Lưu đồ thuật toán: 
Bước 1: Khởi tạo 
(a) Đặt kmax, c1, c2, d và 
0D lần lượt là số vòng lặp, hệ số gia tốc của cá thể, hệ số gia tốc của 
quần thể, kích thước biến và giá trị cự ly khởi điểm; 
(b) Khởi tạo vị trí ban đầu của mỗi cá thể: 0 1
0
0
,
x
i j i jX x x
 ; i, j = 1, 2,... d; 
0
,i jX xác định 
trong miền (θ0, x1) = (
0
00 10 , 10 x ); 
(c) Khởi tạo vận tốc ban đầu của các cá thể 0,i jV ; đặt k = 1, chuyển bước 2 (a). 
Bước 2: Quá trình tối ưu hóa 
(a) Tính toán cự ly ,
k
i jD tương ứng 
0 1
,
k
xk
i j i jX x x
 ; 
(b) Đánh giá vị trí tốt nhất của cá thể: 
Nếu ,
k
i jD ,
best
i jD thì ,
best
i jD = ,
k
i jD , ,
k
best i jP = ,
k
i jX ; 
(c) Đánh giá vị trí tốt nhất của quần thể: 
 Nếu ,
k
i jD 
bestGD thì best
G
D = ,
k
i jD , 
k
bestG = ,
k
i jX ; (10) 
(d) Nếu tiêu chí (10) bị phá vỡ, chuyển đến bước 3; 
(e) Cập nhật vận tốc cá thể [9]: 
( 1) ( ) ( ) ( )
, , 1 1 , , 2 2 ,. ().( ) . ().( )best
k k k k k k
i j i j best i j i j i jV V c rand P X c rand G X
 (11) 
(f) Cập nhật vị trí cá thể [9]: 
( 1) ( ) ( 1)
, , ,
k k k
i j i j i jX X V
 (12) 
(g) k = k + 1, quay lại bước 2 (a). 
Bước 3: Dừng quá trình tối ưu hóa. 
4. KẾT QUẢ BÀI TOÁN TỐI ƢU 
4.1. Điều kiện tính toán 
Các tính toán tối ưu hóa được thực hiện trên mô 
hình một quả bom ĐK giả định cỡ 250 [kg] như trên 
bảng 1 và hình 2. Các hệ số A(M) và Cx0(M) sử dụng 
như trong tài liệu tham khảo [7]. Chuyển động của 
bom ĐK giả định cỡ 250 [kg] được xem xét trong 
môi trường khí quyển tiêu chuẩn quốc tế (ISA). 
Bảng 1. Đặc tính của bom ĐK giả định cỡ 250 [kg]. 
m [kg] Sref [m
2
] Cymax θopt [
0
] 
250 0.5 1.5 -8.5 
4.2. Các kết quả tính toán 
Hình 2. Bom ĐK giả định cỡ 250 [kg]. 
Kỹ thuật máy bay & Thiết bị bay 
 20 P. T. Hùng, N. Đ. Cương, N. Đ. Thành , “Tối ưu hóa quỹ đạo tham chiếu  bom có điều khiển.” 
Bảng 2. Kết quả về cực đại cự ly và các hệ số quỹ đạo tối ưu. 
Dmax_opt [m] x1_opt [m] θ0_opt [
0
] a1_opt a2_opt a3_opt 
91202 35672 1.6 -1.4833. 10
-5
 4.1582. 10
-10
 -3.8855. 10
-15
- Kết quả dạng đồ thị: 
Hình 3. Quỹ đạo của bom ĐK giả định cỡ 250 [kg]. 
Hình 4. Góc nghiêng quỹ đạo (θ) theo tọa độ cự ly (x) 
và tọa độ cự ly chuyển giai đoạn (x1) theo góc nghiêng quỹ đạo ban đầu (θ0). 
Hình 5. Chất lượng khí động (K) và hệ số lực nâng yêu cầu (Cy). 
- Thảo luận: 
Kết quả của các quá trình tối ưu hóa cho biết, cự ly cực đại Dmax thu được hội tụ ở giá trị 91,2 
[km] như hình 3. Cự ly cực đại Dmax thu được từ quá trình tối ưu hóa hai biến số (θ0, x1) không 
khác biệt nhiều so với trường hợp chỉ tối ưu hóa một biến số (x1). Tương ứng với mỗi giá trị góc 
nghiêng quỹ đạo ban đầu θ0 xác định một tọa độ chuyển giai đoạn (x1) (hình 4). Cự ly cực đại 
Dmax đạt được ít chịu ảnh hưởng của góc θ0, mà chủ yếu phụ thuộc vào tọa độ cự ly chuyển giai 
đoạn (x1). Các đồ thị hình 5 cho biết, hệ số chất lượng khí động chuyến bay (K) bám gần hệ số 
Kmax. Hệ số lực nâng Cy yêu cầu nhỏ, trong trường hợp cực trị chỉ yêu cầu giá trị nhỏ hơn 1. 
Tóm lại, so với các điểm lân cận cực trị, kết quả cực trị thu được có vượt trội hơn, như thời 
gian kết thúc quỹ đạo, hệ số lực nâng yêu cầu nhỏ hơn và hệ số chất lượng khí động K bám gần 
hơn giá trị Kmax. Song, các kết quả thu được từ lân cận của cực trị trong dải từ 0
0
 đến 60 cũng có 
những tính chất tương tự có thể sử dụng làm quỹ đạo tham chiếu tầm xa của bom ĐK. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 70, 12 - 2020 21 
5. KẾT LUẬN 
Theo giải pháp xấp xỉ hóa giai đoạn 1 của quỹ đạo để phù hợp hóa với dải tốc độ từ 0,6 đến 
0,9 [Mach], bài toán tối ưu hóa quỹ đạo đã xác định cự ly tối đa của bom ĐK có thể đạt được là 
91 [km], tăng hơn 10% so với cự ly chỉ có đoạn bay Kmax trong trường hợp bom cũng được ném-
thả ở độ cao 12 [km] nhưng M0 = 0,6 [Mach]. Bên cạnh đó, cực đại cự ly (Dmax) tìm được ít thay 
đổi trong dải góc nghiêng quỹ đạo ban đầu (θ0) từ 0
0
 đến 60 là kết quả có ý nghĩa quan trọng 
trong ứng dụng. 
Bài báo này đã được báo cáo tại Hội thảo Quốc gia: “Ứng dụng Công nghệ cao vào thực tiễn – 60 
năm phát triển Viện KH-CN quân sự”. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. N. Đ. Cương, “Mô hình hóa và mô phỏng chuyển động của các khí cụ bay tự động”, NXB Quân đội 
nhân dân, Hà nội, (2002). 
[2]. L. A. Dũng, N. H. Độ, H. L. Nghĩa, “Lý thuyết bay và cơ sở xây dựng hệ thống điều khiển tên lửa 
phòng không”, NXB Học viện KTQS, Hà Nội, (1998). 
[3]. N. D. Phước, “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, (2009). 
[4]. T. V. Thiệu, N. T. T. Thủy, “Giáo trình tối ưu phi tuyến”, NXB ĐHQG Hà Nội, (2011). 
[5]. N. N. Lệ, “Các bài toán cơ bản của tối ưu hóa và điều khiển tối ưu”, NXB Khoa học và kỹ thuật, 
(2009). 
[6]. D. C. Zhang, L. X. Qun, Q. W. Qiu, Q. Z. Guan, “An approximate optimal maximum for subsonic 
unpowered gliding vehicles range guidance scheme”, International Journal of Aerospace Engineering 
Volume 2015, pp. 1-8. 
[7]. P. T. Hung, N. D. Cuong, N. D. Thanh, “Optimization of long-range trajectory for an unpowered 
flight vehicle”, Vietnam Journal of Science and Technology, vol 57 (6A), (2019), pp. 43-50. 
[8]. J. Kennedy and R. Eberhart, “Particle swarm optimization” in Neural Networks, 1995. Proceedings, 
IEEE International Conference on, vol.4 (1995), pp. 1942-1948. 
[9]. M. A. El-Shorbagy and Aboul Ella Hassanien, “Particle swarm optimization from theory to 
applications”, International Journal of Rough Sets and Data Analysis, vol.5, Issue 2 (2018), pp. 1-24. 
[10]. В. С. Демидов, “Расчет аэродинамических характеристик летатель -ных аппаратов”, 
Издание Военно-воздушная инженерная академия имени Н. Е. Жуковского, Москва, (1971). 
ABSTRACT 
OPTIMIZATION OF LONG-RANGE REFERENCE TRAJECTORY 
FOR SMART BOMBS 
In the paper, the optimization problem of long-range trajectory for smart bombs 
operating in range of subsonic and transonic on the basis the two-stage trajectory scheme 
is presented. This research was focused on the first stage of the trajectory to take 
advantage of kinetic energy and potential energy from the initial conditions of the 
problem. The purpose of this study is to obtain the results of the long-range optimal 
trajectory of smart bombs in polynomial form that can be accepted as reference 
trajectories for smart bombs to reach maximum range, and it can be used to serve the 
control problems for smart bombs. 
Keywords: Optimal trajectory; Maximum range; Flight path angle; Smart bombs. 
Nhận bài ngày 08 tháng 10 năm 2020 
Hoàn thiện ngày 30 tháng 11 năm 2020 
Chấp nhận đăng ngày 14 tháng 12 năm 2020 
Địa chỉ: 1 Viện TL - Viện Khoa học và Công nghệ quân sự; 
2
 Hội Hàng không vũ trụ Việt Nam. 
*
 Email: phamhung611@gmail.com.