Sử dụng tam giác hóa ma trận trong dự báo quá trình hữu hạn các quan sát MA(1), mở rộng cho dự báo quá trình Gauss

 NGÀNH TOÁN HỌC
 Sử dụng tam giác hóa ma trận trong dự báo quá trình hữu hạn 
 các quan sát MA(1), mở rộng cho dự báo quá trình Gauss
 Using triangulation matrices in predicting finite process observations 
 MA(1), extending for Gaussian process prediction
 Nguyễn Thị Hồng
 Email: nguyenhong.sd@gmail.com
 Trường Đại học Sao Đỏ
 Ngày nhận bài: 14/4/2020
 Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 24/6/2020
 Ngày chấp nhận đăng: 30/6/2020
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng dụng tôi lý nghiên thuyết cứu biểu phươngdiễn pháptam sửgiác hóa ma trận 
đối xứng xác định dương dừng để vớihỗ hữutrợ hạntrong cácdự quanbáo sát.quá Kếttrình quả nghiên 
cứu cho thấy tính hiệu Ωquả là ma trận củacó moment việccấp 2 từ đósử suy ra dụng tam giác hóa
 -1
được hệ số phép chiếu tuyến tính của Yi lên Y1 cho bởi a = WWi1 11 ; khi biểu diễn tam giác hóa để dự báo 
cho quá trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) với số quan sát hữu hạn và dự báo cho quá trình Gauss thì 
việc tính toán trở nên đơn giản và hiệu quả hơn. 
Từ khóa: Quá trình MA(1); dự báo; tam giác hóa ma trận; quá trình Gauss.
Abstract
In this paper, we study a method using the theory of triangular representation of a positive definite symmetry 
matrix to aid in predicting the stationary process with finite observations. The research results show that 
the effectiveness of using triangulation is a matrix with moment level 2 from which the linear projection 
 -1
coefficient of Yi to Y1 is derived by a = WWi1 11 ; when performing triangulation to predict the process of 
moving average level 1 (MA (1)) with finite number of observations and forecast for Gauss process, the 
calculation becomes simpler and more efficient.
Keywords: MA (1) process; forecasting; triangulating matrix; Gauss process.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ hơn giúp chúng ta tính toán nhanh và chính xác dự 
 báo tối ưu dựa trên hữu hạn các quan sát quá khứ 
Việc dự báo 1 đại lượng biến thiên nói chung và 
 của nó.
dự báo nhu cầu nói riêng đóng vai trò quan trọng 
trong kinh tế cũng như đời sống. Dự báo là ước Ngoài ra trên cơ sở phép biểu diễn tam giác chúng 
 tôi chỉ ra ứng dụng của nó trong việc dự báo cho quá 
lượng các giá trị tương lai Y , h ≥ 1 của 1 biến ngẫu 
 t+h trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) và mở rộng tam 
nhiên dựa trên quan sát các giá trị quá khứ của nó 
 giác hóa khối dự báo tối ưu cho quá trình Gauss.
y1, y2,..., yn. Tuy nhiên, khi các quan sát quá khứ là 
hữu hạn ta dùng dự báo tối ưu xấp xỉ. 2. NỘI DUNG
 ! ! 2.1. Nguyên tắc dự báo 
 EY()tstt+ /, YY-1 ,...@ EY( tstt+ /, YY-- 11 ,..., Y tmtm+ ,ee-== 0, tm -- 1 0,....) 
 2.1.1. Dựa trên kỳ vọng có điều kiện
Trong đó ta cho các giá trị của ε = 0 và dự báo chính 
xác với các hệ số được xác định qua phép chiếu Mục đích chúng ta quan tâm là dự báo của giá trị 
 Y
 t+1 dựa trên tập các biến quan sát X t . Ký hiệu 
tuyến tính được trình bày trong [1]. Tuy nhiên, việc *
 Ytt1/ , Y
xác định hệ số bằng việc giải hệ các phương trình + là một dự báo của t+1 căn cứ trên các quan 
 *
là rất phức tạp. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi sát X t , Ytt+1/ được chọn sao cho 
 2
sẽ nghiên cứu phép biểu diễn tam giác hóa ma trận * (1)
 EY()t++1- Y tt 1/ . 
đối xứng xác định dương, đây là công cụ hiệu quả 
 là nhỏ nhất [2]. Vậy dự báo với sai số bình 
Người phản biện: 1. PGS.TS. Khuất Văn Ninh phương nhỏ nhất chính là kỳ vọng có điều kiện 
 2. TS. Đào Trọng Quyết của Yt+1 với X t .
 61
 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020
 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
 2 X
 Y* = EY()/X . (2) Tương tự ta tính hệ số của t như sau:
 tt++1/ t 1 t 
 éùa ()m -1
 0 égg01... gm- 1 ùé g 1 ù
2.1.2.Dự báo dựa trên phép chiếu tuyến tính êúê úê ú
 êú()m gg... g g
 a1 ê10m- 2 úê 2 ú 
 êú= . 
Chúng ta hạn chế lớp dự báo với yêu cầu dự báo ê... ... ... ... úê ... ú
 * X . êú...
 Ytt+1/ là hàm tuyến tính của t ê úê ú
 êú()m
 ëggmm--12... g 0 ûë g m û
 ëûam
 *
 YXtt+1/ = a '. t (3)
 Dự báo tại thời điểm s ( kí hiệu Yt+ st/ ) là:
Mục đích là chúng ta đi tìm giá trị α' thỏa mãn sai 
 ! ()ms..() ms ()ms.
số dự báo không tương quan với X t tức là: Ytt+1/ =+µ a1() YYt- µ +a 21() t--- µ ++... a m() Y tm+ 1- µ . 
 (4) Trong đó:
 EYéùëû()t+1 -a ' XX tt= 0. 
 ()ms. -1
 éùa égg... g ùé g ù
 a ' X α' X 0 01ms- 1
Khi đó dự báo t t được gọi là phép chiếu êúê úê ú
 êú()ms. gg... g g
tuyến tính của Yt+1 căn cứ trên các quán sát X t . a1 ê10ms- 2 úê+ 1 ú
 êú= . (8)
Phép chiếu tuyến tính thực chất là sai số bình ... ê... ... ... ... úê ... ú
 êúê úê ú
 êú()ms. gg g g
phương trung bình nhỏ nhất trong lớp các dự báo a ëm--12 m... 0 ûë sm+ - 1 û
 ! ëûm
tuyến tính. Kí hiệu PY()tt+1 /' X= a X t . Hoặc đơn giản.
 Có nhiều thuật toán được sử dụng để đánh giá (8), 
 ! + = a
 YXt 1 ',t ở đây chúng ta sử dụng biểu diễn tam giác hóa ma 
 trận đối xứng xác định dương, cách này hữu ích 
Với
 -1 trong việc tính toán cho các mẫu hữu hạn được 
 a '.= EY X''éù E XX 
 ()()t+1 tëû tt trình bày sau đây. 
2.1.3. Dự báo chính xác dựa trên hữu hạn các 2.2. Biểu diễn tam giác hóa ma trận có moment 
quan sát cấp 2 và phép chiếu tuyến tính
Một cách khác mà không phải phép xấp xỉ ở trên là Định nghĩa 1
 Y m
ta tính chính xác hàm tuyến tính t+1 trên giá trị Cho Ω là ma trận đối xứng xác định dương cấp 
gần nhất của nó. (nxn) có biểu diễn dưới dạng [2]:
 t t
Đặt Xt= []1 YY t t--11 ... Y tm+ . W = ADA , (9)
Chúng ta sẽ tìm 1 dự báo có dạng: Trong đó:
 t
 ()mXt ()()()mm m ()m éù1 0 0 ... 0
 a= aa0 + 1YYt + a 21 t-- ++... a m Y tm+ 1 . (5)
 êú-1
 êúWW21 11 0 0 ... 0
Nếu Yt là quá trình dừng thì: 
 A = êúWW--11
 2 êú31 11hh 31 22 1 ... 0 
 E() YYttj- =+g j µ 
 êú... ... ... ... ...
Thay t vào êú
 Xt= []1 YY t t--11 ... Y tm+ ---111
 ëûêúWWn1 11hh nn 2 22 kk 3 33 ... 1
 -1
 a = ''éù
 '.EY()()t+1 X tëû E XX tt Và
Suy ra: éùW11 0 ... 0
 t êú
 () mm éù()()()mmm () -1
a= aaa01 2Ytm- 1... a êú0W22 -W 21 W 11 W 12 ... 0
 ëû D = . 
 =éùµ g ++µ 22 g µ ... g +µ 2 x êú... ... ... ...
 ëû12 m êú
 -1 êú-1 
 éù1µµ ... µ ëû0 0 ... cccnnnnnn- ,---- 1 1, 1 c nn 1,
 êúµ g ++µ 22g µ g +µ 2 (6)
 êú01... m- 1 Biểu thức (9) được gọi là phép biểu diễn hóa ma 
 êú22 2 
xµ g10++µ g µ ...g m- 2 +µ . trận đối xứng xác định dương Ω.
 êú
 êú... ... ... ... ...
 êú22 2 Định lý 1. 
 µ g --++µ g µ ... g +µ
 ëûmm12 0 t
 (Xem [2]) Giả sử Y= () YY12, ,..., Yn là véctơ ngẫu 
Sau đó ta tính phép chiếu của ()Yt+1 - µ trên:
 nhiên trong đó ma trận có moment cấp 2 cho bởi:
 t
 XYt= éùëû()()() t--µµ, Y t--11 ,..., Y tm+ - µ . t
 W = E() YY . (10)
Ta được:
 Mà = ADAt
 ()mm() Ω là biểu diễn tam giác hóa của Ω. Khi 
 Y!tt+1/ - µ = a YY- µ +a - µ +...
 1()tt 21()- (7) đó với ij> bất kỳ thì hệ số của phép chiếu Yi lên 
 ()m 
 ...+a ()Y - + - µ . j
 m tm1 Yj, Yj-1,..,Y1 chính là phần tử dòng i và của ma 
 62
 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020
 NGÀNH TOÁN HỌC
 2
 A, dii D là -1
trận giá trị của phần dư trong ma trận EYéù- PY! ()/, Y Y= h- hh h . 
 Y ëû3 3 21 33 322223
sai số bình phương trung bình của phép chiếu i
 Như vậy, muốn dự báo Y3 ta cho thông tin ban đầu 
lên Yi-1, Yi-2,..,Y1.
 Y1 , sau đó dự báo cho Y3 dựa trên Y1 và được xác 
Chứng minh: 
 định bởi:
Ta đặt: ! -1 
 PY()3/, Y 1= WW 31 11 Y 1 
 (11)
 Và dự báo của Y2 dựa trên Y1 như sau:
Ma trận!" cấp 2 của phép biến đổi trên là: 
 𝑌𝑌" = 𝐴𝐴 𝑌𝑌. ! -1 
 PY()2/, Y 1= WW 21 11 Y 1 
 Khi đó (1.17) trở thành
 ! "# ! ! "# "# ! ! "#
Với$ $ PYYY! ()/,=+ PYY! () / hh-1 éù Y- PYY! () / . 
 𝐸𝐸"𝑌𝑌𝑌𝑌 t% = 𝐸𝐸(𝐴𝐴 𝑌𝑌𝑌𝑌 [𝐴𝐴 ] ) = 𝐴𝐴 𝐸𝐸(𝑌𝑌𝑌𝑌 )[𝐴𝐴 ] 3 2 1 3 1 32 22ëû 2 2 1 (18)
 ⎛ ! ! ⎞ dii i = j (12)
 EYY j = . 
 ⎝ ⎠ {0 i ≠ j
 Tương tự như vậy với ij> bất kỳ thì hệ số của 
Các biến ngẫu nhiên là không tương quan với Y
 phép chiếu i lên Yj, Yj-1,..,Y1 chính là phần tử dòng 
nhau, ta nhân 2 vế của (12) với A ta được. i và j của ma trận A, giá trị của phần dư d ma 
 𝑌𝑌" ii
 trận D là sai số bình phương trung bình của phép 
Tương đương:
 chiếu Yi lên Y , Y ,..,Y (đpcm).
𝐴𝐴𝑌𝑌" = 𝑌𝑌 i-1 i-2 1 
 Nhận xét:
 " "
 1#" 0 0 . . . 0 𝑌𝑌. 𝑌𝑌 Như vậy, dùng biểu diễn tam giác hóa Ω ta đã suy 
⎡ !" "" ⎤ ⎡ ⎤ ! 
 ! ⎡ ⎤ (13) Y2 Y 
 𝛺𝛺 𝛺𝛺#" 1#" 0 . . . 0 ⎢𝑌𝑌. ⎥ 𝑌𝑌 ra được hệ số phép chiếu tuyến tính của lên 1
⎢ ⎥ ⎢ $⎥ -
 $" "" $! !! $ a = WW1
⎢𝛺𝛺 𝛺𝛺 ℎ ℎ 1 . . . 0 ⎥ ⎢𝑌𝑌. ⎥ = ⎢𝑌𝑌 ⎥. cho bởi 21 11 , và nói chung hệ số phép chiếu 
 ⎢ ⎥ Y -1
⎢ ...............#" #" #" ⎥ ... ⎢...⎥ tuyến tính của Yi lên 1 cho bởi a = WWi1 11 . 
 %" "" %! !! %$ $$ ⎢ ⎥ %
Phương⎣𝛺𝛺 𝛺𝛺 trìnhℎ ℎ đầu 𝑘𝑘tiên𝑘𝑘 trong. . .(13) 1 ⎦ ⎣𝑌𝑌/%⎦ ⎣𝑌𝑌 ⎦
 2.3. Áp dụng biểu diễn tam giác hóa ma trận 
 (14)
 trong dự báo
Tức! là! phần tử đầu tiên của các vecto Y và là 
 𝑌𝑌" = 𝑌𝑌 . Phần này trình bày việc sử dụng biểu diễn tam giác 
giống nhau. 
 " hóa ma trận trong dự báo chính xác cho quá trình 
Phương trình thứ 2 cho ta: 𝑌𝑌
 trung bình MA(1) và mở rộng cho quá trình Gauss.
 2.3.1. Dự báo chính xác trên hữu hạn các quan 
Thay #"(13) vào phương trình trên ta được:
 𝛺𝛺!!𝛺𝛺"" 𝑌𝑌#" + 𝑌𝑌#! = 𝑌𝑌!. sát của quá trình MA(1)
 #" Định nghĩa 2 
 ! !a = WW!" ""-1 " ! " ¥
Ở𝑌𝑌" đây= 𝑌𝑌 − 𝛺𝛺 21𝛺𝛺 11 .𝑌𝑌 Mà= 𝑌𝑌 − và 𝛼𝛼𝑌𝑌 không tương quan e Y
 Cho {}t =-¥ là dãy ồn trắng. Quá trình t có biểu 
với nhau nên: t
 𝑌𝑌"! 𝑌𝑌"! diễn sau [3]:
 (15)
 Yt=++µ e tt qe -1 , 
Giá𝐸𝐸"𝑌𝑌$ !trị𝑌𝑌$" α% =thỏa 𝐸𝐸[( 𝑌𝑌mãn" − 𝛼𝛼𝑌𝑌(15)!)𝑌𝑌 !chính] = 0. là hệ số phép chiếu Được gọi là quá trình trung bình trượt cấp 1, ký 
 Y Y
tuyến tính của 2 lên 1 . hiệu là MA(1), μ, θ là hằng số bất kỳ. 
Ta coi như là phần dư của phép chiếu tuyến 
 Bài toán: 
tính của Y lên Y , từ (11) ta tìm được sai số bình 
 "! 2 1
phương𝑌𝑌 trung bình của phép chiếu này. Giả sử quá trình MA(1) cho bởi phương trình: 
 Y =++µ e qe . 
 t tt-1
 ! #" Dự báo giá trị Yn dựa trên n - 1 giá trị trước của 
Phương! trình!! thứ!! 3 cho!" ta:"" "!
 𝐸𝐸"𝑌𝑌$ % = 𝑑𝑑 = 𝛺𝛺 − 𝛺𝛺 𝛺𝛺 𝛺𝛺 . nó (Y , Y ,..,Y ) sử dụng tam giác hóa ma trận xác 
 1 2 n-1
 định dương.
 #" #"
Thay𝛺𝛺!"𝛺𝛺 "" 𝑌𝑌# " vào+ ℎ !$ℎ $$ vào𝑌𝑌#$ +phương 𝑌𝑌#! = 𝑌𝑌! trình. này ta được: Lời giải:
 ! ! t º-µµ - - µµ -
 𝑌𝑌" 𝑌𝑌" (16) Đặt YY[]12 Y ... Ynn- 1 Y và ký hiệu Ω là 
 #" #" #" ma trận tự hiệp phương sai củaY.
Tương𝑌𝑌"! = 𝑌𝑌! tự− 𝛺𝛺 !" 𝛺𝛺 là"" phần𝑌𝑌" − ℎdư!$ℎ và$$ (nó𝑌𝑌$ −không 𝛺𝛺$"𝛺𝛺 ""tương𝑌𝑌"). quan 
 Y Y éù1+q 2 0 0 ... 0
với 1 hoặc ! 2 , điều này có nghĩa là: êú
 " q+ qq2
 ! 𝑌𝑌 --11 - 1 êú1 ... 0
 PY()/, Y Y= WW Y+ hh Y-W W Y . (17) t 2 2
 3 2 1 31111 3222() 2 21111 W ==E() YY s êú0qq 1+ ... 0 . 
 êú
Sai số bình phương trung bình của phép chiếu này êú... ... ... ... ...
 êú0 0 ... 1+q 2
chính là phương sai và bằng d33 . ëû
 𝑌𝑌"!
 63
 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020
 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
 Trong khi sai số bình phương trung bình tiến đến 
Ma trận A trong biểu diễn tam giác hóa của Ω là:
 σ2. Vì vậy, dự báo hữu hạn các quan sát vẫn tiến 
 éù1 0 ... 0 0
 đến dự báo cho vô hạn các quan sát. Ngoài ra việc 
 êúq
 êútính toán công thức (19) vẫn đúng cho trường hợp 
 2 1 ... 0 0
 êú1+q q > 1. Khi θ = 1 sai số bình phương trung bình 
 êú
 qq+ 2 2
 êú()1 MSE của dự báo này cho bởi s ()n +1 và nó tiến 
 A = 0 ... 0 0 , 
 êú++qq24 2 khi ®¥
 êú1 đến σ n . n
 êú... ... ... ... ...
 2.3.2. Biểu diễn tam giác hóa khối và dự báo tối 
 êú2 22()n-
 êúqq()1+ ++ ... q ưu cho quá trình Gauss
 êú0 0 ... 1
 ëû1+qq2 ++ ... 21()n- Định nghĩa 3 
 2
 éù1+q 0 .... 0 Quá trình Y={} Ytt , Î T được gọi là quá trình 
 êú
 êú1++qq24 Gauss hay quá trình chuẩn, nếu các phân phối hữu 
 0 ... 0
 êú+q 2 hạn chiều của nó là Gauss, tức là phân phối của 
 D = s 2 êú1 . 
 YY,...,
 êú... ... ... ... véctơ ngẫu nhiên ()tt1 n là Gauss đối với mọi 
 êú22n
 1+qq ++ ... tập con hữu hạn [3].
 êú0 0 ...
 ëûêú1+qq2 ++ ... 21()n- Bài toán: 
Để sử dụng phép biểu diễn tam giác hóa cho việc Giả sử chúng ta quan sát trên 2 bộ biến. Bộ thứ 
 Y ,
dự báo chính xác dựa trên hữu hạn các quan sát, nhất các phần tử coi như véctơ (n1x1) ký hiệu 1 bộ 
 Y .
ta sử dụng kết quả. thứ 2 là véctơ (n2x1) ký hiệu 2 Ma trận có moment 
 cấp 2 được viết như sau:
 éùtt
Từ hệ! thống !các!"# phương!"$ trình# của: E()() YY11 E YY 12 éùWW
 𝑌𝑌" = 𝑌𝑌 − 𝐸𝐸&(𝑌𝑌 /𝑌𝑌 , 𝑌𝑌 , . . . , 𝑌𝑌 ). W ==êú11 12 . 
 ttêú
 êúëûWW21 22
 ëûE()() YY21 E YY 22
Được !"viết lại như sau:
 " Dự báo Y2 và trường hợp Y2 là một quá trình Gauss.
 𝑌𝑌Y = 𝐴𝐴 Y𝑌𝑌!
 1 − µ = 1,
 Y θ Y! Y! Lời giải:
 − µ = 1 + 2 , t
 2 2 éùIn1 0
 1+θ E1 = êú và E1
 2 Nhân ma trận -W W I với Ω ta được: 
 θ ()1+θ ëû21 11n 2
 Y Y! Y! ,
 3 − µ = 2 4 2 + 3
 1+θ +θ t éùW11 0
 .... EE11W = êú-1 . 
 2 2n 0 W -W W W
 1+θ + ...+θ ! ! ëû22 21 11 12
 Y − µ = Y n−1 + Y n.
 n 2 2()n−1
 1+θ + ...+θ -1 éùIn1 0 t
 Đặt A== E1 êú-1 ÞW= ADA . 
Giải phương trình cuối ta được: ëûWW21 11In 2
 ! !
 Y n Y E Y / Y ,Y ,...,Y Y µ
 = n − ()n n−1 n−2 1 = n − − Ta có:
 ⎡ 2 4 2()n−2 ⎤
 θ 1+θ +θ + ...+θ 1 ⎡ ! ⎤ ⎡ I 0 ⎤⎡ Y ⎤
 ⎣ ⎦ ! (19) − Y1 n1 1 
 ⎡Y − E Y / Y ,Y ,...,Y ⎤. Y!1 A Y ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
 2 4 2()n−1 n−1 ()n−1 n−2 n−3 1 = ⇔ =
 ⎡1+θ +θ + ...+θ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢ Y! ⎥ ⎢ −Ω Ω I ⎥⎢ Y ⎥
 ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 11 n2 ⎦⎣ 2 ⎦
 Y! Y Y! Y −1Y
Suy ra: ⇒ 1 = 1, 2 = 2 − Ω21Ω11 1
 ! -
 EY()nn/ Y--12 , Y n ,..., Y 1=+µ 1
 Từ phương trình ta có WW21 11 chính là ma trận 
 qéù1++++ qq24 ... q22()n-
 ëûéù! hệ số liên kết của phép chiếu tuyến tính của véctơ 
 Yn-1- EY() n - 1/ Y nn -- 23 , Y ,..., Y 1 . !
 24 21()n- ëû𝑌𝑌"
 éù Y2 lên véctơ Y1
 ëû1++++qq ... q
 ! -1
Sai số bình phương trung bình của dự báo này PY()2/. Y 1= WW 21 11 Y 1 
chính là: Sai số bình phương trung bình của phép chiếu 
 ++++qq24 q 2n
 éù! 2 1 ... tuyến tính này.
 MSE E() Y/ Y-- , Y ,..., Y = s . 
 ëûnn12 n 1 ++++qq24 q21()n- ! ! t ⎛ ! ! t ⎞
 1 ... EY − P()Y / Y Y − P()Y / Y = EY 2Y 2
Nhận xét: {}2 2 1 {}2 2 1 ⎝⎜ ⎠⎟
 = D = −1 .
Khi số dự báo n rất lớn, ta giả sử quá trình trung 22 Ω22 − Ω21Ω11Ω12
bình trượt khả nghịch tức là q <1, khi n ®¥ thì: Dựa vào biểu diễn tam giác khối ở trên, ta sẽ dự 
 - báo tối ưu cho quá trình Gauss như sau:
 qéù1++++ qq24 ... q22()n
 ëû Y
 ®q. Đặt Y1 là véctơ (n1x1) với giá trị trung bình μ và 2 
 21()n-
 éù1++++qq24 ... q n x1
 ëû là véctơ ( 2 ) với giá trị trung bình μ2.
 64
 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020
 NGÀNH TOÁN HỌC
 fYY, YY 21, 1 -1/2
 f YY/ 21 H
Ma trận tự hiệp phương sai cho bởi: YY12/ 12 n /2
 Hàmfy mật độ điều kiện2 của Y2 đối với Y1 là:
 Y1 1 2p
 éùtt 
 EY()()()()1111--µµ Y EY 2 -- µµ 211 Y
 êú= éù1 t -1
 tt exp--()()ymHym - ,
 êúEY--µµ Y EY -- µµ Y êú22
 ëû()()()()1122 2222 ëû2 f() YY,
 YY21, 21 1 -1/2
 éùWW11 12 fYY/() YY 12/ == H
 = . 12 fy n2 /2
 êú Y1 ()1 ()2p
 ëûWW21 22 
 Với:
 -1éù1 t
 Y = W -W W W-- -1 -
Nếu 2 là Gauss, hàm mật độ đồng thời của chúng H 22 21exp 11êú 12 . ymHym22 ,
 ëû2
cho bởi. Nói cách khác:
Nghịch đảo của Ω cho bởi:
 Y21/ Y! N() mH ,. 
 -1/2
 1 WW
 f() YY, = 11 12 Vì vậy, dự báo tối ưu cho quá trình Gauss là:
 YY12, 12 +
 ()nn12/2 WW -1
 ()2p 21 22 EY/. Y=+µµWW y -
 ()()2 1 2 21 11 1 1 
 ìü-1
 ïï1 ttéWW ùéy -µ ù
 exp --éùyyµµ - 11 12 1 1 . 3. KẾT LUẬN
 íýëû()()1 22ê úê ú
 ïï2 ëWW21 22 ûëy 2 -µ 2 û
 îþBài báo đã chỉ ra được việc sử dụng biểu diễn tam 
Định thức của Ω tính bằng: giác hóa Ω là ma trận có moment cấp 2 từ đó suy ra 
 t Y Y
 W = ADA . được hệ số phép chiếu tuyến tính của i lên 1 cho 
 -1
 bởi a = WWi1 11 . Và áp dụng biểu diễn tam giác hóa để 
Nhưng A là ma trận tam giác dưới có các phần tử dự báo cho quá trình trung bình trượt cấp 1 (MA(1)) 
nằm trên đường chéo chính bằng 1 nên A = 1 do với số quan sát hữu hạn, đồng thời trên cơ sở đó 
đó W = D , và phát triển thành phép biểu diễn tam giác khối và dự 
 WW W 0 báo cho quá trình Gauss. Với cách đánh giá hệ số 
 11 12= 11 này trong dự báo thì việc tính toán trở đơn giản và 
 W W0 W -W W-1 W
 21 22 22 211112 hiệu quả hơn khi các quan sát là hữu hạn. 
 -1
 = W11x W 22 -W 21 W 11 W 12 .
Khi đó mật độ đồng thời viết lại là: 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1 -1/2
 f() YY, = W W -W W-1 W
 YY12, 1 2()nn+ /2 11 22 21 11 12
 ()2p 12 [1] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư (2003), 
 Phân tích thống kê dự báo, NXB Đại học 
 ì 1 t -1 (20) Quốc gia Hà Nội.
 exp í-()()yy11 -Wµµ 1111 - 
 î 2 [2] Trần Thị Hằng (2014), Phân tích thống kê 
 -
 1 t -1 1 ü chuỗi thời gian dừng, Trường Đại học Khoa 
 -()ym2 -() W 22 -W 21 W 11 W 12() ym 2 - ý,
 2 þ học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
Với: [3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mô hình xác suất 
 -1
 my=+µµ2WW 21 11() 1 - 1 . và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
Hàm mật độ điều kiện của Y2 đối với Y1 tìm bằng [4] James D.Hamilton (1994), Time Series 
cách chia (20) cho mật độ biên. Analysis, Princeton University Press.
 11-1/2 éù- t [5] Pete J. Brockwell, Richard A. Davis (2002), 
 fy() = Wexp()() y -Wµµ-1 y - . 
 V1 1n /2 11êú 1 1 11 1 1 Introduction to Series and Forecasting, NXB 
 p 1 ëû2
 ()2 Springer, New York.
THÔNG TIN TÁC GIẢ
 Nguyễn Thị Hồng
 - Tóm tắt quá trình đào tạo, nghiên cứu (thời điểm tốt nghiệp và chương trình đào tạo, 
 nghiên cứu):
 + Năm 2008: Tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán, Trường Đại học Vinh.
 + Năm 2014: Tốt nghiệp Thạc sĩ ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Trường Đại học 
 Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.
 - Tóm tắt công việc hiện tại: Giảng viên, khoa Khoa học cơ Bản, Trường Đại học Sao Đỏ.
 - Lĩnh vực quan tâm: Lý thuyết xác suất và thống kê toán.
 - Email: nguyenhong.sd@gmail.com.
 - ĐT: 0969634689.
 65
 Tạp chí Nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Sao Đỏ, ISSN 1859-4190, Số 2 (69) 2020