Phân tích tĩnh của tấm FGM sử dụng phương pháp Mesh-Free và lý thuyết đơn giản biến dạng cắt bậc nhất

 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 27 
PHÂN TÍCH TĨNH CỦA TẤM FGM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
MESH-FREE VÀ LÝ THUYẾT ĐƠN GIẢN BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT 
NGUYỄN NGỌC HƯNG 
Trường Đại học Thủ Dầu Một - hungnn@tdmu.edu.vn, 
VŨ TÂN VĂN 
Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh - van.vutan@uah.edu.vn 
NGUYỄN TRỌNG PHƯỚC 
 Trường Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh – phuoc.nt@ou.edu.vn 
NGUYỄN HUỲNH TẤN TÀI 
 Trường Đại học Thủ Dầu Một - tainht@tdmu.edu.vn 
(Ngày nhận: 9/9/2016; Ngày nhận lại: 08/11/16; Ngày duyệt đăng: 14/11/2016) 
TÓM TẮT 
Bài báo này giới thiệu một mô hình số mới phân tích chuyển vị uốn của tấm vật liệu chức năng với các đặc tính 
vật liệu thay đổi theo chiều dày tấm. Mô hình này dựa trên phương pháp không lưới sử dụng hàm nội suy Moving 
Kriging (MK) kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-FSD). Các ví dụ số được thực hiện để so 
sánh kết quả đạt được với các kết quả của các nghiên cứu đã công bố nhằm kiểm chứng sự chính xác của mô hình 
phân tích được đề xuất. 
Từ khóa: Chuyển vị; tấm vật liệu chức năng; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản; nội suy Moving 
Kriging; phương pháp không lưới. 
Static bending analylis of FGM plates based on the meshless method and simple first-
order shear deformation theory 
ABSTRACT 
This paper presents a new numerical model for analysing static bending of Functionally Graded Material 
(FGM) plates which material properties vary through the thickness. This model employed the mesh-free method 
with Moving Kriging (MK) interpolation with the simple first-order shear deformation(S-FSD) theory. Numerical 
examples are solved and the results are compared with reference solutions to confirm the accuracy of the proposed 
method. 
Keywords: Deflections; Functionally graded plates; Simple first-order shear deformation theory; Moving 
Kriging interpolation; mesh-free method. 
1. Giới thiệu 
Vật liệu biến đổi chức năng (Functionally 
Graded Material- FGM) là một loại composite 
có đặc tính vật liệu biến đổi liên tục trong vật 
thể do đó sẽ loại bỏ được hiện tượng tập trung 
ứng suất thường gặp ở loại composite thông 
thường. FGM thường được chế tạo từ hỗn hợp 
gồm gốm và kim loại. Đây là loại vật liệu 
đẳng hướng nhưng không đồng nhất. Hiện 
nay, FGM được quan tâm vì có thể tạo ra 
những kết cấu có khả năng thích ứng với 
những điều kiện vận hành. Thông thường, 
phân tích ứng xử của tấm vật liệu chức năng 
dựa trên các lý thuyết cơ bản sau: (i) Tấm cổ 
điển (CP), (ii) Biến dạng cắt bậc nhất (FSD), 
(iii) Biến dạng cắt bậc cao (HSD). 
Lý thuyết CP (Kirchhoff G, 1850) không 
xét đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang đến 
28 KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 
ứng xử của tấm mỏng. Khi chiều dày tấm tăng 
lên, biến dạng cắt ngang có ảnh hưởng đáng kể 
đến đáp ứng của tấm. Lý thuyết FSD đề xuất 
bởi Mindlin R. D. (1951) và Reissner E. (1945) 
xét đến ảnh hưởng biến dạng cắt này bằng cách 
xây dựng trường chuyển vị tuyến tính bậc nhất 
trong mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm. 
Tuy vậy, các phương trình cân bằng, ổn định 
được xây dựng dựa trên lý thuyết CPT và 
FSDT đều không thỏa mãn điều kiện biên về 
sự triệt tiêu ứng suất ở mặt trên và dưới của 
tấm. Nhằm giải quyết được khó khăn này, một 
hệ số điều chỉnh biến dạng cắt được sử dụng để 
điều chỉnh mối quan hệ kết hợp giữa ứng suất 
cắt và biến dạng cắt ngang. Giá trị hệ số điều 
chỉnh này phụ thuộc vào các thông số như: 
hình học, tải trọng tác dụng, điều kiện biên của 
tấm. Lý thuyết HSD đề xuất bởi Reddy J. N. 
(2000), Neves A. M. A. và cộng sự (2013) xét 
đến ảnh hưởng biến dạng cắt ngang bằng cách 
xây dựng các trường chuyển vị bậc cao ở trong 
mặt phẳng dọc theo chiều dày của tấm, hoặc 
theo mặt phẳng ngang của tấm. Các phương 
trình cân bằng, ổn định dựa trên trường chuyển 
vị đã thỏa mãn các tất cả điều kiện biên. Tuy 
vậy, việc phân tích ứng xử của tấm dựa trên 
các lý thuyết HSD này rất phức tạp do số 
lượng biến số ở các phương trình cân bằng, ổn 
định tăng lên, chẳng hạn hàm chuyển vị được 
xây dựng trên lý thuyết HSD đề xuất bởi 
Pradyumna và Bandyopadhyay (2008), Neves 
và cộng sự (2012-2013) sử dụng 9 ẩn số; 
Reddy (2011), Talha và Singh (2010) sử dụng 
lần lượt gồm 11, 13 ẩn số. 
Dù cho một số lý thuyết HSD khác sử 
dụng hàm chuyển vị gồm 5 ẩn số tương tự 
như lý thuyết FSD chẳng hạn như: lý thuyết 
biến dạng cắt bậc ba (TSD) (Reddy J. N. 
,2000), lý thuyết biến dạng cắt hàm sin 
(Zenkour A. M., 2006), lý thuyết biến dạng 
cắt hàm lượng giác (Mantari J. L., Oktem A. 
S., Guedes Soares C., 2012) và (Mantari J. L., 
Oktem A. S., GuedesSoares C., 2012). Tuy 
vậy, phương trình cân bằng, ổn định đạt được 
từ các lý thuyết này vẫn phức tạp hơn so với 
lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSD). Lý 
thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản (S-
FSD) được đề xuất đầu tiên bởi Huffington 
N.J. (1963) với hàm chuyển vị chỉ gồm 4 ẩn 
số. Khác với lý thuyết FSD, thành phần góc 
xoay được biểu diễn thông qua t ... 
 
ε
2
2
2
2
2
κ
2
b
b
b
w
x
w
y
w
x y
 
 
 
 
 
 
  
γ
s
s
w
x
w
y
 
  
 

 
 (11.a,b,c) 
Mối quan hệ kết hợp thiết lập dựa trên 
luật Hooke bởi phương trình sau: 
0σ = D (z)(ε - κ)m z τ = D ( )γs z (12a,b) 
với 
0σ = D ( )(ε - κ)m z z τ
T
xz yz  (13a,b) 
và 
1 0
( )
D (z) = 1 0
1-
0 0 (1- ) / 2
m 2
v
E z
v
v
v
 (14) 
1 0
D =
0 12 1+
s
kE z
z
v
 (15) 
Trong đó k là hệ số hiệu chỉnh cắt. 
4. Mô hình phân tích 
4.1. Hàm dạng MK 
Phương pháp MK được dùng để xây dựng 
hàm dạng và các đạo hàm theo Gu L. (2003) và 
Tongsuk P., Kanok-Nukulchai W. (2004). Giả 
thiết hàm phân bố xiu được xấp xỉ trong 
miền con x sao cho x  . Giả sử rằng các 
giá trị của hàm số được nội suy dựa trên các 
giá trị tại các điểm nút   x 1,i i n với n là 
tổng số điểm nút trong miền
x . Hàm nội suy 
MK uh x , x x  được xác định như sau: 
u (x) p (x)A r (x)B u(x)h T T (16) 
Hay 
1
u (x) Φ ( )u
n
h
I Ix  (17 
Trong đóΦ (x)I là hàm dạng MK, được 
xác định như sau 
Φ (x) p (x)A r (x)BT TI (18) 
A , B được định nghĩa như sau: 
1
1 1A P R P P RT T
 (19) 
-1B = R (I - PA) (20) 
Trong đó I là ma trận đơn vị, véc tơ 
p(x) là đa thức với m hàm cơ sở : 
 1 2 3p ( ) (x), (x), (x)...., (x)
T
mx p p p p (21) 
Cụ thể, đối với ma trận P kích 
thước n m , các giá trị của hàm cơ sở đa thức 
(13) được cho bởi như sau: 
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
1 2
(x ) (x ) (x )
(x ) (x ) (x )
P
(x ) (x ) (x )
m
m
m m m m
p p p
p p p
p p p
 (22) 
Véc tơ r(x) trong phương trình (16) được 
định nghĩa như sau: 
 1 2r ( ) (x ,x), x ,x ,.... x ,x
T
nx R R R (23) 
 x ,xi jR là hàm tương quan giữa các cặp 
của n nút x i và x j nó được biểu hiện bằng 
các phương sai của các trường giá trị u(x) : 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 31 
R(x ,x ) cov (x ), (x )i j i ju u và 
 R(x ,x) cov (x ), (x)i iu u . Có nhiều cách 
để xác định hàm (x , x )i jR nhưng phương 
pháp hàm Gauss là phương pháp thường sử 
dụng vì tính đơn giản, hiệu quả 
2
ijR(x ,x )
r
i j e
 
 (24) 
Với: ij x xi jr , và 0 là hệ số 
tương quan. Trong bài báo này sử dụng 
p (x)T là một hàm bậc hai như sau: 
2 2p ( ) 1, , , , ,T x x y x y xy (25) 
Ngoài ra, ma trận
.
R ( , )i j n n
R x x được 
biểu diễn dưới dạng tường minh như sau: 
1 2 1
2 1 2
1 2
1 (x ,x ) (x ,x )
(x ,x ) 1 (x ,x )
R ( , )
(x ,x ) (x ,x ) 1
n
n
i j
n n
R R
R R
R x x
R R
(26) 
Đối với bài toán tấm FGM, không chỉ đạo 
hàm bậc 1 được sử dụng mà còn đạo hàm bậc 
2 của hàm dạng cũng được thiết lập như sau: 
. , ,(x) (x) (x)
m n
I i j i jI k i kI
j k
p A r B   (27) 
, , ,(x) (x) (x)
m n
I ii j ii jI k ii kI
j k
p A r B   (28) 
Cần lưu ý ảnh hưởng của hệ số tương 
quan đối với hàm dạng là rõ ràng. Một trong 
những điểm quan trọng nhất của hàm dạng 
MK, đó là sở hữu tính chất Kronecker’s delta. 
Điều này sẽ loại bỏ những trở ngại đáng kể 
nhất của hầu hết các phương pháp không lưới 
khi áp đặt điều kiện biên để giải bài toán cơ 
học. Để chứng minh cho điều này, chúng ta 
khảo sát lại hàm dạng MK xác định bởi biểu 
thức (18). 
(x ) (x ) (x )
m n
I j j j jI k j kI
j k
p A r B   (29) 
Hay biểu thức (29) có thể viết dưới dạng 
sau: 
Φ (x ) PA RBI j (30) 
Trong đó ma trận và được định nghĩa 
bởi công thức (19) (20) và (22). Thay công 
thức (20) vào (30) ta được: 
1Φ (x ) PA RR (I PA) II j
 (31) 
Biểu thức (31) dẫn đến tính chất 
Kronecker’s delta xác định bởi biểu thức (32). 
ij
1 khi 
Φ (x )
0 khi 
I j
i j
i j

 (32) 
Ngoài ra, hàm nội suy MK sở hữu tính 
nhất quán, nghĩa là có thể xây dựng lại bất cứ 
hàm có bậc thấp hơn. Để đơn giản, thuộc tính 
này có thể tóm tắt như sau: Nếu u I đạt được từ 
đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng m nghĩa là 
u P (33) 
trong đó, P được xác định từ công thức 
(22) và là hệ số bất kỳ, thì sự xấp xỉ đó là 
chính xác. Sự xấp xỉ của trường chuyển vị 
như sau: 
(x) p (x) (x)h Tu u (34) 
Đặc biệt, nếu sử dụng hàm (x)p là hàm 
tuyến tính khi xây dựng hàm dạng MK thì tất 
cả hằng số, số hạng tuyến tính có thể xác định 
lại hoàn toàn: 
 1(x) 1, x , x
n n n
I I I I
j j j
x x y y      (35) 
Mặt khác, một trong các yếu tố quan 
trọng đối với phương pháp không lưới là miền 
ảnh hưởng, trong đó bán kính miền ảnh hưởng 
được dùng để xác định số lượng các nút rời 
rạc trong phạm vi miền nội suy đang xét. Bán 
kính miền ảnh hưởng md
 được xác định như 
sau: 
s cd d (36) 
Trong đó là hệ số của miền giá đỡ, 
thông thường nằm trong khoảng từ 2.0 đến 
3.0. Giá trị cd là chiều dài đặc trưng cho 
khoảng cách các nút với điểm đang xét. 
4.2. Các phương trình rời rạc 
32 KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 
Những chuyển vị trong hệ tọa độ tổng 
quát trong mặt phẳng giữa được xấp xỉ theo 
biểu thức (17) trong đó : 
u
T
h h h h h
b su v w w (37) 
Và 
 u
T
I I I bI sIu v w w (38) 
Thay biểu thức (17) vào biểu thức 
(11,a,b,c) nhận được 
0ε B u
n
m
I I
I
  κ = B u
n
b
I I
I
 B u
n
s
I I
I
 γ (39) 
Trong đó: 
,
,
, ,
0 0 0
B 0 0 0
0 0
I x
m
I I y
I y I x


 
,
,
,
0 0 0
B 0 0 0
0 0 0
I xx
b
I I yy
I xy



,
,
0 0 0
B
0 0 0
I xm
I
I y


 (40a,b,c) 
Với bài toán chuyển vị, dạng yếu được 
biểu diễn như sau: 
D D u mT T s Td d ud  
  
   ε ε γ γ (41) 
Trong đó 
0ε
ε
κ
D B
D
B D
m
b
/2
/2
D D ( )
h
s
s
h
z dz
(42a,b,c) 
/2
/2
D D ( )
h
m
m
h
z dz
/2
/2
B D ( )
h
m
h
z z dz
 (43a,b) 
/2
2
/2
D D ( )
h
b
m
h
z z dz
 (44) 
với 
0 1
1 2
m
I I
I I
/2
2
0 1 2
/2
, , 1, ,
h
h
I I I z z z dz 
 (45a,b) 
và 
1
2
u
u =
u
 (46) 
1
1
1
u N u
h
n
h
I I
h h
b s
u
v
w + w
 
 
 
 (47) 
2
2
/
u / N u
0
h
b n
h
b I I
I
w x
w y
  
   
 
 (48) 
1
0 0 0
N 0 0 0
0 0
I
I I
I I


 
,
2
,
0 0 0
N 0 0 0
0 0 0 0
I x
I I y


 (49a,b) 
Thay thế biểu thức (39) và (42a,b,c) vào 
biểu thức (41) bài toán chuyển vị của tấm 
FGM có thể viết lại như sau: 
 2K M d 0 (50)
Trong đó ma trận độ cứng, khối lượng trong hệ tọa độ tổng thể xác định như sau: 
B D B B
K B D B
B B D B
T
m m m
T
s s s
b b b
d d
 
   
     
   
 (51) 
B D B B
K B D B
B B D B
T
m m m
T
s s s
b b b
d d
 
   
     
   
 (52) 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 33 
5. Kết quả số 
Trong phần này, chuyển vị của tấm FGM 
với chỉ số n suy giảm thay đổi cùng với các 
điều kiện biên khác nhau được khảo sát dựa 
trên mô hình phân tích kết hợp giữa lý thuyết 
S-FSD với phương pháp không lưới MKG (S-
FSD-MKG). Lược đồ bậc 2 Gauss 4 4 được 
sử dụng trong phương pháp không lưới MKG 
để tích phân dạng yếu. Điều kiện biên của tấm 
được ký hiệu như sau: gối tựa đơn giản (S), 
ngàm (C), và tự do (F) . Các điều kiện biên 
này được áp đặt thông qua các phương trình 
được đề xuất bởi Shuohui Y và cộng sự 
(2014) như sau: 
(i) Cạnh biên gối tựa đơn: 
0b sb s
w w
v w w
y y
 
 
, tại 0,x a . 
0b sb s
w w
u w w
x x
 
 
, tại 0,y b . 
(ii) Cạnh biên gối tựa ngàm: 
0b b s sb s
w w w w
u v w w
x y x y
   
   
, 
tại 0,x a và 0, .y b 
Bài toán 1: Tấm FGM hình vuông có 
chiều dày tấm 0,01h m được sản xuất từ vật 
liệu 2 3/Al Al O . Thuộc tính vật liệu của Al là:
0.3, 70m mv E GPa , và
32707 /m kg m , 
thuộc tính vật liệu của 2 3Al O là: 0.3cv ,
380cE GPa và
33800 /c kg m . Tấm sử 
dụng số lượng điểm nút là13 13 . Hệ số hiệu 
chỉnh cắt 0.8601sk . Phương pháp không 
lưới MKG sử dụng các thông số: 
3, 3  . 
Kết quả chuyển vị của tấm FGM có số 
liệu như trên với lực tác dụng vào tấm FGM 
là lực phân bố đều có giá trị là 1P . Chuyển 
vị được kiểm chứng trong bài toán là chuyển 
vị của điểm chính giữa tấm và không thứ 
nguyên được định nghĩa như sau: 
3
2 4
100
12 1
m m
m
w E h
w
v PL
. 
Bảng 1 
Chuyển vị không thứ nguyên của tấm FGM so sánh với các phương pháp khác 
Type a h Method 0n 0.5n 1n 2n 
SSSS 5 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.1717 0.2324 0.2719 0.3115 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.1717 0.2324 0.2719 0.3115 
 FSDT - kpRitz (Shuohui) 0.1722 0.2403 0.2811 0.3221 
 FSDT- ES-DSG3 (Shuohui) 0.1703 0.2232 0.2522 0.2827 
 Bài báo 0.1777 0.2402 0.2803 0.3204 
 %(BB/Ritz) 3.18 -0.05 -0.29 -0.52 
 20 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.1440 0.1972 0.2310 0.2628 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.1440 0.1972 0.2310 0.2628 
 Bài báo 0.1507 0.2058 0.2403 0.2728 
 %(LV/ FSDT) 4.65 4.34 4.04 3.81 
 100 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.1423 0.1949 0.2284 0.2597 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.1423 0.1949 0.2284 0.2597 
 Bài báo 0.1490 0.2036 0.2378 0.2698 
 %(BB/ FSDT) 4.69 4.44 4.11 3.88 
SFSF 5 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.5083 0.6918 0.8099 0.9247 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.5089 0.6926 0.8108 0.9258 
34 KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 
 Bài báo 0.4939 0.6717 0.7858 0.8968 
 %(BB/ FSDT) -2.95 -3.01 -3.08 -3.13 
 20 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.4614 0.6319 0.7404 0.8420 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.4615 0.6321 0.7406 0.8422 
 Bài báo 0.4483 0.6135 0.7183 0.8164 
 %(BB/ FSDT) -2.86 -2.94 -3.02 -3.07 
 100 S-FSDT - IGA (Shuohui) 0.4584 0.6281 0.7360 0.8367 
 FSDT - IGA (Shuohui) 0.4584 0.6281 0.7360 0.8367 
 Bài báo 0.4454 0.6098 0.7139 0.8112 
 %(BB/ FSDT) -2.84 -2.91 -3.00 -3.05 
Bài toán 2: Tiếp tục kiểm chứng kết quả chuyển vị của tấm FGM có số liệu như Bài toán 1, hệ 
nút 13 13 , 100a h , hệ số 3 , 3 , hệ số hiệu chỉnh cắt 0.8601.sk Lực tác dụng vào 
tấm là lực phân bố đều có giá trị là 1P . Chuyển vị được kiểm chứng trong bài toán là chuyển 
vị của điểm chính giữa tấm và chuyển vị này không thứ nguyên được định nghĩa như sau:
3
4
10 c mw E hw
PL
 . 
Bảng 2 
Chuyển vị chính giữa tấm FGM có 100a h với các điều kiện biên khác nhau 
Type Method n = 0 n = 0.5 n = 1 n = 2 n = 5 n = 10 
SSSS S-FSDT 0.4438 0.6846 0.8904 1.1411 1.3494 1.4816 
 FSDT 0.4438 0.6847 0.8904 1.1411 1.3494 1.4816 
 Bài báo 0.4648 0.7132 0.9204 1.1696 1.3873 1.5357 
 %(BB/FSDT) 4.73 4.16 3.37 2.50 2.81 3.65 
SFSF S-FSDT 1.4302 2.2062 2.8692 3.6770 4.3483 4.7740 
 FSDT 1.4302 2.2062 2.8693 3.6770 4.3483 4.7740 
 Bài báo 1.3896 2.1405 2.7781 3.5525 4.2042 4.6257 
 %(BB/FSDT) -2.84 -2.98 -3.18 -3.39 -3.31 -3.11 
SCSC S-FSDT 0.2096 0.3232 0.4204 0.5387 0.6372 0.6996 
 FSDT 0.2097 0.3234 0.4205 0.5389 0.6375 0.7000 
 Bài báo 0.2066 0.3158 0.4053 0.5123 0.6088 0.6777 
 %(BB/FSDT) -1.48 -2.35 -3.60 -4.94 -4.50 -3.19 
CCCC S-FSDT 0.1384 0.2135 0.2776 0.3557 0.4208 0.4621 
 FSDT 0.1384 0.2135 0.2776 0.3558 0.4209 0.4622 
 Bài báo 0.1370 0.2104 0.2719 0.3460 0.4103 0.4535 
 %(BB/FSDT) -1.02 -1.46 -2.07 -2.76 -2.53 -1.87 
 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM – SỐ 51 (6) 2016 35 
Bảng 1 và Bảng 2 cho thấy rằng các 
chuyển vị chính giữa của tấm FGM khi được 
so sánh với kết quả của những phương pháp 
khác có độ sai số chấp nhận được (<5%). Sai 
số này xuất phát từ việc áp đặt giá trị các hệ 
số ,  trong phương pháp không lưới MGK. 
Hơn nữa, phương pháp không lưới MGK bản 
chất là một phương pháp nội suy nên không 
trách khỏi vấn đề sai số. 
6. Kết luận 
Bài báo đã đề xuất một mô hình tính toán 
chuyển vị của tấm FGM sử dụng mô hình 
phân tích kết hợp giữa lý thuyết S-FSD với 
phương pháp không lưới MKG (S-FSD-
MKG). Các ví dụ số về tính chuyển vị của 
tấm FGM được thực hiện và thảo luận chi tiết. 
Các yếu tổ ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm 
FGM chẳng hạn như: điều kiện biên, chỉ số độ 
suy giảm n cũng được khảo sát. Kết quả cho 
thấy việc sử dụng mô hình đề xuất mới với số 
ẩn số ít hơn, nhưng vẫn cho kết quả phù hợp 
với những kết quả giải được từ các phương 
pháp số khác. 
Các thông số α=3, θ=3 trong phương 
pháp không lưới MGK được sử dụng khảo sát 
tất cả các trường hợp tính toán trong bài báo 
này và luôn có sai số của giá trị tần số dao 
động thứ nhất <5%. Vì thế khi sử dụng 
phương pháp không lưới MGK với yêu cầu 
tính toán chính xác vừa phải thì việc sử dụng 
giá trị α=3, θ=3 là phù hợp. 
Hình 2. Đường chuyển vị chính giữa của tấm 
FGM với 4 cạnh biên tựa đơn 
Tài liệu tham khảo 
Kirchhoff G (1850). Über das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe. J. Reine und Angewante 
Mathematik (Crelle), 40, 51-88. 
Mindlin R. D. (1951). Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates. J. Appl. 
Mech, 18, 31–38. Reissner E. (1945). The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic 
plates. J. Applied Mechanics, 12, 68-77. 
Reddy J. N. (2000). Analysis of functionally graded plates”, Int.J. Numer. Methods. Eng., 47(1–3), 663–84. 
Reddy J. N. (1984). A simple higher-order theory for laminated composite plates. J. Appl. Mech., 51, 745–52 
Reddy J.N. (2011). A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates. Int. J. Aerosp. Lightweight 
Struct, 1(1), 1–21. 
Pradyumna S., Bandyopadhyay J.N. (2008). Free vibration analysis of functionally graded curved panels using a 
higher-order finite element formulation. J.Sound Vib., 318(1–2), 176–192. 
Neves A. M. A. ,Ferreira A. J. M. ,Carrera E., Cinefra M., Roque C.M.C., Jorge R. M. N. (2013). Static, free 
vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-
order shear deformation theory and a meshless technique. Compos. PartB: Eng., 44(1), 657–674. 
Zenkour A. M. (2006). Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates. 
Appl. Math. Model, 30(1), 67–84. 
Mantari J. L. ,Oktem A. S. ,Guedes Soares C. (2012). A new higher order shear deformation theory for sandwich 
and composite laminated plates. Compos. PartB: Eng., 43(3), 1489–1499. 
Mantari J. L. ,Oktem A. S. , GuedesSoares C. (2012). Bending response of functionally graded plates by using a 
new higher order shear deformation theory. Compos. Struct., 94(2), 714–723. 
36 KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ 
Neves A. M. A., Ferreira A. J. M., Carrera E., Cinefra M., Roque C. M. C., Jorge R. M. N. (2012). A quasi-3D 
hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates. 
Compos. Struct., 94(5), 1814–1825. 
Huffington N.J. (1963). Response of elastic columns to axial pulse loading. A.I.A.A. J., 1(9), 2099–2104. 
Chen X. L. ,Liew K. M. (2004). Buckling of rectangular functionally graded material plates subjected to nonlinearly 
distributed in-plane edge loads. Smart. Mater. Struct., 13(6), 1430-1441. 
Gu L. (2003). Moving Kriging interpolation and element free Galerkin method. Int. J. Num. Meth. Eng., 56, 1–11. 
Tongsuk P., Kanok-Nukulchai W. (2004). Further investigation of element free Galerkin method using moving 
Kriging interpolation. Int. J. Com. Meth., 1, 1–21. 
Shuohui Y., Jack S. H., Tiantang Y.,Tinh Q. B., Stéphane P.A.B. (2014). Isogeometric locking-free plate element: A 
simple first order shear deformation theory for functionally graded plates. Comp. Strut., 118, 121-138.