Một số phương thức rèn luyện cho sinh viên sư phạm Toán kỹ năng biến đổi thông tin khi dạy học các môn Toán sơ cấp

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 68
MỘT SỐ PHƯƠNG THỨC RÈN LUYỆN 
CHO SINH VIÊN SƯ PHẠM TOÁN KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI THÔNG TIN 
KHI DẠY HỌC CÁC MÔN TOÁN SƠ CẤP 
 NGUYỄN CHIẾN THẮNG* 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi phân tích vai trò của các học phần Toán sơ cấp ở 
trường đại học sư phạm, tìm hiểu kỹ năng biến đổi thông tin và đề xuất một số phương 
thức cũng như xây dựng môi trường sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng đó cho sinh viên khi 
dạy học các môn học này. 
ABSTRACT 
Some ways to cultivate the skills of information processing for math teacher students to 
teach elementary mathematics subjects 
In this article, we analyze the role of elementary mathematics units at pedagogical 
university, study the skills of information processing, and propose some ways to cultivate 
them for students to teach these subjects. 
1. Kỹ năng biến đổi thông tin 
Theo [1] thì Bài toán là vấn đề cần được giải đáp bằng suy luận logic và phương 
pháp khoa học. Theo [4] thì phương pháp tư duy khoa học gồm: phép tổng hợp và phép 
phân tích, phép quen thuộc hóa (quy lạ về quen) và phép biến đổi vấn đề. Cũng theo [4] 
thì phép quen thuộc hóa chủ yếu là thông qua liên tưởng so sánh để thực hiện. 
Lại theo [1], Thông tin là mọi yếu tố có thể mang lại sự hiểu biết về một đối 
tượng, một biến cố nào đó. Thông tin là cơ sở của sự trao đổi các tri thức. 
Thông tin được thể hiện theo hai khía cạnh: 
- Khía cạnh ý nghĩa được gọi là nội dung ngữ nghĩa; 
- Khía cạnh cấu trúc được gọi là cú pháp. 
Như vậy, thông tin của bài toán là mọi yếu tố có thể mang lại sự hiểu biết về bài 
toán đó. Thông tin này được thể hiện ở hai khía cạnh: Khía cạnh ngữ nghĩa và khía 
cạnh cú pháp, do đó cần biến đổi thông tin từ hai khía cạnh: nội dung của bài toán và 
cấu trúc logic của bài toán. 
Theo quan điểm của Thuyết phát sinh nhận thức thì hoạt động nhận thức của con 
người liên quan đến việc tổ chức thông tin và thích nghi với môi trường mà người đó 
tri giác nó. Tổ chức thông tin là cách mà thông tin được tổ chức trong đầu óc của con 
người liên quan đến các đối tượng cụ thể, ý tưởng, hoặc hành động. Sơ đồ (nhận thức) 
là những kinh nghiệm mà chủ thể tích lũy được trong mỗi giai đoạn nhất định, bao gồm 
* ThS, Khoa Toán Trường Đại học Vinh 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chiến Thắng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 69
không những một phạm trù kiến thức mà cả quá trình đạt được kiến thức đó. Sự phát 
triển nhận thức gồm ba quá trình cơ bản: đồng hóa, điều ứng và cân bằng. Đồng hóa 
bao gồm sát nhập thông tin mới vào sơ đồ đã có, còn điều ứng bao gồm sự thay đổi của 
sơ đồ để ăn khớp với thông tin mới; như vậy, đồng hóa không làm thay đổi nhận thức 
mà nó chỉ mở rộng cái đã biết còn điều ứng mới giúp chủ thể phát triển nhận thức. Cân 
bằng là tự cân bằng của chủ thể giữa hai quá trình đồng hóa và điều ứng. Khi chủ thể 
tiếp xúc với một thông tin mới, sự cân bằng sẽ bị phá vỡ do các sơ đồ đã có không áp 
dụng được buộc chủ thể phải tiến hành quá trình đồng hóa và điều ứng mới, tạo ra 
trạng thái cân bằng mới - dẫn đến sự thích nghi mới - cao hơn. Học tập là một quá trình 
thích nghi chức năng nhận thức của chủ thể với môi trường nhằm tạo lập những sơ đồ 
nhận thức mới. 
Từ những phân tích trên đây chúng tôi cho rằng: Kỹ năng biến đổi thông tin của 
SV khi học tập các môn Toán sơ cấp là kỹ năng tổ chức thông tin thu nhận được từ 
các bài toán, đồng hóa vào sơ đồ nhận thức đã có và điều ứng sơ đồ đó bằng cách bổ 
sung thông tin nhờ phép liên tưởng và các thao tác trí tuệ nhằm tạo lập sự cân bằng 
để có một sơ đồ nhận thức mới. 
2. Vai trò của các học phần Toán sơ cấp đối với việc rèn luyện kĩ năng biến đổi 
thông tin cho sinh viên sư phạm Toán 
Ở bậc đại học, sinh viên (SV) sư phạm Toán phải nhìn nhận vốn kiến thức Toán 
sơ cấp của mình bằng “con mắt” của người thầy giáo tương lai về môn học đó ở trường 
phổ thông (PT). Do vậy, theo chúng tôi việc dạy học các môn Toán sơ cấp ở bậc đại 
học có các vai trò sau: 
- Giúp SV ôn tập và thông hiểu một cách có phê phán những tài liệu Toán học ở 
trường PT. 
- Bổ sung những kiến thức cần thiết của Toán sơ cấp mà chưa được trình bày trong 
sách giáo khoa. 
- Phát triển thói quen giải các bài tập Toán sơ cấp mà SV đã có được khi học ở 
trường PT. 
- Phát triển tư duy, khả năng suy luận logic, năng lực tự học và có thái độ phê phán 
đối với những điều đọc được từ tài liệu hoặc nghe được từ bài dạy của giảng viên. 
- Giúp SV khai thác mối liên hệ giữa Toán cao cấp và Toán phổ thông. 
- Tích hợp một số phần mềm Toán học nhằm hỗ trợ việc dạy học Toán phổ thông. 
3. Một số phương thức rèn luyện cho SV sư phạm toán kỹ năng biến đổi thông 
tin thông qua dạy học các học phần Toán sơ cấp ở bậc đại học 
Trong mục này, chúng tôi xét khái niệm Bài toán với ng ... hức của bài toán gây khó khăn cho chủ thể 
khi muốn chiếm lĩnh nội dung của nó. Với những bài toán như vậy thì chủ thể cần biến 
đổi hình thức của nó sang dạng khác để dễ dàng tìm lời giải hơn. Do đó, trong dạy học 
các môn Toán sơ cấp, GV cần chú trọng các dạng toán có thể chuyển đổi từ mô hình 
này sang mô hình khác, chẳng hạn như: chuyển từ đại số sang lượng giác và ngược lại, 
chuyển từ làm việc trên mô hình tứ diện sang làm việc trên mô hình hình hộp, chuyển 
từ đại số sang hình học và ngược lại, v.v... Muốn giải quyết các dạng toán đó, SV cần 
nắm được các quy tắc và tính chất của việc chuyển từ mô hình cũ sang mô hình mới, 
chẳng hạn muốn chuyển từ mô hình tứ diện sang mô hình hình hộp SV cần biết quy tắc 
tạo ra các kiểu hình hộp từ tứ diện và nắm được đặc điểm của hình hộp tương ứng với 
đặc điểm của tứ diện. 
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 21 3 1x x x x . 
Thông tin bài toán: Tổng của hai căn thức bậc hai của hai biểu thức x2 - x +1 và 
x2 - x 3 +1. Liên tưởng đến các phương pháp đại số thường dùng ta thấy: Nếu đánh 
giá hai vế bằng bất đẳng thức thì ta chưa có dấu hiệu nào cho thấy sử dụng được bất 
đẳng thức đã biết; nếu phân tích các biểu thức trong căn thành tổng các bình phương để 
đánh giá thì dấu bằng không xảy ra. Nếu liên tưởng đến phương pháp giải tích thì việc 
xét dấu của đạo hàm khá phức tạp. Tóm lại nếu giải bài này bằng phương pháp đại số 
thông thường thì rất khó khăn. Do đó, ta nên biến đổi thông tin từ bài toán sao cho có 
thể chuyển sang mô hình khác để dễ tìm lời giải hơn, ở đây ta thử chọn mô hình hình 
học. Biểu thức có chứa căn nên có thể biến đổi để chuyển về tổng hai độ dài của đoạn 
thẳng và sử dụng bất đẳng thức tam giác. 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chiến Thắng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 73
Biến đổi thông tin: 
x2 – x + 1 = 12 + x2 - 2.1.x. 1
2
= 12 +x2 - 2.1.x.cos60 và 
x2 – x 3 + 1 = 12 + x2 - 2.1.x. 3
2
= 12 + x2 - 2.1.x.cos30. 
Từ đó, ta dựng các điểm A, B, C, O như hình vẽ (hình 1) 
với AOB = 300 và COB = 600, OA=OC=1, OB=x. Khi đó, tam 
giác AOC vuông cân. Theo định lý côsin ta có AB = 2 3 1x x và BC = 
2 1x x . 
Nên P = AB + BC AC = 2 . Vậy P min = 2 khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC 
(hay B trùng M). Khi đó, áp dụng định lí sin trong tam giác OCM ta có: 0
x
sin 45
 = 
0
1
sin 75
 suy ra x=
0
0
sin 45
sin 75
 hay x = 
2
1 3 
 = 3 - 1. 
3.4. Rèn luyện kỹ năng thiết lập mối liên hệ giữa Toán cao cấp và Toán phổ thông 
Việc thiết lập mối liên hệ này giúp SV biết phê phán khi nghiên cứu Chương 
trình, SGK Toán PT đồng thời giúp họ thực hiện tốt vai trò thể chế hóa của người GV 
Toán trong tương lai. 
Có thể rèn luyện cho SV thiết lập mối liên hệ này theo các hướng sau đây: 
- Các khái niệm của Toán cao cấp là công cụ để nhìn nhận Toán phổ thông theo 
quan điểm thống nhất, đầy đủ hơn và sâu sắc hơn. 
Ví dụ: GV yêu cầu SV tìm các thể hiện của khái niệm ánh xạ trong Toán phổ 
thông. Với việc thực hiện nhiệm vụ này, SV sẽ thấy được rằng các phép toán số học, 
khái niệm hàm số, các phép biến hình,  đều có chung một cấu trúc ánh xạ. 
- Sử dụng kiến thức Toán cao cấp để giải thích một số kiến thức khó trong chương 
trình Toán phổ thông, đồng thời chính xác hóa một số kiến thức Toán phổ thông (vì lý 
do sư phạm mà những kiến thức này không được trình bày một cách chặt chẽ, logic). 
Ví dụ: Khi giải các bài toán hình học phổ thông bằng phương pháp tọa độ, trong 
đó giả thiết và kết luận chứa đựng các bất biến afin và các bất biến về lượng, tại sao kết 
quả các bài toán đó không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ? (nhờ đó mà ta cố gắng 
chọn một hệ tọa độ thích hợp với mỗi bài toán để giải sao cho các dữ kiện của bài toán 
dịch sang ngôn ngữ tọa độ đơn giản). 
Để giải thích được hiện tượng đó, SV phải nắm được các bất biến của phép biến 
đổi đẳng cự. Các bất biến afin và bất biến về lượng đều là các bất biến của phép đẳng 
cự. Và hệ tọa độ này có thể biến thành hệ tọa độ khác nhờ một phép biến đổi đẳng cự 
(ứng với ma trận chuyển giữa hai cơ sở đó). Do đó, kết quả bài toán không thay đổi khi 
ta chọn hệ tọa độ này hay hệ tọa độ khác để giải. 
1
1 x
M
B
A
O CHình 1 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 74
Phát biểu bài 
toán đối ngẫu 
Bỏ đường thẳng 
vô tận 
Bỏ đường thẳng vô tận 
Định lí, bài 
toán xạ ảnh 
Các định lí, bài 
toán afin mới 
Định lí, bài toán 
xạ ảnh mới 
Các định lí, bài 
toán afin mới 
Định lí, bài toán afin 
ban đầu 
Bổ sung các điểm vô 
tận 
- Vận dụng kiến thức Toán cao cấp định hướng tìm tòi lời giải cho một số loại 
Toán phổ thông. 
Ví dụ: Các bất biến afin đều thể hiện được qua biểu thức tọa độ trong hệ tọa độ 
afin. Do đó, nếu bài toán chứa hoàn toàn các bất biến afin th́ì có thể sử dụng hệ tọa độ 
afin để giải. 
- Sử dụng kiến thức Toán cao cấp để sáng tạo các bài Toán phổ thông. 
Ví dụ: Trong Chương trình Toán phổ thông có chứa đựng những yếu tố của Hình 
học afin và Hình học xạ ảnh, do đó từ lí thuyết về Hình học xạ ảnh mà SV đã được học 
ở bậc đại học trước đó ta rút ra con đường sáng tạo bài toán phổ thông như sau: 
Xuất phát từ định lí, bài toán afin trong mặt phẳng afin (hình học afin 2 - chiều) 
của Toán phổ thông để tạo ra các định lí, bài toán mới theo hai hướng dưới dạng sơ đồ 
sau đây: 
Chẳng hạn, xét bài toán phẳng: “ Cho hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy 
ba điểm A0, B0, C0. Trên B lấy ba điểm A1, B1, C1. Gọi A2, B2, C2 lần lượt là các giao 
điểm của các cặp đường thẳng B0C1 và B1C0, A0C1 và A1C0, B0A1 và B1A0. Khi đó, A0, 
B0, C0 thẳng hàng ”. 
Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, bài toán trên trở 
thành định lí Papus: 
“Trong P2 cho sáu điểm phân biệt A0, B0, C0, 
A1, B1, C1, trong đó A0, B0, C0 thẳng hàng và A1, 
B1, C1 thẳng hàng. Khi đó ba giao điểm A2, B2, C2 
của các cặp đường thẳng B0C1 và B1C0, A0C1 và 
A1C0, B0A1 và B1A0 thẳng hàng”. (hình 2) 
C0 
O 
B2 A2 
A0 
C1 B1 
A1 
B0 
C2 
Hình 2 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chiến Thắng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 75
Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng A0C0 và A1C1. 
Sau đây ta sẽ tạo ra ba bài toán phẳng mới: 
b1) Chọn đường thẳng đi qua hai điểm C0 và C1 làm đường thẳng vô tận W và xét 
mặt phẳng afin A2= P2\ W. Khi đó, ta có bài toán: “Cho hình bình hành OB0A2B1. Trên 
OB0, OB1 lần lượt lấy hai điểmA0, A1. Dựng hình bình hành OA0B2A1; B0A1 cắt B1A0 
tại C2. Khi đó, ba điểm A2, B2, C2 thẳng hàng”. 
b2) Chọn đường thẳng đi qua các điểm A2, B2, C2 làm đường thẳng vô tận W và 
xét mặt phẳng afin A2= P2\ W. Trong A2 ta có A0B1 // A1B0, A0C1 // A1C0 và B0C1 // 
B1C0. 
Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Trong P2 đường thẳng W đi qua điểm O. Khi đó, trong A2 ta có 
A0C0 // A1C1, tức là A0C0A1C1 là hình bình hành. Vậy ta có bài toán: “Cho hình bình 
hành A0C0A1C1. Gọi B0, B1 là hai điểm lần lượt thuộc A0C0 và A1C1 sao cho A0B1 // 
A1B0. Chứng minh rằng B0C1 // B1C0”. 
Trường hợp 2: Trong P2 đường thẳng W không đi qua điểm O. Khi đó, trong A2 
ta có A0C0 cắt A1C1 tại O. 
Vậy ta có bài toán: “Cho tam giác OA1C0. Trên OC0 lấy hai điểm A0, B0 và trên 
OA1 lấy hai điểm C1, B1 sao cho A0B1 song song với A1B0, A0C1 song song với A1C0. 
Chứng minh rằng B0C1 // B1C0 ”. 
Bài toán đối ngẫu của định lí Papus trong P2: 
“ Trong P2 cho ba đường thẳng a, b, c đi qua một điểm D và ba đường thẳng m, n, 
p đi qua một điểm D’. 
Khi đó, ba đường thẳng sau đây đồng quy tại một điểm O: đường thẳng nối hai 
giao điểm M=an với N = bm, đường thẳng nối hai giao điểm K = ap với L = 
cm, đường thẳng nối hai giao điểm H = bp với I = cn”. 
Sau đây ta sẽ tạo ra hai bài toán phổ thông khác: 
b3) Chọn đường đi qua điểm M làm đường thẳng vô tận W sao cho toàn bộ hệ 
thống đang xét nằm về một phía đối với W. Xét mặt phẳng afin A2 = P2 \ W. Khi đó, 
a//n. Vậy ta có bài toán: “Cho ba đường thẳng a, b, c đi qua một điểm D và ba đường 
thẳng m, n, p đi qua một điểm D’ sao cho a // n. Gọi N = bm, K = ap, L = cm, 
H = bp và I = cn. Gọi O=HIKL. Chứng minh rằng NO // a // n”. 
b4) Chọn đường thẳng MH là đường thẳng vô tận W và xét mặt phẳng afin A2 = 
P2 \ W. Khi đó, a // n và b // p. Vậy ta có bài toán: “ Cho ba đường thẳng a, b, c đi qua 
một điểm D và ba đường thẳng m, n, p đi qua một điểm D’ sao cho a // n và b // p. 
Gọi N = bm, K = ap, L = cm, và I = cn. Gọi d là đường thẳng đi qua I và 
song song với b. Gọi O=dKL. Chứng minh rằng NO // a // n”. 
4. Xây dựng môi trường sư phạm để SV thực hành các phương thức đã đề ra 
Môi trường sư phạm tốt nhất để SV rèn luyện các phương thức đã đề ra là môi 
trường hoạt động nhóm. Vấn đề mà GV đặt ra cho các nhóm phải được lựa chọn kỹ 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 27 năm 2011 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 76
càng với những nhiệm vụ đòi hỏi sự điều ứng sơ đồ nhận thức đã có thông qua các 
phương thức rèn luyện ở trên. Với mỗi bài toán đưa ra, GV cần yêu cầu các nhóm như 
sau: Giải bài toán; trình bày suy nghĩ cách tìm tòi lời giải (tức là nêu cơ sở cho việc 
biến đổi thông tin bài toán); đề xuất hướng tổng quát bài toán (xét mối liên hệ với Toán 
cao cấp); những kết luận rút ra được từ việc giải quyết bài toán này. 
Ví dụ: GV đưa ra các yêu cầu ở trên với một nhóm khi giải bài toán sau: “Chứng 
minh rằng trong một tam giác thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng 
hàng”. 
Có thể lập luận biến đổi thông tin của bài toán theo các hướng khác nhau để tìm 
các phương pháp giải khác nhau, chẳng hạn giải bằng phương pháp tổng hợp, sử dụng 
phép biến hình (bất biến của phép vị tự) hoặc sử dụng vectơ (biến đổi đẳng thức vectơ). 
Ta có thể mô phỏng tiến trình suy nghĩ biến đổi thông 
tin của bài toán này bằng phương pháp tổng hợp theo 
phương thức liên tưởng kết hợp các thao tác trí tuệ (phân 
tích, tổng hợp, so sánh,...) như sau: Gọi G, H, O lần lượt là 
trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC, M là trung điểm của BC. Để chứng minh ba điểm 
thẳng hàng thông thường sử dụng một trong các kết quả về: 
cộng đoạn thẳng, hai góc kề bù, hai góc đối đỉnh, bổ đề 
hình thang, biến hình, véctơ, ... Từ hình vẽ ta đã có A, G, 
M thẳng hàng nên có thể nghĩ đến chứng minh 
 AGH MGO . Để chứng minh hai góc bằng nhau ta có thể nghĩ đến hai tam giác đồng 
dạng, ở đây thích hợp nhất là hai tam giác AGH và MGO vì hai tam giác này chứa hai 
góc đã cho và có một số đặc điểm thuận lợi để chứng minh tính đồng dạng của chúng 
là:  GAH GMO (vì so le trong) và tỉ số AG:GM = 2:1. Như vậy, để chứng minh hai 
tam giác AGH và MGO đồng dạng ta chỉ cần chứng minh tỉ số AH:OM = 2:1. Vì AH 
và OM song song với nhau nên để chứng minh tỉ số đó ta cần chuyển OM thành đường 
trung bình của một tam giác mà có cạnh tương ứng bằng AH. Ta đã có M là trung điểm 
BC rồi nên để OM là đường trung bình chỉ cần tạo ra một cạnh có O là trung điểm, vì 
O là tâm đối xứng của đường tròn ngoại tiếp nên ta lấy D đối xứng với B qua O. Khi đó 
OM là đường trung bình của tam giác BCD. Vấn đề còn lại là chứng minh AH = CD. 
Vì AH song song với CD nên việc chứng minh AH = CD đồng nghĩa với chứng minh 
tứ giác AHCD là hình bình hành. Vì đã có AH song song với CD nên ta chỉ cần chứng 
minh CH song song với AD. Yêu cầu cuối cùng này được thoả mãn vì CH và AD cùng 
vuông góc với AB. (xem Hình 3) 
Đề xuất bài toán tổng quát hơn để thu được kiến thức mới: 
- Liên tưởng đến các kiến thức của môn Hình học cao cấp đã được học ở năm đầu 
bậc đại học (Tam giác và tứ diện là các đơn hình, đường tròn và mặt cầu là các siêu cầu 
trong không gian Euclide, khái niệm trọng tâm của hệ điểm và thẳng hàng là các bất 
biến afin nên cũng là bất biến Euclide) SV có thể phát biểu một bài toán tổng quát cho 
tứ diện. Tuy nhiên, tứ diện thông thường thì chưa chắc có trực tâm nên ta phải xét cho 
D
G
M
H O
A
B
C
Hình 3 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Nguyễn Chiến Thắng 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 77
tứ diện có các đường cao đồng quy là tứ diện trực tâm và ta có bài toán: “Chứng minh 
rằng trong một tứ diện trực tâm thì trực tâm, trọng tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp thẳng 
hàng”. Việc chứng minh bài toán trong tứ diện có thể sử dụng kết quả của bài toán 
phẳng ở trên. 
- Với một sự liên tưởng cao hơn SV có thể đưa ra một bài toán cho không gian n - 
chiều: Trong không gian Euclide n-chiều cho đơn hình n-chiều S(A0A1A2...An) thoả 
mãn hai điều kiện: 
(i) đơn hình (S) có siêu cầu ngoại tiếp với tâm O (điều kiện này luôn thỏa mãn vì 
ta biết rằng n+1 điểm độc lập trong không gian Euclide n-chiều luôn thuộc một siêu 
cầu); 
(ii) các đường thẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với siêu mặt đối diện đồng 
quy tại một điểm H. 
Khi đó, chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng, với G là trọng tâm của hệ n+1 
điểm A0, A1, A2, ..., An. 
Qua dạy học ví dụ này SV cần rút ra được những đặc điểm sau: 
- Bài toán này sau khi đã chứng minh sẽ trở thành công cụ giải các bài toán khác về 
chứng minh thẳng hàng, đó là tiền đề cho sự liên tưởng khi giải các bài toán sau này. 
- Một yếu tố rất quan trọng quyết định hoạt động của người học đó là thu nhận 
thông tin và xử lý thông tin một cách thích hợp. Chẳng hạn, thông tin “ba điểm thẳng 
hàng” đòi hỏi người học phải liên tưởng đến các kiến thức liên quan đến thẳng hàng, 
thông tin “A, G, M thẳng hàng và hai góc AGH , MGO bằng nhau” dẫn đến chọn hai 
tam giác AGH và MGO để chứng minh đồng dạng, v.v... 
- Liên tưởng với những tri thức đã biết kết hợp với các thao tác tư duy (phân tích, 
tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tổng quát hóa) để thu được những kết quả mới. 
5. Kết luận 
Trong quá trình định hướng lời giải bài toán thì việc thu nhận thông tin và xử lý 
thông tin đóng vai trò quan trọng. Hơn nữa, để SV tạo ra được các sơ đồ nhận thức mới 
- bằng chứng của việc học cái mới - họ cần biết sử dụng các thao tác trí tuệ trên lượng 
thông tin đã xử lý, kết hợp với phép liên tưởng. Do đó, thông qua việc dạy học môn 
Toán sơ cấp, GV nên tận dụng mọi cơ hội để rèn luyện cho SV - với vai trò là chủ thể 
của hoạt động học - kỹ năng biến đổi thông tin trên các bài toán - với vai trò là đối 
tượng của hoạt động học - nhằm giúp họ nâng cao kỹ năng nghề nghiệp sau này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Ngô Thúc Lanh (chủ biên), Đoàn Quỳnh, Nguyễn Đình Trí (2000), Từ điển toán học 
thông dụng, Nxb Giáo dục. 
2. Nguyễn Phú Lộc (2008), “Sự “thích nghi” trí tuệ trong quá trình nhận thức theo quan 
điểm của J.Piaget”, Tạp chí Giáo dục, (183), tr. 11-13. 
3. G. Polya (1997), Giải bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục. 
4. Đào Văn Trung (1996), Làm thế nào để học tốt toán phổ thông, Nxb Giáo dục.