Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 4: Biến đổi laplace và các ứng dụng trong phân tích hệ thống thời gian liên tục - Đinh Thị Mai

CHƯƠNG 4: 
BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC ỨNG 
DỤNG TRONG PHÂN TÍCH HỆ 
THỐNG THỜI GIAN LIÊN TỤC 
GV: ThS. Đinh Thị Thái Mai 
• Biến đổi Laplace của tín hiệu. 
• Hàm truyền của hệ thống LTI thời gian liên tục 
• Biến đổi Laplace một phía 
• Phân tích hệ thống 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Biến đổi Laplace 
• Biến đổi Laplace của một tín hiệu liên tục 𝑥𝑥(𝑡𝑡) được định 
nghĩa như sau: 
𝑋𝑋 𝑠𝑠 = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡+∞
−∞
 trong đó, s là một biến phức: 𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗. 
• Biến đổi Laplace ngược: 
 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
∫ 𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝜎𝜎+𝑗𝑗∞𝜎𝜎−𝑗𝑗∞ 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Vùng hội tụ của biến đổi Laplace 
• Vùng hội tụ của biến đổi Laplace là vùng trong không gian s 
sao cho với bất cứ giá trị s nào trong vùng này, biến đổi Laplace 
luôn luôn hội tụ: 
 Ví dụ: 
 ROC của biến đổi Laplace tín hiệu u(t) là một nữa mặt phẳng 
bên phải của mặt phẳng s. 
 ROC của biến đổi Laplace của tín hiệu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = −𝑢𝑢(−𝑡𝑡) là một 
nữa mặt phẳng bên trái của mặt phẳng s. 
• Hai tín hiệu khác nhau có thể có cùng biểu diễn Laplace nhưng 
vùng hội tụ thì phải khác nhau. 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Vùng hội tụ của biến đổi Laplace 
• ROC của biến đổi Laplace chỉ phụ thuộc vào phần thực của s. 
• ROC của biến đổi Laplace không được bao gồm các điểm cực. 
• Nếu một tín hiệu có chiều dài hữu hạn và tồn tại ít nhất một giá 
trị s sao cho biến đổi Laplace của tín hiệu hội tụ, thì ROC của 
biến đổi Laplace là toàn mặt phẳng s. 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Vùng hội tụ của biến đổi Laplace 
• Nếu một tín hiệu phía phải có ROC của biến đổi Laplace chứa 
đường thẳng 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎0, thì ROC chứa toàn bộ phía phải của 𝜎𝜎0 
trong mặt phẳng s. 
• Nếu một tín hiệu phía trái có ROC của biến đổi Laplace chứa 
đường thẳng 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎0, thì ROC chứa toàn bộ phía trái của 𝜎𝜎0 
trong mặt phẳng s. 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Các tính chất của biến đổi Laplace. 
• Tính tuyến tính: 
 ℒ 𝛼𝛼𝑥𝑥1 𝑡𝑡 + 𝛽𝛽𝑥𝑥𝑗(𝑡𝑡) = 𝛼𝛼ℒ 𝑥𝑥1(𝑡𝑡) + 𝛽𝛽ℒ 𝑥𝑥𝑗(𝑡𝑡) . 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 ∩ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋𝑗 𝑠𝑠 . 
• Tính dịch thời gian: 
 ℒ 𝑥𝑥(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0) = 𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠0𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 
• Dịch trong mặt phẳng s: 
 ℒ 𝑒𝑒𝑠𝑠0𝑠𝑠𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑋𝑋(𝑠𝑠 − 𝑠𝑠0) 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 dịch đi một khoảng 𝑠𝑠0. 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Các tính chất của biến đổi Laplace. 
• Thay đổi thang thời gian: 
 ℒ 𝑥𝑥(𝛼𝛼𝑡𝑡) = 1
𝛼𝛼
𝑋𝑋(𝑠𝑠
𝛼𝛼
). 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 được thay đổi với hệ số 𝛼𝛼. 
• Vi phân: 
 ℒ 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)
𝑑𝑑𝑠𝑠
= 𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Các tính chất của biến đổi Laplace. 
• Tích phân: 
 ℒ[∫ 𝑥𝑥(𝜏𝜏)𝑠𝑠−∞ 𝑑𝑑𝜏𝜏]= 1𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠). 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋 𝑠𝑠 ∩ 𝜎𝜎 > 0 . 
• Tích chập: 
 ℒ 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 ∗ 𝑥𝑥𝑗 𝑡𝑡 = 𝑋𝑋1(𝑠𝑠)𝑋𝑋𝑗(𝑠𝑠) 
 với 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋1 𝑠𝑠 ∩ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑋𝑋𝑗 𝑠𝑠 . 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Các tính chất của biến đổi Laplace. 
• Định lý giá trị đầu: Nếu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 là một tín hiệu nhân quả và liên 
tục tại 𝑡𝑡 = 0, thì 
 𝑥𝑥 0 = lim
𝑠𝑠→∞
𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
• Định lý giá trị cuối: Nếu 𝑥𝑥 𝑡𝑡 là một tín hiệu nhân quả và liên 
tục tại 𝑡𝑡 = 0, thì 
 lim
𝑠𝑠→∞
𝑥𝑥 𝑡𝑡 = lim
𝑠𝑠→0
𝑠𝑠𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Tính biến đổi Laplace ngược 
Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản(1) 
• Không mất tính tổng quát, giả sử 𝑋𝑋(𝑠𝑠) được biểu diễn dưới 
dạng một hàm hữu tỷ 𝑁𝑁(𝑠𝑠)/𝐷𝐷(𝑠𝑠) (𝑁𝑁(𝑠𝑠) và 𝐷𝐷 𝑠𝑠 là các đa thức 
và bậc của 𝑁𝑁(𝑠𝑠) thấp hơn bậc của 𝐷𝐷 𝑠𝑠 ). 
• Định nghĩa 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 là các điểm cực của 𝑋𝑋 𝑠𝑠 : 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 là nghiệm của 
phương trình 𝐷𝐷 𝑠𝑠 = 0. 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Tính biến đổi Laplace ngược 
Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản(2) 
• Nếu 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 là khác nhau, thì khai triển phân thức hữu tỷ của 
𝑋𝑋 𝑠𝑠 là: 
 𝑋𝑋 𝑠𝑠 = ∑ 𝐴𝐴𝑘𝑘
𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘
𝑘𝑘 
 trong đó, các hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘 được tính như sau: 
 𝐴𝐴𝑘𝑘 = (𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘) 𝑋𝑋 𝑠𝑠 �𝑠𝑠=𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
Tính biến đổi Laplace ngược 
Khai triển thành các phân thức hữu tỷ đơn giản(3) 
• Trong trường hợp 𝑋𝑋 𝑠𝑠 có các điểm cực lặp, 𝑚𝑚𝑘𝑘 số lần lặp của 
điểm cực 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘, là khác nhau, thì khai triển phân thức hữu tỷ của 
𝑋𝑋 𝑠𝑠 là: 
 𝑋𝑋 𝑠𝑠 = ∑ ∑ 𝐴𝐴𝑘𝑘(𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘)𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑚𝑚=1𝑘𝑘 
 trong đó, các hệ số 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑚𝑚 được tính như sau: 
 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑚𝑚 = 1𝑚𝑚𝑘𝑘−𝑚𝑚 ! 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑘𝑘−𝑚𝑚 𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑘𝑘𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝑑𝑑𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘−𝑚𝑚 �
𝑠𝑠=𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘
4.1 Biến đổi Laplace của tín hiệu 
 Biến đổi Laplace ngược của một số hàm hữu tỷ 
ℒ−1
1
𝑠𝑠 − 𝛼𝛼
= � 𝑒𝑒𝛼𝛼𝑠𝑠𝑢𝑢(𝑡𝑡) (𝜎𝜎 > 𝛼𝛼)
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝑠𝑠𝑢𝑢(−𝑡𝑡) (𝜎𝜎 < 𝛼𝛼) 
 ℒ−1 1(𝑠𝑠−𝛼𝛼)𝑛𝑛 =�
𝑠𝑠𝑛𝑛−1
𝑛𝑛−1 ! 𝑒𝑒𝛼𝛼𝑠𝑠𝑢𝑢(𝑡𝑡) (𝜎𝜎 > 𝛼𝛼)
−
𝑠𝑠𝑛𝑛−1
𝑛𝑛−1 ! 𝑒𝑒𝛼𝛼𝑠𝑠𝑢𝑢(−𝑡𝑡) (𝜎𝜎 < 𝛼𝛼) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
 Định nghĩa hàm truyền 
• Xét một hệ thống LTI liên tục có đáp ứng xung ℎ(𝑡𝑡), tức là: 
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = ℎ 𝑡𝑡 ∗ 𝑥𝑥 𝑡𝑡 
• Thực hiện biến đổi Laplace cả hai phía của phương trình trên 
và áp dụng tính chất tích chập của biến đổi Laplace, ta có: 
𝑌𝑌 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑋𝑋 𝑠𝑠 → 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
• 𝐻𝐻 𝑠𝑠 được gọi là hàm truyền của hệ thống. 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
 Định nghĩa hàm truyền 
• Đáp ứng xung hệ thống có thể được xác định bằng cách thực 
hiện biến đổi Fourier ngược của hàm truyền hệ thống: 
 ℎ 𝑡𝑡 = ℒ−1 𝐻𝐻(𝑠𝑠) = ℒ−1 𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
 Định nghĩa hàm truyền 
• Một hệ thống LTI thường được biểu diễn tổng quát bởi một 
phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: 
�𝑎𝑎𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑖𝑖=0
= �𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑗𝑗𝑀𝑀
𝑗𝑗=0
• Thực hiện biến đổi Laplace cả hai phía của phương trình trên, 
ta có: 
 ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑌𝑌 𝑠𝑠 = ∑ 𝑏𝑏𝑗𝑗𝑠𝑠𝑗𝑗𝑋𝑋(𝑠𝑠)𝑀𝑀𝑗𝑗=0𝑁𝑁𝑖𝑖=0 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
 Định nghĩa hàm truyền 
• Hàm truyền của hệ thống khi đó được tính như sau: 
𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝑌𝑌(𝑠𝑠)
𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ∑ 𝑏𝑏𝑗𝑗𝑠𝑠𝑗𝑗𝑀𝑀𝑗𝑗=0∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑁𝑁𝑖𝑖=0 
• Hàm truyền xác định một hệ thống, và dựa trên nghiệm của 
phương trình vi phân sử dụng biến đổi Laplace và biến đổi 
Laplace ngược: 
 𝑦𝑦 𝑡𝑡 = ℒ−1 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
Hàm truyền của các hệ thống kết nối 
• Kết nối liên tục: 
𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1(𝑠𝑠)𝐻𝐻𝑗(𝑠𝑠) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
Hàm truyền của các hệ thống kết nối 
• Kết nối song song: 
𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 + 𝐻𝐻𝑗(𝑠𝑠) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
Hàm truyền của các hệ thống kết nối 
• Hệ thống với phản hồi âm: 
𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1 𝑠𝑠1 + 𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻𝑗(𝑠𝑠) 
4.2 Hàm truyền của hệ thống LTI liên tục 
Hàm truyền của các hệ thống kết nối 
• Hệ thống với phản hồi dương: 
𝐻𝐻 𝑠𝑠 = 𝐻𝐻1 𝑠𝑠1 −𝐻𝐻1 𝑠𝑠 𝐻𝐻𝑗(𝑠𝑠) 
4.3 Biến đổi Laplace một phía 
Định nghĩa 
• Biến đổi Laplace một phía của một tín hiệu 𝑥𝑥(𝑡𝑡) được định 
nghĩa là: 
𝑋𝑋1 𝑠𝑠 = ℒ1 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡∞
0
• Nếu 𝑥𝑥(𝑡𝑡) là nhân quả: Biến đổi Laplace hai phía và biến đổi 
Laplace một phía là giống nhau. 
4.3 Biến đổi Laplace một phía 
Các tính chất của biến đổi Laplace một phía 
• Hầu hết các tính chất của biến đổi Laplace một phía tương tự 
với biến đổi Laplace hai phía: 
• Điểm khác nhau nằm trong phương trình vi phân: 
ℒ1
𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝑠𝑠𝑋𝑋 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥(0) 
ℒ1
𝑑𝑑𝑗𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑗
= 𝑠𝑠𝑗𝑋𝑋 𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑥𝑥 0 − 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
�
𝑠𝑠=0
• Ứng dụng: giải các phương trình vi phân có điều kiện đầu → 
được áp dụng với các hệ thống nhân quả. 
4.3 Biến đổi Laplace một phía 
Giải các phương trình vi phân tuyến tính. 
• Cho một hệ thống LTI được biểu diễn bằng phương trình vi 
phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: 
�𝑎𝑎𝑖𝑖
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡𝑖𝑖
𝑁𝑁
𝑖𝑖=0
= �𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑗𝑗𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡𝑗𝑗𝑀𝑀
𝑗𝑗=0
• Thực hiện biến đổi Laplace một phía cả hai vế của phương 
trình trên, ta có: 
�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠
𝑖𝑖𝑌𝑌1(𝑠𝑠)𝑁𝑁
𝑖𝑖=0
− 𝐼𝐼 𝑠𝑠 = �𝑏𝑏𝑗𝑗𝑠𝑠𝑗𝑗𝑋𝑋1(𝑠𝑠)𝑀𝑀
𝑗𝑗=0
 trong đó, 𝐼𝐼 𝑠𝑠 được tạo ra từ các điều kiện đầu tại 𝑡𝑡 = 0. 
4.3 Biến đổi Laplace một phía 
Giải các phương trình vi phân tuyến tính. 
• Đáp ứng 𝑦𝑦(𝑡𝑡) của một hệ thống LTI là nghiệm tổng quát của 
một phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, gồm đáp ứng 
khởi đầu và đáp ứng trạng thái 0: 
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦𝑠𝑠(𝑡𝑡) 
• Hoặc: 
𝑌𝑌1 𝑠𝑠 = 𝑌𝑌01 𝑠𝑠 + 𝑌𝑌𝑠𝑠1 𝑠𝑠 
4.3 Biến đổi Laplace một phía 
Giải các phương trình vi phân tuyến tính. 
• Đáp ứng trạng thái 0 với một tín hiệu đầu vào nhân quả (tức là: 
𝑋𝑋1 𝑠𝑠 = 𝑋𝑋(𝑠𝑠)): 
 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑡𝑡 = ℒ−1 ∑ 𝑏𝑏𝑗𝑗𝑠𝑠𝑗𝑗𝑀𝑀𝑗𝑗=0∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑁𝑁𝑖𝑖=0 𝑋𝑋(𝑠𝑠) = ℒ−1 𝐻𝐻 𝑠𝑠 𝑋𝑋(𝑠𝑠) 
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝑦𝑦0 𝑡𝑡 + 𝑦𝑦𝑠𝑠(𝑡𝑡) 
• Đáp ứng khởi đầu: 
𝑦𝑦0 𝑡𝑡 = ℒ−1[ 𝐼𝐼(𝑠𝑠)∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑠𝑠𝑖𝑖𝑁𝑁𝑖𝑖=0 ] 
4.4 Phân tích hệ thống 
Phân tích tính ổn định. 
• Một hệ thống LTI có hàm truyền 𝐻𝐻(𝑠𝑠) với các điểm cực 
𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 → 𝐻𝐻(𝑠𝑠) có thể được biểu diễn ở dạng sau (nếu các điểm 
cực khác nhau): 
 𝐻𝐻 𝑠𝑠 = ∑ 𝐴𝐴𝑘𝑘
𝑠𝑠−𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘
𝑘𝑘 
 Nếu hệ thống là nhân quả, thì đáp ứng xung của nó có dạng: 
ℎ 𝑡𝑡 = ∑ 𝐴𝐴𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘𝑠𝑠𝑢𝑢(𝑡𝑡)𝑘𝑘 
 Nếu hệ thống là phản nhân quả, thì đáp ứng xung của nó có 
dạng: 
ℎ 𝑡𝑡 = −�𝐴𝐴𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘𝑠𝑠𝑢𝑢(−𝑡𝑡 )
𝑘𝑘
4.4 Phân tích hệ thống 
Phân tích tính ổn định. 
• Nếu hệ thống là nhân quả, điều kiện để nó ổn định là: 
∀𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘: lim𝑠𝑠→+∞𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘𝑠𝑠 = 0 → 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 < 0. 
 tức là, tất cả các điểm cực của 𝐻𝐻 𝑠𝑠 phải nằm trên một nữa mặt 
phẳng bên trái của mặt phẳng s. 
• Nếu hệ thống là phản nhân quả, điều kiện để hệ thống ổn định 
là: 
∀𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘: lim𝑠𝑠→+∞𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘𝑠𝑠 = 0 → 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑝𝑝𝑘𝑘 > 0. 
 tức là, tất cả các điểm cực của 𝐻𝐻 𝑠𝑠 phải nằm trên một nữa mặt 
phẳng bên phải của mặt phẳng s. 
4.4 Phân tích hệ thống 
Phân tích tính ổn định. 
• Một phương pháp khác để phân tích tính ổn định của một hệ 
thống nhân quả được biểu diễn bởi hàm truyền: sử dụng tiêu 
chuẩn Routh – Hurwitz. 
 Không cần phải giải phương trình đặc trưng để tìm các 
điểm cực. 
 Một bảng Routh – Hurwitz được tạo ra từ các hệ số của đa 
thức đặc trưng. Bảng này được sử dụng để xác định tính ổn 
định của hệ thống.