Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3, Phần 3: Biểu diễn fourier của tín hiệu và hệ thống LTI - Đinh Thị Mai

CHƯƠNG 3: 
BIỄU DIỄN FOURIER CỦA 
TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI 
3.3. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC 
 • Lấy mẫu tần số. 
• Biến đổi Fourier rời rạc. 
• Định lý lấy mẫu. 
Lấy mẫu phổ Fourier của tín hiệu rời rạc. 
• Phổ Fourier 𝑋(Ω) của một tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu 
kỳ 2π chúng ta chỉ lấy mẫu tín hiệu với một chu kỳ như 
sau: 
𝑋
2𝜋
𝑁
𝑘 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁 𝑘𝑛
∞
𝑛=−∞
 Trong đó, N là số lượng mẫu trong đoạn 0,2𝜋 → chu kỳ lấy 
mẫu là 
2𝜋
𝑁
• Bây giờ, sử dụng 𝑋(𝑘) thay cho 𝑋(
2𝜋
𝑁
𝑘) biểu diễn phổ Fourier 
rời rạc của 𝑥(𝑛). 
Lấy mẫu phổ Fourier của tín hiệu rời rạc. 
• 𝑋(𝑘) được biến đổi như sau: 
𝑋 𝑘 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁 𝑘𝑛
𝑙𝑁+𝑁−1
𝑛=𝑙𝑁
∞
𝑙=−∞
 = 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁)𝑒−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘(𝑛−𝑙𝑁)𝑁−1
𝑛=0
∞
𝑙=−∞ 
 = 𝑥𝑝(𝑛)𝑒
−𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛𝑁−1
𝑛=0 
 Trong đó, 
𝑥𝑝 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁) 
∞
𝑙=−∞
Lấy mẫu phổ Fourier của tín hiệu rời rạc. 
• 𝑥𝑝 𝑛 là một tín hiệu tuần hoàn theo chu kỳ N 𝑥𝑝 𝑛 có 
thể được biểu diễn bằng chuỗi Fourier sau: 
 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑐𝑘𝑒
𝑗
2𝜋
𝑁
𝑘𝑛𝑁−1
𝑘=0 
 trong đó, các hệ số 𝑐𝑘| 𝑘 = 0, ,𝑁 − 1 được tính toán như 
sau: 
𝑐𝑘 =
1
𝑁
 𝑥𝑝(𝑛)𝑒
−𝑗
2𝜋
𝑁 𝑘𝑛
𝑁−1
𝑘=0
→ 𝑐𝑘 =
1
𝑁
X(k) 
Lấy mẫu phổ Fourier của tín hiệu rời rạc. 
• Từ phổ Fourier rời rạc của tín hiệu 𝑥(𝑛), chúng ta khôi phục 
lại tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝 𝑛 như sau: 
 𝑥𝑝 𝑛 =
1
𝑁
 𝑋(𝑘)𝑒𝑗
2𝜋
𝑁 𝑘𝑛
𝑁−1
𝑘=0
• Có thể khôi phục 𝑥 𝑛 từ 𝑋 𝑘 ? 
 Có: Nếu độ dài của 𝑥 𝑛 không lớn hơn N và tất cả 
các giá trị khác không của nó nằm trong đoạn [0, N-
1], do đó: 
𝑥 𝑛 = 
𝑥𝑝 𝑛 (0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁 − 1)
0 𝑛ế𝑢 𝑘ℎá𝑐
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của tín hiệu tuần hoàn rời rạc 
• Tín hiệu tuần hoàn rời rạc 𝑥 𝑛 có năng lượng vô hạn 
không tồn tại biến đổi Fourier liên tục của 𝑥 𝑛 . 
• Do đó, định nghĩa biến đổi Fouirer rời rạc của 𝑥 𝑛 dựa trên 
biểu diễn chuỗi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn rời rạc. 
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của tín hiệu tuần hoàn rời rạc 
• Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) của một tín hiệu 𝑥 𝑛 tuần 
hoàn rời rạc có chu kỳ N được định nghĩa là: 
 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛) = 𝑋 𝑘 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁𝑁−1𝑛=0 
𝑋 𝑘 cũng tuần hoàn với chu kỳ N. 
• DFT ngược được định nghĩa như sau: 
𝑥 𝑛 = 𝐷𝐹𝑇−1 𝑋(𝑘) =
1
𝑁
 𝑋(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁
𝑁−1
𝑘=0
Các tính chất DFT của tín hiệu tuần hoàn 
• Dịch thời gian 
 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛 − 𝑛0) = 𝑋 𝑘 𝑒
−𝑗2𝜋𝑘𝑛0/𝑁 
• Tích chập tuần hoàn của hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ 
N : 
 Định nghĩa: 𝑥1 𝑛 ∗𝑁 𝑥2 𝑛 = 𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑛 − 𝑘)
𝑁−1
𝑘=0 
 Do đó: 
 𝐷𝐹𝑇 𝑥1 𝑛 ∗𝑁 𝑥2 𝑛 = 𝑋1(𝑘)𝑋2(𝑘) 
Các tính chất DFT của tín hiệu tuần hoàn 
• Tương quan của hai tín hiệu tuần hoàn thực có cùng chu kỳ 
tuần hoàn: 
 𝑟𝑥1𝑥2 = 𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑛 − 𝑘)
𝑁−1
𝑘=0 
 Do đó: 
 𝑅𝑥1𝑥2 = 𝑋
∗
1 𝑘 𝑋2 𝑘 = 𝑋1 𝑘 𝑋
∗
2 𝑘 
DFT của tín hiệu có độ dài hữu hạn rời rạc theo thời gian 
• Xét một tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥(𝑛) có độ dài hữu hạn L, 
tạo ra một tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝(𝑛) có chu kỳ 𝑁 ≥ 𝐿 như sau: 
 𝑥𝑝 𝑛 = 𝑥(𝑛 − 𝑙𝑁)
+∞
𝑙=−∞
• Biến đổi Fourier rời rạc có độ dài N của tín hiệu 𝑥(𝑛) được 
định nghĩa là DFT của tín hiệu tuần hoàn 𝑥𝑝(𝑛): 
𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥(𝑛) = 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥𝑝(𝑛) = 𝑥(𝑛)𝑒
−𝑗2𝜋𝑘𝑛/𝑁
𝑁−1
𝑛=0
Các tính chất DFT của tín hiệu có độ dài hữu hạn 
• Dịch vòng: 
𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥(𝑛 − 𝑛0)𝑁 = 𝐷𝐹𝑇 𝑥(𝑛) 𝑒
−𝑗2𝜋𝑘𝑛0/𝑁 
• Tích chập vòng của hai tín hiệu có độ dài hữu hạn: 
 Định nghĩa: 
 𝑥1 𝑛 ⊛𝑁 𝑥2 𝑛 = 𝑥1(𝑘)
𝑁−1
𝑘=0 𝑥2(𝑛 − 𝑘)𝑁 
 Do đó: 
𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥1(𝑛) ⊛𝑁 𝑥2 𝑛 = 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥1(𝑛) 𝐷𝐹𝑇𝑁 𝑥2(𝑛) 
Định lý lấy mẫu: Lấy mẫu tín hiệu có băng tần hữu hạn 
• Xét một tín hiệu năng lượng thời gian liên tục 𝑥 𝑡 → phổ của 
nó là hữu hạn → tồn tại một tần số lớn nhất 𝜔𝑎 trong tín hiệu, 
tức là, ∀ 𝜔 > 𝜔𝑎 : 𝑋 𝜔 = 0. 
• Lấy mẫu tín hiệu 𝑥(𝑡) với tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 để thu được một 
tín hiệu thời gian rời rạc 𝑥(𝑛). Nếu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎, tín hiệu liên 
tục 𝑥 𝑡 có thể được khôi phục chính xác từ tín hiệu rời rạc 
𝑥 𝑛 bằng cách sử dụng công thức sau: 
𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑛)
sin (𝜔𝑎𝑡 − 𝑛𝜋)
𝜔𝑎𝑡 − 𝑛𝜋
+∞
𝑛=−∞
Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon 
• Một tín hiệu băng tần hữu hạn có tần số không lớn hơn băng 
tần 𝜔𝑎 có thể được khôi phục chính xác từ các tín hiệu lấy 
mẫu của nó nếu tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 ≥ 2𝜔𝑎. 
• Tốc độ lấy mẫu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎 được gọi là tốc độ Nyquist 
Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon 
• Nếu 𝜔𝑠 = 2𝜔𝑎: x(n) có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 và dạng 
phổ của nó trong đoạn −𝜋, 𝜋 tương tự với dạng của phổ 𝑥(𝑡) 
trong đoạn −𝜔𝑎, +𝜔𝑎 . 
• Nếu 𝜔𝑠 > 2𝜔𝑎: 𝑥(𝑛) có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 và dạng 
phổ của 𝑥(𝑡) trong đoạn −𝜔𝑎, +𝜔𝑎 được nén vào trong một 
phần nào đó thuộc −𝜋, 𝜋 trong phổ của 𝑥(𝑛). 
Định lý lấy mẫu: Định lý lấy mẫu Shannon 
• Nếu 𝜔𝑠 < 2𝜔𝑎: Xảy ra hiện tượng sai lệch và chồng lấn → 
𝑥 𝑛 có phổ tuần hoàn với chu kỳ 2𝜋 và dạng phổ của nó 
trong −𝜋,+𝜋 được tạo ra bằng cách xếp chồng dạng phổ của 
𝑥(𝑡) trong đoạn −𝜔𝑎, +𝜔𝑎 xung quanh tần số chồng lấn 
(hay còn gọi là tần số Nyquist, bằng một nữa tốc độ lấy mẫu) 
→ việc khôi phục chính xác 𝑥 𝑡 từ 𝑥(𝑛) là không thể 
 Sai lệch: Các tần số khác nhau của 𝑥(𝑡) xuất hiện trong 
cùng một vị trí của phổ 𝑥(𝑛). 
 Chồng lấn: là một dạng đặc biệt của sai lệch trong đó các 
tần số bị xếp chồng lên vị trí của nhau xung quanh tần số 
chồng lấn.