Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 3, Phần 1: Biểu diễn fourier của tín hiệu và hệ thống LTI - Đinh Thị Mai

CHƯƠNG 3: 
BIỂU DIỄN FOURIER CỦA TÍN 
HIỆU VÀ HỆ THỐNG LTI 
GV: ThS. Đinh Thị Thái Mai 
3.1 Hệ thống liên tục 
• Tín hiệu dạng sin và hệ thống LTI 
• Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục 
 tuần hoàn 
• Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
 Tín hiệu dạng sin và hệ LTI 
• Đáp ứng của hệ thống LTI với tín hiệu dạng sin 
• Xem xét một hệ thống LTI có đáp ứng xung h(t) và 
tín hiệu vào x(t)=ejωt. Đáp ứng của hệ thống được tính 
như sau: 
trong đó H(ω) là đáp ứng tần số: 
đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của 
tín hiệu vào dạng sin. 
( )( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( )j t j t j j ty t h t x t h e d e h e d H eω τ ω ωτ ωτ τ τ τ ω
∞ ∞
− −
−∞ −∞
= = = =∫ ∫
( ) ( ) jH h e dωτω τ τ
∞
−
−∞
= ∫
• Tín hiệu ra có cùng tần số với tần số của tín hiệu 
vào dạng sin. 
• Sự thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu ra so với 
tín hiệu vào được đặc trưng bởi đáp ứng tần số H(ω) 
với hai thành phần sau đây: 
được gọi là đáp ứng biên độ và 
được gọi là đáp ứng pha của hệ thống 
2 2( ) Re[ ( )] Im[ ( )]H H Hω ω ω= +
Im[ ( )]( ) a tan
Re[ ( )]
H
H
ωϕ ω
ω
=
Tín hiệu dạng sin và hệ LTI 
• Khi đó ta có thể biểu diễn tín hiệu ra dưới dạng sau 
đây: 
nghĩa là so với tín hiệu vào thì tín hiệu ra có biên độ 
lớn gấp |H(ω)| lần và lệch pha đi một góc là φ(ω) 
( ) [ ( )]( ) ( ) ( )j j t j ty t H e e H eϕ ω ω ω ϕ ωω ω += =
Tín hiệu dạng sin và hệ LTI 
 Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
• Một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T có thể biểu diễn 
được một cách chính xác bởi chuỗi Fourier dưới đây: 
trong đó ω0=2π/T là tần số cơ bản của tín hiệu x(t) 
• Nói cách khác, mọi tín hiệu tuần hoàn đều có thể 
biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu 
dạng sin phức có tần số là một số nguyên lần tần số cơ 
bản 
( ) ojk tk
k
x t c e ω
∞
=−∞
= ∑
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 Điều kiện hội tụ 
• Điều kiện để sai số bình phương trung bình giữa x(t) 
và biểu diễn chuỗi Fourier của x(t) bằng không là x(t) 
phải là tín hiệu công suất, nghĩa là: 
• Điều kiện hội tụ tại mọi điểm (điều kiện Dirichlet): 
• x(t) bị chặn 
• Số điểm cực trị trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn 
• Số điểm không liên tục trong một chu kỳ của x(t) là hữu hạn 
2
0
1 ( )
T
x t dt
T
< ∞∫
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 Biểu diễn đáp ứng của hệ LTI 
• Đáp ứng của một hệ LTI có đáp ứng tần số là H(ω) 
với mỗi thành phần ejkω0t là H(kω0)ejkω0t → đáp ứng 
của hệ thống đó với tín hiệu vào x(t) sẽ biểu diễn được 
như sau: 
0
0( ) ( )
jk t
k
k
y t c H k e ωω
∞
=−∞
= ∑
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Tính trực giao của các thành phần ejkω0t 
• Hai tín hiệu f(t) và g(t) tuần hoàn cùng với chu kỳ T 
được gọi là trực giao nếu điều kiện sau đây được thỏa 
mãn: 
• Hai tín hiệu ejkω0t và ejlω0t với tần số cơ bản ω0 = 2π/T 
trực giao nếu k≠l: 
0 0
0
: 0
T
jk t jl tk l e e dtω ω−∀ ≠ =∫
*
0
( ) ( ) 0
T
f t g t dt =∫
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Tính các hệ số của chuỗi Fourier 
• Các hệ số của chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn 
x(t) được tính bằng cách sử dụng tính chất trực giao 
của các tín hiệu thành phần {ejkω0t } như sau: 
0 0 0 0 0
0
0 0 0
0
( )
1 ( )
T T T
jk t jl t jk t jl t jk t
l l k
l l
T
jk t
k
x t e dt ce e dt c e e dt c T
c x t e dt
T
ω ω ω ω ω
ω
∞ ∞
− − −
=−∞ =−∞
−
= = =
→ =
∑ ∑∫ ∫ ∫
∫
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Các tính chất của biểu diễn chuỗi Fourier 
• Tính tuyến tính: 
• Tính dịch thời gian: 
0 0
0
( ) , ( )
( ) ( ) ( )
jk t jk t
k k
k k
jk t
k k
k
x t c e z t d e
x t z t c d e
ω ω
ωα β α β
∞ ∞
=−∞ =−∞
∞
=−∞
= =
→ + = +
∑ ∑
∑
0
0 0 0
0
( )
( ) ( )
jk t
k
k
jk t jk t
k
k
x t c e
x t t c e e
ω
ω ω
∞
=−∞
∞
−
=−∞
=
→ − =
∑
∑
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Tính đạo hàm: 
• Tính tích phân: 
0 0
0
( )( ) ( )jk t jk tk k
k k
dx tx t c e jk c e
dt
ω ωω
∞ ∞
=−∞ =−∞
= → =∑ ∑
0 0
0
( ) ( )
t
jk t jk tk
k
k k
cx t c e x d e
jk
ω ωτ τ
ω
∞ ∞
=−∞ =−∞−∞
= → =∑ ∑∫
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Công thức Parseval: 
Giá trị |ck|2 có thể coi như đại diện cho công suất của 
tín hiệu thành phần ejkω0t trong tín hiệu x(t) → hàm 
biểu diễn giá trị |ck|2 theo tần số ωk = kωk (k Є Z) cho 
ta biết phân bố công suất của tín hiệu x(t) và được gọi 
là phổ mật độ công suất của x(t). 
Chú ý: phổ mật độ công suất của tín hiệu tuần hoàn là 
một hàm theo tần số rời rạc 
22
0
1 ( )
T
k
k
x t dt c
T
∞
=−∞
= ∑∫
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Tính đối xứng: với tín hiệu tuần hoàn x(t) có biểu 
diễn chuỗi Fourier 
thì phổ mật độ công suất của x(t) là một hàm chẵn, 
nghĩa là: . Ngoài ra: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: 
: k kk c c−∀ = −
0( ) jk tk
k
x t c e ω
∞
=−∞
= ∑
*: k kk c c−∀ =
: k kk c c−∀ =
2 2: k kk c c−∀ =
Biểu diễn chuỗi Fourier của tín hiệu liên tục tuần hoàn 
 • Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier 
• Vì ω0 →0 nên ω = kω0 là một biến liên tục, ta có thể 
viết lại các biểu thức ở phần trước như sau: 
trong đó, c(ω) là một hàm theo tần số liên tục và được 
xác định như sau: 
( )
0
0
0
/
0
0
/
lim ( )
2
j tc x t e dt
π ω
ω
ω
π ω
ωω
π
−
→
−
= ∫
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
0 00 00 0
1 ( )( ) lim ( ) limj t j tcx t c e d e dω ω
ω ω
ωω ω ω
ω ω
∞ ∞
→ →
−∞ −∞
= = =∫ ∫
 • Biến đổi Fourier 
• Đặt X(ω) = 2πc(ω)/ω0, chúng ta có được công thức 
của biến đổi Fourier của tín hiệu x(t): 
• Công thức của biến đổi Fourier nghịch: 
1 1( ) [X( )]= ( )
2
j tx t F X e dωω ω ω
π
∞
−
−∞
= ∫
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
( ) [ ( )] ( ) j tX F x t x t e dtωω
∞
−
−∞
= = ∫
 • Cách biểu diễn khác của biến đổi Fourier của tín hiệu 
x(t), với biến số f thay cho tần số góc ω: 
• Công thức của biến đổi Fourier nghịch tương đương 
1 2( ) [X( )]= ( ) j ftx t F f X f e dfπ
∞
−
−∞
= ∫
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
2( ) [ ( )] ( ) j ftX f F x t x t e dtπ
∞
−
−∞
= = ∫
 • Hàm X(ω) được gọi là phổ (Fourier) của tín hiệu x(t) 
theo tần số 
• Hàm biểu diễn 
được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(t) theo tần số 
• Hàm 
được gọi là phổ pha của tín hiệu x(t) theo tần số 
Im[ ( )]( ) arctan
Re[ ( )]
X
X
ωϕ ω
ω
 
=  
 
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
2 2( ) Re[ ( )] Im[ ( )]X X Xω ω ω= +
• Điều kiện hội tụ 
• Điều kiện để các biến đổi Fourier thuận và nghịch 
của tín hiệu x(t) tồn tại là x(t) phải là tín hiệu năng 
lượng, nghĩa là: 
• Điều kiện để tín hiệu khôi phục từ biến đổi Fourier 
của tín hiệu x(t) hội tụ về x(t) tại mọi thời điểm, ngoại 
trừ tại các điểm không liên tục (Điều kiện Dirichlet): 
• 
• Số điểm cực trị của x(t) là hữu hạn 
• Số điểm không liên tục của x(t) là hữu hạn 
( )x t dt
∞
−∞
< ∞∫
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
2( )x t dt
∞
−∞
< ∞∫
 • Các tính chất của biến đổi Fourier 
• Tính tuyến tính: 
• Dịch thời gian 
• Dịch tần số 
0
0[ ( )] ( )
j tF x t t X e ωω −− =
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )F x t x t X Xα β α ω β ω+ = +
[ ( ) ] ( )j tF x t e Xγ ω γ= −
 • Co giãn trục thời gian: 
• Đạo hàm 
• Tích phân 
( )[ ] ( )dx tF j X
dt
ω ω=
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
1[ ( )] ( )
| |
F x at X
a a
ω
=
( )( )
t XF x d
j
ωτ τ
ω−∞
 
= 
 
∫
 • Biến đổi Fourier của tích chập: 
• Biến đổi Fourier của tích thường (điều chế) 
1[ ( ) ( )] ( )* ( )
2
F f t g t F Gω ω
π
=
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
[ ( )* ( )] ( ) ( )F f t g t F Gω ω=
 • Công thức Parseval: 
Giá trị |X(ω)|2 có thể coi như đại diện cho năng lượng 
của tín hiệu thành phần ejωt trong tín hiệu x(t) → hàm 
biểu diễn |X(ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố 
năng lượng của tín hiệu x(t) và được gọi là phổ mật độ 
năng lượng của x(t). 
Chú ý: phổ mật độ năng lượng của tín hiệu không tuần 
hoàn là một hàm theo tần số liên tục 
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
2 21( ) ( )
2
x t dt X dω ω
π
∞ ∞
−∞ −∞
=∫ ∫
• Tính đối xứng: 
• Phổ mật độ năng lượng của x(t) là một hàm chẵn, nghĩa là: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và chẵn: X(ω) cũng là hàm chẵn, 
nghĩa là: 
• Nếu x(t) là tín hiệu thực và lẻ: X(ω) cũng là hàm lẻ, nghĩa là: 
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
2 2: ( ) ( )X Xω ω ω∀ = −
*: ( ) ( )X Xω ω ω∀ = −
: ( ) ( )X Xω ω ω∀ = −
( ) : ( ) ( )X Xω ω ω∀ = − −
• Tính đối ngẫu: nếu X(ω) là biến đổi Fourier của tín 
hiệu x(t) thì: [ ( )] 2 ( )F X t xπ ω= −
• Chu kỳ hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định nghĩa 
như sau: 
• Băng thông hiệu dụng của tín hiệu x(t) được định 
nghĩa là: 
• Tích của băng thông với thời gian của bất kỳ tín hiệu 
nào là bị chặn dưới: TdBω≥1/2 
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn 
1/2
22
2
( )
( )
d
t x t dt
T
x t dt
∞
−∞
∞
−∞
 
 
 =
 
 
 
∫
∫
1/2
22
2
( )
( )
X d
B
X d
ω
ω ω ω
ω ω
∞
−∞
∞
−∞
 
 
 =
 
 
 
∫
∫
• Tần số cộng hưởng và băng thông hệ thống 
• Tần số cộng hưởng ωr của một hệ thống có đáp ứng 
tần số H(ω) là tần số tại đó |H(ω)| là cực đại. 
• Để xác định ωr, giải phương trình d|H(ω)|/dω=0 
• Giá trị |H(ωr)| được gọi là đỉnh cộng hưởng của hệ thống 
• Băng thông tần số của hệ thống là dải tần số trong đó 
độ suy giảm của hệ thống là không lớn hơn 1/√2 (băng 
thông 3-dB) 
Biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn