Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Chương 2, Phần 2: Phân tích hệ thống trong miền thời gian - Đinh Thị Mai

2.2 Hệ thống rời rạc 
• Phương trình sai phân của hệ thống LTI rời rạc 
• Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• Mô hình của hệ thống LTI rời rạc có thể thu được 
bằng cách rời rạc hóa hệ thống liên tục 
• Phiên bản rời rạc của phương trình vi phân được gọi 
là phương trình sai phân 
• Ví dụ: một hệ thống liên tục được miêu tả bằng phương trình 
sau: 
• Sử dụng xấp xỉ 
Chúng ta thu được phương trình sai phân của hệ thống rời rạc với 
chu kỳ lấy mẫu T như sau: 
( )
( ) ( )
dy t
ay t bx t
dt
( ) ( ) ( )dy nT y nT y nT T
dt T
(1 ) [ ] [ 1] [ ]aT y n y n bTx n 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• Hệ thống LTI rời rạc có thể được biểu diễn bằng các 
phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng 
• Dạng chung của phương trình sai phân tuyến tính hệ 
số hằng là: 
trong đó: x[n] là tín hiệu vào, y[n] là tín hiệu ra 
• Giải phương trình sai phân ở trên, tìm tín hiệu lối ra 
y[n] khi biết tín hiệu lối vào x[n] 
0 0
[ ] [ ]
N M
i j
i j
a y n i b x n j
  
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• Nghiệm chung của phương trình sai phân tuyến tính 
hệ số hằng có dạng sau: 
y0[n]: đáp ứng ban đầu hay đáp ứng tự nhiên, được 
xác định từ phương trình thuần nhất sau: 
ys[n]: đáp ứng ở trạng thái 0 hay đáp ứng cưỡng bức là 
nghiệm đặc biệt của phương trình với tín hiệu lối vào 
x[n] 
0
[ ] [ ] [ ]
s
y n y n y n 
0
[ ] 0
N
i
i
a y n i
  (1) 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• y0[n] là đáp ứng của hệ thống với các điều kiện ban 
đầu (n=0) và không có tín hiệu lối vào 
• Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dưới dạng zn 
trong đó z là biến phức, thay y[n] trong phương trình 
(1) thu được 
Đây còn gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống 
0
0
N
N i
i
i
a z
  (2) 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• Giả sử nghiệm của phương trình (2) là 
{zk|k=1N}, dạng chung của phương trình thuần nhất 
(1) khi đó có dạng sau nếu các nghiệm là đơn phân 
biệt: 
Giá trị của hệ số ck được xác định từ các điều kiện ban 
đầu. 
0
1
[ ]
N
n
k k
k
y n c z
 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• Trường hợp phương trình (2) có các nghiệm bội thì 
dạng chung của phương trình thuần nhất sẽ là: 
Trong đó mỗi nghiệm zk sẽ lặp lại pk lần. 
1
0
0
[ ]
kp
n i
k k
k i
y n c z n
 
 Phương trình sai phân của hệ LTI rời rạc 
• ys[n] là đáp ứng của hệ thống với tín hiệu lối vào 
x[n] khi tất cả cac điều kiện ban đầu bằng 0. 
• ys[n] còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương 
trình sai phân tuyến tính biểu diễn hệ thống 
• Để xác định ys[n], thông thường giả thiết ys[n] có 
dạng tương tự tín hiệu vào x[n] với một vài hệ số chưa 
biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệ 
số. 
 Phương trình vi phân của hệ thống LTI 
• Chú ý khi giả thiết dạng của ys[n]: ys[n] phải độc 
lập với tất cả các thành phần của y0[n] 
• Ví dụ: nếu x[n]=αn, ta có thể gặp một số trường hợp 
như sau: 
• Nếu αn không phải là một thành phần của y0[n], ta có thể 
giả thiết ys[n] có dạng cα
n 
• Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) 
→ αn là một thành phần của y0[n]→ys[n] phải có dạng cnα
n 
• Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng 
(2) → αn, → nαn ,, →np-1αn là các thành phần của 
y0[n]→ys[n] phải có dạng cn
pαn 
 Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
• Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu rời rạc f[n] và 
g[n], ký hiệu là f[n]*g[n], được định nghĩa như sau: 
[ ]* [ ] ( ) ( )
k
f n g n f k g n k
 
 Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
• Các tính chất của tích chập: 
• Tính giao hoán: 
 f[n]*g[n]=g[n]*f[n] 
• Tính kết hợp: 
 {f[n]*g[n]}*h[n]=f[n]*{g[n]*h[n]} 
• Tính phân phối: 
 {f[n]+g[n] }*h[n]=f[n]*h[n]+g[n]*h[n] 
 Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
• Tính dịch thời gian: nếu x[n]=f[n]*g[n] thì 
 x[n-n0] = f[n-n0] *g[n] = f[n]* g[n-n0] 
• Tính nhân chập với tín hiệu xung đơn vị 
 f[n]*δ[n]=f[n] 
• Tính nhân quả: nếu f[n] và g[n] là các tín hiệu nhân quả 
thì f[n]*g[n] cũng là tín hiệu nhân quả 
 Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
• Đáp ứng xung của hệ LTI rời rạc: 
• Cho một hệ thống LTI được biểu diễn bằng mối quan hệ 
y[n]= T{x[n]}. Ta có thể biến đổi biễu diễn đó như sau: 
trong đó h[n] = T{δ[n]} được gọi là đáp ứng xung của hệ 
LTI rời rạc biểu diễn bởi T 
[ ] {x[ ]* [ ]}= ( ) ( )
( ) { [ ]} [ ]* [ ]
k
k
y n n n x k n k
x k n k x n h n
 



Τ T
T
 Biểu diễn hệ thống bằng đáp ứng xung 
• Phân tích đáp ứng xung của hệ LTI rời rạc: 
• Hệ thống tĩnh: đáp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại 
n=0 
• Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung là tín hiệu nhân quả 
• Hệ thống ổn đinh: khi và chỉ khi điều kiện sau đây đối với 
đáp ứng xung được thỏa mãn: 
| [ ] |
k
h n
 
 Biến trạng thái của hệ thống LTI rời rạc 
• Gọi {u1[n], u2[n],,} là các tín hiệu vào, {y1[n], 
y2[n],,} là các biến ra và {q1[n], q2[n],,} là các 
biến trạng thái của hệ LTI rời rạc. 
• Phương trình trạng thái của hệ thống được biểu diễn 
bằng: 
• Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và 
các tín hiệu vào như sau: 
ij ik
[ 1] a [ ] [ ] ( 1,2,...)
i j k
j k
q n q n b u n i  
ij ik
[ ] [ ] [ ] ( 1,2...)
i j k
j k
y n c q n d u n i  
 Biến trạng thái của hệ thống 
• Mô hình trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất 
biến rời rạc thường được biểu diễn dưới dạng ma trận 
như sau: 
trong đó: u[n], y[n], q[n] là vecto cột với các phần tử 
lần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến 
trạng thái của hệ thống. A,B,C,D là các ma trận hệ số 
[n+1] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
n n
n n n
q Aq Bu
y Cq Du
 Biến trạng thái của hệ thống 
• Mô hình trạng thái của một hệ thống LTI rời rạc có 
thể suy ra được từ mô hình biến trạng thái của hệ LTI 
liên tục. Ví dụ với phương trình của hệ thống liên tục: 
rời rạc phương trình trên với thời gian lấy mẫu T và 
xấp xỉ 
Chúng ta thu được mô hình rời rạc: 
( ) ( ) ( )d nT nT T nT
dt T
q q q
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
d t
t t
dt
t t t
q
Aq Bu
y Cq Du
[n+1] ( ) [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
T I n T n
n n n
q A q Bu
y Cq Du
 Biến trạng thái của hệ thống 
• Thiết lập phương trình trạng thái từ phương trình sai 
phân biểu diễn hệ thống LTI rời rạc sau đây: 
• Đặt uj[n] = x[n-j] (j=0M) là các tín hiệu vào của hệ 
thống và viết lại phương trình trên dưới dạng: 
0 0
[ ] [ ]
N M
i j
i j
a y n i b x n j
  
0 0
[ ] [ ]
N M
i j j
i j
a y n i b u n
  
 Biến trạng thái của hệ thống 
• Chọn các biến trạng thái như sau: 
• Các phương trình trạng thái 
1 2
[ ] [n-N], [ ] [ 1],..., [ ] [ 1]
N
q n y q n y n N q n y n 
1 2 2 3 1
1
0 00
[ 1] [ ], [ 1] [ ],..., [ 1] [ ]
1
[ 1] [ ]- [ ]
N N
N M
N i N i j j
i j
q n q n q n q n q n q n
q n aq n b u n
a
  
 
 
 