Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Bài 9: Tiêu chuẩn ổn định Nyquist - Đỗ Tú Anh

Lý thuyết Điều khiển tự động 1
Tiêu chuẩn
ổn định
Nyquist
ThS. Đỗ Tú Anh
Bộ môn Điều khiển tự động
Khoa Điện, Trường ĐHBK HN
9-1
Tiêu chuẩn Michailov
Mục đích
Sử dụng để khảo sát tính ổn định của một hệ thống dựa trên cơ sở dạng đồ thị
của ( ) ( ) .
s j
A j A s ωω ==
Xét đa thức hệ số thực 20 1 2( )
nA s a a s a s s= + + + +"
có các nghiệm là sk, k=1,2, ..., n. 
Khi đó
1 2
1 2
 ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ).
n
n
A s s s s s s s
A j j s j s j sω ω ω ω
= − − −
⇔ = − − −
"
"
Gọi arc ( )A jϕ ω= là góc pha của A(jω) thì
1
arc ( ) arc( )
k
n
k
k
A j j s
ϕ
ϕ ω ω
=
= = −∑	
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-2
Tiêu chuẩn Michailov (tiếp)
Xét góc quay của φk khi cho ω chạy từ ,−∞→ +∞
ký hiệu arc ( ),k kj sωϕ ω−∞≤ ≤∞∆ = ∆ − ta thấy
Giả thiết A(s) không có nghiệm nào nằm trên trục ảo, số nghiệm nằm bên phải trục
ảo là n+ thì số nghiệm nằm bên trái trục ảo sẽ là n-n+ , ta có
arc ( ) ( ) ,A j n n nω ω π π+ +−∞≤ ≤∞∆ = − −Suy ra
⇔ , 1, 2,ks k n∀ =  đều nằm bên trái trục ảo
Hệ ổn định khi và chỉ khi với sự thay đổi của ω từ đến−∞ +∞ đường
đồ thị A(jω) bao gốc tọa độ một góc đúng bằng .nπ
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-3
Tiêu chuẩn Michailov (tiếp)
Do tính đối xứng của đồ thị qua trục thực, ta có
Hệ ổn định
Ví
dụ
Đồ thị A(jω) đi qua 3 góc phần tư
của mặt phẳng phức theo chiều
kim đồng hồ, tức là bao gốc tọa
độ một góc đúng bằng 3π /2.
→ Hệ ổn định
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-4
Tiêu chuẩn Nyquist
Mục đích
Tiêu chuẩn Nyquist được sử dụng để xét tính ổn định của một hệ kín dựa
trên đường đồ thị Nyquist của hệ hở.
Ý nghĩa ứng dụng
• Đặc tính tần số của hệ hở có thể dựng được dễ dàng trên cơ sở đặc tính tần số
của từng khâu trong HT hoặc có thể xác định được bằng thực nghiệm
• T/c Nyquist cho phép xét tính ổn định của hệ có thời gian trễ
• Đồ thị Nyquist không những cho phép kiểm tra một hệ kín có ổn định hay 
không mà còn cho biết hệ ổn định ntn, ổn định có bền vững hay không (gần
hay xa với biên giới ổn định)
• Đồ thị Nyquist không những có ý nghĩa trong việc khảo sát tính ổn định mà
còn hỗ trợ thiết kế ĐK rất trực quan và tiện lợi
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-5
Tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Xét hệ điều khiển phản hồi
• Hàm truyền đạt hệ kín
• Hàm truyền đạt hệ hở
• Hàm sai lệch phản hồi
Gh(s)
trong đó c là hằng số. Ta có
Giả sử
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-6
Tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Định lý 9.1
vẽ dưới
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-7
Tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Đường cong Nyquist
Là đường cong khép kín N bao gồm trục ảo và nửa
đường tròn có bán kính bằng ∞ phía phải trục ảo, 
trong đó khi đi trên trục ảo, mỗi khi gặp một
nghiệm của A(s), thì nó được thay bằng nửa đường
tròn có bán kính đủ nhỏ bao phía trái điểm đó.
→N chứa tất cả các nghiệm không nằm bên trái
trục ảo của A(s)
Ký hiệu
Ta có
N
(9.1)
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-8
Tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
(9.1)
NNN
(9.2)
Vì nghiệm của F(s), tức là nghiệm của A(s) + B(s) = 0
cũng chính là điểm cực của hệ kín, nên theo định lý 9.1, để hệ kín ổn định
thì cần và đủ là
N
(9.3)
Từ (9.1)-(9.3), ta có
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-9
Tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Đường đồ thị Nyquist
Là đường quỹ đạo của Gh(s) khi s chạy dọc trên N, ký hiệu là Gh(N)
T/c Nyquist
Trường hợp hệ hở ổn định
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-10
Ứng dụng của tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Xét hệ phản hồi âm có hàm truyền của hệ hở
( ) , , 0
(1 )h
kG s k T
s Ts
= >+
Đường cong Nyquist gồm ba đoạn
• N1 nằm trên trục ảo có ω đi từ -∞ tới -0
• N2 là nửa đường tròn phía trái trục ảo, có
bán kính vô cùng nhỏ và tâm là gốc tọa độ
• N3 nằm trên trục ảo có ω đi từ +0 tới +∞
N1
N3
N2
N
-a
jω
σ
Ví
dụ
1
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-11
Ứng dụng của tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Đồ thị Nyquist Gh(N) cũng gồm ba nhánh
• Gh(N1) là đường cong phía trên
trục thực, có đường tiệm cận
ReGh=-kT khi ω tiến tới -0 
• Gh(N2) là phần đường tròn phía
trái đường tiệm cận ReGh=-kT với
tâm 0 và bán kính bằng ∞
• Gh(N3) là đường cong phía dưới
trục thực, có đường tiệm cận
ReGh=-kT khi ω tiến tới +0 
ReGh(N)-kT
0ω = −
0ω = +
ω = −∞
ω = +∞
ImGh(N)
2
k
a Ta− +
-1
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-12
Ứng dụng của tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Ví
dụ
2 Hệ số khuếch đại K
có ảnh hưởng lớn
đến tính ổn định của
hệ thống
Xét hệ kín có hàm truyền đạt hệ hở
• Khi
→ hệ kín ổn định
• Khi 2
→ hệ kín ở biên
giới ổn định
→ hệ kín không
ổn định
• Khi
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện
9-13
Đường đặc tính tần của một số khâu động họcỨng dụng của tiêu chuẩn Nyquist (tiếp)
Xét hệ kín có hàm truyền đạt hệ hở
Xét sự ảnh hưởng
của hệ số khuếch
đại K tới tính ổn
định của hệ kín ???
Ví
dụ
3
Lý thuyết ĐKTĐ 1 Bộ môn ĐKTĐ-Khoa Điện