Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Bài 5: Tính ổn định của hệ thống. Sai lệch tĩnh của hệ kín - Đỗ Tú Anh

Lý thuyết ðiều khiển tự ñộng 1
ThS. ðỗ Tú Anh
Bộ môn ðiều khiển tự ñộng
Khoa ðiện, Trường ðHBK HN
Sai lệch tĩnh 
của hệ kín
Tính ổn ñịnh 
của hệ thống
Các ñịnh nghĩa về Ổn ñịnh
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
• Ồn ñịnh Lyapunov
Một hệ thống ñược gọi là ổn ñịnh Lyapunov tại ñiểm cân bằng xe nếu sau khi 
có một tác ñộng tức thời ñánh bật hệ ra khỏi ñiểm cân bằng xe thì sau ñó hệ
có khả năng tự quay về ñược lân cận ñiểm cân bằng xe ban ñầu. Nếu hệ
không những tự quay về ñược lân cận xe mà còn tiến tới xe thì hệ ñgl ổn ñịnh 
tiệm cận Lyapunov tại xe
• Ồn ñịnh BIBO (Bounded Input Bounded Output)
Một hệ thống ñược gọi là ổn ñịnh nếu khi kích thích hệ bằng tín hiệu u(t) bị
chặn ở ñầu vào thì hệ sẽ có ñáp ứng y(t) ở ñầu ra cũng bị chặn (tất cả các 
ñiểm cực của hệ ñều nằm ở nửa bên trái mặt phẳng phức s).
• Biên giới ổn ñịnh (Marginal stability)
Một hệ thống ñgl ở biên giới ổn ñịnh nếu có một số ñiểm cực nằm trên 
trục ảo và các ñiểm cực còn lại nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng phức s.
(ðiểm cân bằng là ñiểm mà hệ thống sẽ nằm nguyên tại ñó khi không có tác 
ñộng từ bên ngoài.)
5-1
Các ñịnh nghĩa về Ổn ñịnh
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
5-2
Phân tích tính ổn ñịnh
• ðể kiểm tra tính ổn ñịnh của một hệ LTI, ta chỉ cần kiểm tra 
các ñiểm cực của hệ, cũng chính là các nghiệm của ña thức 
ñặc tính.
1
1 1 0( ) n nn nA s a s a s a s a−−= + + + +⋯
Hệ sẽ ổn ñịnh nếu A(s) có tất cả các nghiệm ñều nằm bên trái 
trục ảo (có phần thực âm và khác 0).
• Một số phương pháp (ñại số) kiểm tra dấu các nghiệm của A(s)
mà không cần giải tìm nghiệm của nó: tiêu chuẩn Routh, tiêu 
chuẩn Hurwitz, tiêu chuẩn Lienard-Chipart.
• Một số phương pháp (hình học) ñánh giá ổn ñịnh: tiêu chuẩn 
Michailov, tiêu chuẩn Nyquist, tiêu chuẩn Kharitonov.
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
5-3
• Là phương pháp ñại số thuận tiện ñể kiểm tra tính ổn ñịnh 
BIBO của hệ thống.
• ðiều kiện cần là tất cả các hệ số của ña thức 
 ñặc tính A(s) phải cùng dấu và khác 0. 
• ðối với ñiều kiện cần và ñủ, ñầu tiên phải thành lập bảng 
Routh
0 1, , na a a
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh
5-4
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh-Hurwitz
1
1 1 0( ) n nn nA s a s a s a s a−−= + + + +⋯
trong ñó
1 2 3
1
1
1 4 5
2
1
,
,
n n n n
n
n n n n
n
a a a ab
a
a a a ab
a
− − −
−
− − −
−
−
=
−
=
5-5
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
• Tương tự, các phần tử của hàng thứ 
 4 ñược tính toán dựa trên hai hàng 
 ngay trước nó.
1 3 1 2
1
1
1 5 1 3
2
1
,
.
n n
n n
b a a b
c
b
b a a b
c
b
− −
− −
−
=
−
=
• Các phần tử ở các hàng tiếp theo ñược tính toán một cách 
 tương tự.
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh
5-6
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Routh
Các ñiều kiện cần và ñủ là:
• Nếu tất cả các phần tử trong cột ñầu tiên của bảng Routh ñều 
cùng dấu và khác 0 thì tất cả các nghiệm của ña thức ñặc tính 
A(s) ñều có phần thực âm.
• Số lần ñổi dấu trong cột ñầu tiên bằng số các nghiệm của A(s)
có phần thực dương.
2 3 10 
1 5 0 
-7 10 
6.63 0 
10 
4 3 2( ) 2 3 5 10A s s s s s= + + + +
Từ bảng Routh ta thấy các phần tử
trong cột ñầu tiên ñổi dấu 2 lần 

 ña thức ñặc tính có hai nghiệm có
phần thực dương.

 hệ không ổn ñịnh.
Ví d
ụ
5-7
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Hurwitz
1
1 1 0( ) n nn nA s a s a s a s a−−= + + + +⋯
D1 D2 D3 D4 DnCác ñiều kiện cần và ñủ là:
• Nếu tất cả các ñịnh thức Hurwitz 
Di (i=1,2, , n) ñều cùng dấu và
khác 0 thì tất cả các nghiệm của ña 
thức ñặc tính A(s) ñều có phần thực 
âm.
• Số lần ñổi dấu trong dãy
bằng số các nghiệm của A(s) có phần 
thực dương.
32
0 1
1 2 1
, , , , ,
n
n
D DD
a D
D D D
−
5-8
Ví d
ụ
Tiêu chuẩn ổn ñịnh Hurwitz
Tìm ñiều kiện cho tham số k ñể hệ với hàm truyền ñạt sau 
ñược ổn ñịnh
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
5-9
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín
• Hệ số khuếch ñại tĩnh của một hàm truyền nhận ñược từ việc 
áp dụng ñịnh lý giá trị cuối cho ñáp ứng bước nhảy
• Xét sai lệch tĩnh của một hệ thống 
kín
lim ( )ss te e t→∞=
5-10
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín
• Áp dụng ñịnh lý giá trị cuối
• Xét sai lệch tĩnh cho các trường 
hợp tín hiệu vào khác nhau, giả thiết 
H(s)=1
• Nếu H(s) không bằng 1, sai lệch 
tĩnh là sai lệch ñiều khiển, không 
phải sai lệch ñầu ra
5-11
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín
a) Với tín hiệu vào bước nhảy
Sai lệch phần trăm sai lệch
Tín hiệu vào 
bước nhảy 
r(t)=A 
R(s)=A/s
b) Với tín hiệu vào dốc
Tín hiệu vào dốc
r(t)=At 
R(s)=A/s2
5-12
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín
c) Với tín hiệu vào parabol
Tín hiệu vào 
parabol 
r(t)=At2
R(s)=2A/s3
Trong tất cả các trường hợp:
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín không những phụ thuộc dạng tín 
hiệu ñầu vào mà còn phụ thuộc vào cấu trúc của hệ
sai lệch
5-13
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Phân loại cấu trúc hệ thống
• Dạng tổng quát của hàm truyền ñạt (dưới dạng ñiểm không-ñiểm cực)
• Loại cấu trúc hệ thống phụ thuộc vào số ñiểm cực nằm tại gốc tọa ñộ (hay số
các thành phần tích phân)
• Với i = 0, 1, 2 
 loại 0, 1, 2
• Với i = 0, HSKð tĩnh của G(s) là
• Với i = 1 trở lên, và
5-14
Lý thuyết ðKTð 1 Bộ môn ðKTð-Khoa ðiện
Sai lệch tĩnh của hệ thống kín
Loại cấu trúc hệ thống và sai lệch tĩnh
5-15