Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng

Giới thiệu

cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng.

 ĐK tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương

pháp biến phân (Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass, )

 Từ những năm 1950, ĐK tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở

thành một lĩnh vực độc lập.

 Phương pháp quy hoạch động do Richard Bellman đưa

ra t th rong thập niê 1950 n1950.

 Nguyên lý cực tiểu Pontryagin do Lev Pontryagin và

các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950.

 Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc

Kalman do Rudolf Kalman đưa ra trong những

năm1960.

Phân loại bài toán điều khiển tối ưu

 n u o n u n ưu, y eo:

 Loại đối tượng điều khiển

 Miền thời gian liên tục hay rời rạc

 Chỉ tiêu chất lượng

 Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không

 ĐK tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời

gian

 ĐK tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian

 Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear

Quadractic Regulator – LQR)

 Bài toán điều khiển tối ưu H2

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 1

Trang 1

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 2

Trang 2

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 3

Trang 3

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 4

Trang 4

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 5

Trang 5

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 6

Trang 6

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 7

Trang 7

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 8

Trang 8

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 9

Trang 9

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng trang 10

Trang 10

Tải về để xem bản đầy đủ

pdf 142 trang baonam 12900
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng

Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao - Chương 3: Điều khiển tối ưu - Huỳnh Thái Hoàng
Môn học
LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO
Giả iê PGS TS H ỳ h Thái H àng v n: . . u n o ng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP HCM .
Email: hthoang@hcmut.edu.vn
Homepage: 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 1
Chương 3
Ề Ể ỐĐI U KHI N T I ƯU
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 2
 Giới thiệu
Nội dung chương 3
 Tối ưu hóa tĩnh
 Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân 
 Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến 
phân
 Phương pháp qui hoạch động Bellman
 Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR 
Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman)
 Điều khiển tối ưu LQG 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 3
GIỚI THIỆU
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 4
 Điều khiển tối ưu : xác định luật ĐK cho hệ thống động
Giới thiệu
cho trước sao cho tối thiểu hóa một chỉ tiêu chất lượng. 
 ĐK tối ưu được phát triển trên cơ sở toán học: phương 
pháp biến phân (Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass,)
 Từ những năm 1950, ĐK tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở 
thành một lĩnh vực độc lập. 
Phương pháp quy hoạch động do Richard Bellman đưa 
t thậ iê 1950ra rong p n n .
Nguyên lý cực tiểu Pontryagin do Lev Pontryagin và 
các đồng sự đưa ra trong thập niên 1950 . 
Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc 
Kalman do Rudolf Kalman đưa ra trong những 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 5
năm1960. 
Có hiề bài t á điề khiể tối tù th
Phân loại bài toán điều khiển tối ưu
 n u o n u n ưu, y eo: 
Loại đối tượng điều khiển
Miền thời gian liên tục hay rời rạc 
Chỉ tiêu chất lượng
Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không
 ĐK tối ưu tĩnh: chỉ tiêu chất lượng không phụ thuộc thời 
gian
 ĐK tối ưu động: chỉ tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian
Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear 
Quadractic Regulator LQR) –
Bài toán điều khiển tối ưu H2

15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 6
 Trước khi máy tính số ra đời chỉ có thể giải được
Ứng dụng
 , 
một số ít bài toán điều khiển tối ưu đơn giản
 Máy tính số ra đời cho phép ứng dụng lý thuyết điều 
khiển tối ưu vào nhiều bài toán phức tạp.
 Ngày nay, điều khiển tối ưu được ứng dụng trong 
ềnhi u lĩnh vực:
Không gian (aerospace)
Điều khiển quá trình (proccess control) 
Robot
Kỹ thuật sinh học (bioengineering) 
Kinh tế
Tài chính
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 7

Ố Ó ĨT I ƯU H A T NH
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 8
 Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông
Tối ưu hóa tĩnh không ràng buộc
số thực (hay phức) u1, u2,, um sao cho hàm
L( ) đ t tiểu1, u2,, um ạ cực u:
L(u)=L(u1, u2,, um) min
đó [ ]Ttrong u= u1, u2,, um
 Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu cục bộ nếu 
L(u) L(u*) với mọi u nằm trong lân cận  của u*. 
 Điểm u* được gọi là điểm cực tiểu toàn cục nếu 
L(u) L(u*) với mọi u
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 9
 Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u thì điều kiện cần và
Điều kiện cực trị không ràng buộc
 , 
đủ để u* là điểm cực tiểu cục bộ là:
 0)( *uL
 0)( *uuu
u
L
 trong đó:
   uL
uL
LL 2
1
 

m
u
uL
u
  
 
m
uu
uuLuuLuuL
LL
1
2
21
2
11
2
2
2


u
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 10
  mmmm uuLuuLuuL 22212 
Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1
 Tìm cực trị hàm: 22 38225)( uuuuuuL u 212121
 Giải:
 Điều kiện cần có cực trị:
01 



 
 L
u
L
LLu 
 08210 21 uu 
 7222.0*
*
1u 
2 u
u
 Xét vi phân bậc hai:
 0342 21 uu 3889.02u




21
2
2
1
2
uu
L
u
L
L 
210
L 0 L 
 


 
2
2
2
21
2
u
L
uu
Luu 
42uu uu
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 11
 là điểm cực tiểu.)3889.0;7222.0(),( *2*1 uu
Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ 1
)38890;72220(*u
250
.. 
150
200
100L
0
50
-4
-2
0
2
4
-6-4
-20
24
6
-50
u1u
u*
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 12
2
 Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số
Tối ưu hóa tĩnh có ràng buộc
u sao cho hàm L(x,u) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa 
điều kiện f(x u)=0 ,
L(x,u) min
f(x u)=0,
trong đó x=[x1, x2,, xn]T 
u=[u u u ]T1, 2,, m
   mnL :
pmnf  điề kiệ à b ộ
: hàm đánh giá
 : : u n r ng u c
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 13
Hàm Hamilton
 Định nghĩa hàm Hamilton: 
),(),(),( uxfuxux TLH  
trong đó là vector hằng số gọi là thừa số Larrangep 
Do ràng buộc f(x,u) = 0 nên cực tiểu của L(x,u) cũng 
hí h là tiể ủ H( )
 , 
 Biến đổi bài toán tìm cực tiểu hàm L(x,u) với ràng buộc 
ể
c n cực u c a x,u .
f(x,u) = 0 thành bài toán tìm cực ti u không ràng buộc 
hàm Hamilton H(x,u)
 Vi phân hàm Hamilton:
uuxxuxux dHdHdH   ),(),()(
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 14
ux ,
Thừa số Lagrange
 Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự do chọn 
thừa số Lagrange sao cho:
)()()(  uxfuxux LH 0,,,),(    xxxux
T
xH 
1),(),( 



 
x
uxf
x
uxLT
  1 xxT L fViết gọn lại:
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 15
Độ dốc của hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc
 V ...  điều khiển
 to n t ra t m t n u u n u u c n t ng t 
trạng thái đầu bất kỳ về trạng thái cuối x(N) = 0 sao cho 
tối thiểu chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương: 
0)0( xx 
  
1
0
)()()()(
2
1)()(
2
1)(
N
k
TTT kkkkNNJ RuuQxxMxxu
trong đó Q và M là các ma trận trọng số bán xác định dương
R là ma trận trọng số xác định dương
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 103
Lời giải bài toán LQR rời rạc
Tí hiệ điề khiể tối )()()(* kkk K n u u n ưu: xu 
  dTddTd kkk APBRBPBK )1()1()( 1 trong đó:
và P(k) là nghiệm bán xác định dương của phương trình Ricatti:
 QAPBRBPBBPPAP dTddTddTd kkkkk )1()1()1()1()( 1
MP )(N
 Nghiệm phương trình Ricatti rời rạc: lần lượt thay 0)1( Nk 
vao phương trình Ricatti sẽ tìm được P(k) 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 104
Bài toán LQR rời rạc thời gian vô hạn 
 Đối tượng tuyến tính mô tả bởi phương trình trạng thái rời rạc: 
 Chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương trong đó thời điểm cuối N= :
)()()1( kkk dd uBxAx 
 , 
  
0
)()()()(
2
1)(
k
TT kkkkJ RuuQxxu
 Tín hiệu điều khiển tối ưu: )()(* kk Kxu 
t đó   TT PABRPBBK 1 rong :
và P là nghiệm bán xác định dương của phương trình đại số Ricatti:
dddd 
 1
 Chú ý: trong trường hợp này K và P là không phụ thuộc k
QAPBRBPBPBPAP dTddTddTd
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 105
 Giá trị cực tiểu của chỉ tiêu chất lượng: )0()0(min PxxTJ 
Lời giải bài toán LQR thời gian vô hạn dùng Matlab 
 Nghiệm phương trình đại số Ricatti liên tục (continuous algebraic 
Ricatti equation – care)
>> P=care(A,B,Q,R)
 Lời giải bài toán LQR (Linear quadratic Regulator – LQR) liên tục 
>> K=lqr(A,B,Q,R)
hi h ì h đ i ố i i ời (di l b i i i Ng ệm p ương tr n ạ s R catt r rạc screte a ge ra c R catt 
equation – dare)
>> P=dare(A B Q R), , ,
 Lời giải bài toán LQR (Linear quadratic Regulator – LQR) rời rạc 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 106
>> K=dlqr(A,B,Q,R)
BỘ LỌC KALMAN 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 107
é h ế í h li
Lọc Kalman liên tục
 )()()()( ttutt wBAxx X t ệ tuy n t n ên tục: )()()( tvtxty C
Trong đó: w(t) là nhiễu hệ thống; v(t) là nhiễu đo lường . 
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không 
tương quan, có trung bình bằng 0 và phương sai là: 
N
TE Qww ][ NTvvE R ][
 )](ˆ)([)]()(ˆ[)(ˆ ttttt LBA
Trong đó L là độ lợi của bộ lọc Kalman:
)(ˆ)(ˆ txty
yyu
C
xx Bộ lọc Kalman liên tục: 
1 NRCL T
với  là nghiệm của phương trình Ricatti:
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 109
01 NNTT QCRCAA 
Sơ đồ khối bộ lọc Kalman liên tục
( )u(t) y t)()()( tutt BAxx  x(t) C
+
CB 
L
)(ˆ tx
+
++ )(ˆ ty
A
)(ˆ)(ˆ
))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ tytytutt
C
LBxAx Bộ lọc Kalman: tty x
1 NRCL TTrong đó:
15 January 2014 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 110
01 NNTT QCRCAA 
Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ 1
 Cho hệ tuyến tính bậc 2 mô tả bởi PTTT: 
)()()(
)()()()(
tvtxty
ttutt
C
wBAxx
 21
10A 
 1
0B  01 CTrong đó:
ầ ế ế ố
 1.00
02.0][ N
TE Qww 01.0][ NTvvE R
 Yêu c u: Thi t k bộ lọc Kalman ước lượng trạng thái của hệ th ng 
trên từ tín hiệu đo y(t).
 Giải:
 Bộ ước lượng trạng thái:
)(ˆ)(ˆ
))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ
tty
tytytutt
xC
LBxAx
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 111
1 NRCL T
Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ 1
 Trong đó  là nghiệm của phương trình đại số Ricatti: 
01  CRCQAA NN TT
 1.00
02.0
21
10
21
10
32
21
32
21
pp
pp
pp
pp
11 pppp   001
01.00 32
21
32
21 pppp
 0202 ppppp 1.00
.
222 323
212
3221
32
ppppppp
0100 21
2
1 ppp
010021002.02 21213
2
12 ppppppp
2
221 ppp
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 112
1.0421002 223221213
 pppppppp 
Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ 1
 0100202 2pp (1)
01.042
01002
.
2
232
21213
12
ppp
ppppp (2)
(3)
01.0104400 2121
2
2 ppppp(2) &(3) (4)
0104)10400)(1050()1050( 222 pppp(1) &(4) 
 04410p
... 1111 
009.136490200002500 1
2
1
3
1
4
1 pppp 
0262.0
00279.0
.
3
2
1
p
p 
 0262.000279.0
00279.00441.0 
 Độ lợi bộ lọc Kalman: 1 NRCL T
1100279004410 409.4L
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 113
01.000262.000279.0
..
 L 279.0 
ếLọc Kalman rời rạc
 )()()()1( kkukk wBxAx Xét hệ tuy n tính rời rạc: )()()( kvkxky d
dd
C
Trong đó: w(k) là nhiễu hệ thống; v(k) là nhiễu đo lường. 
Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không 
tương quan, có trung bình bằng 0 và phương sai là: 
T
NE Qww ][ NTvvE R ][
 Bộ lọc Kalman rời rạc: 
 )]1(ˆ)1([)]()(ˆ[)1(ˆ kkkkk LBA
Trong đó L là độ lợi của bộ lọc Kalman:
)(ˆ)(ˆ kxky
yyu
d
kdd
C
xx
với  là nghiệm của phương trình Ricatti:
 1)()()( NTddTdd kkk RCCCAL 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 114
T
ddN
T
ddN
T
dd kkkk ACRCAQAA )()()()1(
1  
Sơ đồ khối bộ lọc Kalman rời rạc
u(t) ( )y t
)()()1( kukk ddd BxAx 
x(t)
+
dC
1 z
)(ˆ tx
+
++dB dC
L
)(ˆ ty
dA
)(ˆ)(ˆ
)]1(ˆ)1([)]()(ˆ[)1(ˆ
kxky
kykykukk kdd
C
LBxAx Bộ lọc Kalman: d
Trong đó: 1)()()( NTddTdd kkk RCCCAL 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 115
T
ddN
T
ddN
T
dd kkkk ACRCAQAA )()()()1(
1  
Lời giải bộ lọc Kalman dùng Matlab
 Lời giải bộ lọc Kalman liên tục: 
L l (A G C QN RN) %G ậ đ ị>> = qe , , , , ma tr n ơn v
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 116
BỘ ĐIỀU KHIỂN LQG
(Linear Quadratic Gaussian)
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 117
 Xét hệ tuyến tính liên tục bị tác động bởi nhiễu Gauss:
Bài toán điều khiển LQG (Linear Quadratic Gaussian)
)()()(
)()()()(
tvtxty
ttutt
C
wBAxx
Trong đó: w(t) là nhiễu hệ thống; v(t) là nhiễu đo lường. Giả sử 
nhiễu không tương quan, có trung bình bằng 0 và phương sai là: 
T Q][ TNE ww NvvE R ][
 Bài toán đặt ra là tìm tín hiệu điều khiển u(t) điều chỉnh hệ thống từ 
trạng thái đầu bất kỳ về trạng thái cuối x(t ) = 0 sao cho)0( xx f 
tối thiểu chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương: 
0
   1  0 )()()()(2)( dtttttEJ TT RuuQxxu
t đó Q là á t ậ t ố bá á đị h dươ
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 118
rong c c ma r n rọng s n x c n ng
R là ma trận trọng số xác định dương
Nguyên lý tách rời
 Nguyên lý tách rời: Bài toán tối ưu LQG có thể giải bằng cách giải 
riêng bài toán điều khiển tối ưu tiền định và bài toán ước lượng trạng 
thái tối ưu.
LQG = LQR + Lọc Kalman 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 119
Lời giải bài toán điều khiển LQG
 Tín hiệu điều khiển tối ưu LQR: 
)(ˆ)(* tt xKu 
PBRK T1 với độ lợi hồi tiếp trạng thái: 
01 PBPBRQPAPA TT
trong đó P là nghiệm bán xác định dương của pt đại số Ricatti:
 Bộ lọc Kalman:
)(ˆ)(ˆ
)](ˆ)([)]()(ˆ[)(ˆ
txty
tytytutt
C
LBxAx
trong đó  là nghiệm bán xác định dương của pt đại số Ricatti:
1 NRCL Tvới độ lợi ước lượng:
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 120
01 NNTT QCRCAA 
Sơ đồ khối bộ điều khiển LQG liên tục
u(t) y(t)x(t)r(t)
)()()( tutt BAxx  C
L + 
C )(ˆ tyB 
)(ˆ tx+
++
A
K
 
 Bộ lọc Kalman Bộ điều khiển LQR
)(ˆ)(* K
)(ˆ)(ˆ
))(ˆ)(()()(ˆ)(ˆ
tty
tytytutt
xC
LBxAx
1 RCL T
tt xu 
PBRK T1 
01 PBPBRQPAPA TT
15 January 2014 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 121
 N
01 NNTT QCRCAA 
THÍ DỤ THIẾT KẾ 
Ề Ể ỐĐI U KHI N T I ƯU
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 122
Đối tượng điều khiển: hệ con lắc ngược
 Thông số hệ con lắc ngược 
M =1.0 kg: troïng löôïng xe
m=0.1kg : troïng löôïng con laéc
à él = 1.0 m: chieu daøi con lac
u : löïc taùc ñoäng vaøo xe [N]
g : gia toác troïng tröôøng [m/s2]
x : vò trí xe [m]
 : goùc giöõa con laéc vaø phöông 
thaúng ñöùng [rad] 
 Mô hình toán hệ con lắc ngược
2
2)(cos
sincos)(sin


mmM
mgmlux 
 
mlgmMu )sin(cos)(sin)(cos  
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 123
lmMml )()(cos 2 
PTTT phi tuyến của hệ con lắc ngược
 Đặt các biến trạng thái xxxxxx   4321 ,,,
 Phương trình trạng thái phi tuyến
2
21111
2
1
)()(cos
)sin(cos)(sin)(cos
lmMxml
xxxmlxgmMxu
x
x
x


 11
2
21
4
1
3
2
sincos)(sin xxmgxxmlu
x
x
x


 214 )(cos xmmM
 Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển giữ cân bằng con lắc quanh vị 
trí thẳng đứng
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 124
PTTT tuyến tính của hệ con lắc ngược
 PTTT tuyến tính hóa quanh điểm cân bằng thẳng đứng (góc 
lệch  nhỏ hơn 100)
xMx 1
00010
11
uMl
x
xgMl
m
x
x
1
01000
000
3
2
3
2


M
xg
M
m
x 000 44
 Thay cụ thể thông số của hệ con lắc ngược: 
x
x
x
x
1
0
0007810
0010
2
1
2
1


u
x
x
x
x 
 1
0
00098.0
1000
.
4
3
4
3


15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 125
BA
  
Thiết kế bộ điều khiển LQR
 Giả thiết: 
 Đặc tính động của hệ con lắc ngược có thể được mô tả
bởi hệ phương trình biến trạng thái tuyến tính. Điều này
hỉ đú khi ó lệ h  hỏc ng g c c n .
 Hệ thống phản hồi trạng thái đầy đủ, nghĩa là có thể đo
được 4 biến trạng thái (góc lệch , vận tốc góc, vị trí xe x,
vận tốc xe )
 Không có nhiễu tác động vào hệ thống.
Thiết kế dù M tl b ng a a :
 >> K = lqr(A,B,Q,R)
 Tùy theo độ lớn tương đối giữa trọng số Q và R mà hệ 
thống có đáp ứng quá độ và năng lượng tiêu tốn khác nhau.
 Muốn trạng thái đáp ứng nhanh tăng thành phần Q tương 
ứng
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 126
 Muốn giảm năng lượng tăng R
Mô phỏng điều khiển LQR hệ con lắc ngược
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 127
Kết quả mô phỏng điều khiển LQR hệ con lắc ngược
0
0001 0
.5
[
r
a
d
]
,
[
r
a
d
/
s
] 


1000
0100
0010
Q
0 1 2 3 4 5 6
-0.5
0.5
1
m
/
s
]
x
x
1 R 0 1 2 3 4 5 6-0.5
0
[
m
]
,
[
m
10
-5
0
5
[
N
]
 u
Gó lệ h lắ
]410920001700910362034[ . . . .= K
0 1 2 3 4 5 6
Time [s]
c c con c 
được giữ cân bằng 
tốt, tuy nhiên vị trí xe 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 128
dao động khá lớn
0Kết quả mô phỏng điều khiển LQR hệ con lắc ngược
-0.5
0
.5
[
r
a
d
]
,
[
r
a
d
/
s
] 
0001


0 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
m
/
s
]
1000
010000
0010
Q
x
x
0 1 2 3 4 5 6
-1
0
[
m
]
,
[
m
20
1 R
-10
0
10
[
N
]
 u
Tăng trọng số q33
(tương ứng với vị trí 
0 1 2 3 4 5 6
Time [s]
]05141100010109122135670[ . . . .= K
xe) vị trí xe ít dao 
động hơn, tuy nhiên 
năng lượng tiêu tốn
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 129
tăng lên
Kết quả mô phỏng điều khiển LQR hệ con lắc ngược
-0.5
0
0.5
[
r
a
d
]
,
[
r
a
d
/
s
] 
0001


0 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
m
/
s
]
1000
010000
0010
Q
x
x
0 1 2 3 4 5 6
-1
0
[
m
]
,
[
m
20
1 R
10
0
10
[
N
]
 u
Khuyết điểm của bộ 
điều khiển LQR là 
0 1 2 3 4 5 6
-
Time [s]
]05141100010109122135670[ . . . .= K
nếu có nhiễu đo 
lường thì chất lượng 
điều khiển bị ảnh
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 130
hưởng đáng kể
Thiết kế bộ điều khiển LQG
 Giả thiết: 
 Hệ thống hoạt động trong miền tuyến tính
 Giả sử chỉ đo được góc lệch và vị trí xe
 Có nhiễu tác động vào hệ thống. Nhiễu đo vị trí xe có
phương sai là 0.01; nhiễu đo góc lệch con lắc có phương
sai 0 001.
 Dùng lọc Kalman để ước lượng trạng thái và lọc nhiễu
ế ế Thi t k dùng Matlab:
 >> K = lqr(A,B,Q,R)
 >> L = lqe(A,G,C,QN,RN) %G là ma trận đơn vị
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 131
Thiết kế bộ điều khiển LQG
 Bộ điều khiển LQR
 0010
0001
Q
 1000
010000 ]05141100010109122135670[ . . . .= K 
1 R
 Bộ lọc Kalman
1470057130
1876.05437.21
0571.05617.6
L
IQ 000001.0 N
 00010 
0271.09568.1
.. 
01.00
.
NR
(Do ta giả sử không có nhiễu hệ thống nên chọn Q rất bé Hai
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 132
 N . 
thành phần của RN chính là phương sai của nhiễu đo lường)
Mô phỏng điều khiển LQG hệ con lắc ngược
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 133
Kết quả mô phỏng điều khiển LQG hệ con lắc ngược
1 
-2
-1
0
[
r
a
d
]
,
[
r
a
d
/
s
] 
 
0 1 2 3 4 5 6
0
2
]
,
[
m
/
s
]
x
x
0 1 2 3 4 5 6
-2
[
m
10
 u
0 1 2 3 4 5 6
-10
0
[
N
]
Time [s]
Bộ lọc Kalman ước lượng trạng thái và lọc nhiễu, nhờ vậy mà 
đáp ứng của hệ thống điều khiển LQG tốt hơn LQR trong
15 January 2014 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 134
trường hợp hệ thống có nhiễu
MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 135
Nghiệm của phương trình vi phân bậc 1
 Phương trình vi phân bậc 1 đồng nhất : 0)()( taxtx 
 Nghiệm tổng quát: atCetx )(
 Hằng số C được xác định dựa vào điều kiện biên. 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 136
Nghiệm của phương trình vi phân bậc 1 (tt)
 Phương trình vi phân bậc 1 không đồng nhất : 
btaxtx )()(
b
 Nghiệm tổng quát: 
ằ ố ề
a
Cetx at )(
 H ng s C được xác định dựa vào đi u kiện biên. 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 137
Nghiệm của phương trình vi phân bậc 1 (tt)
 Phương trình vi phân bậc 1 không đồng nhất : 
)()()()( tqtxtptx 
 Nghiệm tổng quát: 
)(
)()(
)(
t
Cdttqt
tx 
 
 dttpet )()(
 Hằng số C được xác định dựa vào điều kiện biên
trong đó: 
 . 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 138
Nghiệm của phương trình vi phân bậc 2
 Phương trình vi phân bậc 2 đồng nhất : 0)()()( tcxtxbtxa  
 Nghiệm tổng quát: 
 Trường hợp 1: 042 acb
tptp eCeCtx 21 21)( 
với )2/()(2,1 abp 
ptpt teCeCtx 21)( 
 Trường hợp 2: 042 acb
với )2/( abp 
 Trường hợp 3: 042 acb
teCteCtx tt  cossin)( 21 
Với và )2/( ab )2/( a 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 139
 Hằng số C1 và C2 được xác định dựa vào điều kiện biên. 
Nghiệm của phương trình vi phân bậc 2
 Phương trình vi phân bậc 2 không đồng nhất : 
dtcxtxbtxa )()()( 
d Nghiệm tổng quát: 
c
zx 
trong đó z(t) là nghiệm của phương trình vi phân đồng nhất: 
0)()()( tcztzbtza 
 Hằng số C1 và C2 được xác định dựa vào điều kiện biên. 
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 140
Nghiệm của phương trình trạng thái
 Phương trình vi phân bậc 1: )()()( tutt BAxx  
trong đó: nTtxtxtxt  x )]()()([)(
Điều kiện đầu: 00 )( xx t
nn
n
  A
,...,, 21
 Nghiệm :   t dtttt )()()()()( B 
 Trong đó: 
t
u
0
0 xx
tet A  )(
 11 )()(  AIA set t LCách 1:
Cách 2:       112210)(  nnt CCCCet AAAIA 
thay các trị riêng i của ma trận A (nghiệm của ) 0)det( AI
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 141
vào phương trình trên sẽ tính được các hệ số Ci 
Nghiệm của phương trình trạng thái (tt)
 Các trường hợp riêng của phương trình vi phân bậc 1:
 Nếu B=0: )()( tt Axx 
)()()()( )( 0ttA  00 tettt xxx 
 Nếu u=1: BAxx )()( tt 
   t
t
dtttt )()()()( 0  Bxx
0
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 142
Tổng kết chương
Sau khi học xong chương 3, sinh viên phải có khả năng:
 Giải bài toán tối ưu động không ràng buộc và có ràng buộc
 Thà h lậ á bài t á điề khiể tối độn p c c o n u n ưu ng
 Giải bài toán tối ưu động liên tục dùng phương pháp biến 
phân
 Giải bài toán tối ưu rời rạc dùng phương pháp qui hoạch 
động
ế ế ề ể ề ể Thi t k bộ đi u khi n LQR, bộ lọc Kalman, bộ đi u khi n 
LQG
15 January 2014 © H. T. Hoàng - HCMUT 143

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_ly_thuyet_dieu_khien_nang_cao_chuong_3_dieu_khien.pdf