Áp dụng định lí điểm bất động Monch để nghiên cứu tính giải được của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung

P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY 
Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 135
ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG MONCH ĐỂ NGHIÊN CỨU 
TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
NGẪU NHIÊN TRUNG TÍNH CÓ HIỆU ỨNG XUNG 
APPLY MONCH FIXED POINT THEORY TO STUDY THE SOLVABILITY FOR A CLASS 
OF IMPULSIVE NEUTRAL STOCHASTIC DIFFERENTIAL EQUATIONS 
Lâm Trần Phương Thủy 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, tác giả sử dụng độ đo không compact Hausdorff và định lí 
điểm bất động Monch để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân đối với một lớp 
phương trình vi phân ngẫu nhiên trung tính có hiệu ứng xung và chuyển động 
Brown bậc phân số (fBm) với nửa nhóm không compact trong không gian Hilbert. 
Từ khóa: Sự tồn tại nghiệm, chuyển động Brown bậc phân số, định lí điểm bất 
động Monch. 
ABSTRACT 
In this paper, author use the Hausdorff measure of noncompactness and the 
Monch fixed point theorem to prove the existence of mild solutions for a class of 
impulsive neutral stochastic differential equations driven by a fractional 
Brownian motion (fBm) with noncompact semigroup in Hilbert spaces. 
Keywords: The existence, fractional Brownian motion, Monch fixed point 
theorem. 
Trường Đại học Điện lực 
Email: thuyltp@epu.edu.vn 
Ngày nhận bài: 20/02/2021 
Ngày nhận bài sửa sau phản biện: 26/3/2021 
Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2021 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Gần đây, vấn đề nghiên cứu liên quan đến phương trình 
vi phân ngẫu nhiên với fBm đã được nhiều tác giả nghiên 
cứu, xem [1, 3, 6] và các tài liệu tham khảo trong đó. Tuy 
nhiên, cho đến nay các phương trình vi phân ngẫu nhiên 
trung tính với hiệu ứng xung được điều khiển bởi fBm với 
nửa nhóm không compact trong không gian Hilbert vẫn 
chưa được nghiên cứu nhiều. Vì vậy, bài báo này nghiên 
cứu sự tồn tại nghiệm tích phân đối với lớp phương trình vi 
phân ngẫu nhiên sau: 
k
t t
H
Q k
k k t
2
0
d[x(t) g(t , x )] [Ax(t) f (t , x )]dt
(t )dB (t), t J [0 , T ], t t ,
x(t ) I (x ),k 1, 2 , ...,m ,
x (t ) (t ) L ( , ), a.e t ( , 0],
  
   
 
(1) 
trong đó, A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích 
( ( ))t 0T t các toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian 
Hilbert X; HQB là một fBm với tham số Hurst ( / , )H 1 2 1 ; 
, :g f J X  là các hàm thích hợp sẽ được xác định sau; 
Ở đây : ( , ,..., )k TI X k 1 2 m  là các hàm bị chặn và các 
thời gian cố định tk thỏa mãn ... ...0 1 k m0 t t t t T , 
( )kx t
 và ( )kx t
 là giới hạn bên phải và bên trái của x(t) tại 
thời điểm tk. ( ) ( ) ( )k k kx t x t x t
 là bước nhảy của hàm 
trạng thái x tại thời điểm tk, trong đó Ik xác định kích thước 
của bước nhảy thứ k; hàm trễ :tx   được định nghĩa 
bởi ( ) ( )tx x t  với t 0 thuộc không gian pha  sẽ 
định nghĩa sau; dữ kiện đầu { ( ) : }t t 0  là một 
hàm 0 - đo được và là một  - quá trình ngẫu nhiên độc 
lập với fBm HQB . 
Các phần tiếp theo của bài báo được trình bày như sau: 
Phần 2, ta cung cấp một số ký hiệu và khái niệm cần thiết; 
Phần 3, ta thiết lập một số điều kiện đủ đảm bảo sự tồn 
 tại nghiệm tích phân của hệ (1) với tham số Hurst 
( / , )H 1 2 1 ; cuối cùng là Phần kết luận các kết quả đạt 
được của bài báo. 
2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 
Cho X và Y là hai không gian Hilbert thực tách được và 
L(X, Y) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ Y đến 
X. Để thuận tiện, ta sử dụng chung kí hiệu ‖‖ là chuẩn 
trong các không gian X, Y và L(X, Y). Giả sử ( , , )   là 
không gian xác suất đầy đủ. Kí hiệu ( ) là toán tử kì vọng 
toán tương ứng với xác suất  . Toán tử không âm, tự liên 
hợp được kí hiệu là ( , ) Q L Y Y . 0QL là không gian các hàm 
( , )L Y X sao cho /1 2Q là toán tử Hilbert-Schmidt với 
chuẩn được định nghĩa bởi 
*
( , )
| | | | ( )0
Q
1
2 22
HSL Y X Q tr Q    
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn 136
KHOA HỌC P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 
 Khi đó, γ được gọi là toán tử Q-Hilbert-Schmidt từ Y 
vào X. 
Chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về fBm và 
tích phân Wiener đối với fBm. Xét một khoảng thời gian 
[0, T] với T tùy ý và cho { ( ), }HB t t J là chuyển động Brown 
phân số một chiều với tham số Hurst ( , ).H 0 1 Điều này có 
nghĩa BH là một quá trình trung tâm Gauss liên tục với hàm 
hiệp phương sai: 
( , ) [ ( ) ( )] (| | | | | | ), ,
H H 2H 2H 2H
H t s
1R t s t s t s t s
2
    
Xét quá trình Wiener { ( ), [ , ]}t t 0 T   định nghĩa 
bởi * [ , ]( ) (( ) ).
H 1
H 0 tt B K I
  Khi đó, BH có biểu diễn tích 
phân Wiener sau: ( ) ( , ) ( ).
tH
H0
B t K t s d s  Ở đây nhân 
( , )HK t s cho bởi 
( , ) ( ) , ,
t1 3 1H H H
2 2 2
H H
s
K t s c s s d t s
    
với ( )
( , )
H
H 2H 1c 12 2H H
2
 
 và  là hàm Beta. 
Dễ thấy rằng 
( , )
( ) ( ) .
1 3H HH 2 2
H
K t s tc t s
t s
 

Xét toán tử tuyến tính * : ([ , ])2HK L 0 b , cho bởi 
* ( , )( )( ) (  ... nh nghĩa như một Q - hình trụ fBm nhận giá trị 
trong Y. 
Cho :[ , ] ( , )0Q0 T L Y X sao cho 
*
([ , ]; )
( ) 2
1
2
H n L 0 T X
n 1
K Q u
 ‖ ‖ (2) 
Định nghĩa 2.1. Cho ( ), [ , ]s s 0 T là hàm số nhận giá 
trị trong ( , )0QL Y X . Khi đó, tích phân Wiener của φ tương 
ứng với HQB được định nghĩa bởi 
* *
( ) ( ) ( )
( (( ( ))( ) ( ), .
1t tH H2
Q n n0 0n 1
t 1
2
H H n
n 1 0
s dB s s Q u d
K K Q u s dW s t 0
 
 
 
Lưu ý rằng nếu 
/ ([ , ]; )
,1 H
1
2
n L 0 b X
n 1
Q u
 ‖ ‖ (3) 
thì (2) được thỏa mãn, điều này suy ra từ 
/ ([ , ]) ([ , ])1 H 2L 0 b L 0 b  . 
Bổ đề 2.1. ([4]) Với mỗi : [ , ] ( , )0Q0 b L Y X sao cho (5) 
thỏa mãn, và với mọi , [ , ]0 b  với  , 
| ( ) ( ) |
( )( ) | ( ) |
H 2
Q X
1
2H 1 22
n X
n 1
s dB s
cH 2H 1 s Q u ds


  
 

ở đây c = c(H). Nếu, thêm nữa, | ( ) |
1
2
n X
n 1
t Q u
  hội tụ 
đều với [ , ]t 0 b , thì 
( , )
| ( ) ( ) | ( )( ) | ( ) | 0
Q
H 2 2H 1
Q X L Y Xs dB s cH 2H 1 s ds
 
   
Trong bài báo này, ta định nghĩa không gian pha  . 
Giả sử : ( , ] ( , )0 0 là hàm liên tục với 
( )
0
l t dt
  . Với 0 , ta định nghĩa không gian 
Banach ( , )

  ‖‖ như sau 
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY 
Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 137
 /{ : ( , ] : ( ( ) )2 1 20 X    ‖ ‖ là hàm bị chặn 
và do được trên [ , ]0  và 
0 2 1/2
s 0
(s) sup ( ( ) ) ds }
  
   ‖ ‖ 
với chuẩn 
0 2 1/2
s 0
(s) sup ( ( ) ) ds.
  
    ‖‖ ‖ ‖  
Và ta xét không gian 
{ : ( , ] : ( , ), , ,..., , ( ), ( )T k k k kx T X x C J X k 0 1 m x t x t
  
với ( ) ( ), , ,..., , ( , )2k k 0x t x t k 0 1 m x L
    trên 
( , ]}0 
Kí hiệu 
T
‖‖ là nửa chuẩn trên T định nghĩa bởi 
T
2 1/2
0 T
s J
x x sup( x(s) ) ,x

 ‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖   . 
Bổ đề 2.2. ([5]) Giả sử rằng Tx  , khi đó với 
, tt J x   . Hơn nữa 
2 1/2 2 1/2
t 0 T
s J
l( x(s) ) x x lsup( x(s) ) ,x
 
  ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   
với ( ) .
0
l s ds
  
Tiếp theo, cho : ( )A D A X (D(A): miền xác định của 
toán tử A) là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích các 
toán tử tuyến tính bị chặn ( ( ))t 0T t trên X. Giả sử rằng tồn 
tại hằng số M 1 và số thực μ sao cho ( )
tT t Me ‖ ‖ , với 
mọi t 0 . ta cũng giả thiết rằng ( ( ))t 0T t bị chặn đều và là 
nửa nhóm giải tích sao cho ( ).0 A  Ở đây δ(A) là tập giải 
của A. Khi đó, ta có thể định nghĩa (-A)α với 0 1 , như 
là một toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(-A)α 
tương ứng với chuẩn ‖‖ . Kí hiệu Xα ( 0 1 ) là không 
gian D(-A)α với chuẩn ‖‖ , ta có bổ đề sau 
Bổ đề 2.3. [8] Giả sử có các giả thiết trên 
(1) Nếu 0 1 , thì Xα là một không gian Banach. 
(2) Nếu 0  , thì phép nhúng X X  liên tục. 
(3) Tồn tại hằng số Mα > 0 sao cho với mọi 0 1 , 
ta có 
( ) ( ) , , .t
M
A T t e t 0 0
t
  
  ‖ ‖ 
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu độ đo không compact 
Hausdorff α(.) định nghĩa trên các tập con bị chặn B của 
không gian Banach X xác định bởi (B) inf{ 0;B có 
lưới hữu hạn trong X. 
Một số tính chất được liệt kê trong Bổ đề sau. 
Bổ đề 2.4. ([2]) Cho X là không gian Banach thực và 
,B D X là các tập bị chặn; khi đó các tính chất sau được 
thỏa mãn: 
 (1) B là compact yếu nếu và chỉ nếu α(B) = 0; 
(2) ( ) ( ) ( )B B convB , với B và convB tương ứng 
là bao đóng và bao lồi của B; 
(3) ( ) ( )B D khi B D ; 
(4) ( ) ( ) ( )B D B D , với { ; , }B D x y x B y D ; 
(5) ( ) { ( ), ( )}B D max B D  ; 
(6) ( ) | | ( )B B   , với mỗi số thực λ; 
(7) Nếu ([ , ])W C 0 T là tập bị chặn, khi đó 
( ( )) ( )W t W với mọi [ , ]t 0 T , với ( ) { ( ) : }W t u t u W Y  . 
Hơn nữa, nếu W là đồng liên tục trên $[0,T]$ thì ( )t W t 
liên tục trên [0,T], và ( ) { ( ) : [ , ]}W sup W t t 0 T ; 
(8) Nếu ([ , ]; )W C 0 T X bị chặn và đồng liên tục, khi đó 
( ( ))t W t liên tục trên [0,T], và 
( ) ( ( ))
t t
0 0
W s ds W s ds 
 với mọi [ , ]t 0 T , 
với ( ) ( ) :
t t
0 0
W s ds u s ds u W  
  
; 
(9) Cho { }n 1u
 là dãy hàm khả tích Bochner từ J tới Y với 
ˆ( ) ( )nu t m t ‖ ‖ hầu khắp t J và mọi n 1 , ở đây 
ˆ ( ) ( , )m t L J , khi đó hàm 1( ) ({ } ) ( , )n nt u L J
  và 
thỏa mãn 
( ) : ( )
t t
n0 0
u s ds n 1 2 s ds
 
   
  
 . 
Với độ đo của số hạng tích phân ngẫu nhiên, ta có Bổ đề 
sau. Đây là Bổ đề quan trọng để chứng minh kết quả của 
nghiên cứu. 
Bổ đề 2.5. Nếu ([ , ]; ( , )),02W C 0 t L V X  là một quá 
trình Winer, khi đó 
( ) ( ) ( ( ))
t
0
W s d s T W t  
, 
ở đây 
( ) ( ) ( ) ( )
t t
0 0
W s d s u s d s  : với mọi , [ , ]u W t 0 T 
Bổ đề 2.6. Giả sử rằng D là một tập lồi đóng của X, 
0 D . Nếu ánh xạ :D X liên tục và thuộc kiểu Monch 
nghĩa là, Φ thỏa mãn ,M D M đếm được, 
 {0} ( )M co M M  compact, khi đó Φ có điểm bất 
động trong D. 
3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 
Trong phần này, sẽ trình bày và chứng minh sự tồn tại 
nghiệm tích phân của (1). Trước tiên cần đưa ra khái niệm 
nghiệm tích phân của bài toán đã nêu. 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn 138
KHOA HỌC P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 
Định nghĩa 3.1. X - quá trình ngẫu nhiên 
{ ( ), ( , ]}x t t T được gọi là một nghiệm tích phân của 
(1), nếu 
(i) x(t) đo được, t - tương thích; 
(ii) Với ( , ], ( ) ( )t 0 x t t  ; 
(iii) Với mỗi , ( )0 t T x t thỏa mãn đẳng thức tích 
phân sau: 
( ) ( )[ ( ) ( , ( ))] ( , )
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
k
k
t
t t
s s0 0
t H
k k t Q00 t t
x t T t 0 g 0 0 g t x
AT t s g s x ds T t s f s x ds
T t t I x T t s s dB s
   
 
 
Trong phần tiếp theo, sử dụng các giả thiết sau: 
(H1) A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích 
( ( ))t 0T t các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, thỏa mãn 
( )0 A . Từ Bổ đề 2.3, tồn tại các hằng số , 1M M  sao cho 
( )T t M ‖ ‖ và ( ) ( ) , .11 1
M
A T t t J
t
  
 
 ‖ ‖ 
(H2) Hàm : ( , )0QJ L V X thỏa mãn 
(i) ( ) ,0
Q
t 2
L0
s ds t J  ‖ ‖ , 
(ii) /
([ , ]; )
,2
1 2
n L 0 T X
n 1
Q u
 ‖ ‖ 
(iii) / )
1 2
n X
n 1
Q u
‖ ‖ hội tụ đều với t J . 
(H3) Hàm :g J X  thỏa mãn 
 (i) g là hàm liên tục và tồn tại các hằng số 
, g0 1 L 0  , sao cho hàm g nhận giá trị trong X và 
thỏa mãn 
( ) ( , ) ( ) ( , ) 2 2gA g t x A g t y L x y 
  ‖ ‖ ‖ ‖ , 
( ) ( , ) ( )2 2gA g t x L 1 x 
 ‖ ‖ ‖‖ , 
với mọi ,x y   và t J . 
(ii) Tồn tại một hàm dương ( , )1gl L J
 , sao cho với 
mỗi tập bị chặn 1Q   thỏa mãn 
*
1 g 1 g
( ,0] t J
(( A) g(t,Q )) l (t) sup (Q ( )),Q supl (t)
 
  . 
(H4) Hàm :f J X  thỏa mãn 
(i) Với mỗi , ( , ) :x f x J X   đo được với mỗi t J , 
( , ) :f t X  liên tục. 
 (ii) Tồn tại hàm liên tục :fm J
 và một hàm liên 
tục, không giảm : ( , )f 0
  sao cho 
( , ) ( ) ( )2 2f ff t x m t x  ‖ ‖ ‖‖ . 
(iii) Tồn tại hàm dương ( , )1fl L J
 sao cho, với mỗi 
tập con bị chặn 2Q   : 
f 2
( ,0]
(f(t,x)) l (t) sup (Q ( ))
 
  . 
(H5) Hàm liên tục :k TI X  , thỏa mãn 
 (i) Tồn tại , , ,...,kL 0 k 1 2 m sao cho với mỗi , Tx y  
và 
m
k
k 1
L
  
( ) ( )
T
2 2
k k kI x I y L x y ‖ ‖ ‖ ‖ và ( )kI 0 0 ‖ ‖ . 
 (ii) Tồn tại , , ,...,kl 0 k 1 2 m sao cho với mỗi tập con bị 
chặn 3 TQ   
k 3 k 3
( ,0]
(I (Q )) l sup (Q ( ))
 
  . 
(H6) 
2 2
12 2 2
g g
k 1
t2
m
f
f0
M T
24 ( A) L L M m l
2 1
( )6TM m (s)ds lim sup 1
kL

  
 


 


‖ ‖
Định lí 3.1. Nếu các giả thiết (H1)-(H6) được thỏa mãn 
thì hệ (1) có ít nhất một nghiệm tích phân trên ( , ]T với 
*
( , )
( , )
( )
.
1
1
1
g L J
m
f kL J
n 1
M T
A Q 2 l
MT l M l 1

  

 
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
 (4) 
Chứng minh 
Xét toán tử : T T   định nghĩa bởi 
( ), ( , ]
( )[ ( ) ( , ( ))] ( , )
( )
( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), .
k
k
t
t t
s s0 0
t H
k k t Q00 t t
t t 0
T t 0 g 0 0 g t x
x t
AT t s g s x ds T t s f s x ds
T t t I x T t s s dB s t J
 
   
 
  
 
(5) 
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân của (1), ta 
cần chứng minh  có điểm bất động. 
Xét { : , }0T T 0y y y 0   , với mỗi 
0
Ty  , định nghĩa 
chuẩn 
P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 SCIENCE - TECHNOLOGY 
Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn Vol. 57 - No. 2 (Apr 2021) ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 139
0
T
2 1/2 2 1/2
0
s J s J
y y sup( y(s) ) sup( y(s) )

 ‖‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   . 
Khi đó, ( , )0
T
0
T   ‖‖ là một không gian Banach. Với mỗi 
r > 0, xét { : }0
T
0 2
r TB y y r  ‖‖ , khi đó rB là tập lồi đóng 
và bị chặn trong 0T . Với mỗi ry B , ta có 
ˆ ˆ( | ( ) | ) :2 2 2 2 2t ty 4l r M 0 4 r     ‖ ‖ ‖ ‖  (6) 
với 
( ), ( , ]ˆ( )
( ) ( ), .
t t 0
t
T t 0 t J
 
 
 
Bây giờ ta định nghĩa toán tử : 0 0T T   bởi 
, ( , ]
ˆ( )[ ( , ( ))] ( , )
ˆ ˆ( ) ( , ) ( ) ( , )
( )
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
k k
k
t t
t t
s s s s0 0
t H
k k t t Q00 t t
0 t 0
T t g 0 0 g t y
AT t s g s y ds T t s f s y dsy t
T t t I y T t s s dB s t J
   
  
 
   
 
 (7) 
Rõ ràng, việc chứng minh toán tử  có điểm bất động 
tương đương với việc chứng minh toán tử Φ có điểm bất 
động. Để dễ đọc hơn, tác giả chia chứng minh thành các 
bước như sau. 
Bước 1: Tồn tại số thực dương r sao cho ( )r rB B  . Giả 
sử ngược lại rằng ( )r rB B  , khi đó với mỗi số thực dương 
r, tồn tại hàm r ry B nhưng ( )
r
ry B  , điều này suy ra tồn 
tại ( ) , ( )( ) .r 2t t r J y t r  ‖ ‖ Thực tế, ta có 
( )( ) ( )[ ( , ( ))]
ˆ ˆ( , ) ( ) ( , )
ˆ( ) ( , )
ˆ( ) ( )
( ) ( ) ( ) :
k k
k
r 2 2
tr 2 2
t t s s0
t 2
s s0
2
k k t t
0 t t
6t H 2
Q i0
i 1
r y t 6 T t g 0 0
6 g t y 6 AT t s g s y ds
6 T t s f s y ds
6 T t t I y
6 T t s s dB s J
  
  
 
 
  

 
 
 



‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
 (8) 
Sử dụng Bổ đề 2.1 và các giả thuyết (H1)-(H5) ta có 
( )[ ( , ( ))] ( ) ( )2 2 2 21 gJ 6 T t g 0 0 6M A L 1 
   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ 
(9) 
ˆ( , ) ( ) ( )r 2 22 t t gJ 6 g t y 6 A L 1 r
   ‖ ‖ ‖ ‖
 (10) 
ˆ( ) ( )( ) ( , )
( )
t 1 2
3 s s0
2 2
1
g
J 6 A T t s A g s y ds
M T
6 L 1 r
2 1
  

 
 
 
 ‖ ‖
 (11) 
ˆ( ) ( , )
( ) ( )
t 2
4 s s
0
t2
f f
0
J 6 T t s f s y ds
6TM m s r ds
 
 
‖ ‖
 (12) 
ˆ( ) ( )
k k
k
m
2 2
5 k k t t k
0 t t k 1
J 6 T t t I y 6M m L r
  ‖ ‖ (13) 
0
Q
t H 2
6 Q0
2 2H 2
L
0 s T
J 6 T(t s) (s)dB (s)
6cM H(2H 1)T sup (s)
 
 
 ‖ ‖
‖ ‖
 (14) 
Từ các bất đẳng thức (9)-(14), suy ra 
0
Q
2 26 m
12 2
i g g k
i 1 k 1
2 2 2 2
g g
2 2
1 2 2H 2
g L
0 s T
t2
f f0
M T
r J 6 ( A) L L M m L
2 1
6M ( A) L (1 ) 6 ( A) L
M T
6 L 6cM H(2H 1)T sup (s)
2 1
6TM m (s) (r )ds.


  
  

 
 
  
 
 
 
 
‖ ‖
‖ ‖ ‖‖ ‖ ‖
‖ ‖

(15) 
Chia hai vế của (15) cho r và cho r , biết rằng 
2 2 2 2
2
r r
ˆ4l (r M | (0) | ) 4rlim lim 4l .
r r

   
‖‖ 
Ta có 
2 2
12 2 2
g g
k 1
0
m
t2 f
f
M T
24 ( A) L L M m l
2 1
( )6TM m (s)ds lim sup 1.
kL

  
 


 


‖ ‖
Điều này mâu thuẫn với (H6). Do đó, tồn tại số thực 
dương r sao cho ( )r rB B  . 
Bước 2: Toán tử Φ liên tục trong rB . Điều này suy ra từ 
tính liên tục của các hàm g, f và các hàm Ik và định lí hội tụ 
trội Lebesgue. 
Bước 3: Toán tử ( )rB là đồng liên tục trên J. 
Dễ thấy rằng hàm { : },ry y B t 0 là đồng liên tục. 
Với , ,1 2 1 20 t t T t t J và ry B nhờ các giả thiết trên, 
ta có 
*( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 16 y t y t 6 Q T t T t   ‖ ‖ ‖ ‖ 
ˆ ˆ( , ( , )
2 2 1 12 t t 1 t t6 g t y g t y  ‖ ‖ 
ˆ( ) [ ( ) ( )]( ) ( , )
1t 1 2
2 1 s s0
12 A T t s T t s A g s y ds    ‖ ‖ 
 ˆ( ) ( , )
2
1
t 2
2 s st
12 AT t s g s y ds  ‖ ‖ 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ● Tập 57 - Số 2 (4/2021) Website: https://tapchikhcn.haui.edu.vn 140
KHOA HỌC P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9619 
1t
0
12 ‖ [ ( ) ( )]2 1T t s T t s ˆ( , )
2
s sf s y ds  ‖ 
 ˆ( ) ( , )
2
1
t 2
2 s st
12 T t s f s y ds  ‖ ‖
m
k 1
6
 ‖ [ ( ) ( )]2 k 1 kT t t T t t ˆ( )k k 2k t tI y  ‖ 
1t
0
12 ‖ [ ( ) ( )2 1T t s T t s ] ( ) ( )
H 2
Qs dB s ‖ 
( ) ( ) ( )
2
1
t H 2
2 Qt
12 T t s s dB s 0  ‖ ‖ 
khi 2 1t t . Suy ra { : }ry y B là tập đồng liên tục trên J. 
Bước 4: Ta kiểm tra điều kiên Monch được thỏa mãn. 
Xét tập khác rỗng, bị chặn * 0TW   và 
*,1 2y y W . 
Ta có: ˆ ˆ( ( ), ( )) ( ( ), ( ))1 2 1 2d y t y t d y t y t    
suy ra *ˆ( ( )) ( ( )), .y t y t y W   
Cho rD B là tập đếm được và ({ } ( ))D co 0 D  . Bây 
giờ, ta chứng minh ( )D 0 . Không mất tính tổng quát, ta 
giả sử rằng { }n n 1D y
 . Nhờ Bước 3 ta thấy 
({ } ( ))D co 0 D  là đồng liên tục trên J. 
Theo Bổ đề 2.4 và các giả thiết trên, ta có 
*
( , )
( , )
*
ˆ( { ( )} ) ( { ( )} )
( )
({ ( )} )
({ ( )} ),
1
1
n n
n 1 n 1
1
g L J
n
n 1m
f kL J
n 1
n
n 1
y t y t
M T
A Q 2 l
y t
MT l M l
M y t

  
  
 

‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
với 
* *
( , )
( , )
( ) 1
1
1
g L J
m
f kL J
n 1
M T
M A Q 2 l
MT l M l 1

  

 
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
. 
Do đó, suy ra 
*( ) ( ({ } ( ))) ( ).D co 0 D M D  
Điều này chứng tỏ α(D) = 0, D là tập compact tương đối. 
Nhờ Bổ đề 2.6, ta thấy rằng Φ có điểm bất động trên D. 
Định lí được chứng minh. 
4. KẾT LUẬN 
Kết quả chính của bài báo này là sử dụng các kiến thức 
liên quan đến giải tích ngẫu nhiên, độ đo không compact 
và nguyên lí điểm bất động Monch để chứng minh sự tồn 
tại nghiệm tích phân của bài toán (1). 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] G. Arthi, J. H. Park, H. Jung, 2016. Existence and exponential stability for 
neutral stochastic integrodifferential equations with impulses driven by a fractional 
brownian motion. Commun Nonlinear Sci Numer Simul. 32, 145-157. 
[2] J. Banas, K. Goebel, 1980. Measure of Noncompactness in Banach spaces. 
Marcel Dekker, New York. 
[3] B. Boufoussi, S. Hajji, 2012. Neutral stochastic functional differential 
equations driven by a fractional brownian motion in a hilbert space. Stat.Probab. 
Lett. 82, 1549-1558. 
[4] T. Caraballo, M. Garrido-Atienza, T. Taniguchi, 2011. The existence and 
exponential behavior of solutions to stochastic delay evolution equations with a 
fractional brownian motion. Nonlinear Anal. 67, 3671-3684. 
[5] Y.K. Chang, 2007. Controllability of impulsive functional differential 
systems with infinite delay in banach spaces. Chaos Soliton. Fract. 33, 1601-1609. 
[6] J. Cui, Z. Wang, 2016. Nonlocal stochastic integro-differential equations 
driven by fractional brownian motion. Adv. Differ. Equ. 115. 
[7] Y. Mishura, 2008. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and 
Related Processes. In: Lecture Notes in Mathematics,1929; Springer-Verlag. 
[8] A. Pazy, 1992. Semigroups of linear operators and applications to partial 
differential equations. Spring Verlag, New York. 
AUTHOR INFORMATION 
Lam Tran Phuong Thuy 
Electric Power University