Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co yếu và T-co yếu suy rộng trong không giang kiểu b-mêtric

Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CÁC ÁNH XẠ T -CO YẾU VÀ T -CO YẾU SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIANG KIỂU b-MÊTRIC
Đinh Huy Hoàng (1), Nguyễn Thế Huế (2), Nguyễn Tuấn Ngọc (2)
1 Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh
2 Trường THPT Ngô Quyền, Quảng Bình
Ngày nhận bài 08/01/2019, ngày nhận đăng 25/02/2019
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh một vài kết quả về sự tồn
tại và duy nhất điểm bất động của các ánh xạ T -co yếu và T -co yếu suy rộng trong không gian kiểu
b-mêtric. Các kết quả này là sự mở rộng của một số kết quả về điểm bất động trong không gian
b-mêtric trong các tài liệu tham khảo [3] [10].
1 Mở đầu
Các khái niệm ánh xạ K-co và C-co lần lượt được giới thiệu và nghiên cứu bởi R.Kannan [7] và
S.K.Chatterjea [2]. A.Razani và V.Pavaneh [11] đã đưa ra các khái niệm ánh xạ T -co yếu suy rộng
kiểu Kannan và kiểu Chatterjea và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ này trong không gian mêtric. S.Czerwik [5] đã mở rộng khái niệm không gian mêtric bằng
cách đưa ra khái niệm không gian b-mêtric và chứng minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ co trong không gian này. Năm 2014, Z.Mustafa [10] và các cộng sự đã mở rộng các kết quả của
A.Razani và V.Pavaneh [11] cho không gian b-mêtric. Không gian kiểu b-mêtric đã được đưa ra và
nghiên cứu bởi M.A.Alghamdi và các cộng sự [1] vào năm 2013. Sau đó, vấn đề về sự tồn tại điểm
bất động trong không gian kiểu b-mêtric đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và thu
được nhiều kết quả [3], [4], [6].
Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập và chứng minh hai định lí và các hệ quả của nó về sự tồn
tại điểm bất động của các ánh xạ T -co yếu và T -co yếu suy rộng trong không gian kiểu b-mêtric.
Các kết quả này là mở rộng của một số kết quả trong các tài liệu [3] [10].
1.1. Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric và f : X −→ X.
1) [7] Ánh xạ f được gọi là K-co nếu tồn tại α ∈ (0, 1
2
) sao cho
d(fx, fy) ≤ α(d(x, fx) + d(y, fy)) ∀x, y ∈ X.
2) [2] Ánh xạ f được gọi là C-co nếu tồn tại α ∈ (0, 1
2
) sao cho
d(fx, fy) ≤ α(d(x, fy) + d(y, fx)) ∀x, y ∈ X.
Năm 1968, R.Kannan [7] đã chứng minh rằng nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ thì mỗi
ánh xạ K-co trên X có duy nhất một điểm bất động. Năm 1972, S.K.Chatterjea [2] đã chứng tỏ
ánh xạ C-co trong không gian mêtric đầy đủ có duy nhất một điểm bất động.
1.2. Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric, f : X −→ X và ϕ : [0,+∞)2 −→ [0,+∞) là
ánh xạ liên tục sao cho ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0.
14
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 14-28
1) [4] Ánh xạ f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea, nói gọn là C-co yếu nếu
d(fx, fy) ≤ 1
2
(
d(x, fy) + d(y, fx)
)− ϕ(d(x, fy), d(y, fx)) ∀x, y ∈ X.
2) [11] Ánh xạ f được gọi là co yếu kiểu Kannan, nói gọn là K-co yếu nếu
d(fx, fy) ≤ 1
2
(
d(x, fx) + d(y, fy)
)− ϕ(d(x, fx), d(y, fy)) ∀x, y ∈ X.
Chú ý: Trong bài báo này dùng kí hiệu ∞ thay cho +∞.
1.3. Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian mêtric và T : X −→ X.
1) [9] Ánh xạ f : X −→ X được gọi là T -co kiểu Kannan nếu tồn tại α ∈ (0, 1
2
) sao cho
d(Tfx, Tfy) ≤ α(d(Tx, Tfx) + d(Ty, Tfy)) ∀x, y ∈ X.
2) [11] Ánh xạ f : X −→ X được gọi là T -co kiểu Chatterjea nếu tồn tại α ∈ (0, 1
2
) sao cho
d(Tfx, Tfy) ≤ α(d(Tx, Tfy) + d(Ty, Tfx)) ∀x, y ∈ X.
1.4. Định nghĩa. [8] Hàm ψ : [0,∞) −→ [0,∞) được gọi là hàm thay đổi khoảng cách nếu
1) ψ liên tục và tăng ngặt.
2) ψ (0) = 0.
1.5. Định nghĩa. [11] Giả sử (X, d) là không gian mêtric, T : X −→ X, ψ là hàm thay đổi khoảng
cách còn ϕ : [0,∞)2 −→ [0,∞) là hàm liên tục và ϕ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0.
1) Ánh xạ f : X −→ X được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Chatterjea nếu
ψ
(
d(Tfx, Tfy)
) ≤ ψ(d(Tx, Tfy) + d(Ty, Tfx)
2
)
− ϕ(d(Tx, Tfy),d(Ty, Tfx)),
∀x, y ∈ X.
2) Ánh xạ f : X −→ X được gọi là T-co yếu suy rộng kiểu Kannan nếu
ψ
(
d(Tfx, Tfy)
) ≤ ψ(d(Tx, Tfx) + d(Ty, Tfy)
2
)
− ϕ(d(Tx, Tfx),d(Ty, Tfy)),
∀x, y ∈ X.
Trong Định nghĩa 1.5, nếu lấy hàm ψ : [0,∞) → [0,∞) với ψ(t) = t với mọi t ∈ [0,∞) thì ta
nhận được Định nghĩa 1.2.
1.6. Định nghĩa. [5] Giả sử E là một tập hợp khác rỗng và số thực k ≥ 1. Hàm d: E×E −→ được
gọi là b-mêtric trên E nếu
1) d(a, b) ≥ 0 với mọi a, b ∈ E;
15
Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
2) d(a, b) = 0⇔ a = b;
3) d(a, b) ≤ k[d(a, c) + d(c, b)] với mọi a, b, c ∈ E (bất đẳng thức tam giác);
4) d(a, b) = d(b, a) với mọi a, b ∈ E.
Tập E cùng với một b-mêtric trên nó được gọi là không gian b-mêtric với tham số k, nói gọn là
không gian b-mêtric và được kí hiệu bởi (E, d) hoặc E.
1.7. Định nghĩa [1] Giả sử E là tập khác rỗng. Hàm d : E × E −→ R được gọi là kiểu b-mêtric
trên E nếu tồn tại tham số k ≥ 1 sao cho với mọi a, b, c ∈ E, các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) d(a, b) ≥ 0;
(ii) d(a, b) = 0⇒ a = b;
(iii) d(a, b) ≤ k[d(a, c) + d(c, ... và {Tfani} là dãy con của {Tfan} nên
lim
ni→∞
d(Tfani , b) = lim
n→∞ d(Tfan, b) = 0.
Do đó theo Định lý 1.11. 1) thì Ta = b. Tiếp theo chứng minh a là điểm bất động của f . Từ bất
đẳng thức tam giác và điều kiện (1) suy ra
d(Tfa, Ta) ≤ kd(Tfa, Tfan) + kd(Tfan, Ta)
≤ kd(bn+1, b) + k2r1d(b, bn) + r2k[d(b, bn+1) + d(bn, Tfa)]
+ k2r3[d(b, Tfa) + d(bn, bn+1)]− kϕ(d(b, bn))
≤ k(1 + r2)d(bn+1, b) + k2r1d(b, bn) + k2r2[d(bn, b) + d(b, Tfa)]
+ k2r3[d(b, Tfa) + d(bn, bn+1)]− kϕ(d(b, bn))
= k(1 + r2)d(bn+1, b) + k
2(r1 + r2)d(b, bn)
+ k2(r2 + r3)d(b, Tfa) + k
2r3d(bn, bn+1)
− kϕ(d(b, bn)) ∀n = 1, 2, . . . .
Cho n→∞ ta được d(b, Tfa) ≤ k2(r2 + r3)d(b, Tfa).
Từ bất đẳng thức này và điều kiện (3) ta có d(b, Tfa) = 0, tức b = Tfa hay Ta = Tfa. Vì T đơn
ánh nên a = fa. Vậy a là điểm bất động của f .
Cuối cùng, ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của f . Giả sử a′ cũng là một điểm bất
động của f khi đó
d (Ta′, Ta′) = d (Tfa′, T fa′)
≤ r1kd (Ta′, Ta′) + r2 [d (Ta′, Ta′) + d (Ta′, Ta′)]
+ r3k [d (Ta
′, Ta′) + d (Ta′, Ta′)]− ϕ (d (Ta′, Ta′))
= (kr1 + 2r2 + 2kr3)d (Ta
′, Ta′)− ϕ (d (Ta′, Ta′)) .
Mặt khác từ (2) suy ra kr1 + 2r2 + 2kr3 ≤ 1. Do đó, từ bất đẳng trên suy ra ϕ (d (Ta′, Ta′)) = 0.
Theo tính chất của ϕ thì d (Ta′, Ta′) = 0.
Sử dụng điều kiện (1) ta có
d (Ta, Ta′) = d (Tfa, Tfa′) ≤ r1kd (Ta, Ta′)
+ r2 [d (Ta, Ta
′) + d (Ta, Ta′)]
+ r3k [d (Ta, Ta) + d (Ta
′, Ta′)]− ϕ (d (Ta, Ta′))
= (r1k + 2r2) d (Ta, Ta
′)− ϕ (d (Ta, Ta′)) .
Kết hợp với điều kiện (2) suy ra ϕ (d (Ta, Ta′)) = 0.
Do đó d (Ta, Ta′) = 0 và ta có Ta = Ta′. Vì T đơn ánh nên a = a′.
3) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy. Khi đó, trong chứng minh 2) thay {fani} bởi {fan} ta có
fan → a.
20
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 14-28
2.3. Hệ quả. [3] Giả sử (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ và f : E −→ E là ánh xạ thỏa
mãn
d(fa, fb) ≤ 1
k
d(a, b)− ϕ(d(a, b)) ∀a, b ∈ E,
trong đó ϕ ∈ Φ1. Khi đó, f có duy nhất điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử T : E −→ E là ánh xạ đồng nhất, tức T (a) = a ∀a ∈ E.
Đặt r1 =
1
k2
, r2 = r3 = 0. Khi đó, các điều kiện của Định lý 2.2 được thỏa mãn. Do đó f có duy
nhất một điểm bất động trong E.
Ví dụ sau đây chứng tỏ Định lý 2.2 là mở rộng thực sự của Định lý 2.1, [3].
2.4. Ví dụ. Cho E = {1, 2, 3} và d : E × E −→ R là hàm được xác định bởi
d(1, 2) = d(1, 3) = d(3, 3) = 1,
d(1, 1) = d(2, 2) = 0, d(2, 3) = 5,
d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ E
Ta dễ dàng kiểm tra được (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ với tham số k =
5
2
.
Giả sử T, f : E −→ E là hai ánh xạ được cho bởi
T1 = 1, T2 = 3, T3 = 2, f1 = f2 = 1, f3 = 2.
Ta xác định hàm ϕ : [0,∞) −→ [0,∞) với
ϕ(t) =
1
4
t ∀t ∈ [0,∞)
Rõ ràng ϕ ∈ Φ1. Đặt r1 = r2 = 0, r3 = 3
25
. Khi đó, ta kiểm tra được tất cả các điều kiện của Định
lý 2.2 đều được thỏa mãn. Do đó Định lý 2.2 áp dụng được cho hàm f .
Mặt khác ta có
d(f1, f2) = d(1, 2) = 1 >
2
5
=
1
k
d(1, 3)
>
1
k
d(1, 3)− ϕ1(d(1, 3))
với mọi ϕ1 ∈ Φ1. Điều này chứng tỏ Hệ quả 2.3 tức là Định lý 2.1, [3] không áp dụng được cho f .
2.5. Hệ quả. Giả sử (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, f : E −→ E là ánh xạ sao cho tồn
tại các hằng số không âm s1, s2, s3 thỏa mãn:
s1 + 4s2 + 2s3 <
1
k
, (9)
s2 + s3 <
1
k2
, (10)
s1 + 2s2 <
1
k2
(11)
21
Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
và với mọi a, b ∈ E ta có
d(Tfa, Tfb) ≤ s1kd(Ta, Tb) + s2[d(Ta, Tfb) + d(Tb, Tfa)]
+ s3k[d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)]. (12)
Khi đó:
1) Với mỗi a0 ∈ E, dãy {Tfna0} hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tới điểm bất động của f .
Chứng minh. Sử dụng (9), (10), (11) ta có thể tìm được r1, r2, r3 sao cho 0 ≤ si < ri, với i =
1, 2, 3, . . . và các bất đẳng thức (2), (3), (4) được thỏa mãn. Ta xác định hàm ϕ : [0,∞) −→ [0,∞)
bởi
ϕ(t) = (r1 − s1)kt ∀t ∈ [0;∞).
Khi đó, ϕ ∈ Φ1. Từ (12) suy ra
d(Tfa, Tfb) ≤ s1kd(Ta, Tb) + s2[d(Ta, Tfb) + d(Tb, Tfa)]
+ s3k[d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)]
= r1kd(Ta, Tb) + r2[d(Ta, Tfb) + d(Tb, Tfa)]
+ r3k[d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)]− ϕ(d(Ta, Tb)
với mọi a, b ∈ E. Do đó các điều kiện của Định lí 2.2 được thỏa mãn. Sử dụng Định lí 2.2 ta có điều
cần phải chứng minh.
Trong Hệ quả 2.5, nếu lấy (E, d) là không gian mêtric đầy đủ (tức là k = 1), s1 = s2 = 0, s3 ∈[
0,
1
2
)
thì ta nhận được hệ quả sau.
2.6. Hệ quả. [9] Nếu (E, d) là không gian mêtric đầy đủ và f : E −→ E là ánh xạ T -co kiểu
Kannan thì f có duy nhất điểm bất động, ở đây T : E −→ E là đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy con.
2.7. Định lý. Giả sử (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, f : E −→ E là ánh xạ sao cho tồn
tại ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ2 và các hằng số r1, r2, r3, r4 ∈
[
0,
1
k2
)
thỏa mãn
max {r1, r2 + r3, r4} ≤ 1
2k
, r1 <
1
k3
và
ψ(d(Tfa, Tfb)) ≤ ψ(max{r1kd(Ta, Tb), r2d(Ta, Tfb)
+ r3d(Tb, Tfa), r4k[d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)]})
− ϕ(r2d(Ta, Tfb) + r4d(Ta, Tfa), r3d(Tb, Tfa) + r4d(Tb, Tfb)) (13)
với mọi a, b ∈ E. Khi đó, các khẳng định sau là đúng:
1) Với mọi a0 ∈ E, dãy {Tfna0} hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất trong E.
22
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 14-28
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tới điểm bất động của f .
Chứng minh. Lấy bất kỳ a0 ∈ E và xây dựng dãy {an} bởi
an+1 = fan = f
n+1a0 ∀n = 0, 1, . . . .
Đặt Tan = bn, n = 0, 1, . . . . Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có
d(bn, bn) ≤ 2kd(bn−1, bn),
d(bn, bn) ≤ 2kd(bn, bn+1) ∀n = 1, 2, . . . .
Từ đó suy ra d(bn, bn) ≤ k[d(bn−1, bn) + d(bn, bn+1)] ∀n = 1, 2 . . . .
Đầu tiên ta chứng minh lim
n→∞ d(bn, bn+1) = 0. Sử dụng điều kiện (13), với mọi n = 1, 2, . . . ta có
ψ(d(bn+1, bn)) = ψ(d(Tfan, Tfan−1))
≤ ψ(max{r1kd(bn, bn−1), r2d(bn, bn) + r3d(bn−1, bn+1),
r4k[d(bn, bn+1) + d(bn−1, bn)]})− ϕ(r2d(bn, bn) + r4d(bn, bn+1),
r3d(bn−1, bn+1) + r4d(bn−1, bn))
≤ ψ(max{r1kd(bn, bn−1), (r2 + r3)k[d(bn−1, bn)
+ d(bn, bn+1)], r4k[d(bn, bn+1) + d(bn−1, bn)]})
− ϕ(r2d(bn, bn) + r4d(bn, bn+1), r3d(bn−1, bn+1) + r4d(bn−1, bn))
≤ ψ(rk[d(bn−1, bn) + d(bn, bn+1)])
− ϕ(r2d(bn, bn) + r4d(bn, bn+1), r3d(bn−1, bn+1) + r4d(bn−1, bn)), (14)
trong đó r := max{r1, r2 + r3, r4} ≤ 1
2k
.
Từ ϕ là hàm không âm và ψ là hàm tăng cùng (14) suy ra
d(bn+1, bn) ≤ rk[d(bn−1, bn) + d(bn, bn+1)] ∀n = 1, 2, . . . .
Do đó
d(bn+1, bn) ≤ rk
1− rk d(bn−1, bn) ∀n = 1, 2, . . . .
Vì rk ≤ 1
2
nên
rk
1− rk ≤ 1. Do đó
d(bn+1, bn) ≤ d(bn, bn−1) ∀n = 1, 2, . . . .
Như vậy {d(bn+1, bn)} là dãy các số không âm và giảm. Do đó tồn tại
lim
n→∞ d(bn, bn+1) := c ≥ 0.
Từ (14) sử dụng tính chất của hai hàm ψ,ϕ, cho n→∞ ta được
ψ (c) ≤ ψ(2rkc)− ϕ
(
r2 lim inf
n→∞ d (bn, bn) + r4c, r4c+ r3 lim infn→∞ d (bn−1, bn+1)
)
.
Kết hợp với c ≤ 2rkc suy ra
ϕ
(
r2 lim inf
n→∞ d (bn, bn) + r4c, r4c+ r3 lim infn→∞ d (bn−1, bn+1)
)
= 0.
23
Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
Do đó, sử dụng tính chất của ϕ ta có
r4c = r2 lim inf
n→∞ d (bn, bn) = r3 lim infn→∞ d (bn−1, bn+1) = 0. (15)
Nếu r4 6= 0 thì c = 0.
Nếu r4 = 0, r2 6= 0 và r3 6= 0 thì từ (15) suy ra
lim inf
n→∞ d(bn, bn) = lim infn→∞ d(bn−1, bn+1) = 0.
Mặt khác, từ bất đẳng thức đầu tiên trong (14) suy ra
d(bn+1, bn) ≤ max{r1kd(bn, bn−1), r2d(bn, bn) + r3d(bn−1, bn+1)}
≤ max{r1kd(bn, bn−1), 2kr2d(bn−1, bn) + r3d(bn−1, bn+1)},
với mọi n = 1, 2, . . .. Cho n→∞ ta được
c ≤ max{r1kc, 2kr2c}+ lim inf
n→∞ r3d(bn−1, bn+1)
= max{r1kc, 2kr2c}. (16)
Vì r1 <
1
k3
nên r1k < 1. Do r2 + r3 ≤ 1
2k
nên
r2 ≤ 1
2k
− r3 < 1
2k
(vì r3 > 0).
Từ đó 2kr2 0 thì
max{r1kc, 2r2kc} < c.
Kết hợp với (16) ta có c = 0.
Nếu r4 = r2 = 0, r3 6= 0 thì (16) trở thành c ≤ r1kc.
Kết hợp với r1 <
1
k
suy ra c = 0.
Nếu r4 = r3 = 0, r2 6= 0 thì từ
d(bn+1, bn) ≤ max{r1kd(bn, bn−1), r2d(bn, bn)},
với mọi n = 1, 2, . . . suy ra
c ≤ max
{
r1kc, r2 lim inf
n→∞ d(bn, bn)
}
= r1ck.
Do đó c = 0.
Nếu r4 = r2 = r3 = 0 thì tương tự như trên ta có c ≤ r1kc.
Do đó c = 0. Như vậy
lim
n→∞ d(bn, bn+1) = 0.
Tiếp theo, ta chứng minh {bn} là dãy Cauchy. Với mọi n và m ∈∗ ta có
ψ(d(bn, bm)) = ψ(d(Tfan−1, T fam−1))
≤ ψ(max{r1kd(bn−1, bm−1), r2d(bn−1, bm)
+ r3d(bm−1, bn)}, r4k[d(bn−1, bn) + d(bm−1, bm)])
− ϕ(r2d(bn−1, bm) + r4d(bn−1, bn),
r3d(bm−1, bn) + r4d(bm−1, bm)).
24
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 14-28
Do đó, với mọi n,m ∈∗ ta có
d(bn, bm) ≤ max{r1kd(bn−1, bm−1), r2d(bn−1, bm)
+ r3d(bm−1, bn), r4k[d(bn−1, bn) + d(bm−1, bm)]}
≤ max{r1[k2d(bn−1, bn) + k3d(bn, bm) + k3d(bm, bm−1)],
r2k[d(bn−1, bn) + d(bn, bm)] + r3k[d(bm−1, bm) + d(bm, bn)],
r4k[d(bn−1, bn) + d(bm−1, bm)]}
≤ k2rd(bn−1, bn) + k3rd(bm, bm−1)
+ max{r1k3, (r2 + r3)k}d(bn, bm). (17)
Từ đó suy ra
d(bn, bm) ≤ k
2r
1−max{r1k3, (r2 + r3)k} [d(bn−1, bn) + kd(bm, bm−1)],
với mọi n,m ∈∗.
Từ r1 <
1
k3
và r2 + r ≤ 1
2k
<
1
k
suy ra 1−max{r1k3, (r2 + r3)k} > 0.
Kết hợp với
lim
n→∞ d(bn−1, bn) = limm→∞ d(bm−1, bm) = 0
ta suy ra
lim
n,m→∞ d(bn, bm) = 0.
Do đó {bn} là dãy Cauchy. Vì (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, nên tồn tại b ∈ E sao cho
d(b, b) = lim
n→∞ d(bn, b) = limn,m→∞ d(bn, bm) = 0,
tức là
Tfna0 = Tan = bn → b.
2) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy con. Ta chứng minh f có điểm bất động. Vì T là ánh xạ hội tụ
dãy con và {Tfan} = {bn+1} là dãy hội tụ nên tồn tại dãy con {ani} của {an} sao cho ani → a và
d(Ta, Ta) = 0. Khi đó d(ani , a)→ d(a, a). Vì T liên tục nên d(Tani , Ta)→ d(Ta, Ta) = 0 hay
d(bni , Ta)→ 0 khi ni →∞.
Mặt khác, từ d(bn, b)→ 0 khi n→∞ suy ra
d(bni , b)→ 0 khi ni →∞.
Sử dụng Định lý 1.11, suy ra b = Ta. Do đó Tfan = bn+1 → Ta. Sử dụng Định lý 1.11, ta có
1
k
d(Ta, Tfa) ≤ lim inf
n→∞ d(Tfan, Tfa).
25
Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
Do đó
ψ
(
1
k
d(Ta, Tfa)
)
≤ ψ
(
lim inf
n→∞ d(Tfa, Tfan)
)
≤ lim inf
n→∞ ψ (d(Tfa, Tfan)) ≤ lim supn→∞ ψ (d(Tfa, Tfan))
≤ lim sup
n→∞
ψ(max{r1kd(Ta, bn), r2d(Ta, bn+1)
+ r3d(bn, T fa), r4k[d(Ta, Tfa) + d(bn, bn+1)]})
≤ ψ
(
lim sup
n→∞
max{r1kd(b, bn), r2d(b, bn+1)
+ r3d(bn, T fa), r4k[d(b, Tfa) + d(bn, bn+1)]}
)
≤ ψ(max{r3kd(b, Tfa), r4kd(b, Tfa)})
≤ ψ(kmax{r3, r4}d(b, Tfa)).
Kết hợp với max{r3, r4} < 1
k2
suy ra d(b, Tfa) = 0. Do đó b = Tfa hay Ta = Tfa.
Vì T đơn ánh nên a = fa. Vậy a là điểm bất động của f .
Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động của f là duy nhất. Giả sử t cũng là điểm bất động
của f trong E. Khi đó,
ψ(d(Tt, T t)) = ψ(d(Tft, Tft))
≤ ψ(max{r1kd(Tt, T t), (r2 + r3)d(Tt, T t), 2r4kd(Tt, T t)})
− ϕ((r2 + r4)d(Tt, T t), (r3 + r4)d(Tt, T t))
≤ ψ(d(Tt, T t))− ϕ((r2 + r4)d(Tt, T t), (r3 + r4)d(Tt, T t)).
Từ đó suy ra
ϕ ((r2 + r4)d(Tt, T t), (r3 + r4)d(Tt, T t)) = 0.
Do đó
(r2 + r4)d(Tt, T t) = (r3 + r4)d(Tt, T t) = 0.
Nếu một trong các giá trị r2, r3, r4 mà khác 0 thì ta có d(Tt, T t) = 0. Nếu r2 = r3 = r4 = 0 thì
ψ(d(Tt, T t)) ≤ ψ(r1kd(Tt, T t)).
Kết hợp với 0 ≤ r1 < 1
k3
suy ra d(Tt, T t) = 0. Như vậy ta luôn có
d(Tt, T t) = 0.
Do đó
ψ(d(Ta, T t)) = ψ(d(Tfa, Tft))
≤ψ(max{r1kd(Ta, T t), (r2 + r3)d(Ta, T t),
r4k[d(Ta, Ta) + d(Tt, T t)]})
=ψ(max{r1kd(Ta, T t), (r2 + r3)d(Ta, T t)}).
Kết hợp với r1k < 1 và r2 + r3 < 1 suy ra d(Ta, T t) = 0. Do đó Ta = Tt. Vì T đơn ánh nên t = a.
Vậy điểm bất động của f là duy nhất.
3) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy. Khi đó, trong chứng minh 2) ở trên, thay dãy con {ani} bởi
{an} ta có fan → a, tức fn+1a0 → a. Do đó fna0 → a và a là điểm bất động của f .
26
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 14-28
Sau đây là một hệ quả của Định lý 2.7.
2.8. Hệ quả. [10] Giả sử (E, d) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, T và f : E −→ E là hai ánh
xạ thỏa mãn:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ2 sao cho với mọi a, b ∈ E, ta có
ψ(d(Tfa, Tfb)) ≤ψ
(
d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)
k + 1
)
− ϕ(d(Ta, Tfa), d(Tb, Tfb)). (18)
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng:
1) Với mỗi a0 ∈ E, dãy {Tfna0} hội tụ.
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có duy nhất điểm bất động trong E.
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tới điểm bất động của f .
Chứng minh. Ta xác định các hàm
ψ1 : [0,∞) −→ [0,∞), ϕ1 : [0,∞)2 −→ [0,∞)
cho bởi các công thức
ψ1(t) = ψ(t), ∀t ∈ [0,∞),
ϕ1(t, u) = ϕ(kt(k + 1), ku(k + 1)), ∀(t, u) ∈ [0,∞)2.
Khi đó, từ ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ2 suy ra ψ1 ∈ Ψ và ϕ1 ∈ Φ2. Sử dụng điều kiện (18), ta có
ψ1(d(Tfa, Tfb)) = ψ(d(Tfa, Tfb))
≤ψ
(
d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)
k + 1
)
− ϕ(d(Ta, Tfa), d(Tb, Tfb))
=ψ(rk[d(Ta, Tfa) + d(Tb, Tfb)])
− ϕ1(rd(Ta, Tfa), rd(Tb, Tfb))
với mọi a, b ∈ E, trong đó r = 1
k(k + 1)
. Từ đó suy ra các điều kiện của Định lý 2.7 được thỏa mãn
với
r1 = r2 = r3 = 0, r4 =
1
k(k + 1)
.
Do đó sử dụng Định lý 2.7 ta có điều cần chứng minh.
27
Đ. H. Hoàng, N. T. Huế, N. T. Ngọc / Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ T-co...
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. A. Alghamdi, N. Hussain, P. Salimi, Fixed point and coupled fixed point theorems on b-metric-
like spaces, J. Inequalities. Appl, 2013, pp. 402.
[2] S. K. Chatterjea, Fixed point theorems, C. R. Acad. Bulgare Sci. 25, 1972, pp. 727-730.
[3] C. Chen, J. Dong and C. Zhu, Some fixed point theorems in b-metric-like spaces, Fixed Point
Theory. Appl, 2015, 2015:122.
[4] B. S. Choudhury, Unique fixed point theorem for weak C-contractive mappings, Kathmandu Univ.
J. Sci. Eng. Technol, 5(1), 2009, pp. 6-13.
[5] S. Czerwik, Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math. Inform. Univ. Ostrav, 1, 1993,
pp. 5-11.
[6] N. Hussain, J. R. Roshan, V. Parvaneh and Z. Kadelburg, Fixed point of contractive mappings
in b-metric-like spaces, Sci. World. J, Volume 2014, pp. 15.
[7] R. Kannan, Some results on fixed point, Bull. Calcutta Math. Soc, 60, 1968, pp. 71-76.
[8] M. S. Khan, M. Swaleh, S. Sessa , Fixed point theorems by altering distances between
the points, Bull. Aust. Math. Soc, 30, 1984, pp. 1-9.
[9] S. Moradi, Kannan fixed-point theorem on complete metric spaces and on generalized
metric spaces depended on another funtion, arXiv: 0903.1577v1 [math.FA].
[10] Z. Mustafa, J. R. Roshan, V. Parvaneh and Z. Kadelburg, Fixed point theorems for
weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, J. Inequalities.
Appl, 2014.
[11] A. Razani, V. Parvanch, Some fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly
T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces, Russ. Math. (Izv. VUZ), 53 (3),
2013, pp. 38-45.
SUMMARY
ON EXISTENCE OF FIXED POINTS FOR WEAKLY T -CONTACTIVE
AND GENERALIZED WEAKLY T -CONTACTIVE MAPPINGS IN
B-METRIC-LIKE SPACES
In this paper, we prove some results for the existence and uniqueness fixed points for
weakly T -contactive and generalized weakly T -contactive mappings in b-metric-like spaces.
Our results extend and generalize the results in [3] [10].
28