Vấn đề dạy học Logarit trong chương trình Toán phổ thông và những điều cần biết về Logarit

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Viết Hiếu 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 55 
VẤN ĐỀ DẠY HỌC LOGARIT 
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 
VÀ NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ LOGARIT 
NGUYỄN VIẾT HIẾU* 
TÓM TẮT 
Chuyển hóa sư phạm tạo điều kiện cho người học tiếp cận nhanh và có hệ thống các 
tri thức đã được nhân loại thừa nhận. Tuy nhiên, quá trình đó làm cho tri thức không còn 
giống như nguồn gốc ban đầu của nó, đôi khi có sự khác biệt khá lớn. Điển hình là tri thức 
về logarit trong chương trình Toán phổ thông hiện hành. Với mong muốn tìm lại nghĩa và 
vai trò cho đối tượng logarit, bài viết giới thiệu sự xuất hiện của nó trong lịch sử và những 
vai trò công cụ qua các ứng dụng nổi bật. 
Từ khóa: logarit, nghĩa của tri thức, lịch sử Toán. 
ABSTRACT 
The issue of teaching logarithm in high school mathematics syllabus 
 and what to know about logarithm 
The pedagogical transfer has brought learners opportunities to approach quickly 
and systematically the knowledge that has been acknowledged by all human beings. 
However, that process has made the knowledge on longer the same as its origin; in fact, 
there’re sometimes wide disparities. A very typical example is the knowledge about 
logarithm, which has been presented in the current high school mathematics syllabus. 
Aiming to retrieve the meanings as well as the roles of logarithm, the article will discuss 
the appearance of logarithm in history and its main roles as a tool through outstanding 
applications. 
Keywords: logarithm, meanings of the knowledge, the history of maths. 
1. Vài nét sơ lược về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit 
Logarit được John Napier1 (1550 – 1617) giới thiệu đầu tiên trong tác phẩm 
“Mirifici logarithmorum canonis descriptio” vào năm 1614, sau 20 năm nghiên cứu. 
Dựa trên ý tưởng “nhân hai số theo cộng và trừ" của phương pháp (PP) 
prosthaphaeresis2 có trước đó. Tuy nhiên, PP prosthaphaeresis chứa đựng nhiều bất lợi 
khi thực hiện phép chia và khai căn. Trong khi đó, sự phát triển của khoa học thời bấy 
giờ đòi hỏi cần phải tính nhân, chia, khai căn hiệu quả hơn. Chính điều đó đã thôi thúc 
Napier sáng tạo ra PP tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba dựa trên logarit. Tuy 
nhiên định nghĩa khái niệm logarit do Napier đưa ra hoàn toàn khác so với chúng ta 
biết ngày nay. 
* HVCH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 50 năm 2013 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 56 
Hình 1. Hai đường thẳng song song, đoạn SQ , đoạn SQ cho trước và các điểm 
do hai điểm B, b vạch ra 
Theo [10], Edward Wright chỉ ra rằng: Napier đã tưởng tượng hai điểm B và b 
chuyển động trên hai đường thẳng song song (Hình 1), trong khi điểm B chuyển động 
theo một chiều nhất định trên đường thẳng dài vô hạn với tốc độ không đổi, bắt đầu từ 
A thì điểm b chuyển động từ a trên đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần. Ở những 
khoảng thời gian bằng nhau điểm B vạch ra các điểm C, D, E, tương ứng với thời 
điểm 1, 2, 3,, trong khi đó điểm b vẽ ra các điểm c, d, e, thỏa RQ cz dz ez
SQ az cz dz
với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho trước. Napier đã định nghĩa: 
AC=lognap(cz) với cz = Sinθ1 
AD=lognap(dz) với dz = Sinθ2 
AE=lognap(ez) với ez = Sinθ3 
Tương tự cho các điểm khác mà B và b vạch ra trên hai đường thẳng theo những 
khoảng thời gian bằng nhau. Napier đã chọn độ dài 10.000.000az và tạo ra những 
bảng tính logarit cần thiết cho các tính toán của mình. 
Như vậy, khái niệm logarit do Napier xây dựng dường như khác biệt so với khái 
niệm logarit chúng ta biết ngày nay3, đó là sự liên hệ giữa các phần tử của cấp số cộng 
(CSC) và các phần tử của cấp số nhân (CSN). Logarit biến đổi các phần tử của CSN 
thành phần tử của CSC tương ứng. Tuy nhiên, không có một định nghĩa logarit một số 
thực dương bất kì cho trước, cũng như không có một mối liên hệ gì với lũy thừa mũ số 
thực trong định nghĩa ban đầu này. Thêm nữa, không có một định nghĩa tường minh 
nào cho cơ số của logarit. Vậy, logarit do Napier xây dựng được sử dụng để làm gì? 
Tính chất nào của khái niệm logarit đã được thiết lập? 
Nghiên cứu [10] chúng tôi thấy: Napier đã chứng minh một số tính chất quan 
trọng của khái niệm logarit do mình tạo ra. Cụ thể như sau: 
 Nếu , , ,a b c d là bốn số của một CSN thỏa a c
b d
thì log log log lognap nap nap napa b c d . 
 Nếu , ,a b c là ba số hạng liên tiếp của một CSN 
thì 2 log log lognap nap napb a c . 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Viết Hiếu 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 57 
 Nếu , , ,a b c d là bốn số hạng liên tiếp của một CSN 
thì 3 log 2 log lognap nap napb a d và 3 log 2 log logn ap n a p n a pc d a . 
Theo [10] và [14], Napier đã kiểm chứng được tính ưu việt của logarit thông qua 
các bài toán: tính trung bình nhân củ ... n các hàm mũ, lũy thừa về các hàm tuyến tính, bán tuyến tính; tính đạo 
hàm các hàm số có dạng ( )g xy f x , 1 2
1 2
. ... n
n
y f x f x f x và giải PT mũ dạng 
 f xa b , ( ) g xf xa b . Thông qua những ứng dụng đó, logarit thực sự nổi bật với vai trò 
công cụ cho phép chuyển việc nghiên cứu các biểu thức phức tạp có dạng tích, thương, 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Viết Hiếu 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 63 
lũy thừa về các biểu thức đơn giản hơn nhờ mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng. 
Thông qua sự tác động của logarit, các biểu thức phức tạp được chuyển về dạng đơn giản 
hơn và mục đích tính toán được thực hiện trên những biểu thức đơn giản đó. 
2.2. Logarit – công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương 
Trong tính toán, đôi khi ta cần phải xác định một số nguyên dương có bao nhiêu 
chữ số. Có nhiều cách tính số các chữ số, có thể tính bằng cách đếm từng chữ số một. 
Chẳng hạn với số 1357902468, bằng cách đếm ta xác định được nó có 10 chữ số. Tuy 
nhiên, ta không thể xác định bằng cách đếm có bao nhiêu chữ số của 20132 khi viết 
trong hệ thập phân. Nhưng logarit cho phép làm được điều đó. 
Giả sử x là một số nguyên dương cho trước cần xác định số các chữ số. Theo 
tính chất của số tự nhiên, ta tìm được một số tự nhiên n sao cho 110 10 1n nx . Lấy 
logarit cơ số 10 hai vế của (1) ta được log 1n x n . Điều này chứng tỏ  logn x . 
Do đó, số chữ số của số nguyên dương x là  log 1x . 
Từ lập luận trên ta dễ dàng tính được số chữ số của số 20132 là 
2013log 2 1 606 . Tương tự, số nguyên tố Mersenne
7 13982691398269 2 1M có 
 1398269log 2 1 1 420921 chữ số. Như vậy, logarit được xem như là một công cụ 
tốt để tính số các chữ số của một số nguyên dương bất kì. 
2.3. Tỉ lệ logarit 
Trong tính toán, nhiều khi ta cần phải chuyển phạm vi của một đại lượng để tiện 
so sánh, đối chiếu và phân tích. Có thể phóng to kích thước của một hình lớn gấp m lần 
hoặc thu nhỏ n lần để xem xét. Với dãy số liệu 0,01; 0,1; 10; 100; 1000; 10.000; 
100.000; 1.000.000.000 nếu thực hiện giảm với tỉ lệ 1
10
 thì ta có dãy số nhỏ hơn 10 lần 
như sau: 0,001; 0,01; 1; 10; 100; 1000; 10.000; 100.000.000. Xét cho cùng ta vẫn có 
một dãy số phức tạp. Nếu lấy logarit thập phân các số từ dãy số liệu ban đầu đó ta có 
dãy số sau: -2; -1; 1, 2, 3, 4, 5, 9. Rõ ràng dãy số ban đầu đã được chuyển về dãy số dễ 
theo dõi và dễ kiểm soát hơn. 
Thực tế cho thấy, logarit thực sự có thể chuyển các đại lượng có phạm vi rộng 
hoặc quá nhỏ về phạm vi có thể kiểm soát được. Điều này được minh họa bởi thang đo 
pH, thang độ Richter và thang đo decibel - sự thể hiện cụ thể hóa của tỉ lệ logarit. 
Chúng tôi sẽ phân tích cụ thể tỉ lệ logarit qua thang đo pH. 
Theo tài liệu [7],“Trong nước nguyên chất cũng như trong bất kì dung dịch nào 
luôn luôn có mặt các ion H+ và OH-” và “nồng độ của các ion8 H+ và OH- biểu diễn 
được tính axit và bazơ của dung dịch”. Tuy nhiên, nồng độ ion H+ của dung dịch 
thường thay đổi trong phạm vi rất nhỏ, khó kiểm soát từ 1410 /mol l cho đến 
010 /mol l . Và theo [7]: “Môi trường của dung dịch có thể biểu diễn bằng đại lượng 
thuận lợi hơn: đại lượng chỉ số hydro pH: log
H
pH C ” ([7], tr.119). Vậy, chỉ số 
hydro pH thuận lợi hơn nồng độ ion H+ thể hiện ở chỗ nào? 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 50 năm 2013 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 64 
Qua phân tích, chúng tôi nhận thấy một số điểm thuận lợi sau: 
+ Thứ nhất, theo công thức tính pH thì pH là giá trị của hàm số logy x , với x 
đại diện cho nồng độ ion H+ và giá trị của x thuộc đoạn 14 010 ;10 . Mà ta biết: hàm 
số logy x là hàm nghịch biến trên khoảng 0; nên mỗi giá trị x thuộc đoạn 
14 010 ;10 có duy nhất một giá trị pH tương ứng thuộc đoạn  0;14 và ngược lại. Từ 
đó cho thấy phạm vi hẹp 14 010 ;10 của nồng độ ion H
+ đã được đưa về phạm vi dễ 
theo dõi hơn  0;14 . 
+ Thứ hai, dựa vào chỉ số pH ta cũng có thể xác định được tính axit hay bazơ của 
dung dịch. Thay vì so sánh nồng độ ion H+ 710 /mol l ta so sánh chỉ số pH với 7 
 7log 10 7 . Theo đó, nếu dung dịch có pH = 7 thì có môi trường trung tính, dung 
dịch có pH > 7 thì có môi trường bazơ và dung dịch có pH<7 thì có môi trường axit. 
+ Thứ ba, từ chỉ số pH hoàn toàn có thể tính lại được nồng độ ion H+ của dung 
dịch theo công thức 10 pH
H
C . 
Như vậy, không chỉ được tính toán trong Toán học, logarit còn được ứng dụng để 
xác định chỉ số pH của dung dịch. Từ ứng dụng tính pH đó ta thấy logarit nổi bật với 
vai trò công cụ cho phép chuyển đại lượng có phạm vi nhỏ về phạm vi có thể kiểm soát 
được. 
Trong khi nồng độ ion H+ đại diện cho đại lượng có phạm vi nhỏ, hẹp thì cường 
độ các trận động đất, cường độ của âm thanh là những trường hợp điển hình cho đại 
lượng có phạm vi tương đối rộng. Chẳng hạn, độ mạnh của các trận động đất dao động 
trong khoảng I0 cho đến 800,000,000I0 với I0 là biên độ dao động bé hơn 1 m trên máy 
đo địa chấn được đo bằng địa chấn kế đặt xa cách tâm chấn 100km. 
Logarit được ứng dụng để xác định độ chấn động của trận động đất và độ to nhỏ 
của âm thanh theo các công thức: 
 Độ chấn động của các trận động đất: 
0
log IM
I
 (đơn vị độ Richter), trong đó I0 là 
biên độ dao động chuẩn, I là biên độ dao động được đo bằng địa chấn kế đặt xa cách 
tâm chấn 100km. 
 Cường độ âm thanh: 
0
10log IL
I
 (đơn vị decibel), trong đó I là năng lượng 
truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian và qua một đơn vị diện tích bề mặt 
vuông góc với phương truyền (đơn vị đo là W/m2); I0 là cường độ của âm ở ngưỡng 
nghe 12 20 10 /I W m . 
Logarit không chỉ đơn thuần được ứng dụng để tính độ pH, đo độ chấn động của 
các trận động đất, đo độ to nhỏ của âm thanh, mà qua các ứng dụng đó logarit nổi bật 
với vai trò công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá hẹp hoặc quá rộng về phạm vi 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Viết Hiếu 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 65 
dễ kiểm soát hơn. 
3. Logarit trong chương trình toán phổ thông 
Chương trình (CT) toán phổ thông hiện hành đặt ra yêu cầu cần đạt đối với kĩ 
năng giải toán liên quan đến logarit là: “biết vận dụng định nghĩa, các tính chất của 
logarit vào tính toán các biểu thức chứa logarit và giải được một số phương trình, bất 
phương trình mũ đơn giản bằng phương pháp logarit hóa” ([1], tr.182-183). Định 
nghĩa và các tính chất của logarit chủ yếu được yêu cầu để tính các biểu thức chứa 
logarit và giải một số PT, bất phương trình (BPT) mũ. 
Theo trình bày của sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12 ở CT chuẩn và nâng cao: 
Logarit cơ số a của b (0 1, 0a b ) được định nghĩa là số thực thỏa a b . 
Logarit cơ số a của b còn được biết đến là nghiệm của PT xa b (với 0 1, 0a b ). 
Các tính chất của logarit chủ yếu được vận dụng để tính giá trị hay đơn giản các biểu 
thức chứa logarit, chẳng hạn “Tính 6 2log 5 log 31 log 236 10 8 ” ([6], tr.92) hay “Đơn giản 
biểu thức 4 1 3 9log log36 log
9 2 2 2
 ”([6], tr.93). Logarit thực sự nổi bật với ứng dụng 
giải các PT mũ dạng xa b , f x g xa b hay .f x g xa b c và các BPT mũ. 
Về các ứng dụng khác của logarit, SGK Giải tích 12 CT chuẩn hiện hành không 
đưa thêm một ứng dụng nào khác, trong khi đó SGK Giải tích 12 nâng cao (GT12NC) 
có đưa vào ứng dụng tính số các chữ số của một số nguyên dương trong phần bài học 
và bài tập. Ngoài ra, GT12NC bổ sung một số bài đọc thêm như “Về lịch sử phát minh 
logarit và bảng logarit”,“Logarit trong một số công thức đo lường”. Thông qua các 
bài đọc đó, GT12NC cung cấp thêm được ứng dụng “đo độ pH của dung dịch, đo độ 
chấn động của các trận động đất, đo độ to nhỏ của âm thanh” của logarit, vài nét cơ bản 
về lịch sử xuất hiện logarit, có đề cập“Thực tế, logarit của Nêpe đã làm cuộc cách 
mạng trong thiên văn và trong nhiều lĩnh vực toán bằng cách thay thế việc thực hiện 
“phép tính nhân, chia, tính căn bậc hai, căn bậc ba của những số lớn mà bên cạnh việc 
tiêu phí thời gian một cách tẻ nhạt, người ta còn bị nhầm lẫn” bằng thực hiện các phép 
tính cộng, trừ, đơn giản những số tương ứng. Phát minh của Nêpe là một phương thức 
tiết kiệm thời gian” ([6], tr.91). Tuy nhiên, không có một nhận xét hay tình huống để 
nhấn mạnh vai trò “công cụ cho phép đơn giản hóa các biểu thức phức tạp cho dưới 
dạng tích, thương, lũy thừa về các dạng đơn giản hơn” của logarit và những phân tích 
để chỉ ra vai trò “công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về 
phạm vi có thể kiểm soát được”. 
Trong khi đó, giáo viên (GV) giảng dạy trên lớp chỉ bám sát CT, SGK. Nếu có mở 
rộng, nâng cao thì GV chủ yếu tập trung vào các bài toán giải PT mũ, hệ PT mũ trong các 
đề thi đại học, chẳng hạn “Giải PT 22 1
2
log (8 ) log ( 1 1 ) 2 0x x x ”9. Còn học sinh 
(HS) chủ yếu học qua bài giảng của GV và tham khảo nội dung bài trong SGK. 
Do vậy, có thể nói rằng HS học xong CT phổ thông biết đến logarit với các ứng 
dụng giải PT, BPT mũ; tính độ pH của dung dịch, đo độ chấn động của các trận động 
đất, đo độ to nhỏ của âm thanh và công cụ tính số chữ số của một số nguyên dương cho 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 50 năm 2013 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 66 
trước. Trong khi đó, vai trò “công cụ cho phép đơn giản hóa các biểu thức phức tạp cho 
dưới dạng tích, thương, lũy thừa về các dạng đơn giản hơn” và vai trò “công cụ chuyển 
các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được” 
của logarit không được biết đến. 
Đáng lẽ ra, chúng ta có thể làm bật được hai vai trò ấy của logarit qua những tình 
huống, những phân tích từ ứng dụng “đo độ pH của dung dịch, đo độ chấn động của 
các trận động đất, đo độ to nhỏ của âm thanh” và tính đạo hàm của các hàm số cho 
dưới dạng 1 2
1 2
. ... n
n
y f x f x f x và ( )( )g xy f x . Cho nên, SGK nhất thiết phải đưa 
ra những tình huống, phân tích và kết luận về những vai trò ấy của logarit để HS có thể 
biết vận dụng trong thực tiễn khi cần dùng đến. 
4. Kết luận 
Logarit ra đời xuất phát từ nhu cầu của lịch sử, nhằm mục đích đơn giản hóa các 
phép tính phức tạp như nhân, chia, khai căn thành các phép cộng, trừ, chia hai và chia 
ba. Thay vì tính theo cách thông thường logarit cho phép thực hiện nhân, chia, khai căn 
theo cách đơn giản hơn mà vẫn đảm bảo kết quả chính xác tương đối. Theo tiến trình 
phát triển của lịch sử Toán học, lí thuyết về logarit ngày càng hoàn thiện. Không chỉ 
đơn thuần là công cụ hỗ trợ tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba, logarit còn được 
biết đến với ứng dụng giải PT, BPT mũ; tính pH của dung dịch; đo độ chấn động của 
các trận động đất; đo độ lớn của âm thanh; tính số các chữ số của một số nguyên 
dương, tính giới hạn vô định dạng 0 01 , 0 , ; tính đạo hàm của các hàm số có dạng 
( )( )g xy f x , 1 2
1 2
. ... n
n
y f x f x f x ; Qua các ứng dụng đó, logarit nổi bật với 
vai trò công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước, công cụ chuyển 
các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được và 
công cụ cho phép đơn giản hóa các biểu thức phức tạp có dạng tích, thương, lũy thừa 
về các dạng đơn giản hơn. Tuy nhiên, chương trình toán phổ thông hiện hành đưa 
logarit vào thực sự chỉ làm nổi bật được ứng dụng giải BPT và PT mũ dạng xa b hay 
 f x g xa b . Các vai trò công cụ của logarit chưa được quan tâm một cách thỏa đáng. 
Chúng tôi nhận thấy cần thiết phải bổ sung vào sách giáo khoa các bài tập, hoạt động 
và tình huống cho phép làm bật các vai trò trên của logarit, đặc biệt là vai trò công cụ 
cho phép nghiên cứu các biểu thức phức tạp thông qua các biểu thức đơn giản hơn bằng 
cách dựa vào quan hệ giữa phép nhân và phép cộng. 
1 John Napier là một nhà toán học, vật lí, chiêm tinh và thiên văn học người Scotland. Ông là địa chủ thứ tám 
của vùng Merchiston. 
2 Prothaphaeresis được ghép từ hai từ prosthesis (cộng) và aphaeresis (trừ), thay vì nhân theo cách thông 
thường, PP prosthaphaeresis dựa theo công thức 
 cos cos
cos . cos
2
a b a b
a b
 . 
3 Chúng tôi ám chỉ khái niệm logarit được định nghĩa như sau: 
“Cho a là số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực thỏa a b được gọi là logarit cơ số a của 
b và kí hiệu là log ba , tức là log b a ba
 ” ([6], tr.83) 
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Viết Hiếu 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
 67 
4 Hàm sản xuất Cobb – Douglas ở dạng ngẫu nhiên 32. . .1 2 3
UiY X X ei i i

 , trong đó Y – sản lượng; X2 - lượng 
lao động; X3 – lượng vốn; Ui –sai số ngẫu nhiên. 
Công thức lãi suất gộp trong lí thuyết tiền tệ, tài chính và ngân hàng: 10
t
Y Y rt , trong đó r là tốc độ tăng 
trưởng gộp (theo thời gian) của Y. 
5 Hàm sản xuất Cobb – Douglas ở dạng ngẫu nhiên 32. . .1 2 3
UiY X X ei i i

 
6 Các công thức (9) được đề cập trong Calculus – Concepts and Contexts – 4th Edition là: 
 lnln , ; , 0x xe x x e x x ¡ . 
7 Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng 2 1pM p trong đó p là một số nguyên tố, do nhà toán 
học Pháp M.Mersenne (1588 – 1648) đề xuất. 
Số nguyên tố Mersenne M31 do Euler phát hiện năm 1750. Nhà toán học Pháp E.Lucas (1842 – 1891) phát 
hiện M127 phát hiện năm 1876. M1398269 được phát hiện năm 1996. 
8 Nồng độ ion H+ thường được kí hiệu H hayCH
 và nồng độ ion OH
 được kí hiệu OH hayCOH
 . 
9Trích đề thi tuyển sinh đại học môn toán khối D năm 2011. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Nxb 
Giáo dục. 
2. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Annie Bessot và Claude Comiti (2009), Những yếu 
tố cơ bản của Didactic toán, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM. 
3. Nguyễn Huy Đoan (2007), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
4. Trần Văn Hạo (2007), Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
5. Hoàng Ngọc Nhậm (2008), Giáo trình Kinh tế lượng, Nxb Lao động – Xã hội. 
6. Đoàn Quỳnh (2007), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
7. Nguyễn Đình Soa (1990), Hóa đại cương, Nxb Trường Đại học Bách Khoa TPHCM. 
8. Nguyễn Đình Trí (2009), Bài tập toán cao cấp: Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo 
dục. 
9. Vũ Tuấn (2007), Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
10. Edward Wright (1618), A Description of the Admirable Table of Logarithms, London 
11. Florian Cajori (1913), “History of the Exponential and Logarithmic Concepts”, The 
American Mathematical Monthly, Vol.20, No.1, pp.5-14, published by: Mathematical 
Association of America. 
12. James Stewart (2010), Calculus – Concepts and contexts – 4th Edition. 
13.  
14.  
Người phản biện khoa học: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 21-5-2013; ngày phản biện đánh giá: 12-8-2013; 
ngày chấp nhận đăng: 16-9-2013)