Thực nghiệm trong Toán học và quan điểm “thực nghiệm” trong giảng dạy Toán

Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 78 
THỰC NGHIỆM TRONG TOÁN HỌC VÀ QUAN ĐIỂM 
“THỰC NGHIỆM” TRONG GIẢNG DẠY TOÁN 
Trần Anh Dũng* 
Nội dung đề cập trong bài này bắt nguồn từ những quan niệm khác nhau trong 
cộng đồng các nhà khoa học và các nhà giáo dục về thực nghiệm trong toán học và 
về giảng dạy các khoa học được gọi là “thực nghiệm”. 
Toán học được quan niệm là một khoa học thực nghiệm dựa trên bốn khía 
cạnh: phương pháp toán học; ứng dụng của toán học; phương pháp dạy học 
(PPDH) toán học; đặc trưng phát triển nội tại của toán học. 
Trong phạm vi bài báo này chúng tôi không có ý định trình bày những quan 
điểm nói trên, mà chỉ đề cập đến xu hướng thực nghiệm trong lịch sử và trong hoạt 
động dạy học toán hiện nay. Đồng thời trả lời câu hỏi: có hay không quan điểm 
“thực nghiệm” trong chương trình và sách giáo khoa Toán bậc phổ thông trung học 
ở Việt Nam hiện nay ? 
1. Thực nghiệm trong toán học 
Theo truyền thống, toán học luôn được quan niệm là một khoa học suy diễn, 
và vì vậy trong toán học không có chỗ đứng của thực nghiệm, thí nghiệm như trong 
những ngành khoa học khác (vật lí, hóa học). 
Tuy nhiên, trong lịch sử phát triển của toán học, các nhà toán học đã dùng 
“thực nghiệm” để kiểm nghiệm, tính toán những số liệu mà họ dự đoán trong điều 
kiện chỉ có công cụ tính tay thô sơ. Điển hình nhất là những thực nghiệm trong lịch 
sử khi các nhà toán học tính gần đúng số p. 
Newton thú nhận rằng ông đã sử dụng rất nhiều hình vẽ để tính gần đúng số p 
đến 15 chữ số thập phân khi ông sử dụng kết quả 
1/ 4
2
0
x x dxp = -ò để đưa ra giá trị 
gần đúng của p là : 3 3 1 1 124 ...
4 3 8 5 32 7 128
æ öp = + - - -ç ÷´ ´ ´è ø
* ThS, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Trần Anh Dũng 
 79 
Nhiều “thực nghiệm” khác đã được sử dụng để tính toán giá trị gần đúng của 
p trước và sau Newton. Những tính toán này đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. 
Gauss cũng được xem là một nhà toán học thực nghiệm. Có lần Gauss đã thú 
nhận về một kết quả ông phát hiện được: “Tôi đã tìm được kết quả nhưng tôi không 
biết làm thế nào để có được nó”. Chẳng hạn, năm 1790 khi khảo sát bản gốc tích 
phân đã cho bởi James Stirling ông đã phát hiện ra bài toán ngược của tích phân 
p -
ò
1
4
0
2 dt
1 t
. Dựa vào các tính toán tay, Gauss phỏng đoán rằng giá trị của tích phân 
đó bằng với giới hạn của các dãy (an), (bn) cho bởi : 
a0 = 1; b0 = 2 ; an+1 = 
+n na b
2
 và bn+1 = n na b . 
Kết quả này được ghi chú trong một cuốn nhật kí của ông. Mãi đến thế kỉ 
XIX, kết quả đó mới được chứng minh khi lí thuyết tích phân các hàm eliptic ra 
đời. 
Thực ra, nghiên cứu kỹ thuật mà Archimedes sử dụng trong phương pháp “vét 
kiệt” khi tính diện tích miền giới hạn bởi parabol và đường thẳng vuông góc với 
trục của nó, chúng ta có thể cho rằng tư tưởng “thực nghiệm” trong toán học đã 
xuất hiện từ thời cổ đại. Để dễ thấy hơn kỹ thuật mà Archimedes đã sử dụng, chúng 
ta giải thích lại cách làm của Archimedes theo phương pháp tọa độ hiện nay. 
Nếu (P) là parabol có phương trình y = 1 – 
x2, Archimedes tính diện tích giới hạn bởi (P) 
và trục Ox bằng cách “lấp kín” hình này bằng 
những tam giác. Archimedes bắt đầu từ tam 
giác cân mà các đỉnh là ( )0;1± và ( )1;0 , tam giác 
đó có diện tích là 1. Ông ta thêm vào hai tam 
giác mà đỉnh là ÷ø
öçè
æ±
4
3;
2
1 , phần diện tích tăng 
thêm là 
4
1 . Tiếp tục ông thêm vào 4 tam giác với các đỉnh mới là ( )1/ 4;15/16± và 
( )3/ 4;7 /16± thì diện tích tăng thêm là 1/16 cứ thế với mỗi tam giác có sẵn ông 
lại thêm hai tam giác mới. Archimedes quan sát thấy diện tích càng ngày càng gần 
với 4/3 vì: 
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version)
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 
 80 
 1 = 4 1
3 3
- 
 1+ 1
4
 = 4 1
3 4.3
- 
 1 1 4 11
4 16 3 16.3
+ + = - 
1 1 1 4 11
4 16 64 3 64.3
+ + + = -  
Bằng các lập luận có lí, Archimedes đi đến kết luận diện tích cần tính là 4/3. 
Kết quả mà Archimedes có được là một điển hình về sự kết hợp khéo léo giữa thực 
nghiệm và suy luận trong nghiên cứu toán học. 
Kỉ nguyên của máy tính điện tử đã làm một cuộc cách mạng trong hoạt động 
toán học thực nghiệm. Máy tính đầu tiên ENIAC được sử dụng lần đầu vào năm 
XIX49 đã tính 2037 chữ số thập phân của p trong 70 giờ. Thời gian này càng được 
rút ngắn với những máy tính thế hệ sau. 
Mặc dù hầu hết những lí thuyết, nguyên lí, định lí quan trọng của toán học đều 
có mặt trước kỉ nguyên của công nghệ thông tin (CNTT) nhưng sự phát triển của 
CNTT đến lượt nó lại tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động nghiên cứu toán học và 
giảng dạy toán học có một công cụ mới, gắn toán học và giảng dạy toán học với 
hoạt động thực nghiệm. Xu hướng này vẫn chưa có mặt ở chương trình giảng dạy 
toán bậc ĐH ở nước ta mặc dù đã phát triển ở nhiều nước tiên tiến hơn một