Tài liệu Các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán

CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
	Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông việc dạy học những khái niệm và định nghĩa, những định lý và chứng minh, việc dạy giải bài tập toán...được lặp đi lặp lại rất nhiều lần, ta gọi đó là các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán.
1.	Dạy học các khái niệm toán học
	a) 	Vị trí và yêu cầu
	Trong môn Toán, việc dạy học các khái niệm toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học.
	Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường trung học cơ sở phải dần dần làm cho học sinh đạt được các yêu cầu sau:
Nắm được đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra (vẽ, gấp hình, nêu bằng lời...) một đối tượng là một minh hoạ cụ thể cho một khái niệm cho trước.
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của khái niệm.
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán, ứng dụng và thực tiễn.
Nắm hệ mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song vì lý do sư phạm, các yêu cầu trên đây không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm.
Ở trung học cơ sở, có khái niệm được hình thành tương đối chính xác cho học sinh, như khái niệm số nguyên tố, khái niệm hình bình hành..., nhưng cũng có khái niệm chỉ có thể được giải thích, mô tả, minh hoạ trên hình ảnh và ví dụ cụ thể, giúp học sinh sử dụng khái niệm đó một cách trực giác mà thôi, như khái niệm phân số, khái niệm số nguyên, số đối... Giáo viên cần hiểu rõ điều đó để có những yêu cầu và biện pháp sư phạm thích hợp.
Chẳng hạn, đối với khái niệm “phân số” thì không thể yêu cầu học sinh nắm được những đặc điểm đặc trưng của khái niệm như đối với khái niệm “hình bình hành”. Ở trường phổ thông, chưa thể đưa ra một định nghĩa chính xác về phân số mà chỉ diễn tả dựa vào kinh nghiệm sống của trẻ (một cái bánh được chia làm “bốn phần” bằng nhau, mỗi em “một phần”; đi bộ mất “nửa giờ”...) nhằm giải thích khái niệm về phân số, từ đó biết làm các phép tính về phân số. Vì thế không nên đặt cho học sinh câu hỏi: “phân số là gì?”.
b) 	Các con đường hình thành khái niệm
Thứ nhất là con đường quy nạp được áp dụng cho phần lớn các khái niệm. Theo con đường này, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể...), bằng cách trừu tượng hoá và khái quát hoá, ta dẫn dắt học sinh tìm ra dấu hiệu đặc trưng của khái niệm thể hiện ở những trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, điển hình trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn các dấu hiệu khác thì thay đổi. Chẳng hạn, để hình thành khái niệm “góc ngoài của tam giác”, bước đầu vẽ ba hình như sau (hình 30: a, b, c)
	Trong các hình này, những dấu hiệu không bản chất của khái niệm “góc ngoài của tam giác” được thay đổi, như “một cạnh của góc ngoài là phần kéo dài của cạnh đáy” chỉ có ở hình a) mà không có ở hình b) và c), như “góc ngoài luôn là góc tù” chỉ có ở hình a) và b) mà không có ở hình c), như “đỉnh góc ngoài luôn thuộc cạnh đáy” chỉ có ở hình a) và b) mà không có ở hình c) v.v...
	Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng khả năng phát triển nữhng năng lực trí tuệ như so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá. Vì thế cần chú trọng khai thác khả năng này.
	Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh là con đường suy diễn, trong đó việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm cũ mà học sinh đã biết.
	Chẳng hạn, đối với học sinh khá giỏi “khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận” ở lớp 7 có thể được xây dựng bằng cách dựa vào định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết trong số học lớp 6 để đưa ra một định nghĩa của khái niệm mới, sau đó mới đưa ra ví dụ để minh hoạ. Sau khi cho học sinh nhắc lại định nghĩa và tính chất của tương quan tỉ lệ thuận đã học ở lớp 6, ta lưu ý học sinh rằng tương quan tỉ lệ thuận trong số học có thể định nghĩa bằng hai cách tương đương nhau:
	- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi đại lượng này tăng (giảm) bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng (giảm) bấy nhiêu lần.	(1)
	- Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận khi tỉ số giữa một giá trị bất kỳ của đại lượng này với giá trị tương ứng của đại lượng kia là một hằng số (hằng số này gọi là hệ số tỉ lệ).	(2)
	Bây giờ, ta lấy (2) làm định nghĩa của hai đại lượng tỉ lệ thuận trong đại số, hệ số tỉ lệ cũng như giá trị của hai đại lượng đều là số hữu tỉ, dương, âm hoặc bằng 0.
	Từ đó, với cách suy nghĩ tương tự, học sinh có ... ng học sinh khó thấy hơn. Chẳng hạn, có bài toán ở Đại số lớp 8, tr. 31 là: “Chứng minh rằng x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi giá trị của x và y”, mà có học sinh giải như sau:
	“Từ x2 + 2xy + y2 + 1 > 0 suy ra (x + y)2 + 1 > 0 hay (x + y)2 > -1. Bất đẳng thức cuối cùng này đúng, do đó bất đẳng thức phải chứng minh là đúng”.
	Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến là một phép chứng minh.
	Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sơ suất trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài...
Lập luận phải có căn cứ chính xác. Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức...đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí.
Ví dụ, với bài toán “Giải phương trình ” (Đại số lớp 9, tr. 35) có học sinh giải như sau:
	Học sinh do không nắm vững hằng đẳng thức để từ phương trình đã cho suy ra |2x – 1| = 3, do đó đã để mất một nghiệm x = -1.
Lời giải phải đầy đủ. Điều này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu. Muốn vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn luôn suy nghĩ và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì ? Như vậy đã đủ chưa ? Còn trường hợp nào nữa hay không ? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa ?
Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là những bài toán đòi hỏi phải biện luận.
Hình 37
Ví dụ, cho một bài toán sau: “Cho một hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O, một góc vuông xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F. Tính diện tích tứ giác OEBF”. (Hình học lớp 8, tr. 55). Có học sinh đã trình bày lời giải như sau: “Giả sử tia Ox cắt AB tại trung điểm E, tia Oy cắt BC tại trung điểm F (hình vẽ). Hình bình hành OEBF có các góc B và O vuông nên nó là hình chữ nhật, ta lại có nên OEBF là một hình vuông có cạnh . Vậy diện tích OEBF là:
	Rõ ràng lời giải trên không đầy đủ (mặc dù đáp số là đúng) vì mới chỉ xét một trường hợp riêng mà không xét đến trường hợp tổng quát: E là một điểm nào đó trên cạnh AB. Tuy nhiên, lời giải trên cho một trường hợp đặc biệt cũng có tính chất gợi ý cho một giả thuyết: dự đoán diện tích OEBF bằng tức là bằng một phần tư diện tích hình vuông đã cho.
	Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Pôlya. Sách đã dẫn).
	c)	Dạy học phương pháp tìm tòi lời giải bài toán
	Trong môn Toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy, có thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải. Đây là cơ hội rất tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh một số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán phương pháp toán học hoá - nhằm rèn luyện và phát triển ở họ năng lực tư duy khoa học. Biết đặt ra cho học sinh đúng mức, đúng chỗ những câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng và trong một chừng mực nào đó, sử dụng khéo léo và linh hoạt bảng gợi ý của G. Pôlya (ở cuối mục này) là thể hiện kinh nghiệm và năng lực sư phạm của người giáo viên trong quá trình dạy giải bài tập toán. Đó là những lời khuyên của người có kinh nghiệm giải toán chứ không phải là những bảng chỉ dẫn có tính chất thuật toán. Tiếp thu những kinh nghiệm này, mỗi người có thể thực hiện khác nhau, cả về cách thức lẫn thời gian, để đi đến kết quả, và có thể có người không đi đến kết quả. Điều đó nói lên tính chất khó khăn phức tạp của việc truyền đạt phương pháp và kinh nghiệm giải toán chứ không hề phủ nhận vai trò quan trọng của việc này. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán, “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh” (G. Pôlya – Sách đã dẫn).
	Phương pháp tìm tòi lời giải của Pôlya thường được tiến hành theo bốn bước:
	- Tìm hiểu nội dung của bài toán;
	- Xây dựng chương trình giải;
	- Thực hiện chương trình giải;
	- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Tìm hiểu nội dung bài toán. Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời còn phải có hứng thú giải bài toán đó. Vì thế, người giáo viên cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứng thú của học sinh và giúp học sinh hiểu bài toán phải giải. Phải tìm hiểu tổng thể để bước đầu hiểu toàn bộ bài toán, tránh vội vàng đi ngay vào các chi tiết.
Tiếp theo, phải phân tích bài toán: cái gì đã cho, cái gì chưa biết ? có mối quan hệ nào giữa cái phải tìm với cái đã cho ?...
Ví dụ đối với bài toán: Giải phương trình (17 – 21) – 9 = 17 – (x + 9)
một số học sinh tiến hành bỏ các dấu ngoặc và thực hiện các phép tính. Nhưng nếu biết nhìn bài toán một cách tổng thể, nhận ra được đặc điểm của phương trình và có ngay x = 21.
	Đối với những bài toán Số học có lời văn nhiều, thì trước hết phải phân tích để gạt ra một bên những cái không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài toán để có thể nhận dạng được bài toán.
	Chẳng hạn, bài toán: “Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B theo hai chiều ngược nhau. Vận tốc của người đi từ A là 12km/h. Vận tốc của người đi từ B bằng 125% vận tốc của người đi từ A. Biết rằng quãng đường AB dài 67,5km, hỏi sau mấy giờ thì hai người đi xe đạp gặp nhau ?” có lời văn dài, nhưng về quan hệ toán học thuộc về dạng toán “chuyển động đều ngược chiều nhau”. Từ đó, dựa vào công thức để giải.
	Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Cần phải đọc kĩ toàn bộ bài toán, từ đó tưởng tượng một cách khái quát và sơ bộ một hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài. Thường sau khi vẽ hình, học sinh sẽ hiểu rõ bài toán hơn. Cần chú ý:
	- Hình vẽ phải mang tính tổng quat, không nên vẽ hình trong những trường hợp đặc biệt.
	- Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy những quan hệ và những tính chất hình học.
	- Việc vẽ hình bằng tay và bằng thước, compa dần được giải quyết một cách thoả đáng. Khi học sinh mới bắt đầu học hình học (ở lớp 6, lớp 7) nên yêu cầu học sinh vẽ hình bằng thước và compa, dần dần tập cho các em quen vẽ hình bằng tay cho nhanh, chỉ vẽ bằng thước và compa khi phải làm bài viết hoặc khi cần vẽ tương đối chính xác để dễ đoán nhận tính chất của hình. Luôn yêu cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể hiện gần đúng các quan hệ về độ lớn của các góc và các đoạn thẳng cho trong bài toán.
	Việc chọn kí hiệu cũng cần được lưu ý. “Thời gian dành để chonh kí hiệu sẽ được trả công rất hậu bởi thời gian tiết kiệm được nhờ tránh khỏi mọi sự do dự và lẫn lộn.” (G. Pôlya – Sách đã dẫn). Một lí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh hiểu nước đôi và không nên cầu kì, thứ tự và tương quan giữa các kí hiệu phải giúp chúng ta liên tưởng đến thứ tự và tương quan giữa các đối tượng tương ứng. Chẳng hạn, đối với hai tam giác bằng nhau hay đồng dạng, nên viết các đỉnh theo thứ tự tương ứng.
Xây dựng chương trình giải. Ở bước này, phải chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc,...) có liên quan đến những khái niệm, những quan hệ trong đề toán, rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ liệu của bài toán, mò mẫm, dự đoán, thử xét một vài khả năng, kể cả trường hợp đặc biệt, xét một bài toán tương tự hoặc bài toán khái quát của bài toán đã cho v.v...
Việc phân tích bài toán thành từng bộ phận hay thành từng bài toán đơn giản hơn có thể được minh hoạ bằng ví dụ sau. Cho bài toán: “Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cam, 50% là hồng xiêm, còn lại là bưởi. Hỏi có bao nhiêu cây bưởi ?” (Toán lớp 6, tập 2, tr. 102). Ta có thể phân tích bài toán này thành ba bài toán đơn giản hơn:
(1) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cam. Tính số cây cam. (180 cây).
(2) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó 50% là hồng xiêm. Tính số cây hồng xiêm. (225 cây).
(3) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó có 180 cây cam, 225 cây hồng xiêm, còn lại là bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây).
Cũng có thể phân tích thành ba bài toán đơn giản khác như sau:
(1a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó là cam, 50% là hồng xiêm. Tính số cây cam và cây hồng xiêm .
(2a) Vườn trường trồng cây ăn quả, trong đó là cam và hồng xiêm, còn lại là bưởi. Tính số cây bưởi .
(3a) Vườn trường trồng 450 cây ăn quả, trong đó là cây bưởi. Tính số cây bưởi (45 cây).
Việc giải nhiều bài toán dựng hình cũng đòi hỏi phải phân tích ra thành một số bài toán bộ phận. Ta xét ví dụ sau: “Dựng tam giác ABC biết , tỉ số và trung tuyến phát xuất từ đỉnh A có độ dài m cho trước” (Hình học lớp 8, tr. 69). Có thể phân tích bài toán này thành hai:
(1) Dựng tam giác AB’C’ biết và .
(2) Dựng tam giác ABC đồng dạng với AB’C’, cạnh BC // B’C’ và có trung tuyến phát xuất từ A bằng độ dài m cho trước.
Mò mẫm, dự đoán bằng cách thử một số trường hợp co thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt của bài toán, xét bài toán tương tự hay tổng quát hơn...
Hình 38
Hãy quay lại với bài toán trong Hình học lớp 8, tr. 55 sau: “Cho một hình vuông ABCD có cạnh a, tâm O. Một góc vuông xOy có tia Ox cắt cạnh AB tại E, tia Oy cắt cạnh BC tại F (h. 38). Tính diện tích tứ giác OEBF”.
Ngoài cách xét một trường hợp riêng như nêu ở mục 2.c để dự đoán được diện tích OEBF bằng , ta có thể xét một trường hợp đặc biệt khác khi tia Ox đi qua A, tia Oy đi qua B, tức là tứ giác OEBF thành tam giác AOB có diện tích bằng diện tích hình vuông đã cho. Chính từ hình vẽ của trường hợp đặc biệt này lại gợi ý cho việc tìm lời giải của trường hợp tổng quát khi E thuộc cạnh AB, còn F thuộc cạnh BC: tứ giác OEBF và tam giác AOB có phần chung là EOB, nếu như các phần còn lại là hai tam giác AOE và BOF mà bằng nhau thì diện tích OEBF và AOB bằng nhau và bằng diện tích hình vuông. Việc chứng minh hai tam giác AOE và BOF bằng nhau không gặp nhiều khó khăn: OA = OB, góc có cạnh tương ứng vuông góc với nhau.
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Cần phải luyện cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là các bài toán có đặt điều kiện hoặc đòi hỏi biện luận. Việc kiểm tra lại kết quả phải được yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên. Chẳng hạn khi giải một phương trình, sau khi tìm được nghiệm, học sinh thay vào phương trình đã cho để kiểm tra lại. Đối với các bài toán giải bằng cách đặt phương trình thì phải thay nghiệm tìm được của phương trình vào bài toán đã cho ban đầu.
Ví dụ, cho bài toán: “Trên ba giá sách có tất cả 50 cuốn. Giá thứ nhất chứa hơn giá thứ hai 10 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ ba 26 cuốn thì số sách ở giá thứ hai và thứ ba bằng nhau. Hỏi ban đầu giá thứ nhất chứa bao nhiêu cuốn sách ?”.
Ta giải bài toán như sau: gọi x là số sách ban đầu ở giá thứ nhất, khi đó giá thứ hai chứa x – 10 cuốn, ta có phương trình:
	Nếu thay...kết quả này vào bài toán thì giá thứ nhất chứa 32 cuốn, giá thứ hai chứa 22 cuốn, còn giá thứ ba chứa -4 cuốn (!), do đó x = 32 không thể là đáp số của bài toán.
	Cần phải nhìn lại xem đã xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán hay chưa, nhất là bài toán có liên quan đến những đối tượng hay quan hệ có nhiều khả năng xảy ra. Bằng cách này sẽ dần dần luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề một cách toàn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện hời hợt.
	Ví dụ, với bài toán: “Dựng hình bình hành có ba đỉnh ở ba điểm A, B, C cho trước”, nhiều học sinh chỉ dựng hình ABDC, một số thấy thêm hình bình hành ABCE và ít học sinh thấy được đầy đủ cả ba hình như trên hình 39.
Hình 39
	Trong quá trình giải bài tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mỗi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất.
	d)	Bản gợi ý của Pôlya. Bản gợi ý của Pôlya rất có ích cho giáo viên trong quá trình dạy học giải bài tập toán. Người giáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng này để có thể xác định những câu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, mang lại hiệu quả và đạt mục đích của việc dạy học giải bài tập.
	(1) Hiểu rõ bài toán:
	- Đâu là ẩn ? Đâu là dữ liệu ? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không ? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ?
	- Vẽ hình. Sử dụng một kí hiệu thích hợp.
	- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không ?
	(2) Xây dựng một chương trình giải:
	- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác ?
	- Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không ? một định lí có thể dùng được không ?
	- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có ẩn tương tự.
	- Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng nó không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? Hãy sử dụng phương pháp ! Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không ?
	- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ? Một cách khác nữa ? Quay về các định nghĩa.
	- Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một trường hợp riêng ? Một bài toán tương tự ? Bạn có thể giải một phần bài toán không ? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào ? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không ? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không ?
	- Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa ?
	(3) Thực hiện chương trình giải:
	Khi thực hiện chương trình, hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không ?
	(4) Trở lại cách giải (nghiên cứu cách giải đã tìm ra)
	- Bạn có thể kiểm tra lại kết quả ? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải toán không ?
	- Có thể tìm được kết quả một cách khác không ? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không ?
	- Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không ?