Sự hội tụ của tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên trong không gian NPC toàn cục

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 
SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN 
TRONG KHÔNG GIAN NPC TOÀN CỤC 
Nguyễn Văn Quảng 
Đại học Vinh 
Hoàng Thị Duyên 
Trường Đại học Quảng Bình 
Tóm tắt. Bài báo đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên, sau đó thiết 
lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên 
không gian NPC toàn cục. Các kết quả này là mở rộng một kết quả đã biết của Karl - Theodor 
Sturm trong [5] về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. 
1. MỞ ĐẦU 
Các định lý giới hạn nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng 
trong lý thuyết xác suất và thống kê. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh 
tế, y học và một số ngành khoa học thực nghiệm khác. Chính vì thế, việc nghiên cứu về 
luật số lớn không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa to lớn về mặt thực 
tiễn. 
Từ kết quả của Karl - Theodor Sturm về tổng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng 
phân phối [5], chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên nhận 
giá trị trên không gian NPC toàn cục, sau đó thiết lập luật yếu số lớn và luật mạnh số lớn 
cho tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian đó. 
Trước hết, chúng tôi xin giới thiệu khái niệm về không gian NPC toàn cục theo 
nghĩa của Alexandrov được sử dụng trong các bài báo [5] và [7]. 
Định nghĩa 1.1. Cho ( , )N d là không gian mêtric. 
i) Đường cong (liên tục) :[0,1] Nγ → được gọi là trắc địa nếu 0 1( , ) ( ),dd lγ γ γ= 
trong đó 
1
1
0 1
0
( ) : sup{ ( , ) | 0 1}.
k k
n
t t nd
k
l d t t tγ γ γ
+
−
=
= = < < < =∑ L 
 Ta còn ký hiệu trắc địa là , [0,1].tt tγ ∈a 
ii) ( , )N d được gọi là không gian trắc địa nếu với bất kỳ 0 1 ,, Nγ γ ∈ luôn tồn tại 
trắc địa nối hai điểm đó. 
Định nghĩa 1.2. Không gian mêtric đủ ( , )N d được gọi là không gian NPC 
(nonpositive curvature) toàn cục nếu : 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 
i) Nó là không gian trắc địa, 
ii) Với bất kỳ trắc địa , [0,1],tt tγ ∈a với bất kỳ ,z N∈ ta có bất đẳng thức sau 
2 2 2 2
0 1 0 1( , ) (1 ) ( , ) ( , ) (1 ) ( , ).td z t d z td z t t dγ γ γ γ γ≤ − + − − (1) 
Không gian NPC toàn cục cũng được gọi là không gian Hadamard. 
Điều kiện (1) có nhiều ứng dụng quan trọng. Một trong những ứng dụng của (1) là 
với hai điểm bất kỳ 0 1,γ γ trong không gian NPC toàn cục N, trắc địa :[0,1] Nγ → nối 
hai điểm đó là duy nhất. Dưới đây là một số ví dụ về không gian NPC toàn cục. 
Ví dụ 1) Không gian Hilbert là không gian NPC toàn cục. Một không gian Banach 
là không gian NPC toàn cục khi và chỉ khi nó là không gian Hilbert. 
Ví dụ 2) Không gian 2 ( , , )L M N µ gồm các ánh xạ đo được :f M N→ từ không 
gian độ đo (M, M , µ ) bất kỳ vào không gian NPC toàn cục ( , )N d là không gian NPC 
toàn cục với khoảng cách là 
1
2
2
2 ( , ) : ( ( ), ( )) ( )
M
f g d f x g x dxd µ=   
 
∫ . 
Ví dụ 3) Không gian mêtric 2( , )pd với 
1 2 1 2 1 1 2 2(( , ), ( , )) | | | | , 1 , 2pp p pd x x y y x y x y p p= − + − < < ∞ ≠ 
không là không gian NPC toàn cục. 
Xét (Ω , f, P) là không gian xác suất, g là σ-đại số con của f và ( , )N d là không 
gian NPC toàn cục. 
Định nghĩa 1.3. 
i) Cho , :Y Z NΩ → là các ánh xạ g-đo được. Ta gọi Y và Z là tương đương nếu Y 
= Z hầu chắc chắn. 
ii) Đặt 
( ) ( )
1
1 2
22
2
2( , ) : : ( )( , ) ( ), ( )d Y Z d P dEd Y Z Y Z ωω ω
Ω
= =
 
 
 
∫ 
và 
( ) ( ), : ess sup ( ), ( )d Y Z d Y Z
ω
ω ω
∞
∈Ω
= , 
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH, SỐ 02 
trong đó, ess sup ( )
x
f x
∈Ω
 là cận trên cốt yếu của f theo nghĩa nó là giá trị bé nhất trong 
số các giá trị chặn trên (hầu khắp nơi) của f. 
Khi đó, 2d và d∞ là các mêtric trên không gian các ánh xạ g-đo được. 
Kí hiệu 2L (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ g-đo được :Z NΩ → 
sao cho 2( , )d y Z < ∞ , với y N∈ và L∞ (g) là tập hợp các lớp tương đương của các ánh xạ 
g- đo được :Z NΩ → sao cho ( , )d y Z
∞
< ∞ với y N∈ . 
Như vậy, mỗi phần tử của 2L (g), L∞ (g) là một lớp tương đương. Từ đây trở về sau, 
nếu không sợ nhầm lẫn, chúng ta sẽ không phân biệt một ánh xạ đo được với lớp tương 
đương của nó. 
Mệnh đề 1.1. ([5, Proposition 1.6 ]) Không gian 2L (g) với mêtric 2d là không gian 
NPC toàn cục. 
Định nghĩa 1.4. Cho ánh xạ đo được :Y NΩ → . Ta gọi 
V gY=inf{ ( )2 , | :Ed Y Z Z NΩ → là g - đo được} 
 là phương sai có điều kiện trung bình của Y đối với g và 
{ }2V(Y): = inf ( , ) |Ed z Y z N∈ 
là phương sai của Y. 
Định nghĩa 1.5. Cho ( ), :n nY Y NΩ → là dãy các phần tử ngẫu nhiên. Dãy ( )nY được 
gọi là hội tụ về Y 
i) theo xác suất nếu với mọi 0ε > ta có ( )lim ( , ) 0n
n
P d Y Y ε
→∞
> = . 
Kí hiệu PnY Y→ . 
ii) hầu chắc chắn nếu ( )lim ( , ) 0 1n
n
P d Y Y
→∞
= = . 
Kí hiệu . . .n h c cY Y→ . 
iii) theo trung bình cấp r, ( 0)r > nếu lim ( , ) 0r n
n
Ed Y Y
→∞
= .