Sử dụng phương pháp biến phân Ritz trong các bài tập cơ học lượng tử cho sinh viên chuyên ngành Vật lý của trường Đại học Hồng Đức

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
93
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN RITZ TRONG CÁC BÀI TẬP 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CHO SINH VIÊN CHUYÊN NGÀNH 
VẬT LÝ CỦA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC 
Nguyễn Thị Ngọc1 
TÓM TẮT
Trong các bài toán cơ học lượng tử, phương trình Schrodinger áp dụng cho các 
hệ phức tạp không thể giải chính xác mà phải dùng các phương pháp gần đúng. Phương 
pháp biến phân là phương pháp gần đúng tìm ra các trị riêng và hàm riêng của 
Hamiltonian. Phương pháp biến phân dựa trên nhận định năng lượng trung bình của hệ 
lớn hơn hoặc bằng năng lượng của hệ ở trạng thái cân bằng. Việc tính năng lượng ở 
mức cơ bản đưa đến chọn một hàm thử chứa thông số chưa biết. Cực tiểu hóa năng 
lượng trung bình để tìm các thông số chưa biết trong hàm thử. Từ đó ta tính được năng 
lượng ở trạng thái cơ bản.
Từ khóa: Hệ lượng tử, hàm Hamiltonian, hàm thử, phương pháp biến phân.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giải bài tập cơ học lượng tử về phương trình Schrodinger cho các hệ
lượng tử phức tạp, việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là một vấn đề rất khó khăn đối 
với các sinh viên. Tài liệu tham khảo cho học tập bộ môn là hạn chế, giáo trình của một số
tác giả về phần bài tập hầu như không có lời giải hoặc hướng dẫn phương pháp giải. Do đó, 
các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải bài tập. Bài báo này sử dụng phương 
pháp biến phân Ritz trong giải bài tập cơ học lượng tử sẽ giúp cho các em nắm vững bản 
chất hiện tượng của các hệ lượng tử đó.
2. NỘI DUNG
2.1. Lý thuyết về phương pháp biến phân Ritz
Phương pháp biến phân là một trong các phương pháp gần đúng tìm ra các trị riêng và 
hàm riêng của Hamiltonian.
Phương pháp biến phân dựa trên nhận định năng lượng trung bình của hệ lớn hơn hoặc 
bằng năng lượng của hệ ở trạng thái cân bằng.
Việc tính năng lượng ở mức cơ bản đưa đến chọn một hàm thử chứa thông số chưa biết.
Cực tiểu hóa năng lượng trung bình để tìm các thông số chưa biết. Từ đó ta tính được 
năng lượng ở trạng thái cơ bản.
1 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
94
Cơ sở lý thuyết
Ta có giá trị trung bình của năng lượng:
*
*
2
ˆ
ˆ
H dx
E H dx
dx
= =
ò
ò
ò
(1) ( hàm sóng 
đã được chuẩn hóa)
Khai triển hàm sóng theo của toán tử không nhiễu loạn . Ta có
0
( ) n n
n
x C=å với
2
1n
n
C =å (2)
Thay (2) và (1) ta được:
2 20 0 0 0 0 0* * *
2 2
0 0
ˆ ˆ ˆ
 =
n n n n n n n n n n
n n n n
n n n
n n
E C H C dx C H dx C H dx
C E C E E
= = =
³ ³
å å å åò ò ò
å å
Vậy 
* ˆminE H dx= ò
Nhận xét: Việc tính năng lượng ở trạng thái cơ bản ở biểu thức trên dẫn đến việc chọn 
“hàm thử” chứa một số thừa số chưa biết nào đó: và , , ,...x
Tính
* ˆ( , ,..) , , ,... , , ,...J x H x dx= ò
Tìm cực trị của ( , ,..)J đồng nghĩa với việc giải phương trình:
0 0... 0 , ,...
J J¶ ¶
= = = Þ
¶ ¶
Nếu chọn tốt hàm thử ta có giá trị năng lượng 0 0( , ,...)E J= gần với giá trị thật 
0E và lúc đó hệ số trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần đúng với hàm 0 , , ,...x .
Phương pháp tính năng lượng cơ bản nói trên gọi là phương pháp biến phân Ritz.
Ngoài ra, người ta còn có thể tính năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất 1E hoặc 
trạng thái 2E .
*
1 1 1
ˆminE H dx= ò với 
* *
1 1 1 01; 0dx dx= =ò ò
*
2 2 2
ˆminE H dx= ò với 
* * *
2 2 2 1 2 01; 0; 0dx dx dx= = =ò ò ò . Tiếp tục thực 
hiện các phép tính ta có thể tính năng lượng ở mức kích thích cao hơn.
2.2. Các bài tập s dụng phương pháp biến phân Ritz
2.2.1. Phương pháp giải
Bước 1: Chọn một hàm thử chứa một thông số chưa biết nào đó , , ,...x
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
95
Bước 2: Lập hàm
* ˆ( , ,..) , , ,... , , ,...J x H x dx= ò
Tìm cực trị của ( , ,..)J đồng nghĩa với việc giải phương trình:
0 0... 0 , ,...
J J¶ ¶
= = = Þ
¶ ¶
Viết lại 0 0, , ,...x
Bước 3: Suy ra 0 0( , ,...)E J=
2.2.2. Các dạng bài tập áp dụng
Bài tập 1: Dùng phương pháp biến phân tìm năng lượng ở trạng thái cơ bản của hạt 
chuyển động trong trường thế 40 0 ( ) ,U x U x U const= = với hàm thử được chọn 
2
2
( ) .
x
x A e
-
= với
Bài giải: Chuẩn hóa hàm sóng: 
2
2
2
21
x
A e dx
+¥ -
-¥
= ò
Áp dụng tích phân ta có: 2
1
1
2
2
A A= Þ =
Lập hàm
2 2
2 2
2 2
* 2 4
02
ˆ( ) .
2
x x
d
J H dx A e U x e dx
m dx
- -+¥
-¥
æ ö
= = - +ç ÷
è ø
ò ò
Đặt 
2
( ) xI e dx
+¥
-
-¥
= =ò suy ra 
2
2
2 3/2
2
4 5/2
2
( ) 1
2
( ) 3
4
x
x
I
x e dx
I
x e dx
+¥
- -
-¥
+¥
- -
-¥
¶ -
= - =
¶
¶
= =
¶
ò
ò
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
96
Do đó: +
2
2
2 3
2
1 .
2 2
x
I x e dx
+¥ -
-¥
= =ò và 
2
2
2
4 0
2 0 5
2
3.
.
4 2
x
U
I U x e dx
+¥ -
-¥
= =
æ ö
ç ÷
è ø
ò
Vậy
2 2 2
2 4
1 2 02 2
5
3
( )
2 2 16
2
2
J I A I U
m m
m
= - + = +
Ta có: 
2
3 3
0
2
2
3
0
0
( ) 3
0 ( 2) 0
2 4
4
3.
J
U
m
mU
-¶ = Û - + =
¶
Þ =
Vậy 
2 24
3
0 02
0
3
0
3 4
16 3.4
2
3.
E U
mU
m