Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học Toán

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
SỰ CẦN THIẾT CỦA MÔ HÌNH HÓA 
TRONG DẠY HỌC TOÁN 
NGUYỄN THỊ TÂN AN* 
TÓM TẮT 
Người ta thường nghĩ toán học ở nhà trường ít được sử dụng trong cuộc sống hàng 
ngày. Mô hình hóa toán học sẽ là cầu nối các suy luận trong lớp học và suy luận trong 
những tình huống thực tế. Bài báo trình bày một số lí do cần thiết của mô hình hóa trong 
dạy học toán, chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mô hình hóa và minh họa cho các yếu 
tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lí thuyết về mô hình hóa trong giáo dục 
toán để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này. 
Từ khóa: mô hình hóa toán học, chu trình mô hình hóa toán học. 
ABSTRACT 
The relevance of modelling in teaching mathematics 
Mathematics in schools is often considered impractical. Thus mathematical 
modelling will be the bridge between classroom reasoning and real-life reasoning. This 
article presents some reasons why mathematical modelling should be introduced into 
teaching practice, draws out elements of the mathematical modelling process and 
illustrates these elements. The article also gives a brief history and discusses some 
theoretical approaches to modelling in mathematics education to show that this field is 
gaining an international interest. 
Keywords: mathematical modelling, mathematical modelling cycle. 
1. Giới thiệu 
Mọi người đều có thể đã sử dụng 
nhiều kiến thức toán học khác nhau trong 
những tình huống quen thuộc hàng ngày 
từ khi còn nhỏ. Ví dụ, một em bé có thể 
biết xấp xỉ lượng thức ăn trong đĩa và so 
sánh với khẩu phần của anh/ chị mình; 
biết đo sự phát triển bằng cách đánh dấu 
chiều cao trên tường; biết đếm để đảm 
bảo có một lượng kẹo công bằng... Việc 
sử dụng kiến thức toán không chính thức 
này tiếp tục được thể hiện khi các em lớn 
hơn, chẳng hạn biết kiểm tra tiền trước 
khi vào chợ và kiểm tra sự thay đổi lượng 
tiền đó. Khi trở thành người lớn, các em 
* NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
có thể lên kế hoạch cho việc chi tiêu của 
bản thân hoặc sắp xếp đồ đạc khi chuyển 
nhà để đạt được hiệu quả nhất... Và 
thường người ta không nhận ra các kiến 
thức toán đã được sử dụng ngầm ẩn trong 
những tình huống trên. 
Tuy nhiên, ở lớp học toán, học sinh 
ít có cơ hội xây dựng, phát triển khả năng 
sử dụng toán để hiểu và giải quyết những 
vấn đề thực tiễn, mà thường thực hiện 
những nhiệm vụ quen thuộc đã được dạy 
cách làm như thế nào, nghĩa là có quy 
trình, có thuật toán. Lấy ví dụ trong 
chương Hàm số bậc nhất và bậc hai, Đại 
số 10 nâng cao, học sinh được yêu cầu 
tìm tập xác định, khảo sát sự biến thiên, 
xét tính chẵn lẻ, phép tịnh tiến đồ thị, vẽ 
 114
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
đồ thị của hàm số... Điều này sẽ không 
chuẩn bị cho các em cách giải quyết 
những vấn đề không quen thuộc trong 
toán học hoặc các lĩnh vực khác. Những 
áp dụng toán được giới thiệu trong 
chương trình phổ thông hiện nay chủ yếu 
nhằm mục đích minh họa và nhấn mạnh 
các khái niệm và kĩ năng toán được dạy. 
Chẳng hạn bài toán bóng đá (tr. 60), bài 
toán về cổng Arch (tr. 61), bài toán tàu 
vũ trụ (tr. 62) (Đại số 10 – Nâng cao) là 3 
bài tập của chương hàm số bậc nhất và 
bậc hai được đặt trong ngữ cảnh thực tế 
(tổng số bài tập của chương là 46 bài); 
tuy nhiên, yêu cầu đối với học sinh được 
xác định rất rõ ràng là tìm hàm số bậc hai 
có phần đồ thị trùng với đồ thị được cho 
tương ứng của mỗi bài toán... Những 
minh họa như vậy là quan trọng nhưng 
không đủ để học sinh có thể mô hình hóa 
các tình huống thực tế, chọn và sử dụng 
những kiến thức, kĩ năng toán phù hợp 
(từ những nội dung toán đã được học chứ 
không chỉ liên quan đến chủ đề các em 
đang được dạy) để giải quyết vấn đề khi 
chúng xuất hiện. 
Lí do mà toán học luôn chiếm một 
thời lượng lớn trong chương trình, từ 
trong lịch sử cho đến nay, là vì người ta 
nhận thấy lợi ích của toán học trong thực 
tiễn. Trước đây, mục đích của việc dạy 
toán là trang bị những kĩ năng để tính 
toán hằng ngày, ngày nay tất cả những kĩ 
năng cơ bản đó có thể nhờ vào các thiết 
bị công nghệ thông tin. 
Những thập kỉ gần đây, sự cần thiết 
để thúc đẩy mô hình hóa (MHH) toán học 
trong nhà trường ngày càng được chấp 
nhận rộng rãi nhằm đáp ứng mục tiêu 
tăng cường giáo dục toán theo hướng 
thực tế được đặt ra bởi nhiều quan điểm 
giáo dục từ giữa thế kỉ XX đến nay. 
2. Mô hình hóa toán học là gì? 
Mô hình là một mẫu, một kế hoạch, 
một đại diện, một minh họa được thiết kế 
để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một 
đối tượng, một hệ thống hay một khái 
niệm. Mô hình theo ý nghĩa vật lí của nó, 
đó là bản sao, thường thì nhỏ hơn của 
một đối tượng. Mô hình đó có cùng nhiều 
tính chất với đối tư ... ược 
mối liên hệ giữa toán học với thực tế và 
ngược lại. 
- MHH hỗ trợ việc học các khái niệm 
và quá trình toán học của học sinh như 
tạo động cơ, giúp hình thành và hiểu khái 
niệm..., đặc biệt củng cố việc hiểu toán 
khi áp dụng vào những tình huống mới. 
- MHH giúp trang bị cho học sinh các 
năng lực để có thể sử dụng toán giải 
quyết những tình huống của cuộc sống. 
MHH toán học trong giáo dục chính 
thức xuất hiện đầu tiên tại hội nghị của 
Freudenthal (1968) ([4]), tại đây các nhà 
giáo dục toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên 
quan đến MHH: Tại sao phải dạy toán để 
có ích (Freudenthal)? Tại sao nhiều học 
sinh không thể sử dụng kiến thức toán đã 
học để giải quyết các vấn đề thực tế mặc 
dù đạt được chứng chỉ xuất sắc về môn 
học này (Siller)? Dạy toán là phải dạy sao 
cho học sinh có thể áp dụng toán vào 
những tình huống đơn giản của cuộc sống 
(Klamkin)... Mối liên hệ giữa toán và 
MHH tiếp tục được đề cập đến tại hội 
nghị các nước nói tiếng Đức (1977) – bao 
gồm các thảo luận về những khía cạnh 
của toán học ứng dụng trong giáo dục. 
Một dấu mốc quan trọng trong việc giới 
thiệu MHH toán học vào nhà trường là 
nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh 
hưởng của toán học lên các môn học 
khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục 
toán phải có trách nhiệm dạy cho học 
sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống 
hàng ngày. Từ đó, dạy và học MHH 
trong nhà trường trở thành một chủ đề 
nổi bật trên phạm vi toàn cầu. Ví dụ, 
nghiên cứu của PISA, chương trình đánh 
giá học sinh quốc tế (Programme for 
International Student Assessment), nhấn 
mạnh mục đích của giáo dục toán là phát 
triển khả năng học sinh sử dụng toán 
trong cuộc sống hiện tại và tương lai. Hội 
nghị quốc tế về dạy mô hình hóa và áp 
dụng toán ICTMA (International 
Conferences on the Teaching of 
Mathematical Modelling and 
Applications) tổ chức 2 năm một lần với 
mục đích thúc đẩy ứng dụng và MHH 
trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục 
toán. Xu hướng đưa MHH toán học vào 
chương trình, sách giáo khoa với các mức 
độ khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng 
hạn ở Đức, Hà Lan, Úc, Mĩ, MHH toán 
học là một trong những năng lực bắt buộc 
của chuẩn giáo dục quốc gia về môn 
toán. Ở Singapore, MHH toán học được 
đưa vào chương trình toán năm 2003 với 
mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của 
MHH trong việc học toán cũng như đáp 
ứng các thách thức của thế kỉ XXI... 
Các nhiệm vụ MHH toán học 
thường yêu cầu học sinh phát triển một 
mô hình của mình và khám phá để đáp 
ứng những yêu cầu nào đó, cung cấp cơ 
hội để học sinh phát triển kĩ năng giải 
 116
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
quyết vấn đề và khảo sát toán. Đối với 
nhiệm vụ MHH, một công cụ chiến lược 
cụ thể là cần thiết, đó là chu trình MHH 
toán học. 
3. Chu trình mô hình hóa toán học 
Nhiều sơ đồ đã được sử dụng để chỉ 
ra bản chất của hoạt động MHH toán học, 
như là một hướng dẫn để thiết kế các 
nhiệm vụ MHH và thực hiện MHH trong 
lớp học. 
a. Sơ đồ của Blum (2005): sơ đồ này 
được xem là cơ sở cho tất cả các hoạt 
động MHH và những thay đổi của các 
chu trình MHH ngày nay. 
Sơ đồ 1. Chu trình MHH 7 bước của Blum [2] 
Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó; 
Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình 
thực của tình huống; 
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; 
Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán; 
Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế; 
Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2; 
Bước 7: Trình bày cách giải quyết. 
b. Sơ đồ của Stillman (2007) 
Sơ đồ 2. Chu trình MHH của Stillman [7] 
 117
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
Các mục A-G biểu diễn các bước 
của quá trình MHH, các mũi tên đậm 
biểu thị sự chuyển đổi giữa các bước. 
Toàn bộ quá trình MHH là đi theo dấu 
mũi tên cùng chiều kim đồng hồ. Quá 
trình này kết thúc bởi việc thể hiện kết 
quả MHH hoặc tiếp tục một chu trình 
MHH khác nếu kết quả là không thỏa 
đáng ở một phương diện nào đó. Các 
hoạt động trí tuệ mà người MHH cần nỗ 
lực để chuyển từ một bước này sang bước 
tiếp theo được mô tả bởi các bước 1-7. 
Các mũi tên ngược lại (màu nhạt) nhấn 
mạnh sự tồn tại của hoạt động phản ánh, 
nghĩa là người thực hiện MHH có thể 
quay lại ở bất kì bước nào của chu trình 
để xem xét nếu không thể tiếp tục thực 
hiện được. 
c. Sơ đồ theo PISA (2006) gồm 5 
bước : 
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề 
được đặt ra trong thực tế; 
Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán 
phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề 
theo các khái niệm toán học; 
Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các 
yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành 
một bài toán mà thể hiện trung thực cho 
tình huống; 
Bước 4: Giải quyết bài toán; 
Bước 5: Làm cho lời giải của bài 
toán có ý nghĩa đối với tình huống thực 
tế, xác định những hạn chế của lời giải. 
 Thế giới hiện thực Thế giới toán học 
Sơ đồ 3. Chu trình MHH theo PISA [5] 
Các chu trình MHH toán học giới 
thiệu trên đây đều gồm 4 yếu tố chính: 
toán học hóa, làm việc với toán, chuyển 
đổi và phản ánh. Các yếu tố này mô tả 
những hoạt động mà học sinh sẽ thực 
hiện trong suốt quá trình MHH. 
Quá trình MHH bắt đầu với 1 vấn 
đề thực tế - một vấn đề xuất phát từ thế 
giới thực với các dữ liệu thực. 
- Toán học hóa: là quá trình chuyển 
đổi từ vấn đề thực sang vấn đề toán bằng 
cách thiết lập một mô hình toán học. Để 
làm được điều này, học sinh đòi hỏi phải 
hiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin được 
cho, loại bỏ các thông tin không cần thiết, 
đưa ra các giả thuyết phù hợp và đơn 
giản hóa vấn đề để có thể giải quyết. Học 
sinh cần nhận ra các khái niệm toán học, 
các biến và biểu diễn vấn đề dưới dạng 
Lời giải thực tế Lời giải toán học 
Vấn đề thực tế Vấn đề toán học 
5
5 
4 
1, 2, 3 
 118
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
toán học, đưa ra một mô hình toán như 
hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc hệ các 
phương trình... 
- Giải toán: ở bước này đòi hỏi học 
sinh lựa chọn, sử dụng phương pháp và 
công cụ phù hợp để giải quyết vấn đề. 
Sản phẩm cuối cùng ở bước này là một 
kết quả toán học. 
- Chuyển đổi: xem xét kết quả toán 
học trong ngữ cảnh của tình huống thực 
tế ban đầu. 
- Phản ánh: xem lại các giả thuyết và 
những hạn chế của mô hình, các phương 
pháp cũng như công cụ được sử d
trong giải quyết vấn đề. Điều này có 
dẫn đến một sự cải tiến trong mô h
cũng như lời giải hoặc tạo ra một 
trình mới nếu cần thiết. 
4. Ví dụ 
Bên phải là hình ảnh thang trượ
một sân bay. Đồ thị dưới đây chỉ ra sự
sánh giữa một người đi bộ trên thang trượt 
và một người đi bộ ở lối đi bên cạnh thang 
trượt. Giả sử rằng trong đồ thị, tốc độ đi bộ 
của hai người gần như là giống nhau. Hãy 
vẽ thêm vào đồ thị một đường thẳng biểu 
diễn khoảng cách theo thời gian của một 
người chỉ đứng trên thang trượt, biết tốc độ 
của thang trượt nhỏ hơn tốc độ trung bình 
của một người đi bộ. 
N
Khoảng 
cách từ 
điểm bắt 
đầu thang 
trượt 
Đây là mô hình thực (theo sơ
Blum) của một tình huống thực tế,
được giáo viên đơn giản hóa, thêm 
các giả thiết, thông tin để phù hợp với 
tượng học sinh lớp 10. Tuy nhiên khi 
tình huống, học sinh vẫn chưa thấy x
hiện các yếu tố toán học cần sử dụng
 ụng 
thể 
ình 
chu 
t ở 
 so 
gười đi bộ trên thang trượt
Người đi bộ ngoài thang trượt 
Thời gian 
 đồ 
 đã 
vào 
đối 
đọc 
uất 
 để 
giải quyết. Quá trình MHH có thể thực 
hiện như sau: 
- Toán học hóa: Để thiết lập mô hình 
toán của tình huống, học sinh cần: 
• Hiểu vấn đề đặt ra; 
• Nhận ra các kiến thức toán 
liên quan. Trong trường hợp này là các 
hàm số bậc nhất biễu diễn khoảng cách 
119
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
theo thời gian. Hàm số của đồ thị tương 
ứng với người đi bộ trên thang trượt, 
người đi bộ ngoài thang trượt, người 
đứng trên thang trượt lần lượt là S=v1t, 
S=v2t, S=v3t, trong đó v1=v2+v3 và v2>v3; 
• Vẽ đồ thị hàm số S=v3t trong 
cùng một hệ trục. 
 Giải toán: 
• Học sinh có thể dựa vào tính 
chất hệ số góc của đồ thị hàm số bậc nhất 
để vẽ đồ thị thứ 3 với giả thiết v3<v2<v1. 
• Học sinh cũng có thể cho các 
giá trị cụ thể của v2, v3 sao cho v3<v2, 
hoặc lấy giá trị xấp xỉ S3=S1-S2 trên đồ 
thị ứng với cùng một thời gian t, rồi vẽ 
đồ thị của hàm số S=v3t. 
• Kết quả: vẽ được một đường 
thẳng nằm phía dưới hai đường thẳng đã 
cho, nhưng phải gần đường thẳng “người 
đi bộ ngoài thang trượt” hơn so với trục 
thời gian. 
- Chuyển đổi: Học sinh cần biết rằng 
trên thực tế thì người đi bộ trên thang 
trượt sẽ nhanh hơn người đi bộ ngoài 
thang trượt, và người đứng trên thang 
trượt sẽ chậm hơn hai trường hợp kia. 
- Phản ánh: Học sinh có thể xem xét 
liệu đồ thị mình vẽ như vậy đã hợp lí 
chưa? Nếu không có giả thiết “tốc độ của 
thang trượt nhỏ hơn tốc độ của một người 
đi bộ” thì kết quả có còn giống như vậy 
không? Những kết luận nào có thể được 
đưa ra từ lời giải? 
5. Các tiếp cận mô hình hóa trong 
giáo dục toán 
Nếu phân tích các ví dụ về mô hình 
hóa hiện nay, chúng ta sẽ thấy rằng có rất 
nhiều hướng tiếp cận mô hình hóa toán 
học khác nhau. Các tiếp cận này bắt 
nguồn từ các quan điểm lí thuyết khác 
nhau, có mục đích khác nhau và đặc 
trưng cho các khía cạnh khác nhau của 
MHH ([3], [6]): 
- Quan điểm “Epistemology” của 
người Đức: tập trung vào khả năng người 
học tạo ra mối liên hệ giữa toán học và 
thực tế. Theo quan điểm này, sự phát 
triển của lí thuyết toán là một bộ phận 
của quá trình MHH thể hiện qua bộ ba 
Tình huống – Mô hình – Lí thuyết, nghĩa 
là các mô hình được xây dựng từ tình 
huống thực tiễn và đi đến sự phát triển 
của một lí thuyết toán thông qua thúc đẩy 
sự kết nối giữa hoạt động MHH và hoạt 
động toán. Freudenthal có thể xem là 
người đi đầu theo hướng tiếp cận này và 
sau đó được phát triển bởi Stainer, 
Revuz, Garcia, Bosh. 
- Quan điểm “Pragmatism” của 
Pollak: quan tâm đến khả năng người học 
áp dụng toán để giải quyết những vấn đề 
thực tế, giúp họ hiểu biết hơn về thế giới 
thực và thúc đẩy các năng lực MHH. Quá 
trình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, 
được thực hiện giống như một nhà toán 
học ứng dụng thực hiện, với mục đích 
giải quyết một vấn đề thực tế chứ không 
phải để phát triển một lí thuyết mới. Các 
nhà giáo dục toán tiêu biểu cho tiếp cận 
này là Burkhardt, Kaiser & Schwarz. 
- Quan điểm “Education”: phần lớn 
các tiếp cận được phát triển trong lĩnh 
 120
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Tân An 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
vực MHH thuộc quan điểm này (Blum, 
Niss, Blomhoj, Jensen, Maass, Galbraith, 
Stillman). Quan điểm này chú trọng tích 
hợp MHH vào dạy học toán; thông qua 
các ví dụ thực tế và mối quan hệ của 
chúng đối với toán học để xây dựng việc 
hiểu và thúc đẩy quá trình học; quan tâm 
đến các bước của quá trình MHH; phát 
triển các năng lực MHH cũng như ý 
nghĩa của việc học toán. 
- Quan điểm “Socio-critic”: nhấn 
mạnh vai trò, chức năng của toán học nói 
chung, của mô hình hóa toán học nói 
riêng đối với sự phát triển tư duy phê 
phán, tư duy phản ánh của người học 
trước những tình huống trong xã hội. Ví 
dụ như D’Ambrosio, Araujo, Barbosa. 
- Quan điểm “Context”: phát triển 
các hoạt động học tập, cho phép học sinh 
hiểu được ý nghĩa của toán học thông qua 
các tình huống thực tế thường gặp trong 
cuộc sống hàng ngày được MHH 
(Lesh&Doerr). 
- Quan điểm “Cognition”: Đây là 
một tiếp cận mới về MHH, quan tâm đến 
hoạt động nhận thức của học sinh qua 
quá trình mô hình hóa toán học, thông 
qua việc phân tích các quá trình mô hình 
hóa khác nhau với các kiểu tình huống 
khác nhau (khác về mức độ xác thực và 
độ phức tạp) để nhận ra những rào cản, 
khó khăn của học sinh liên quan đến 
MHH. Các nhà nghiên cứu được xếp theo 
quan điểm này là Blum & Leiss, 
Borromeo Ferri, Carreira. 
6. Kết luận 
Khi thực hiện MHH toán học, học 
sinh có thể gặp nhiều khó khăn như: 
không hiểu vấn đề được đặt ra bởi tình 
huống thực tế; khó khăn trong việc xác 
định giả thiết, nhận ra các biến quan 
trọng để thiết lập mô hình toán; hạn chế 
bởi kiến thức toán, khả năng để lựa chọn 
một phương pháp giải phù hợp cũng như 
giải thích kết quả... Nếu giáo viên hiểu 
được những khó khăn của học sinh để có 
những định hướng phù hợp, chẳng hạn 
quyết định cho học sinh thực hiện toàn bộ 
hay chỉ một vài bước của quá trình 
MHH; giới thiệu chu trình MHH đến học 
sinh thông qua việc sử dụng những ví dụ 
thực tế khi dạy và quan trọng là giáo viên 
nên quen thuộc với bốn yếu tố chính của 
quá trình MHH thì việc đưa MHH vào 
dạy học toán ở nhà trường hoàn toàn có 
thể thực hiện được. Chu trình MHH 
không bắt buộc sử dụng đối với học sinh 
mà đây xem như là một hướng dẫn, 
phương tiện trợ giúp khi các em gặp khó 
khăn trong quá trình giải quyết vấn đề. 
Học sinh học để sử dụng sơ đồ này bất cứ 
khi nào phù hợp. Việc giới thiệu sơ đồ 
một cách cẩn thận và từng bước là cần 
thiết, cũng như việc sử dụng lặp đi lặp lại 
sơ đồ sẽ giúp học sinh biết cách sử dụng 
nó. 
(Xem tiếp trang 129) 
 121
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 37 năm 2012 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Thị Tân An, Trần Dũng (2009), “Sử dụng mô hình hóa toán học trong việc 
dạy học toán”, Tạp chí Giáo dục, (219). 
2. Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman (2011), Trends 
in Teaching and Learning of Mathematical Modelling, Springer. 
3. Gabriele Kaiser, Bharath Sriraman (2006), A Global Survey of International 
Perspectives on Modelling in Mathematics Eduacation, ZDM Vol 38(3). 
4. Hans-Stefan Siller, Modelling in Classroom. ‘Classical Models’ (in Mathematics 
Education) and recent developments. 
www.algebra.tuwien.ac.at/kronfellner/...ESU-6/.../1-13-Siller.pdf 
5. OECD (2003), The Pisa 2003 - Assessment Framework – Mathematics, Reading, 
Science and Problem Solving Knowledge and Skills, OECD, Paris, France. 
6. Rita Borromeo Ferri (2006). Theoretical and Empirical Differentiations of Phases in 
the Modelling Process. ZDM Vol.38(2). 
7. Werner Blum, Peter L. Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss (2007), 
Modelling and Applications in Mathematics Education. Springer. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 01-02-2012; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2012) 
 122