Sáng tạo bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số từ những bài toán cực trị trong hình học tọa độ phẳng cho học sinh Trung học Phổ thông

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 
33 
SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
TỪ NHỮNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG 
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
Nguyễn Dương Hoàng1, 
Trương Thị Hải2,+ 
1Trường Đại học Đồng Tháp; 
2Trường Trung học phổ thông Hiệp Thành, thành phố Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu 
+ Tác giả liên hệ ● Email: truongthihai78@gmail.com 
Article History 
Received: 13/8/2020 
Accepted: 18/9/2020 
Published: 05/11/2020 
Keywords 
Math problems, Geometric 
flat coordinate extreme, high 
school. 
ABSTRACT 
In teaching Math, students not only need to master the knowledge and know 
how to solve problems but also need to develop a problem into new problems 
through higher level inference. Since then, they can promote their initiative 
and creativity in learning. The paper presents the creation and construction of 
problems to find the maximum and minimum values of a function from flat 
coordinate geometric extreme problems for high school students. Exploiting 
and finding relationships between flat coordinate geometrical extreme 
problems and functional problems not only fosters creative thinking for 
students but also integrates internal subjects in Math teaching, contributing to 
new teaching methods, implementing the current educational innovation 
goals. 
1. Mở đầu 
Theo Nguyễn Bá Kim (2007): Trong dạy học, phát huy tính sáng tạo của học sinh (HS) là một trong những yêu 
cầu cơ bản. Để làm được điều này, đòi hỏi giáo viên (GV) cần có phương pháp, nghệ thuật giảng dạy. Trong dạy học 
Toán, HS không những cần nắm vững kiến thức và biết cách giải các bài toán (BT) mà còn cần phát triển một BT 
thành những BT mới thông qua sự suy luận ở mức cao hơn, từ đó các em phát huy được khả năng chủ động và sáng 
tạo trong học tập. 
Đã có nhiều kết quả nghiên cứu về các hướng khai thác một BT trong dạy học Toán ở trường phổ thông như: Lê 
Xuân Trường (2018), Trần Anh Tuấn (2015), Nguyễn Sơn Hà (2012), Vũ Lệ Hoa (2020), Trong quá trình dạy 
học Toán, HS sẽ cảm nhận được vẻ đẹp của toán học nếu GV biết cách khai thác một BT dưới nhiều góc độ khác 
nhau và gắn toán học với thực tiễn. Một BT có thể là hoàn toàn mới nhưng cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu của 
một BT đã biết. Những BT về hình học tọa độ có mối liên hệ với BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Hầu hết 
các BT về cực trị hình học tọa độ đều đưa về một hàm số, sau đó dùng phương pháp khảo sát hàm số để giải. Mặt 
khác, có nhiều BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số nếu sử dụng phương pháp khảo sát hàm số để giải 
thì gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí không giải được. Lúc này, nếu sử dụng phương pháp tọa độ thì BT trở nên đơn 
giản hơn nhiều. Bài báo trình bày về vấn đề sáng tạo, xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
từ những BT cực trị trong hình học tọa độ phẳng cho HS THPT. 
2. Kết quả nghiên cứu 
2.1. Các cách thức sáng tạo bài toán mới trong dạy học giải Toán ở trung học phổ thông 
Để sáng tạo BT mới, theo Tôn Thân (1995): “Có nhiều cách như: Lập BT tương tự với BT ban đầu; lập BT đảo 
của BT ban đầu; thêm vào BT ban đầu một số yếu tố, đặc biệt hóa BT ban đầu; bớt đi một số yếu tố của BT ban đầu, 
khái quát hóa BT ban đầu; thay đổi một số yếu tố của BT ban đầu, chuyển đổi ngôn ngữ’’. Trong các cách trên, cách 
thứ 5 có ưu điểm là HS dễ thực hiện, bởi: khi thay đổi một số yếu tố của BT đã cho, có thể thay đổi một số dữ liệu, 
giả thiết, cũng có thể thay đổi yếu tố phải tìm, phải chứng minh. Đặc biệt, có thể thay đổi ngôn ngữ của BT để có 
một BT dưới dạng ngôn ngữ khác. 
Có thể “thay đổi một số yếu tố của BT ban đầu” để tạo ra các BT dạng “mở” theo các hướng sau: - Hướng 1: 
Thay việc tìm hoặc chứng minh một kết quả bằng việc tìm hoặc chứng minh nhiều kết quả có thể có; - Hướng 2: 
Thay vì tìm hoặc chứng minh một kết quả đã cho bằng yêu cầu tìm thêm các kết quả khác có thể có; - Hướng 3: Bổ 
sung thêm dữ kiện và câu hỏi với yêu cầu tìm hoặc chứng minh các kết quả có thể có. 
Sau đây, chúng tôi đề cập cách thứ 5: “Thay đổi một số yếu tố của BT ban đầu, chuyển đổi ngôn ngữ” để hướng 
dẫn HS xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số từ BT cực trị trong hình học tọa độ phẳng. 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 
34 
2.2. Sáng tạo bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số từ các bài toán cực trị trong hình học tọa 
độ phẳng 
2.2.1. Sáng tạo bài toán từ các bài toán cực trị: “Tìm điểm M thuộc đường thẳng thỏa mãn một điều kiện về cực trị” 
* BT gốc: Trong mặt phẳng Ox ,y cho đường thẳng và hai điểm ,A B không thuộc . Tìm điểm M thuộc 
 sao cho: 
1) MA MB nhỏ nhất. 
2) MA MB lớn nhất (Đặng Thành Nam, 2014, tr 85). 
Đây là một BT cực trị hình học cơ bản, nhưng khi chuyển đổi sang ngôn ngữ đại số, ta có thể xây dựng các BT 
cực trị đại số. 
* Xây dựng BT mới: Giả sử ta có : 0 ax by c ( 2 2 0 a b ) và các điểm 
 ; , ; , ;A A B BA x y B x y M x y trong mặt phẳng Oxy. 
- Phân tích BT gốc: Ta có: 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) A A B BMA MB x x y y x x y y 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) A A B BMA MB x x y y x x y y 
Đây là biểu thức của hai biến ;x y ràng buộc bởi điều kiện 0 ax by c . 
GV hướng dẫn HS chuyển đổi BT đã cho thành BT: 
“Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức: 
2 2 2 2( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A B Bf x y x x y y x x y y 
Hoặc: 
2 2 2 2( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) A A B Bf x y x x y y x x y y , thỏa mãn điều kiện 
0 ax by c ’’.
Từ đó, GV hướng dẫn HS lập quy trình xây dựng BT mới từ BT trên.
- Quy trình xây dựng BT mới: 
+ Bước 1: Chọn đường thẳng tùy ý : 0 ax by c . 
+ Bước 2: Lấy hai điểm ,A B cùng phía (hoặc khác phía) đối với đường thẳng . 
+ Bước 3: Tính P MA MB (hoặc P MA MB ), với M thuộc đường thẳng . 
+ Bước 4: Phát biểu BT. 
- Xây dựng BT mới: GV hướng dẫn HS chọn một đường thẳng tùy ý và 2 điểm A, B bất kì không thuộc đường 
thẳng đó để xây dựng các BT mới. 
BT 1: Cho x, y thỏa mãn x 3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2 22 4 5 4 6 13 P x y x y x y x y . 
Phân tích: Từ x 3 : x 3 0 y y .
2 2 2 2
1 2 2 3 P x y x y MA MB . Với 1; 2 , 2;3 , ( ; ) A B M x y .
BT trở thành: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : 3 0 x y và 1; 2 , 2;3 A B . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của MA MB”. 
Hướng dẫn 
Ta có: x 3 : x 3 0 y y . 
2 2 2 2
1 2 2 3 P x y x y MA MB ; với 
 1; 2 , 2;3 , ( ; ) A B M x y .
Do ,A B nằm khác phía đối với nên MA MB nhỏ nhất khi  M AB . 
Phương trình đường thẳng : 5 7 0 AB x y . Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình: 
min
5 7 0 5 4
; 26
3 0 3 3
x y
M P
x y
 , khi 
5 4
; ;
3 3
x y . 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 
35 
M2
M1
A
I
Nhận xét: Nếu chọn : 2 1 0 x y , lấy hai điểm 2;1 , 1; 1 A B và để tăng độ khó của BT bằng cách nhân 
phương trình với 2 2 1 x y , ta được BT 2. 
BT 2: Cho ,x y thỏa 3 2 2 2 3 22 2 4 2 1 2 x x y xy x y x y y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2 24 2 5 2 2 2 P x y x y x y x y . 
Phân tích 
Từ giả thiết, ta có: : 2 1 0 x y . Mặt khác 
2 2 2 2
2 1 1 1 P x y x y MA MB 
với 2;1 ; 1; 1 A B . Từ đó, ta có BT hình học: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : 2 1 0 x y và 
 2;1 ; 1; 1 A B . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA MB”. 
Đến đây, BT được giải tương tự như trên. Với ý tưởng này, ta tiếp tục xây dựng BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị 
nhỏ nhất của một biểu thức (chọn : 2 2 0 x y
và 0; 1 ; 0;3 A B ) như sau: 
BT 3: Cho x, y thỏa mãn 2x 2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 22 21 3 P x y x y . 
Phân tích: Ta có: 2x 2 : 2x 2 0 y y . 
2 22 21 3 P x y x y MA MB . Với 0; 1 ; 0;3 , ; A B M x y . 
BT trở thành BT hình học: “Cho điểm M thuộc đường thẳng : 2x 2 0 y và hai điểm 0; 1 ; 0;3 A B . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB”. 
Hướng dẫn: Ta có: 2x 2 : 2x 2 0 y y . 
2 22 21 3 P x y x y MA MB . Với 0; 1 ; 0;3 , ; A B M x y . 
Do ,A B nằm cùng phía đối với nên P MA MB đạt giá trị nhỏ nhất thì  M A B , với A’ đối xứng 
A qua . Phương trình : 2 2 0 AA x y . 
Gọi H là hình chiếu của A lên 
2 6 4 7
; ;
5 5 5 5
H A . 
Phương trình 
2 2
:11 2 6 0 ;
3 3
A B x y M . 
Vậy: min 2 5 P , khi 
2 2
; ;
3 3
x y . 
Tính sáng tạo không dừng lại ở đây, ta có thể chuyển BT cực trị hình học tọa độ sang BT phức bằng cách yêu 
cầu HS chọn điều kiện của số phức thỏa mãn một phương trình đường thẳng; biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá 
trị nhỏ nhất là dạng tổng của 2 đoạn thẳng. 
2.2.2. Sáng tạo bài toán từ các bài toán cực trị: “Tìm điểm M thuộc đường tròn ( )C thỏa mãn một điều kiện về cực trị” 
Hình 1 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 
36 
* BT gốc: Trong mặt phẳng Ox ,y cho đường tròn ( )C tâm I , bán kính R và điểm ( ) A C . Gọi M là một 
điểm trên ( )C . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của AM . 
Hướng dẫn: - Viết phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm , I A ; - Tìm 2 giao điểm 
1 2,M M của d 
và ( )C ; - Tính 
1 2, AM AM so sánh rồi kết luận (xem hình 1). 
Đây là một BT cực trị cơ bản liên quan đến đường tròn. Nếu xét BT này theo quan điểm đại số, ta sẽ có một BT 
nền để phát triển thành các BT cực trị đại số khác. Cụ thể: 
* Xây dựng BT mới 
- Phân tích BT gốc: Với ; , ;A AA x y M x y có: 
2 2( ) ( ) A AMA x x y y . 
Đây là biểu thức của hai biến ;x y ràng buộc bởi điều kiện 2 2 2( ) ( ) x a y b R . Do đó, ta sẽ chuyển đổi 
BT đã cho thành BT: “Tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức:
2 2( ; ) ( ) ( ) A Af x y x x y y thỏa 
điều kiện
2 2 2( ) ( ) x a y b R ”. 
GV hướng dẫn HS lập quy trình xây dựng BT mới từ BT gốc. 
- Quy trình xây dựng BT mới, gồm các bước: 
+ Bước 1: Chọn đường tròn 2 2 2( ) : ( ) ( ) C x a y b R 
+ Bước 2: Chọn điểm ; ( ) A AA x y C . 
+ Bước 3: Với ;M x y , tính MA . 
+ Bước 4: Phát biểu BT. 
- Xây dựng BT mới: 
Nếu ta chọn đường tròn 
2 2
: 1 3 68 C x y , điểm (2;1)A không thuộc đường tròn. Với ( ; )M x y , ta 
có: 
2 2
2 1 AM x y . Ta có thể viết biểu thức AM ở dạng 
2
2 2 5 P x y x y xy
và 
phương trình đường tròn ở dạng khai triển. Ta có BT mới: 
BT 1: Cho ,x y thỏa mãn 2 2 2 6 58 0 x y x y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
2 2 5 P x y x y xy . 
Phân tích: Từ giả thiết, ta có: 
2 22 2 2 6 58 0 ( ) : 1 3 68 x y x y C x y . 
2 2
2 1 , (2;1), ( ; ) ( ) P x y AM A M x y C . 
BT trở thành: “Cho đường tròn 
2 2
: 1 3 68 C x y và 2;1A . Gọi M là một điểm trên ( )C .Tìm giá 
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của AM”. 
Hướng dẫn: Ta có: 
2 22 2 2 6 58 0 ( ) : 1 3 68 x y x y C x y là đường tròn có tâm (1; 3). I 
2 2
2 1 , (2;1), ( ; ) ( ) P x y AM A M x y C . Gọi d là đường thẳng qua hai điểm ,I A , có 
1
:
3 4
x t
d
y t
. 
Tọa độ giao điểm của d và đường tròn ( )C là nghiệm của hệ phương trình: 
 2 2
1
2 ; 3;5
3 4
2 ; 1; 11
1 3 68
x t
t x y
y t
t x y
x y
. 
Đường thẳng d cắt ( )C tại 2 điểm 1 2 1 2(3;5), ( 1; 11) 17, 3 17 M M AM AM . 
Vậy: max min3 17 ; 1; 11 ; 17 ; 3;5 . P x y P x y 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 489 (Kì 1 - 11/2020), tr 33-37 ISSN: 2354-0753 
37 
Nhận xét: Ta có thể thay đổi hình thức của BT, thể hiện các biểu thức ở dạng khác sẽ có BT 2. 
BT 2: Cho , 0 x y thỏa mãn 
2 2
1 1 2 6
58 
x y x y
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2
1 1 4 2
5 P
x y x y
. 
Phân tích: BT xuất hiện các phân số. Do đó, HS cần tìm cách đặt ẩn phụ để đưa về dạng nguyên thể của nó. 
Đặt 
1
1
X
x
Y
y
 . Giả thiết của BT trở thành: 
2 2
1 3 68 X Y ; 
2 2
2 1 P X Y .
2 2
max khi 2 1 P X Y lớn nhất. 
2 2
min khi 2 1 P X Y nhỏ nhất. 
Đến đây, ta được BT 1 ở trên. 
Vậy, max min153 ; 1; 11 ; 17 ; 3;5 P x y P x y . 
Thông qua việc khai thác hai BT gốc trong hình học phẳng để xây dựng và phát triển thành các BT cực trị đại số 
mới sẽ giúp HS nắm được mối liên hệ giữa hình học phẳng và đại số, linh hoạt, sáng tạo cũng như có kinh nghiệm 
hơn trong việc sáng tạo BT mới. Đồng thời, cung cấp thêm cho HS công cụ giải toán, rèn kĩ năng, linh hoạt, sáng tạo 
trong quá trình giải quyết các BT cực trị; khơi gợi ý tưởng sáng tạo các BT cực trị hình học thành các BT về tìm giá 
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. 
3. Kết luận 
Có rất nhiều dạng toán cực trị trong hình học tọa độ phẳng có thể phát triển thành BT tìm giá trị lớn nhất, giá trị 
nhỏ nhất của hàm số. Việc khai thác, tìm mối liên hệ giữa các BT cực trị trong hình học tọa độ phẳng và các BT hàm 
số không chỉ bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS mà còn tích hợp nội môn trong dạy học Toán, góp phần đổi mới 
phương pháp dạy học, thực hiện mục tiêu đổi mới giáo dục hiện nay. 
Tài liệu tham khảo 
Bộ GD-ĐT (2018). Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-
BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ GD-ĐT). 
Đặng Thành Nam (2014). Kĩ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
G.Polya (1997) (người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản). Sáng tạo toán học. NXB 
Giáo dục. 
Lê Hoành Phò (2008). Phân dạng và phương pháp giải toán Số phức. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. 
Lê Hồng Đức (2009). Phương pháp giải toán: Đường thẳng - Đường tròn - Ba đường Conic. NXB Đại học Sư 
phạm. 
Lê Xuân Trường (2018). Một số hướng khai thác bài toán trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Tạp chí 
Giáo dục, số 424, tr 33-36. 
Nguyễn Bá Kim (2007). Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học Sư phạm. 
Nguyễn Sơn Hà (2012). Sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu về bất đẳng thức nhằm rèn luyện tư duy độc lập, 
sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông. Tạp chí Giáo dục, số 295, tr 35-37. 
Trần Anh Tuấn (2015). Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán trong dạy học 
bất đẳng thức. Tạp chí Giáo dục, số 351, tr 47-49. 
Tôn Thân (1995). Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học 
sinh khá và giỏi toán ở trường trung học phổ thông cơ sở Việt Nam. Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa 
học giáo dục. 
Vũ Lệ Hoa (2020). Giáo dục phát huy tính tích cực tư duy sáng tạo của người học ở nhà trường phổ thông. Tạp chí 
Giáo dục, số 476, tr 25-28.