Phát triển năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trong dạy học giải phương trình, hệ phương trình ở Trung học Phổ thông

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 
24 
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI 
TRONG DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
Nguyễn Anh Thương 
Sở Giáo dục, Khoa học và Công nghệ Bạc Liêu 
Email: nathuong@sobaclieu.edu.vn 
Article History 
Received: 01/9/2020 
Accepted: 19/10/2020 
Published: 20/11/2020 
Keywords 
competencies in solving 
math problems, equations, 
system of equations, high 
school. 
ABSTRACT 
Teaching method innovation not only aims to change one-way teaching 
method and passive students in learning but also focuses on teaching capacity 
development for students. Teachers need to shift the educational process from 
mainly teaching knowledge to developing students' competencies and 
qualities. This article identifies the manifestations of the student's ability to 
solve math equations, the system of equations of pretty good and good 
students, and then proposes some measures to develop the skill of solving 
equations and systems of equations for good and intelligent students at high 
school. It is expected that the article will be a useful reference for readers in 
general, particularly for math teachers in the process of fostering good and 
excellent students at high school. 
1. Mở đầu 
Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ nhằm mục tiêu thay đổi cách dạy truyền thụ kiến thức một chiều, học 
sinh (HS) thụ động trong học tập mà còn chú trọng dạy học phát triển năng lực cho HS. Nghị quyết số 88/2014/QH13 
ngày 28/11/2014 của Quốc hội cũng xác định mục tiêu đối với giáo dục phổ thông là: tập trung phát triển trí tuệ, thể 
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu (Quốc hội, 2014). 
Ở trường phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí quan trọng trong việc góp phần hình thành và phát triển toàn diện 
cả về phẩm chất và năng lực người học. Môn Toán có tính logic, trừu tượng, khái quát cao. Do đó, để hình thành và 
phát triển năng lực toán học, cần cung cấp kiến thức, kĩ năng cơ bản, tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, kết nối giữa 
các ý tưởng toán học. Trong chương trình môn Toán ở THPT, có nhiều nội dung dạy học mà giáo viên (GV) có thể 
giúp HS khá, giỏi có cơ hội phát triển năng lực giải toán. Với các dạng toán phong phú về giải phương trình (PT) và 
hệ phương trình (HPT), bài báo đề xuất một số biện pháp phát triển năng lực giải toán cho HS khá, giỏi trong dạy 
học giải PT, HPT. 
2. Kết quả nghiên cứu 
2.1. Khái niệm về “Năng lực” và “Năng lực giải toán” 
- Năng lực: Năng lực là một phạm trù được sử dụng trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội. Chương trình giáo 
dục phổ thông tổng thể năm 2018 của Bộ GD-ĐT xác định: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát 
triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ 
năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất 
định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Bộ GD-ĐT, 2018a). 
Từ quan niệm trên, có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực gồm: - Là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và 
quá trình học tập, rèn luyện của người học; - Là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính 
cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... để thực hiện thành công công việc trong một bối cảnh nhất định. Biểu 
hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và kĩ thuật trong một tình huống có ý nghĩa chứ không phải tiếp thu 
lượng tri thức rời rạc; - Được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động 
thực tiễn. 
- Năng lực giải toán: Nguyễn Thị Hương Trang (2002) cho rằng: Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến 
trình phát hiện và giải quyết vấn đề vào giải một bài toán cụ thể, đòi hỏi phương thức tiếp cận sáng tạo và tính hướng 
đích cao, nhằm đạt kết quả sau khi thực hiện các hoạt động giải toán. Theo Đỗ Thị Trinh (2017): Năng lực giải Toán 
là một phần của năng lực toán học, bao gồm tổ hợp các kĩ năng, đảm bảo thực hiện các hoạt động giải toán một cách 
hiệu quả sau một số bước thực hiện. Theo chúng tôi, năng lực giải toán là thuộc tính cá nhân, đáp ứng yêu cầu giải 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 
25 
quyết thành công một vấn đề toán học dựa vào tố chất sẵn có, sự huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng, kinh 
nghiệm trong lĩnh vực toán học và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, niềm đam mê, Để 
có được năng lực giải toán, HS cần rèn luyện tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, 
2.2. Những biểu hiện của năng lực giải toán của học sinh khá, giỏi ở trường trung học phổ thông trong dạy học 
nội dung phương trình, hệ phương trình 
PT và HPT là một trong những nội dung có vai trò quan trọng trong chương trình môn Toán ở THPT, thường 
xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPT quốc gia và thi chọn HS giỏi các cấp, đặc biệt PT, HPT là 
một nội dung trong cấu trúc đề thi chọn HS giỏi cấp tỉnh và cấp quốc gia. Hơn nữa, PT và HPT rất đa dạng, phong 
phú về dạng bài cũng như phương pháp giải; mỗi bài tập về PT, HPT có thể có nhiều cách giải khác nhau, mỗi cách 
giải đều có ý nghĩa trong việc rèn luyện, phát triển năng lực giải toán cho HS. Khi gặp dạng toán này, nhất là trong 
các đề thi chọn HS giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, không ít HS lúng túng không biết phân tích bài toán theo hướng nào, 
nên biến đổi ra sao, cách giải như thế nào, Do đó, PT, HPT là một trong những nội dung quan trọng, giúp HS khá, 
giỏi rèn luyện và phát triển năng lực giải toán một cách hiệu quả. 
Năng lực giải toán của HS khá, giỏi ở trường THPT thể hiện: - Có tính độc lập và độc đáo cao khi giải toán; biết 
tìm tòi thêm nhiều lời giải, huy động hiệu quả kiến thức vào quá trình giải bài tập; - Có khuynh hướng vươn tới tính 
rõ ràng, đơn giản, hợp lí, tối ưu của lời giải; - Có khả năng phân tích, phản biện hoặc tổng hợp kiến thức từ bài toán 
cụ thể đến bài toán tổng quát hơn, từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát thông 
qua các thao tác trí tuệ như: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hóa, đặc biệt hóa,; - Có khả năng vận 
dụng kiến thức toán học làm công cụ để giải quyết tình huống thực tiễn, có khả năng tự học cao, tự tìm tòi, nhận thức 
và vận dụng kiến thức vào tình huống mới hoặc tương tự với chất lượng cao. 
Trong dạy nội dung PT, HPT, những biểu hiện cụ thể của năng lực giải toán của HS khá, giỏi thường gồm: 
- Đề xuất được những cách giải lạ, độc đáo hoặc đặt ra những vấn đề, câu hỏi sáng tạo. 
- Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với những thay đổi của các điều 
kiện, có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các dữ kiện của bài toán. Biểu hiện này thể hiện khả năng phản ứng 
nhanh của HS trước những thay đổi của dữ kiện. 
- Có óc quan sát, phát hiện nhanh các dấu hiệu chung và riêng, mau chóng phát hiện ra “nút thắt” của bài toán và 
tìm ra hướng giải quyết vấn đề hợp lí, độc đáo, nhanh gọn, sáng tạo. 
- Có khả năng chuyển từ trừu tượng, khái quát sang cụ thể và ngược lại. Đây là biểu hiện quan trọng của năng 
lực giải toán PT, HPT. 
2.3. Một số biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trong dạy học giải phương trình, hệ 
phương trình ở trường trung học phổ thông 
2.3.1. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh 
Để triển khai biện pháp này, GV có thể thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: GV định hướng cho HS nghiên cứu, trao đổi, thảo luận, đề xuất cách giải bài toán. Sau đó, HS trình bày 
lời giải, sửa chữa, hoàn chỉnh lời giải. 
Bước 2: GV rèn luyện và phát triển cho HS các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát cách giải (nếu 
có) và các bước giải bài toán. 
Bước 3: GV giao cho HS một số bài tập tương tự, cùng dạng hoặc trường hợp đặc biệt của bài tập tổng quát đã 
nêu ra ở bước 2 (bước này có thể cho HS thực hiện ở nhà). 
Chẳng hạn, GV có thể rèn luyện, phát triển năng lực khái quát hóa cho HS thông qua các bài toán sau: 
1) Giải PT: 
2
2
2
2
x
x
x
. 
2) Giải PT: 2 22 1 2 1 2 3 0 x x x x x x . 
3) Giải HPT: 
2 2 2 3
2 2 2 2 2
4 ( 1 1)( 3 2)
( ) 2015 2016 4032
x x x y y
x y y x y
 ( , x y ). 
Thông qua các bài toán trên, HS hình thành, phát triển tư duy phân tích, tổng hợp; giúp các em biết khái quát 
hóa bài toán, phương pháp giải từ những ví dụ cụ thể. 
2.3.2. Tập luyện cho học sinh cách nhìn bài toán theo các góc độ khác nhau, từ đó tìm được nhiều cách giải cho một 
bài toán 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 
26 
Để thực hiện biện pháp này, GV có thể thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: GV cho HS trao đổi, thảo luận để tìm ra lời giải bài toán theo các cách khác nhau. HS trình bày và hoàn 
chỉnh lời giải. Trong trường hợp HS chưa tìm được cách giải, GV gợi ý, hướng dẫn các em cách tiếp cận và giải 
quyết vấn đề để đưa ra lời giải. 
Bước 2: GV rèn luyện cho HS cách xét bài toán theo các góc độ khác nhau để tìm nhiều cách giải cho bài toán. 
Bước 3: GV giao bài tập tương tự cho HS luyện tập và áp dụng (HS có thể thực hiện ở nhà). 
Ví dụ: Giải PT: 22 4 116 x xx x . 
Bước 1: GV cho HS trao đổi, thảo luận để tìm ra các cách giải khác nhau cho bài toán. Sau đó, HS trình bày lời 
giải và hoàn chỉnh lời giải. 
Bước 2: GV hướng dẫn HS một số cách tiếp cận bài toán để tìm các cách giải khác nhau như sau: 
Cách 1: Điều kiện: 2 4 x . 
Do vế phải 2 26 11 ( 3) 2 2 x x x và vế trái 2 4 1. 2 1. 4 x x x x (có dạng 
, ax by mà 2 2 2 2. ax by a b x y ), gợi cho ta cách tiếp cận theo hướng sử dụng bất đẳng thức để đánh 
giá hai vế và tìm nghiệm duy nhất. 
Ta có: 2 26 11 ( 3) 2 2, x x x x . Đẳng thức xảy ra khi 3 x . 
2 22 4 1 1 . ( 2) (4 ) 2 x x x x . Đẳng thức xảy ra khi 2 4 3 x x x . 
Vậy, PT có nghiệm duy nhất 3 x . 
Cách 2: Từ điều kiện 2 4 1 3 1 x x , gợi cho HS cách tiếp cận theo hướng lượng giác hóa như sau: 
Đặt 3 cos x t (với  0; t ), PT đã cho trở thành: 
2 21 cos 1 cos cos 2 2 cos sin cos 2
2 2
t t
t ttt 22 sin 1 cos
2 4
t
t . 
Đến đây, ta thu được 
2
 t , suy ra 3 x . 
Cách 3: Do vế trái của PT chứa 2 4 x x , mà 
2
22 4 2 2 6 8 x x x x (xuất hiện 
biểu thức 2 6 x x ở vế phải) nên gợi cho chúng ta cách tiếp cận theo hướng đặt ẩn phụ để đưa về PT đa thức bậc 
cao như sau: 
Đặt 2 4 t x x ( 0 t ) 
2
2 24 6 8 2 x x t . PT đã cho trở thành: 
  
2
2 4 2 24 2 12 4 4 8 0 2 2 4 0 2 t t t t t t t t t . Từ đó tìm được 3 x của 
PT. 
Bước 3: GV giao bài tập tương tự cho HS tự giải: Giải PT: 34 2 24 4 x x x x . 
Cách thực hiện như trên sẽ giúp HS hình thành, rèn luyện cách xét bài toán theo các góc độ khác nhau, từ đó tìm 
được nhiều cách giải cho một bài toán. 
2.3.3. Hướng dẫn học sinh phân tích tìm lời giải khác lạ, độc đáo cho bài toán 
Trong thực tế, thật khó xác định một cách có căn cứ rằng cách giải nào, đáp án, bài làm nào, cách suy luận, giải 
quyết nào là mới lạ, độc đáo một cách cụ thể, mà chỉ có thể nói nó mới lạ và độc đáo đối với từng HS. Tùy theo mức 
độ nhận thức, mức độ tư duy, hiểu biết, kinh nghiệm ít hay nhiều của từng HS mà xác định mức độ độc đáo của tư 
duy được thể hiện qua bài làm của HS đó. Tính độc đáo phụ thuộc vào cách suy luận, phân tích, khai thác các điều 
kiện trong đề bài, Vì vậy, có thể hiểu cách giải độc đáo là cách giải khác với thuật giải mà HS đã biết hoặc có 
được không từ cách nghĩ bình thường. 
Do vậy, để thực hiện biện pháp này, GV có thể cho HS nghiên cứu, trao đổi, thảo luận, đề xuất một cách giải 
ngắn gọn, độc đáo từ các cách giải quen thuộc. Sau đó, GV cho HS trình bày lời giải, sửa chữa và hoàn chỉnh bài 
toán (nếu HS chưa thực hiện được). Với những bài toán khó, HS chưa biết cách giải, GV có thể đưa ra một cách giải 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 
27 
cho các em. HS phân tích, suy luận, nhận xét cách giải của bài toán để có thể tìm ra một cách giải mới, sáng tạo hơn 
thông qua quá trình tư duy, suy luận logic và chặt chẽ. 
Ví dụ: Giải HPT: 
3 2
3 2
3 2
2 2
2 2
2 2
x y y
y z z
z x x
. 
Với bài toán này, HS thường gặp khó khăn khi tìm cách giải. GV có thể giới thiệu cho HS một cách giải như sau: 
HPT đã cho tương đương với: 
2
2
2
2 1 1
2 1 1
2 1 1
x y y
y z z
z x x
. 
Đặt 1 x a , 1 y b , 1 z c . Hệ đã cho trở thành: 
2
2
2
2 1 2 ( )
2 1 2 ( )
2 ( )2 1
a b b a f b
b c c b f c
c f ac a a
, với 
2
( ) 1 f t t t . 
Dễ dàng nhận thấy a , b , c cùng dấu. Xét các trường hợp sau: 
- Trường hợp 1: Cả ba số , , 0 a b c . Khi đó, ta có: 2( ) 3 4 1 (3 1)( 1) 0 f t t t t t với 0 t . Do vậy, 
( )f t luôn đồng biến với 0 t . 
Giả sử max{ ; ; } a a b c . Ta có a b , a c ( ) ( ) f a f b , ( ) ( ) f a f c 
 c a , c b . Nhưng max{ ; ; } a a b c nên a c . 
Tương tự, ta có a b c . Do đó, ta chỉ cần giải một PT: 22 ( 1) a a a 2( 2 1) 0 a a a 0 a hoặc 
2 1 a (do 0 a ). 
Vậy, 0 a b c và 2 1 a b c . 
- Trường hợp 2: Cả ba số , , 1 a b c . Ta có: 2( ) 3 4 1 (3 1)( 1) 0 f t t t t t , với 1. t 
Giả sử max{ ; ; } a a b c , suy ra luận tương tự, ta được: a b c . Ta cần giải PT: 
22 ( 1) a a a 2( 2 1) 0 a a a 2 1 a (do 1 a ). 
Vậy, 2 1 a b c . 
- Trường hợp 3: Cả ba số , , 0 a b c và min{ ; ; } 1 a b c . Giả sử max{ ; ; } a a b c 1 0 a 
20 ( 1) 1 a 2( 1) . a a a (do 0 a ) 22 ( 1) c a a a , mà a c nên 2 c c 0 c (vô lí). 
Vậy HPT có ba nghiệm ( ; ; ) (0;0;0) a b c ; ( ; ; ) ( 2 1; 2 1; 2 1); a b c 
( ; ; ) ( 2 1; 2 1; 2 1) a b c . 
Hay ( ; ; ) (1;1;1) x y z ; ( ; ; ) 2; 2; 2 x y z ; ( ; ; ) 2; 2; 2 . x y z 
GV cho HS nhận xét về lời giải và yêu cầu các em tiếp cận theo hướng khác: Hãy tìm cách giải khác cho bài toán 
này? Có cách giải nào khác ngắn gọn hơn hay không? 
GV hướng dẫn HS tiếp cận theo hướng giải sau: Xét hàm số 3 2( ) 2 f t t t trên , dễ thấy ( )f t không đơn 
điệu trên . Tuy nhiên, nếu cộng hai vế của PT thứ nhất với 2y , ta được 3 22 2 2 x y y y y . Khi đó, vế 
phải có dạng 3 2( ) 2 2 f t t t t là hàm đồng biến trên . Từ đó, HS có thể dễ dàng tìm được cách giải sau: 
HPT đã cho tương đương với: 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 490 (Kì 2 - 11/2020), tr 24-28 ISSN: 2354-0753 
28 
3 2
3 2
3 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
x y y y y
y z z z z
z x x x x
. 
Dễ thấy hàm số 3 2( ) 2 2 f t t t t đồng biến trên . 
Giả sử max ; ; x x y z , ta có ( ) ( ) x y f x f y x z x y 
( ) ( ) z y f z f y y z x y z x , suy ra x z . 
Từ ( ) ( ) x z f x f z x y . Vậy x y z . Khi đó, ta có: 3 2 2 2 0 x x x 
1
2
x
x
. 
Với cách biến đổi này, cách giải bài toán đã trở nên đơn giản và “độc đáo” hơn. 
Bước 4: GV cho HS các bài tập tương tự: 
1) Giải HPT: 
2 2
2 2
12 11
4
11 12
3
x y
x y
x y
x y
y x
x y
. 
2) Giải PT: 21 3 2 1 x x x x . 
3. Kết luận 
Năng lực giải toán là một năng lực cơ bản của HS trong quá trình học tập môn Toán. Việc xác định rõ các biểu 
hiện của năng lực giải toán PT, HPT của HS khá, giỏi cũng như giới thiệu một số biện pháp phát triển năng lực này 
cho HS là cơ sở để góp phần bồi dưỡng năng lực toán học cho HS khá, giỏi ở THPT. Một số biện pháp đề xuất đã 
được chúng tôi bước đầu đưa vào giảng dạy trong thực tiễn và cho những kết quả khả quan. Hi vọng rằng, bài báo 
sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc nói chung, cho GV Toán nói riêng trong quá trình bồi dưỡng HS khá, 
giỏi ở THPT. 
Tài liệu tham khảo 
Bộ GD-ĐT (2018a). Chương trình giáo dục phổ thông - Chương trình tổng thể (Ban hành kèm theo Thông tư số 
32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ GD-ĐT). 
Bộ GD-ĐT (2018b). Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 (Ban hành kèm theo Thông tư số 
32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ GD-ĐT). 
Đỗ Thị Trinh (2017). Vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học góp phần phát triển năng lực giải toán cho sinh 
viên sư phạm Toán. Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 10, tr 160-163. 
G. Polya (1997). Sáng tạo toán học. NXB Giáo dục. 
G. Polya (2010). Toán học và những suy luận có lí. NXB Giáo dục Việt Nam. 
Hoàng Ngọc Anh, Nguyễn Dương Hoàng, Nguyễn Tiến Trung (2017). Đổi mới quá trình dạy học môn Toán thông 
qua các chuyên đề dạy học. NXB Giáo dục Việt Nam. 
Nguyễn Bá Kim (2015). Phương pháp dạy học môn Toán. NXB Đại học Sư phạm. 
Nguyễn Tài Chung (2013). Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. NXB Tổng hợp TP. 
Hồ Chí Minh. 
Nguyễn Thị Hương Trang (2002). Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề một cách 
sáng tạo cho học sinh khá, giỏi trường trung học phổ thông: Qua dạy học giải phương trình bậc 2 - phương trình 
lượng giác. Luận án tiến sĩ Khoa học giáo dục, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam. 
Quốc hội (2014). Nghị quyết số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục 
phổ thông. 
Văn Phú Quốc (2014). Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán (tập 1). NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.