Một số vấn đề về giáo dục toán học gắn với thực tiễn

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
15 
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁO DỤC TOÁN HỌC GẮN VỚI THỰC TIỄN 
Nguyễn Danh Nam 
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên 
Email: danhnam.nguyen@tnue.edu.vn 
Article History 
Received: 12/08/2020 
Accepted: 31/08/2020 
Published: 05/10/2020 
Keywords 
mathematics education, 
mathematization, modeling, 
realistic mathematics 
education. 
ABSTRACT 
Realistic mathematics education (RME) is a theory developed in 1968 in the 
Netherlands. Over nearly 50 years, realistic mathematics education has been 
developed by mathematics educators at Freudenthal Institute of the 
University of Utrecht and other Dutch research institutes. The paper mentions 
a number of research issues on realistic mathematics education, thereby 
proposing a number of RME principles, orienting the renovation of teaching 
and learning methods of mathematics. RME is an active approach in teaching 
mathematics according to the direction of the new general education program 
and contributes to connect mathematical knowledge in schools with real life 
as well as develop students’ competencies. 
1. Mở đầu 
Giáo dục toán học gắn với thực tiễn (Realistic Mathematics Education, viết tắt là RME) là lí thuyết được phát 
triển bắt đầu từ Hà Lan vào năm 1968. Ý tưởng cơ bản của RME là dựa trên triết học về toán học và giáo dục toán 
học của Freudenthal. Trải qua khoảng 50 năm, RME được phát triển bởi các nhà giáo dục toán học thuộc Viện 
Freudenthal của Trường Đại học Utrecht và các viện nghiên cứu khác của Hà Lan. Hiện nay, khoảng 75% các trường 
học của Hà Lan sử dụng sách giáo khoa dựa trên triết lí RME. Chiến lược đánh giá hiệu quả của RME được phân 
tích và tiếp tục phát triển trong luận án tiến sĩ của Van den Heuvel năm 1996 (Van den Heuvel & Panhuizen, 1996). 
Ý tưởng này cũng được sử dụng trong chương trình sách giáo khoa phổ thông ở nhiều trường học của Hoa Kì với 
tên gọi “Toán học trong ngữ cảnh” - một trong những chuỗi sách giáo khoa liên hệ toán học với thực tiễn. Tư tưởng 
RME cũng được đưa vào chương trình dạy học Toán ở bậc đại học và tiếp tục được nghiên cứu bởi các tác giả như 
Rasmussen và King (2000), Ju và Kwon (2004), Kwon (2002). 
Bài báo đề cập một số vấn đề nghiên cứu về giáo dục toán học gắn với thực tiễn, từ đó đề xuất một số nguyên tắc 
giáo dục toán học gắn với thực tiễn, định hướng cho việc đổi mới phương pháp dạy và học môn Toán. 
2. Kết quả nghiên cứu 
2.1. Ý tưởng cơ bản của Freudenthal về RME 
Freudenthal (1991) nhấn mạnh rằng, cần đưa những vấn đề của thực tiễn vào chương trình dạy học ở trường phổ 
thông. Sau khi phân tích sự khác nhau giữa toán học với các khoa học khác, ông đưa ra kết luận rằng toán học có thể 
được dạy và học theo nhiều cách khác nhau ở trường học, giúp gắn kết giữa kiến thức toán học với thực tiễn. 
Theo Freudenthal (1991), có hai cách tiếp cận trong dạy học Toán: cách tiếp cận thứ nhất coi toán học như là sản 
phẩm khoa học, cách tiếp cận thứ hai coi toán học như hoạt động của con người. Freudenthal nhấn mạnh đến ý tưởng 
coi toán học là sản phẩm hoạt động của con người. Quan điểm này rất khác so với những kiến thức toán học được 
trình bày trong sách giáo khoa và trí tưởng tượng của con người. Sản phẩm của hoạt động toán học được hiểu không 
chỉ là những tiên đề, định lí, hệ quả mà còn là cách chứng minh, các lập luận toán học, định nghĩa, kí hiệu được lưu 
trong bộ não, suy nghĩ của con người. 
Freudenthal coi toán học hóa (THH) là một đặc trưng cơ bản của hoạt động toán học. Ông phản đối dạy học Toán 
bằng cách đưa ra những sản phẩm khoa học của toán học (Freudenthal, 1973). Theo ông, toán học cần được dạy học 
như một hoạt động khám phá lại tri thức toán học. Học sinh cần được học toán bằng cách “phát minh” lại những tri 
thức toán học. Những tri thức này có thể không mới với các nhà toán học nhưng lại mới đối với học sinh. Freudenthal 
sử dụng cụm từ “phát minh lại tri thức có sự hướng dẫn” (guided reinvention) thay cho những cụm từ như “giải quyết 
vấn đề”, “học tập khám phá”, Có hướng dẫn ở đây được hiểu là hướng dẫn của giáo viên và cả hướng dẫn của các 
bạn. Tuy nhiên, học sinh không chỉ khám phá theo đúng “quá trình phát minh của nhân loại” mà các em cần được 
tạo cơ hội để khám phá lại tri thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Freudenthal nhấn mạnh đến quá trình “THH” 
mà ở đó, học sinh được xây dựng giả thuyết, kiểm chứng và đối chiếu bài toán với thực tiễn. Freudenthal (1983) cho 
rằng, tri thức toán học được công bố rất khác so với cách mà chúng được phát minh ra, cần giúp học sinh học cách 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
16 
khám phá tri thức theo đúng con đường mà tri thức được tạo ra. Ông cũng đưa ra khái niệm “hiện tượng học” và 
“dạy học dựa trên hiện tượng”: “Hiện tượng học là một khái niệm, cấu trúc, ý tưởng, phương tiện để mô tả toán học 
và mối quan hệ của nó với hiện tượng được tạo ra, trong đó có mô ... thực, bởi Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH 
mà mỗi học sinh đều phải trải qua. Cụ thể (xem sơ đồ 2, trang bên): 
Thế giới 
toán học 
Thế giới 
thực 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
18 
Sơ đồ 2. Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß 
Bước 1: Hiểu tình huống thực tiễn đã cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó. 
Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực của tình huống. 
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán. 
Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để thu được kết quả. 
Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn. 
Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện quá trình lần 2. 
Bước 7: Trình bày cách giải quyết. 
MHH và áp dụng toán học là hai hoạt động quan trọng trong dạy học Toán, cả hai thuật ngữ này đều được sử 
dụng để biểu thị các mối quan hệ giữa thế giới thực và thực tiễn. Tuy nhiên, MHH có xu hướng tập trung vào chiều 
“từ thực tiễn đến toán học”. MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tiễn, tìm 
kiếm kiến thức toán học để giải quyết, sau đó trở lại xem xét tính hữu ích của mô hình toán học đã sử dụng để mô tả 
và phân tích tình huống thực tiễn. Có nhiều công cụ toán học khác nhau đối với mỗi tình huống, phụ thuộc vào cách 
phân tích tình huống đó. Vì vậy, với một nhiệm vụ MHH, cần trả lời được câu hỏi là kiến thức toán học nào phù hợp 
để giải quyết. Còn ứng dụng toán học có xu hướng tập trung vào chiều “từ toán học đến thực tiễn”. Toán học là một 
cầu nối hữu ích để đi đến các hoạt động MHH. Ngược lại, nhấn mạnh đến các đối tượng thực tiễn tương ứng với các 
mô hình toán học đã tồn tại, nghĩa là từ một chủ đề toán cụ thể, chỉ ra các lĩnh vực thực hành khác sử dụng nội dung 
toán học. Một nhiệm vụ vận dụng toán học thường đặt ra câu hỏi: Chúng ta có thể sử dụng kiến thức toán học này ở 
đâu trong thực tiễn? 
2.3. Các cách tiếp cận RME trong giáo dục toán học 
Xu hướng đưa MHH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng 
hạn, ở Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Hoa Kì, Thụy Sĩ, MHH là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục 
quốc gia về môn Toán (Blum và cộng sự, 2007). Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình môn Toán năm 
2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong quá trình dạy học Toán, đáp ứng những yêu cầu của 
thế kỉ XXI. Trong nghiên cứu giáo dục toán học về lĩnh vực MHH, có rất nhiều hướng tiếp cận, bắt nguồn từ các 
quan điểm lí thuyết, mục đích khác nhau và đặc trưng cho các khía cạnh khác nhau của MHH (Kaiser and Sriraman, 
2006). Các quan điểm này có những nét riêng và phát triển trong các môi trường nghiên cứu khác nhau, tuy nhiên 
giữa chúng vẫn có những phần giống nhau và rất khó để phân biệt. 
- Quan điểm nhận thức luận cho rằng, sự phát triển của lí thuyết toán học là một bộ phận của quá trình MHH, 
thể hiện qua bộ ba: Tình huống - Mô hình - Lí thuyết, nghĩa là các mô hình được xây dựng từ tình huống thực tiễn 
và đi đến sự phát triển của một lí thuyết toán, thông qua thúc đẩy kết nối giữa hoạt động MHH và hoạt động toán 
học. Freudenthal có thể coi là người đi đầu theo hướng tiếp cận này, sau đó được phát triển bởi Stainer, Revuzm 
Garcia, Bosh. 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
19 
- Quan điểm thực tế chú trọng đến khả năng người học áp dụng toán học vào giải quyết những vấn đề thực tiễn, 
giúp họ hiểu về thế giới thực và thúc đẩy các năng lực MHH. MHH là một quá trình hoàn chỉnh, với mục đích giải 
quyết một vấn đề thực tiễn chứ không phải để phát triển một lí thuyết mới như quan điểm nhận thức luận. Các nhà 
giáo dục toán học tiêu biểu cho tiếp cận này là Pollak, Burkhardt, Kaiser và Schwarz. 
- Quan điểm giáo dục chú trọng tích hợp MHH vào dạy học Toán, thông qua các ví dụ thực tiễn và mối quan hệ 
của chúng đối với toán học để xây dựng, hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học tập môn Toán; chú trọng đến 
các bước của quá trình MHH, phát triển các năng lực MHH. 
- Quan điểm phản ánh nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung, của MHH toán học nói riêng đối 
với sự phát triển của tư duy phê phán của người học trước những tình huống trong cuộc sống, chẳng hạn như 
D’Ambrosio, Araujo, Barbosa. 
- Quan điểm ngữ cảnh phát triển các hoạt động học tập, cho phép học sinh hiểu được ý nghĩa của toán học thông 
qua các tình huống thực tiễn thường gặp trong cuộc sống hàng ngày, được MHH. Tiêu biểu cho quan điểm nghiên 
cứu này là Lesh và Doerr. 
- Quan điểm nhận thức là một cách tiếp cận mới về MHH, thông qua việc phân tích các quá trình MHH và các 
kiểu tình huống khác nhau để nắm được quá trình nhận thức, xây dựng lại quá trình MHH của mỗi cá nhân, nhận ra 
những rào cản, khó khăn của học sinh liên quan đến MHH. Các nhà nghiên cứu có quan điểm này là Blum, Leiß, 
Ferri và Carreira. 
Khái niệm RME được Treffers (1987) sử dụng tiêu chuẩn THH theo chiều ngang và chiều dọc, với 04 cách tiếp 
cận khác nhau trong giáo dục toán học, đó là: cơ học, cấu trúc, thực nghiệm và thực tiễn (Treffers, 1987). De Lange 
(1987) mô tả về cách tiếp cận “cơ học” trong toán học là một hệ thống các quy tắc, các quy tắc này sẽ cung cấp cho 
học sinh, được các em xác minh và áp dụng vào giải quyết những vấn đề tương tự. Với cách tiếp cận này, quá trình 
THH theo chiều ngang và chiều dọc đều không được chú trọng (De Lange, 1987). Cách tiếp cận “cấu trúc” coi toán 
học như một hệ thống có tổ chức, sắp xếp và suy diễn có tính đóng. Vì vậy, cách tiếp cận “cấu trúc” nhấn mạnh đến 
cấu trúc toán học trong chương trình môn Toán ở phổ thông. Vào những thập niên 60 và 70 trong thế kỉ XX, cách 
tiếp cận này (gọi là toán học mới) đã ảnh hưởng rộng rãi trong giáo dục toán học. Theo đó, THH theo chiều dọc được 
nhấn mạnh, tuy nhiên THH theo chiều ngang không được chú trọng. Freudenthal (1991) cung cấp cho học sinh 
những thông tin xung quanh cuộc sống, các em có cơ hội được sử dụng kinh nghiệm của mình khi giải quyết vấn đề. 
Tuy nhiên, học sinh không được học kiến thức toán một cách hệ thống để vượt qua những chướng ngại về môi trường 
và mở rộng kiến thức thực tiễn mà các em đã trải nghiệm. Theo cách tiếp cận này, THH theo chiều ngang được nhấn 
mạnh nhưng THH theo chiều dọc không được thể hiện rõ; ngược lại, cách tiếp cận thực tiễn đáp ứng đầy đủ cả THH 
theo chiều ngang và chiều dọc. 
2.4. Một số nguyên tắc của RME 
Trong bài báo này, chúng tôi đề cập 05 nguyên tắc của RME, đó là: sử dụng ngữ cảnh, sử dụng mô hình, sử dụng 
sản phẩm tự xây dựng của học sinh, nguyên tắc tương tác và lồng ghép trong học tập. Những nguyên tắc này được 
kết nối bởi các cấp độ khác nhau của tư duy. 
Nguyên tắc 1 (sử dụng ngữ cảnh): Borasi định nghĩa ngữ cảnh là một tình huống mà vấn đề được cài đặt vào đó 
(Van den Heuvel and Panhuizen, 1996). Trong sách giáo khoa truyền thống, hầu hết các vấn đề được trình bày mà 
không chứa ngữ cảnh và ngữ cảnh “xuất hiện chỉ thông qua giới thiệu tóm lược hoặc phần kết của vấn đề”. Học sinh 
sử dụng sách giáo khoa thường rất khó để giải quyết vấn đề khi các em gặp phải một ngữ cảnh thực tế, bởi các em 
phải chuyển được vấn đề sang bài toán không có ngữ cảnh hay bài toán thuần túy để giải. Theo Gravemeijer và 
Doorman (1999) thì vấn đề ngữ cảnh là tình huống mà ở đó, học sinh được trải nghiệm, nó không chỉ là những nội 
dung thực tiễn mà còn chứa những bài toán “thuần túy”. Phương pháp truyền thống thường tiếp cận bằng cách đưa 
ra những bài toán cụ thể, giải bài toán bằng công cụ toán học và bài toán tiếp theo được đưa ra như một ứng dụng 
của nó. Trong khi đó, theo cách tiếp cận của RME thì ngữ cảnh được đưa vào ngay từ đầu của bài toán (Gravemeijer 
and Doorman, 1999). De Lange (1987) đề cập đến 03 cấp độ sử dụng ngữ cảnh: cấp độ 1 là những tình huống thường 
gặp trong sách giáo khoa, có sự chuyển dịch đơn giản từ vấn đề thực tiễn đến bài toán thuần túy; cấp độ 2 là sử dụng 
để tìm kiếm những tri thức toán học phù hợp, tổ chức và cấu trúc để giải quyết các vấn đề thực tiễn; cấp độ 3 là sử 
dụng để giới thiệu và phát triển một mô hình hoặc khái niệm toán học. Ngữ cảnh có vai trò trong tổ chức dạy học 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
20 
Toán như: - Tạo động cơ cho học sinh khám phá tri thức mới; - Cung cấp cho học sinh cơ hội để áp dụng toán học; 
- Gợi ý chiến lược giải toán; - Cung cấp cơ sở cho sự thông hiểu toán học. 
Nguyên tắc 2 (sử dụng mô hình): Mô hình theo xác định của Freudenthal khác với mô hình toán học. Streefland 
(1991) phát triển ý tưởng trong ngữ cảnh để kiến tạo khái niệm “mô hình của” và “mô hình cho” năm 1985. Theo 
Streefland (1991): “Một mô hình được tạo thành và phát triển từ một tình huống thực tiễn có liên hệ mật thiết với 
vấn đề gọi là “mô hình của” (tình huống cụ thể), sau đó mô hình được phát triển và khái quát hóa độc lập với với 
vấn đề gọi là “mô hình cho” (không chỉ tình huống ban đầu mà còn là những tình huống khác). Từ đó, học sinh hình 
thành tri thức toán học”. 
Nguyên tắc 3 (sản phẩm của học sinh): Học sinh được khuyến khích khám phá lại kiến thức toán học bằng chính 
con đường của mình. 
Nguyên tắc 4 (tương tác): Tương tác trong RME được nhấn mạnh, tuy nhiên không vì thế mà bỏ qua hoạt động 
cá nhân. 
Nguyên tắc 5 (lồng ghép): Mạch kiến thức toán học được lồng ghép với nhau như đại số, lượng giác, hình học 
giải tích, giải tích, dãy số, Freudenthal (1991) gợi ý một số ví dụ về sự kết nối này như tỉ số và phân số, hàm số, 
đồ thị và phương trình, số âm, vectơ trong hình học và đại số, hàm số và đồ thị hàm tuyến tính, hình học phẳng và 
hình học không gian. Van den Heuvel và Panhuizen (2001) giải thích mối quan hệ giữa các kiến thức toán học trong 
một chương và các chương khác nhau trong sách giáo khoa, từ đó đánh giá thấp việc cần thiết phải khai thác những 
kiến thức toán học khác nhau để giải các bài toán. Bên cạnh đó, Freudenthal cũng đề cập mối quan hệ chặt chẽ giữa 
toán học với các môn học khác như Vật lí, Hóa học và Sinh học. 
3. Kết luận 
Có nhiều nghiên cứu khác nhau về RME của các nhà giáo dục toán học trên thế giới sau những ý tưởng cơ bản 
của Freudenthal. RME đã được áp dụng trong dạy học Toán học ở trường phổ thông của nhiều nước trên thế giới. 
Bài báo cũng làm rõ sự khác biệt giữa hai khái niệm “THH” và “MHH”, quy trình vận dụng chúng trong tổ chức 
các hoạt động toán học, tùy theo ngữ cảnh của bài toán, chúng ta có thể sử dụng khái niệm nào cho phù hợp. Đặc 
biệt, MHH cũng đã được nhấn mạnh trong chương trình môn Toán của Việt Nam nhằm phát triển năng lực MHH 
cho học sinh. Tóm lại, giáo dục toán học gắn với thực tiễn là một cách tiếp cận tích cực trong dạy học môn Toán 
theo định hướng của chương trình giáo dục phổ thông mới và góp phần gắn kiến thức toán học trong nhà trường 
với thực tiễn. 
Lời cảm ơn: Tác giả trân trọng cảm ơn Quỹ phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đã 
tài trợ cho nghiên cứu này, trong khuôn khổ đề tài “Giáo dục toán học gắn với thực tiễn ở Việt Nam 
- Nhu cầu và thách thức”, mã số: 503.01-2019.301. 
Tài liệu tham khảo 
Blum, W., Leiß, D. (2006). How do students and teachers deal with mathematical modelling problems? The example 
“Sugarloaf”. In Haines, C. Galbraith P., Blum, W. and Khan, S. (2006). Mathematical modelling (ICTMA 12): 
Education, engineering and economics. Chichester: Horwood Publishing, 222-231. 
Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied Mathematical Problem Solving, Modelling, Applications, and Links to Other 
Subjects - State Trends and Issues in Mathematics Instruction. Educational Studies in Mathematics, 22, 37-68. 
Blum, W., Galbraith, P.L., Henn, H-W. & Niss, M. (2007) (Eds.). Modelling and applications in mathematics 
education. The 14th ICMI-study 14. New York: Springer-Verlag, 45-56. 
Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer. 
De Lange, J. (1987). Mathematics, insight and meaning. OW&OC. Utrecht University, Utrecht, The Netherlands. 
Edwards, D., & Hamson, M. (2001). Guide to mathematical modelling. Basingstoke: Palgrave. 
Ernest, P. (1994). Constructing mathematical knowledge: Epistemology and mathematics education. London: 
Falmer Press. 
Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel Publishing Company. 
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures. Riedel Publishing Company, 
Dordrecht, The Netherlands. 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 487 (Kì 1 - 10/2020), tr 15-21 ISSN: 2354-0753 
21 
Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education. China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 
Gravemeijer, K.P.E. (1994). Developing realistic mathematics education. CD-ß Press, Freudenthal Institute, Utrecht, 
The Netherlands. 
Gravemeijer & Terwel (2000). Hans Freudenthal a mathematician on didactics and curriculum theory. Journal of 
Curriculum Studies, 32(6), 777-796. 
Ju, M.K., & Kwon, O.N. (2004). Analysis of students’ use of metaphor: the case of an RME-based differential 
equations course. Journal of the Korea Society of Mathematical Education, 22 8(1), 19-30. 
Kaiser, G., & Sriraman, B. (2006). A global survey of international perspectives on modelling in mathematics 
education. ZDM, 38(3), 302-310. 
Kwon, O.N. (2002). The effects of calculator-based ranger activities on students’ graphing ability. School Science 
& Mathematics, 102(2), 5-15. 
Pollak, H. (1979). The interaction between mathematics and other school subjects. In UNESCO (Eds.), New Trends 
in Mathematics Teaching IV, (pp. 232-248). Paris. 
Rasmussen, C. & King, K. (2000). Locating starting points in differential equations: A realistic mathematics 
approach. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31, 161-172. 
Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (Eds.) (2010). Applications and mathematical modelling in mathematics 
learning and teaching. Special issue. Mathematics Education Research Journal, 22(2). 
Streefland, L. (1991). Fraction in realistic mathematics education, a paradigm of development research. Dordrect: 
Kluwer Academic Publisher. 
Treffers, A. (1987). Three dimensions: A model of goal and theory description in mathematics education. Dordrecht, 
Reidel. 
Van den Heuvel & Panhuizen, M. (1996). Assessment and realistic mathematics education. Utrecht: CD-b 
Press/Freudenthal Institute, Utrecht University. 
Van den Heuvel & Panhuizen, M. (2001). Realistic Mathematics Education in the Netherlands. In J. Anghileri (ed.), 
Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative Approaches for the Primary Classroom, Open 
University Press, Buckingham, United Kingdom, 49-63. 
Van den Heuvel & Panhuizen, M. (2003). The didactical use of models in realistic mathematics education: an 
example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in Mathematics, 54, 9-35.