Magnetization in high-tc superconductors

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   87 
 MAGNETIZATION IN HIGH-TC SUPERCONDUCTORS 
 Bui Duc Tinh, Le Minh Thu, Nguyen Quang Hoc 
 Hanoi National University of Education 
 Abstract: We use the self-consistent method in the presence of magnetic field for the 
 Ginzburg-Landau description of strongly thermal fluctuations effects to calculate 
 magnetization in high-Tc superconductors. The obtained results are summation over all 
 Landau levels which are valid for arbitrary values of the magnetic field not too close to 
 Hc1. It is showed that the intersection point of magnetization curves appears and 
 magnetization just below Tc is nonmonotonic. Our calculation supports the phase 
 disordering picture of fluctuations above Tc. 
 Keywords: Magnetization, superconductor, magnetic, high-Tc 
 Email: bdtinh@hnue.edu.vn 
 Received 05 December 2017 
 Accepted for publication 25 December 2017 
1. INTRODUCTION 
 A interesting feature of magnetization curves intersecting atthe same point for a wide 
range  of  magnetic  fieldswas  observed  in  high-Tcsuperconductors  long  time  ago,  such  as 
Bi2Sr2CaCu2O8+(BSCCO) [1], YBa2Cu3O7- (YBCO) [2]. It was found that theintersection 
point was no longer the same for all the magneticfields in several classes of layered high-
Tcsuperconductors,  such  asHgBa2Ca2Cu3O8+(HBCCO)  [3],  La2-xSrxCuO4(LaSCO)  [4]. 
Normally,  for  superconductormaterials  such  as  YBCO,  HBCCO,  and  optimally  doped 
LaSCO,the  intersection  point  moves  from  a  high  temperature  at  lowfields  to  a  lower 
temperature as the magnetic field increases.The intersection point is always belowTc. 
 Magnetization in high-Tc superconductorshas been studied theoretically [5] within both 
the microscopic theory and the Ginzburg-Landau approach. In all of these calculations the 
fluctuationswere  assumed  to  be  small  enough,  so  they  can  be  taken  intoaccount 
perturbatively.  To  determine  theoreticallyfluctuation  magnetization  for  strong  thermal 
fluctuations,we therefore must go beyond this simple approximationneglecting the effect of 
the  quartic  term  in  the  Ginzburg-Landau  freeenergy.  The  effect  of  the  quartic  term  in 
Ginzburg-Landau free energy is taken into accountwithin the self-consistent theory.  
88   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
2. GINZBURG-LANDAU MODEL 
 We start with the Gibbs free energy in two dimension 
 
 ⃗⃗
  = ′ ∫   [, ] + ,                                    (1) 
 
where F is the free energy given by 
  
 ℏ   
 [, ] = ′ ∫   ⃗ + ( − ∧)|| + || .                   (2) 
  
 Here is the order parameter effective “thickness”,  is the order parameter describing 
superconductivity,  is mass of Cooper pair, the covariant derivatives are defined by ⃗ ≡
 ∗
∇ + ⃗(∗ = 2|| is charge of Cooper pair), the vector potential describes constant and 
 ℏ
homogeneous magnetic field ⃗ = (−, 0). 
 Throughout  most  of  the  paper  we  use  the  coherence  length  ξ  as  a  unit  of  length, 
 ∗ 
(0) = ℏ/   as a unit of the magnetic field,  = /2Λ as dimensionless order 
parameter. The dimensionless Boltzmann factor becomes 
 ⃗ 
 ,   
 (, ) = = ∫   ⃗ − (1 − Λ)|| + || ,             (3) 
  ΛΛ
   ∗ 
where   = / ,   = 2   with   = 2     being  the  Ginzburg-
      Λ ′ ℏ Λ
Landau parameter.  
 The thermodynamic (effective) Gibbs energy [6], 
 G  t ln Z ,                                                  (4) 
defined as dimensionless thermodynamic Gibbs energy, which determines the magnetization 
and Z is the partition function of the Gibbs ensemble 
 G 
 Z D D exp D  D  exp( g [  ]) .                   (5) 
 T 
 Performing the same rescaling of fields:  º/ = (, ) + [], where fis given 
in Eq. (3), b=B/Hc2 and 
 
  ⃗ ⃗ 
 [] = ∫  − ℎ .                                  (6) 
 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   89 
3. MAGNETIZATION WITHIN THE SELF-CONSISTENT METHOD 
 Magnetization in the presence of thermal fluctuation is determined from 
 2 
 G 1 * f  
 Z D D  (b h ) 0 .                        (7) 
 b  b2  t  
 Taking the derivative, one obtains 
 1  t  f
 m b h Z 1  D * D  exp(g[  ]) .                      (8) 
 4 2  2  b
 Since κ  1 magnetization is small b h/ 4   2 h , and it suffices to consider 
   
a simpler statistical sum 
 
  ≈ ∫ DΨΨ∗ −  = ∫ DΨΨ∗(−[Ψ]).                       (9)      
 
 We take  f[,]KW b , which are defined below, 
  
  = ∫   ⃗ + (2 − )||,                          (10) 
 
   
  = ∫   [( +  − 1 − 2)|| + || ].                 (11) 
 
 The thermodynamic free energy in Eq. (4) can be written as 
 fgauss f1 W ,                                                (12) 
where 
  t b 
 f  tlog D  D  exp( K )   log( nb  ) ,    (13) 
 1   
 2 n 0
 t b 1 b 1 b 1 2
  .              (14) 
 W    t   
 2 2 n 0nb  2 n 0 nb  
 At large n the sums diverge, so one need to introduce an UV momentum cutoff which 
effectively  limits  the  number  of  Landau  levels  to  Nf / b 1.  Finally,  total 
thermodynamic free energy takes a form 
 2
 1 1 T 1
 fgauss  log  1  t log  1 log   
 2 2 Tc 2 
90   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 1 t b 2
  u'' u  t u ,                                                       (14) 
 2 
 1
where  u'( ,t)  f (  / b) log b, f is PolyGamma function, and the temperature Tc is 
 2 
renormalized 
  
 TTc  1 log  ,                                            (15) 
 2
 2 e * 
 Note  that  t  t, t T / T ,  2 Gi , Gi 2 4  4 T 2   (T is  now 
   c2 c 
 s s' c 
replaced by Tc). 
 The  gap  equation  is  arrived  by  minimizing  the  free  energy  density  of  the  system 
fgauss/=0 
 1 t b
  2 tu '(  , t )                                        (16) 
 2
 Combining  Eqs.  (4),  (8),  (9),  and  (14),  the  average  magnetization  in  the  sample  is 
obtained 
 1 f
 m gauss .                                                   (17)  
 2  2 b
4. RESULT AND DISCUSSION 
 In order to illustrate the main features of our model, we take as example a common 
material, like La2-xSrxCuO4 (LSCO). Typical characteristic parameters are then: =24 K for 
the critical temperature under very small electric field and no magnetic field, = 0.1 for the 
 o
strength of thermal fluctuations, Hc2=45 T for the critical field, and s’=8A  for the effective 
“thickness” of layer. 
 In Fig.1 the magnetization curves computed according to Eqs. (16) and (17), are shown 
for  different  temperatures.  The  theoretical  magnetization  just  below  Tcis  nonmonotonic, 
consistent  withthe  experiment  [7,8].  Above  Tc,  the  theoretical  magnetization  is  still 
nonmonotonic, which mean that thermal fluctuation plays important role.  
 In Fig.2, the magnetization curves computed according to Eqs. (16) and (17), are shown 
for different magnetic field. Our calculation show that the intersection point magnetization 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   91 
curves is belowTc in wide region of magnetic field, which is consistent with experimental 
[6,7]. This feature cannot be explained by the mean field theory that can only be explained 
by theory of thermal fluctuation.  
 Fig. 1. Magnetization as a function of magnetic field, for different temperature 
 Fig. 2. Magnetization as a function of temperature, for different magnetic field 
5. CONCLUSION 
 We  have  studied  effect  of  thermal  fluctuation  on  magnetization  of  high-Tc 
superconductor  by  using  the  self-consistent  method  with  Ginzburg-Landau  model.  Our 
results including all Landau levels are valid for arbitrary values of the magnetic fieldnot too 
close to Hc1. The method used in the present paper can also apply to strongtype II low-Tc 
superconductors. Our magnetization just below Tc isin fact nonmonotonic, consistent with 
theexperiment.  Our  calculation  supports  the  phase-disorderingpicture  of  fluctuations 
advocated by La2-xSrxCuO4[9]. 
 92   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
 Acknowledgment: This work was supported by the National Foundation for Science 
 and Technology Development (NAFOSTED) of Vietnam under Grant No. 103.02-2017.316. 
 REFERENCES 
1. R. Jin,A.Schilling, and H. R.Ott (1994), Phys.Rev.B49 , p.9218. 
2. U. Welpet al (1991), Phys.Rev.Lett. 67, p.3180. 
3. M. J. Naughton (2000), Phys.Rev.B61, p.1605. 
4. Y.M.Huh and D.K.Finnemore (2002), Phys.Rev.B 65, p.092506. 
5. A.Larkin and A.Varlamov (2005), Theory of Fluctuations in Superconductors(Clarendon Press, 
 Oxford. 
6. B.Rosenstein and D.Li (2010), Rev.Mod.Phys. 82, p.109. 
7. Lu  Li,  Y.Wang,  S.Komiya,  S.Ono,  Y.Ando,  G.D.Gu,and  N.P.Ong  (2010),Phys.Rev.  B81, 
 p.054510. 
8. Y.Wang,  LuLi,  M.J.Naughton,  G.D  Gu,  S.Uchida,  and  N.P.Ong  (2005),  Phys.Rev.  Lett.95, 
 p.247002. 
9. Lu Li, Y.Wang, and N.P.Ong (2013), Phys. Rev. B 87, p.056502. 
 ĐỘ TỪ HÓA CỦA VẬT LIỆU SIÊU DẪN NHIỆT ĐỘ CAO 
 Tóm tắt: Chúng tôi sử dụng phương pháp tự hợp trong hình lý thuyết Ginzburg-Landau để 
 tính toán ảnh hưởng của thăng giáng nhiệt lên độ từ hóa của vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao 
 đặt trong từ trường. Kết quả thu được bao gồm tất cả các mức Landau mà có thể áp dụng 
 cho từ trường bất kì không quá gần Hc1. Kết quả chỉ ra rằng các đường từ hóa cắt nhau 
 và không đơn điệu dưới nhiệt độ Tc. Tính toán của chúng tôi xác nhận pha mất trật tự do 
 thăng giáng nhiệt ở trên Tc. 
 Từ khóa: Độ từ hóa, vật liệu siêu dẫn, từ trường, nhiệt độ cao