Lập và sử dụng mô hình với hàm số phù hợp để giải các bài toán thực tế

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
16 
LẬP VÀ SỬ DỤNG MÔ HÌNH VỚI HÀM SỐ PHÙ HỢP 
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ 
Trần Vui 
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế 
Email: tranvui@hueuni.edu.vn 
Article History ABSTRACT 
Received: 20/10/2020 
Accepted: 02/12/2020 
Published: 20/12/2020 
Secondary Vietnamese students well performed mathematical skills and 
concept understanding in PISA tests, but they unsuccessfully translated word 
problems in the real life context to mathematical language for solving 
problem. Teaching and learning mathematics in classrooms should focus on 
setting up and using models to help students translating word problems to 
models with functions by using mathematical tools. Focusing on setting up 
and using models in mathematics classrooms helps students have good 
chance to set up and use models with appropriate functions. Students are able 
to use computer-based mathematical tools such as Excel to solve real-life 
problems effectively. Vietnamese students are able to combine skills and 
concept understanding with setting up and using models of specific functions 
in the learning environment with computer-based mathematical tools to solve 
problems given by real data. 
Keywords 
model, appropriate functions, 
solve, real-life problems. 
1. Mở đầu 
Trong chương trình toán ở cấp trung học, các kiến thức khái niệm và kiến thức kĩ năng luôn đồng hành cùng nhau 
để giúp học sinh (HS) giải quyết vấn đề và ứng dụng mô hình. Giải quyết vấn đề cùng với lập và sử dụng mô hình 
là hai quá trình cốt lõi để phát triển tư duy toán với sự huy động phù hợp các kĩ năng và khái niệm. Bốn thành phần 
chính thường được tập trung trong chương trình toán bao gồm: các khái niệm, các kĩ năng, giải quyết vấn đề, lập và 
sử dụng mô hình. Bốn thành phần này đan quyện và hỗ trợ cho nhau theo hai mảng: nội dung và quá trình. Trong 
đó, nội dung toán thường đề cập đến các khái niệm và các kĩ năng toán, còn quá trình chỉ khả năng vận dụng nội 
dung toán trong giải quyết vấn đề, lập và sử dụng mô hình. 
Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) về toán chú trọng 
vào lập và sử dụng mô hình để giải quyết các bài toán trong cuộc sống đời thường. 
Trong phân tích bài làm của HS Việt Nam thì việc hiểu khái niệm và thành thạo kĩ năng được thể hiện mạnh, 
nhưng các em đã gặp nhiều hạn chế trong việc tự mình lập mô hình toán, tức là chuyển thể các tình huống thực tế 
thành mô hình. Do không tìm được mô hình cho tình huống đã cho, các em mất cơ hội để trả lời các câu hỏi đòi hỏi 
sử dụng mô hình đã tìm thấy ở mức tư duy cao hơn (Vui, 2018). Việc sử dụng mô hình với hàm số phù hợp sẽ cho 
phép những phân tích định lượng để dự đoán sự phát triển hay bùng phát của các hiện tượng thực tế một cách có căn 
cứ toán học. Ví dụ: mô hình toán mô tả sự bùng phát của dịch COVID-19 và những dự đoán ở một số quốc gia dựa 
trên các số liệu thu thập được; việc so sánh với các số liệu công bố cho thấy rằng các kết quả của mô hình toán là 
chính xác (Cherniha & Davydovych, 2020). 
Khung PISA 2021 đã đề cập đến hiểu biết toán một cách tường minh hơn bao gồm việc sử dụng các công cụ 
toán. Các công cụ này bao gồm nhiều loại dụng cụ cơ học, kĩ thuật số, phần mềm và các thiết bị tính toán. Các công 
cụ toán trên máy tính (computer-based mathematical tools) được sử dụng rộng rãi ở nơi làm việc của thế kỉ XXI và 
sẽ càng phổ biến hơn ở cả nơi làm việc và trong mọi lĩnh vực của xã hội nói chung. Bản chất của các bài toán liên 
quan đến cuộc sống và công việc hàng ngày đòi hỏi các cá nhân phải vận dụng suy luận toán học (cả hai suy diễn và 
quy nạp) trong các tình huống ở đó các công cụ tính toán là cần thiết được mở rộng với những cơ hội mới tạo nên 
những kì vọng cao hơn về hiểu biết toán. Đánh giá toán trên máy tính (CBAM: Computer-Based Assessment of 
Mathematics) sẽ là định dạng cho hiểu biết toán từ năm 2021. Mặc dù vậy, lựa chọn cho đánh giá trên giấy vẫn còn 
duy trì cho những quốc gia muốn tiếp tục theo cách này (OECD, 2018). 
Trong bài báo này, chúng tôi tập trung vào việc trả lời câu hỏi nghiên cứu cơ bản: HS đã thể hiện chu trình lập 
và sử dụng mô hình để chuyển thể một tình huống thực tế để lập mô hình hàm số phù hợp bằng các loại công cụ toán 
học trên máy tính và sử dụng để trả lời các câu hỏi của bài toán như thế nào? 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
17 
2. Kết quả nghiên cứu 
2.1. Việt Nam tham gia vào đánh giá PISA 
Với việc tham gia vào những bài kiểm tra, đánh giá của PISA, Việt Nam có thể rút ra được những bài học về vị 
trí giáo dục toán của mình khi so sánh với các quốc gia khác trên thế giới và trong khu vực Đông Nam Á. Cùng với 
việc dựa vào phân tích kết quả PISA, Việt Nam cũng sẽ hiểu được những yếu tố ảnh hưởng đến những nỗ lực nâng 
cao chất lượng giáo dục của mình nhằm phục vụ cho nền kinh tế nước nhà. Chúng ta có thể vận dụng những thể ...  phân loại năng lực toán học thành ba cụm: tái tạo, liên kết, phản ánh. Mỗi cụm như vậy tương ứng với hai 
mức. Tái tạo ứng với mức 1, 2 được xem là năng lực thấp. Liên kết ứng với mức 3, 4 chỉ năng lực trung bình. Phản 
ánh ứng với mức 5, 6 được đánh giá là năng lực cao. Tổng hợp các năng lực từ thấp đến cao gồm tái tạo, liên kết và 
phản ánh trong phân loại PISA được hiểu là các “kĩ năng toán học cơ bản” theo nghĩa hiểu biết kiến thức toán cụ thể 
và vận dụng được cho các tình huống thực tế. 
Bảng 1. Tỉ lệ HS Việt Nam đạt các năng lực toán trong PISA 2012, 2015 
Năng lực Cụm Mức Mô tả 2012 (tỉ lệ %) 2015 (tỉ lệ %) 
Cao Phản ánh 5, 6 
Thành thạo và vận dụng kiến 
thức trong mọi tình huống 
14,2 13 
Trung bình Liên kết 3, 4 
Biết kiến thức toán và vận dụng 
được 
72,5 73 
Thấp Tái tạo 1, 2 
Không thành thạo kiến thức 
toán 
13,3 14 
Từ bảng 1, chúng ta thấy rằng năng lực toán của HS Việt Nam tương đối đồng đều, đa số các em đều được trang 
bị tốt các kĩ năng toán cơ bản. Ngược lại, ở nhiều nước khác đã có sự chênh lệch, phân hóa cực lớn, chứng tỏ có sự 
bất bình đẳng trong giáo dục (OECD, 2016). Trong môn Toán, HS Việt Nam có năng lực tư duy và suy luận toán 
học cơ bản ở bậc cao nhưng hệ thống giáo dục chưa phát huy tiềm năng to lớn đó. HS chủ yếu đạt năng lực ở mức 
3, 4, các mức cao 5, 6 vẫn còn thấp, điều này đòi hỏi HS phải biết vận dụng sáng tạo các kiến thức đã biết để làm 
nên những cái gì đó mới và không quen thuộc với những dạng đã biết. 
2.2. Tập trung vào lập và sử dụng mô hình 
Chủ đề lập mô hình được sử dụng xuyên suốt để thống nhất và phân loại nhiều ứng dụng của toán học vào cuộc 
sống. Chúng tôi cố gắng để làm rõ quá trình cơ bản để chuyển thể các bài toán bằng lời hoặc bằng chữ thành ngôn 
ngữ toán học. HS được yêu cầu xây dựng các mô hình toán, được tổ chức theo các chủ đề kiến thức toán rõ ràng, cụ 
thể. Các kiến thức toán như các hàm số đa thức, hàm mũ, logarit và lượng giác, hệ các phương trình và bất phương 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
18 
trình có thể được sử dụng để tạo mô hình toán cho các hiện tượng quen thuộc từ các môn khoa học và từ cuộc sống 
hàng ngày. 
Một mô hình là một biểu diễn của một đối tượng hay một quá trình. Một mô hình toán là một biểu diễn toán học 
(thường là một phương trình) của một đối tượng hay một quá trình. Khi một mô hình toán được thành lập, ta có thể 
sử dụng nó để thu những thông tin hữu ích hay đưa ra những dự đoán về đối tượng được lập mô hình. Quá trình này 
được mô tả theo sơ đồ hai chiều từ thế giới - thực đến mô hình. Trong các phần tập trung vào chu trình lập và sử 
dụng mô hình, chúng tôi khám phá những cách khác nhau mà ở đó toán học được sử dụng để mô hình các hiện tượng 
của thế giới - thực. 
Hình 1. Chu trình lập và sử dụng mô hình 
2.3. Lập mô hình với hàm số 
Việc tìm kiếm một hàm số mô tả sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác được gọi là lập mô 
hình với hàm số. Với việc tập trung vào việc lập mô hình, chúng ta học cách làm thế nào để tìm các mô hình mà có 
thể được xây dựng bằng cách dùng các tính chất hình học hay đại số của đối tượng nghiên cứu. Khi tìm được mô 
hình, chúng ta dùng nó để phân tích và dự đoán các tính chất của đối tượng hay quá trình được khảo sát. Trong phần 
này chúng tôi sử dụng một chu trình lập và sử dụng mô hình gồm 4 bước để chuyển thể một tình huống thực tế bằng 
ngôn ngữ hàng ngày thành hàm số bằng ngôn ngữ đại số. 
Chúng tôi cũng sử dụng chu trình 4 bước này để đánh giá khả năng lập mô hình với hàm số của HS khi giải quyết 
các bài toán thực tế (Stewart, 2016) như dưới đây. 
Bước 1. Diễn đạt mô hình bằng chữ: Xác định đại lượng bạn muốn để lập mô hình và biểu thị nó bằng lời văn, 
như là một hàm số của những đại lượng khác trong bài toán. 
Bước 2. Chọn biến số: Xác định tất cả các biến số có thể được sử dụng để biểu thị hàm số ở bước 1. Gán một kí 
hiệu, chẳng hạn x, cho một biến số, rồi biểu thị các biến khác theo kí hiệu này. 
Bước 3. Lập mô hình: Biểu thị hàm số bằng ngôn ngữ đại số bằng cách viết nó như là một hàm số của biến số 
độc lập được chọn ở bước 2. 
Bước 4. Sử dụng mô hình: Sử dụng hàm số để trả lời các câu hỏi đặt ra trong bài toán. 
Dưới đây, chúng tôi sẽ phân tích việc tổ chức cho HS lập mô hình theo các bước trên, thông qua giải quyết một 
vấn đề thực tế: Cực đại lợi nhuận từ bán vé: Ở xứ Zedland (dùng tiền Zed), một trận đấu bóng đá ở sân vận động 
có sức chứa 15.000 chỗ ngồi. Với vé được đặt ra bởi giá 14 Zed, thì trung bình các trận đấu gần đây có 9.500 khán 
giả. Một khảo sát thị trường chỉ ra rằng cứ giảm giá 1 Zed cho một vé, thì trung bình số khán giả tăng lên 1000. 
a) Tìm một hàm số mà mô hình lợi nhuận theo giá vé. 
b) Tìm giá vé mà cực đại lợi nhuận từ việc bán vé. 
c) Với giá vé là bao nhiêu là quá cao để không có ai tham dự trận đấu và vì thế không sinh ra được lợi nhuận. 
Phân tích lời giải dự kiến của HS 
a) Diễn đạt mô hình bằng chữ: Mô hình mà chúng ta muốn là một hàm số cho ra lợi nhuận đối với mọi giá vé: 
lợi nhuận = giá vé × số khán giả. 
Chọn biến số: Có hai đại lượng thay đổi: giá vé và khán giả. Do hàm số chúng ta muốn phụ thuộc vào giá, nên 
đặt: x = giá vé 
Tiếp đến, chúng ta diễn đạt khán giả theo x. 
Bằng chữ Bằng đại số 
Giá vé x 
Số tiền (ngàn) giá vé được giảm xuống 14 ─ x 
Khán giả tăng lên 1000(14 ─ x) 
Số khán giả 9500 + 1000(14 ─ x) 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
19 
Thành lập mô hình. Mô hình ta muốn lập là hàm L cho lợi nhuận với giá vé x: lợi nhuận = giá vé × số khán 
giả. Cụ thể ta có: 
L(x) = x × [9500 + 1000(14 − x)] = L(x) = 23.500x − 1000x2 
b) Sử dụng mô hình: Do L là một hàm số bậc hai với a = − 1000 và b = 23.500, giá trị cực đại xảy ra ở 
𝑠 = −
𝑏
2𝑎
= −
23.500
2(−1000)
= 11,75 
Như vậy một vé giá 11,75 Zed đem lại lợi nhuận cực đại. 
c) Sử dụng mô hình. Chúng ta muốn tìm giá vé sao cho L(x) = 0. 
L(x) = 23.500x − 1000x2 = 0 x = 0  x = 23,5 
Như vậy theo mô hình này, giá của một vé là 23,5 Zed là quá cao; với giá vé đó không có khán giả xem trận đấu 
này (dĩ nhiên, lợi nhuận cũng là không nếu giá vé là không). 
Trao đổi: Vấn đề này được khảo sát trên N1 = 82 HS lớp 10 ở TP. Huế, khi các em đã được học các tính chất 
của hàm số bậc hai. Tình huống này đòi hỏi các em phải tự mình chuyển thể tình huống thực tế về một mô hình là 
hàm số bậc hai. Sau đó sử dụng mô hình để trả lời các câu hỏi cụ thể đặt ra bởi bài toán. Qua bài làm, các HS đã thể 
hiện khả năng lập và sử dụng mô hình qua từng bước của chu trình. 
Bảng 2. Tỉ lệ % (N1 = 82) thể hiện khả năng lập mô hình vấn đề cực đại lợi nhuận từ bán vé 
Diễn đạt bằng chữ Chọn biến số Lập mô hình Sử dụng mô hình b) Sử dụng mô hình c) 
78 74 71 65 61 
Từ số liệu phần trăm thể hiện của HS qua các bước lập mô hình ở bảng 2, ta thấy rằng HS cần phải diễn đạt đúng 
mô hình toán bằng chữ, khi đó mới có khả năng chọn biến số và lập mô hình là hàm số bậc hai về lợi nhuận. Với 
trung bình 71% HS lập đúng mô hình toán, chứng tỏ các em đã hiểu được tình huống thực tế và thu được hàm số 
đúng. Khi đã lập được mô hình, thì HS đã sử dụng mô hình đã thu được để trả lời câu hỏi b) và c). Với tỉ lệ trung 
bình 63/71 HS có thể sử dụng mô hình, thì khoảng 89% HS lập được mô hình đã sử dụng đúng mô hình đã thu được. 
2.4. Lập mô hình với hàm số mũ tự nhiên bằng chương trình Excel 
Trong chu trình lập và sử dụng mô hình, với một số trường hợp với biến số liên tục, có thể với suy luận toán học 
và tính toán cơ bản chúng ta xác định được biến số x và lập được hàm số f(x) làm mô hình cho tình huống, như vấn 
đề cực đại lợi nhuận bán vé ở trên. Nhưng với những tình huống được cho bởi tập số liệu thể hiện sự thay đổi theo 
biến số, chúng ta cần phải xử lí biến số một cách phù hợp với một hệ trục tọa độ, sau đó vẽ các điểm số liệu để có 
biểu đồ phân tán (scatter plot). Dựa vào hình dáng của biểu đồ phân tán, HS có thể dự đoán được đồ thị của hàm số 
nào sẽ khít với tập số liệu. 
Nếu một biểu đồ phân tán chỉ ra rằng số liệu tăng nhanh chóng, chúng ta có thể muốn mô hình số liệu bằng cách 
dùng một mô hình mũ tự nhiên, đó là một hàm số dạng 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑒𝑘𝑥 với C và k là các hằng số. 
Dưới đây trình bày tóm lược việc hướng dẫn HS sử dụng một biến thể các bước lập và sử dụng mô hình với hàm 
số, với 5 bước cụ thể sau, trong đó bước 2 và bước 3 chỉ dùng với các phần mềm vẽ đồ thị: 
Bước 1. Chọn biến số. Xác định biến số có thể được sử dụng để biểu thị hàm số. Gán một kí hiệu, chẳng hạn x, 
cho một biến số, rồi biểu thị các biến khác theo kí hiệu này. 
Bước 2. Lập lại bảng số liệu. Bảng số liệu gồm hai cột. Cột đầu là biến số x, cột hai là giá trị hàm f(x) tương ứng. 
Bước 3. Vẽ biểu đồ phân tán. Chọn hai cột số, dùng phần mềm để vẽ biểu đồ sơ tán. 
Bước 4. Lập mô hình. Chọn loại hàm số khít với biểu đồ phân tán. Trích xuất hàm số mô hình phù hợp. 
Bước 5. Sử dụng mô hình. Sử dụng hàm số để trả lời các câu hỏi đặt ra trong bài toán. 
Các bước cụ thể này sẽ giúp HS sử dụng các công cụ toán trên máy tính, sử dụng phần mềm Microsoft Office để 
vẽ biểu đồ phân tán của tập số liệu và trích xuất ra hàm số có đồ thị khít tốt nhất với biểu đồ phân tán. 
Vấn đề Phát triển dân số của Việt Nam: Bảng sau ghi lại dân số Việt Nam trong thế kỉ XX và đầu XXI. 
a) Vẽ biểu đồ phân tán, chú ý rằng một mô hình tuyến tính sẽ không phù hợp. 
b) Tìm một hàm mũ tự nhiên mà mô hình cho sự phát triển dân số. Vẽ đồ thị của hàm số mà bạn đã tìm được 
cùng với biểu đồ phân tán. Mô hình khít tốt với số liệu như thế nào? 
c) Sử dụng mô hình mà bạn đã tìm được để dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025. 
(Sử dụng và mô phỏng nguồn số liệu của Banens, 1999 và Tổng cục Thống kê, 2020). 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
20 
Phân tích lời giải dự kiến của HS 
a) Viết lại số liệu với 0 là năm 1990, 10 là năm 2000, x là biến số chỉ năm, khi đó ví dụ năm 1995 ứng với x = 9,5. 
Biểu đồ phân tán chỉ ra ở hình sau được vẽ trong Excel. 
Hình 2. Biểu đồ phân tán dân số Việt Nam trong thế kỉ XX và đầu XXI 
Biểu đồ phân tán các điểm số liệu không có 
vẻ nằm trên một đường thẳng, vì thế mô hình 
tuyến tính sẽ không phù hợp. Biểu đồ phân tán 
cho thấy rằng số liệu tăng nhanh chóng nên mô 
hình hàm mũ tự nhiên sẽ phù hợp. 
b) Ta có mô hình hàm mũ tự nhiên cùng với 
phương trình. Biểu đồ phân tán các điểm nằm 
gần với đồ thị hàm mũ tự nhiên được tìm thấy, 
nên khít tốt số liệu (best fit the data). 
c) Hàm số mũ tự nhiên làm mô hình cho sự 
phát triển dân số của Việt Nam là: 𝑓(𝑥) =
14,31 × 𝑒0,161𝑥 
Năm 2025, tương ứng với x = 12,5 nên dự 
đoán dân số Việt Nam năm 2025 là: 14,31 ×
𝑒0,161×12,5 = 107,07 triệu. 
Trao đổi: Vấn đề này được khảo sát trên N2 
= 86 HS lớp 12 ở TP. Huế. Các em đã biết khảo sát đồ thị và tính chất của hàm số mũ. Tình huống này đòi hỏi các 
em phải tự mình chuyển thể tình huống thực tế về một mô hình là hàm số mũ với việc sử dụng tốt công cụ toán trên 
máy tính. HS đã dễ dàng tiếp cận chương trình Excel trong bộ Microsoft Office để vẽ biểu đồ phân tán của tập số 
liệu và trích xuất ra hàm số có đồ thị khít tốt nhất với biểu đồ phân tán. Sau đó sử dụng mô hình để trả lời các câu 
Hình 3. Đồ thị hàm số mũ khít tốt với biểu đồ phân tán 
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 
21 
hỏi cụ thể đặt ra bởi bài toán. Qua bài làm, các em đã thể hiện khả năng lập mô hình bằng công cụ toán trên máy tính 
và sử dụng mô hình qua từng bước của chu trình. Khi đã có mô hình toán, phần lớn HS có thể tính toán để dự đoán 
kết quả một cách chính xác. 
Bảng 3. Tỉ lệ % (N1 = 86) thể hiện khả năng lập mô hình bằng công cụ toán trên máy tính 
Chọn biến số Lập lại bảng số liệu Vẽ biểu đồ phân tán Lập mô hình Sử dụng mô hình 
85 81 78 73 72 
Từ số liệu phần trăm thể hiện của HS qua các bước ở bảng 3, ta thấy rằng HS cần chọn đúng biến số, lập lại bảng 
số liệu gồm hai cột trong chương trình Excel khi đó mới có khả năng chọn hai cột số liệu để vẽ biểu đồ phân tán. Từ 
đó chọn đường xu hướng (trendline) là đồ thị của hàm số mũ tự nhiên. Khi đã lập được mô hình, HS đã sử dụng mô 
hình đã thu được để trả lời câu hỏi c) dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025. 
3. Kết luận 
Điểm mạnh của các HS tham gia vào khảo sát là đã thể hiện tốt các kĩ năng và hiểu các khái niệm toán học cơ 
bản; điểm yếu là việc chuyển thể không thành công các vấn đề có lời văn trong bối cảnh thực tế sang ngôn ngữ 
toán học để giải quyết, trong khi các em giải quyết rất tốt các vấn đề đã được chuyển thể sẵn một phần hoặc toàn 
bộ theo các gợi ý để giải bài toán. Chỉ số này có thể được cải thiện đáng kể khi chương trình dạy học toán trên lớp 
chú trọng vào lập mô hình toán để tạo cơ hội cho HS tự mình tạo được mô hình toán và sử dụng chúng. Việc sử 
dụng các công cụ tính toán trên máy tính đã thực sự đem lại một cơ hội lớn để HS xử lí các tập số liệu để lập mô 
hình bằng các hàm số: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm mũ tự nhiên để từ đó dự đoán các 
kết quả xảy ra một cách có quy luật trong tương lai. HS Việt Nam có khả năng sử dụng các công cụ tính toán trên 
máy tính để mô phỏng các bài toán thực tế bằng các hàm số cụ thể. Việc tự mình lập một hàm số phù hợp làm mô 
hình cho một tình huống thực tế mang tính sáng tạo, từ đó HS tìm cách trả lời cho các câu hỏi có tính dự đoán 
trong bài toán một cách có cơ sở toán học. 
Tài liệu tham khảo 
Banens, M. (1999). Vietnam: A Reconstitution of its 20th Century Population History. HAL. https://hal.archives-
ouvertes.fr/hal-00369251/document. Truy cập ngày 15/10/2020. 
Cherniha, R. & Davydovych, V. (2020). A Mathematical Model for the COVID-19 Outbreak and Its Applications. 
Symmetry 2020, 12, 990; DOI:10.3390/sym12060990. 
OECD (2016). The Survey of Adult Skills: Reader’s Companion, Second Edition. OECD Skills Studies, 
OECD Publishing, Paris. 
OECD (2018). PISA 2021 mathematics framework (second draft). EDU/PISA/GB(2018)19. OECD. 
https://pisa2021-maths.oecd.org/files/PISA%202021%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf. Truy cập 
ngày 15/10/2020. 
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2016). Precalculus: mathematics for mathematics. (7th ed.), Cengage Learning. 
Boston, USA. 
Tổng cục Thống kê (2020). Dân số và lao động. Truy cập tại: https://www.gso.gov.vn/default.aspx? 
tabid=427&idmid=3. 
United Nations (2015). World Population Prospects: The 2015 Revision. UN Population Division. Archived 
from the original on 22 December 2015. Retrieved 19 January 2016. 
Viet Nam News (2019). VN gets high scores but not named in PISA 2018 ranking. https://vietnamnews.vn/society/ 
569454/vn-gets-high-scores-but-not-named-in-pisa-2018-ranking.html. Truy cập ngày 16/10/2020. 
Vui, T. (2018). Bringing mathematics education into the global orbit to develop thinking, logic and creativity in 
solving realistic problems with closed-open approach. Vietnam Journal of Education, MOET, ISSN 2354-0753, 
5, 28-33.