Khái niệm vectơ trong dạy học Toán và Vật lí ở trường phổ thông

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
5 
KHÁI NIỆM VECTƠ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ 
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 
NGUYỄN THỊ NGA*, TRẦN THỊ TÚY PHƯỢNG** 
TÓM TẮT 
Bài báo đề cập đến những điểm tương đồng và ngắt quãng của các khái niệm liên 
quan đến vectơ trong hai phân môn Toán và Vật lí ở trường phổ thông. Đặc biệt, chúng tôi 
tập trung vào định nghĩa vectơ, phép cộng vectơ và quy tắc hình bình hành. Tiếp đó, chúng 
tôi trình bày những kết quả thu được từ thực nghiệm gồm các tình huống Vật lí liên quan 
đến vectơ được thực hiện trên học sinh lớp 10 ở TPHCM. Những kết quả này cho thấy một 
phần quan niệm của học sinh khi học về vectơ, đồng thời nó cũng chứng tỏ sự ngắt quãng 
về khái niệm vectơ trong Toán và Vật lí là nguyên nhân dẫn đến khó khăn cho học sinh khi 
làm việc trên các đại lượng vectơ trong Vật lí. 
Từ khóa: khái niệm vectơ, các phép toán vectơ, mối liên hệ Toán và Vật lí. 
ABSTRACT 
The concept of vector in teaching Mathematics and Physics in high schools 
The article presents similarities and intermittence of concepts related to vector in 
Mathematics and Physics in high schools. Especially, the focus is on the concept of vector, 
vector addition and parallelogram principle. Then, results from experiments on physical 
situations related to vector conducted on 10th graders in Ho Chi Minh City are presented, 
which show a part of learners’ perception of vector. Furthermore, it also proves that the 
intermittence of the concepts in Mathematics and Physics causes difficulty for students 
when working on vector units in Physics. 
Keywords: concept of vector, vector operations, connection between Mathematics 
and Physics. 
1. Đặt vấn đề 
Chuyện gì sẽ xảy ra nếu giả sử có một 
thanh sắt đứng yên và hai lực (có giá song 
song với nhau và bằng nhau về độ lớn) cùng 
kéo thanh sắt đó về hai phía như hình 1? 
Để trả lời cho câu hỏi trên, một lập luận 
được đưa ra như sau: 
“Xem hai lực là hai vectơ trong Toán học. 
Giả thiết cho thấy là hai vectơ đối nhau. 
Như vậy, lực tác dụng vào thanh sắt có 
độ lớn bằng 0. 
Điều này dẫn đến việc thanh sắt sẽ đứng 
yên.” 
* TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: ngathi103@yahoo.com 
** SV, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Sư phạm TPHCM 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
6 
Thực tế thanh sắt có đứng yên như lập luận trên hay không? Rõ ràng là khi tác 
dụng đồng thời hai lực như trên hình vẽ, thanh sắt sẽ xoay ngang lại. 
Trong trường hợp này ta không thể kết luận Toán học sai, cũng không thể nói 
Toán học mâu thuẫn với Vật lí hay thực tiễn, vì trong một số trường hợp – không thể 
đồng nhất lí thuyết Toán học vào các bài toán Vật lí. 
Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học. Lí thuyết 
vectơ có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt là trong Vật lí và Kĩ thuật. 
Vectơ được đưa đồng thời vào chương trình sách giáo khoa Hình học và Vật lí ở 
phổ thông tạo điều kiện thuận lợi cho việc liên môn giữa hai ngành khoa học này. 
Với học sinh lớp 10, vectơ không chỉ là một khái niệm toán học mới mà đây là 
lần đầu tiên tiếp xúc với yếu tố định hướng của một đối tượng. Điều này gây ra ít nhiều 
khó khăn cho học sinh trong việc học tập khái niệm này. 
Hơn thế nữa sự trình bày của sách giáo khoa cùng với việc giảng dạy vectơ trong 
Toán và Vật lí ở phổ thông có nhiều nối tiếp nhưng cũng có một số ngắt quãng. Điều 
này dẫn đến khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp thu và vận dụng kiến thức. 
Do đó, việc nghiên cứu khái niệm vectơ trong mối liên hệ Toán – Vật lí là thật sự 
cần thiết. 
2. Khái niệm vectơ trong sách giáo khoa Toán và Vật lí phổ thông 
Tri thức vectơ trong hai phân môn Hình học lớp 10 và Vật lí lớp 10 có nhiều 
điểm nối tiếp với nhau. Chẳng hạn như một số nội dung được chúng tôi tóm tắt trong 
bảng sau: 
Bảng 1. Sự tương đồng giữa khái niệm vectơ trong Toán và Vật lí 
Vectơ trong Hình học Vectơ trong Vật lí 
Một vectơ được đặc trưng bởi ba yếu tố: 
phương, hướng và độ dài 
Vectơ lực được đặc trưng bởi giá, chiều và độ 
lớn 
Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc đặc trưng bởi 
phương, chiều và độ lớn 
Vectơ – không Hợp lực bằng không (Điều kiện cân bằng của chất điểm, Định luật I Newton) 
Vectơ đối 
Hai lực trực đối (Lực và phản lực) 
Định luật III Newton 
Tổng của hai vectơ Tổng hợp lực 
Phân tích một vectơ theo hai vectơ 
không cùng phương Phân tích lực 
Tích của một vectơ với một số Một số công thức và định luật (Công thức của trọng lực, Định luật II Newton) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
7 
Sách giáo khoa Hình học lớp 10 hiện hành xây dựng khái niệm vectơ thông qua 
vect ...  sinh tiếp thu một số kiến thức Vật lí 
như vận tốc, gia tốc và lực Tuy nhiên, khi trình bày những khái niệm liên quan đến 
vectơ, các phép toán trên vectơ và ứng dụng của vectơ thì đều ngầm thể hiện theo nghĩa 
của vectơ tự do. 
Bên cạnh đó, Vật lí biểu diễn các đại lượng vận tốc, gia tốc và lực theo vectơ 
buộc. Chiều của vectơ có ý nghĩa trong việc xác định tính chất của chuyển động. Khi 
vectơ được dùng để biểu diễn lực thì đại lượng này được xác định cụ thể về điểm đặt, 
giá, chiều và độ lớn. 
Ngoài những thuận lợi có được từ sự nối tiếp giữa Toán và Vật lí, việc dạy học 
khái niệm vectơ và giải quyết những dạng toán liên quan đến vectơ ở trường phổ thông 
còn gặp nhiều trở ngại. Nguyên nhân chủ yếu là do một số ngắt quãng còn tồn tại giữa 
hai phân môn. Cụ thể như: 
- Trong Toán học, ta có thể tính tổng hai vectơ bất kì thông qua quy tắc ba điểm 
hay quy tắc hình bình hành mà không quan tâm đến điểm gốc của chúng. Nhưng trong 
Vật lí, khi tổng hợp lực ta cần phải chú ý đến điểm đặt lực (xem bài toán 4 của thực 
nghiệm). 
- Khi giải quyết một số bài tập trong Vật lí, ta cần phân tích lực thành các lực thành 
phần, và việc phân tích này có được khi xác định lực đó tác dụng theo phương nào thì 
mới phân tích theo phương ấy. Còn trong Toán học, ta có thể phân tích một vectơ 
thông qua hai vectơ không cùng phương bất kì. 
Ngoài ra, cả sách giáo khoa Hình học 10 và Vật lí 10 đều không định nghĩa cụ thể 
phương và hướng của vectơ. Trong khi Toán học chỉ xét hai vectơ cùng hướng hay 
ngược hướng khi chúng có cùng phương thì Vật lí lại chủ yếu quan tâm đến chiều. 
Chiều của vectơ trong Vật lí thường được xác định là từ trái qua phải hay từ trên xuống 
dưới. Có thể dự kiến học sinh dễ mắc phải những quan niệm sai lầm khi xem xét khái 
niệm chiều trong cuộc sống và đưa ra kết luận về quan hệ hướng của hai vectơ. 
Vấn đề giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong Vật lí của học sinh còn 
chịu ảnh hưởng bởi sự lựa chọn các dạng bài tập được đưa ra trong chương trình. 
Chẳng hạn như khi tiến hành phân tích sách giáo khoa Vật lí lớp 10, chúng tôi 
nhận thấy ở dạng toán Xác định vận tốc tuyệt đối hay vận tốc tương đối của chuyển 
động trong một hệ quy chiếu thì 100% bài tập đưa ra các vectơ thành phần bao gồm 
vectơ vận tốc tuyệt đối, vectơ vận tốc tương đối và vectơ vận tốc kéo theo luôn cùng 
phương với nhau. Điều này hình thành quan niệm vận tốc của thuyền và vận tốc dòng 
chảy luôn cùng phương với nhau, hay nói cách khác là thuyền đi xuôi chiều (hoặc 
ngược chiều) với dòng chảy. Hay với những dạng toán liên quan đến tính tổng (hiệu) 
của hai hay nhiều vectơ như Phân tích – Tổng hợp lực, hầu hết các vectơ lực thành 
phần đều được lựa chọn có cùng một điểm đặt. 
Xuất phát từ bài toán mở đầu và những lí do trên, chúng tôi đã xây dựng 4 bài 
toán và tiến hành thực nghiệm trên học sinh lớp 10. Mục tiêu của thực nghiệm là kiểm 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
8 
tra cách học sinh tính tổng hai vectơ trong Vật lí như thế nào – có giống với phép cộng 
hai vectơ trong Toán học hay không? Học sinh có khả năng sử dụng vectơ trong Toán 
học để giải quyết các bài toán Vật lí hay không? 
Hơn nữa, chúng tôi cũng muốn xem xét ứng xử của học sinh khi giải quyết các 
bài toán liên quan đến vectơ trong Vật lí có chịu ảnh hưởng từ sự lựa chọn và các ràng 
buộc của sách giáo khoa toán hay không? 
3. Một số kết quả thực nghiệm 
Thực nghiệm được tiến hành trên 90 học sinh lớp 10 tại Thành phố Hồ Chí Minh 
vào tháng 3 năm 2014. Do khuôn khổ có hạn của bài báo nên chúng tôi chỉ giới thiệu 
kết quả thực nghiệm các bài toán 1, 2 và 4. 
3.1. Bài toán 1 
Bài toán này xuất phát từ bài tập huấn luyện gây sức ép lên các vận động viên 
trong thể thao. Để rèn luyện thể lực, các vận động viên luân phiên sử dụng lực kéo tăng 
giảm khác nhau. Đề bài được đưa ra với ba tình huống như sau: 
“Hai vận động viên B và C dùng hai dây kéo vận động viên A về phía sau. Trong 
khi đó, vận động viên A cố ghì chặt và tiến về phía trước. Trong các trường hợp sau, 
bạn hãy cho biết vận động viên A sẽ chuyển động như thế nào (tiến hay lùi)? 
Hãy giải thích câu trả lời của em.” 
Độ lớn và phương lực kéo của các vận động viên được thay đổi trong các trường 
hợp a), b), c). Theo đó, để biết vận động viên A di chuyển như thế nào, ta sẽ phải tìm 
vectơ tổng (࢈ሬ⃗ + ࢉሬ⃗ ). Sau đó tiến hành so sánh độ lớn, phương và chiều của vectơ tổng 
này với vectơ ࢇሬ⃗. Từ đó, có thể thấy được quan niệm của học sinh khi giải quyết bài 
toán với các đại lượng vectơ. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
9 
Để giải quyết bài toán trên, dự kiến học sinh có thể đưa ra những câu trả lời dựa 
trên 3 cách sau: 
1. So sánh giữa hai vectơ 
2. So sánh độ dài giữa hai vectơ 
3. So sánh phương, hướng và độ dài giữa hai vectơ 
Bản chất của cách 1 và 2 cũng là dựa trên việc so sánh độ dài giữa hai vectơ mà 
không quan tâm đến phương và hướng của chúng. 
Kết quả thực nghiệm có đến 67 học sinh (chiếm 74,44%) đưa ra câu trả lời dựa 
trên cách 1 và 2, nghĩa là học sinh chỉ quan tâm đến độ lớn khi so sánh các yếu tố của 
một vectơ trong tình huống xác định chiều của chuyển động, như hai bài làm sau của 
học sinh: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
10 
Chỉ có 23 học sinh trả lời đúng dựa trên việc so sánh phương, hướng và độ dài 
giữa hai vectơ như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
11 
Ngoài ra, chúng tôi còn gặp những câu trả lời như sau: 
Câu trả lời trên cho ta thấy quan niệm của học sinh về hướng – hướng từ phải 
sang trái nghĩa là vận động viên lùi. Thực chất có sự khác nhau giữa hướng của vectơ 
trong Toán học và hướng trong thực tế. Trong thực tế, có thể so sánh chiều của hai 
chuyển động bất kì. Cụ thể là trong hai hình vẽ dưới đây, chiều chuyển động của AB và 
CD đều là từ trái sang phải. 
Tuy nhiên trong Toán học, ta chỉ so sánh hướng khi hai vectơ có cùng phương. 
Nghĩa là ta không thể só sánh hướng của hai vectơ ࡭࡮ሬሬሬሬሬሬ⃗ và ࡯ࡰሬሬሬሬሬሬ⃗ trong hình vẽ trên. 
3.2. Bài toán 2 
Yếu tố định hướng là một đặc trưng của đại lượng vectơ. Bài toán 1 đã cho thấy 
khi giải các bài toán thực tế có gắn liền với vectơ, nhiều học sinh chỉ quan tâm đến độ 
lớn mà không quan tâm đến phương và hướng của chúng. Cũng nhằm mục đích tương 
tự là kiểm tra khi tính toán về các đại lượng có hướng (như vận tốc), học sinh có quan 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
12 
tâm đến đặc trưng định hướng của chúng hay không; chúng tôi tiến hành thực nghiệm 
trên bài toán sau: 
“Một ca nô chạy từ bờ A đến bờ B của một con sông cách nhau 1km mất một 
khoảng thời gian là 6 phút. Biết vận tốc của dòng chảy là 1km/h. Tính vận tốc của ca 
nô đối với dòng chảy.” 
Để ý rằng, ở đây chúng tôi thay dữ kiện “bến A và bến B” – một giả thiết quen 
thuộc với học sinh – thành “bờ A và bờ B”, đồng thời không đề cập đến việc ca nô 
chạy ngược hay xuôi dòng nước. 
Để giải quyết bài toán trên học sinh phải xác định được phương và chiều của các 
vectơ. Đồng thời, dựa vào dữ kiện độ lớn được đưa ra ở đề bài và sử dụng công thức 
cộng vận tốc để tính vận tốc của ca nô đối với dòng chảy. Theo đó, chúng tôi dự kiến 
học sinh có thể đưa ra ba cách trả lời như sau: 
1. Viết công thức cộng vận tốc dưới dạng độ lớn: ࢜૚,૜ = ࢜૚,૛ + ࢜૛,૜ 
2. Ca nô chạy ngược (hoặc xuôi) dòng nước và viết công thức cộng vận tốc 
dưới dạng vectơ: ࢜૚,૜ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ = ࢜૚,૛ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ + ࢜૛,૜ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ . 
3. Ca nô chạy từ bờ A sang bờ B của con sông và viết công thức cộng vận tốc 
dưới dạng vectơ: ࢜૚,૜ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ = ࢜૚,૛ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ + ࢜૛,૜ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ . 
Sau khi thực nghiệm, có đến 56/89 học sinh chiếm gần 63% học sinh có lời giải 
như sau: 
Nhự vậy, mặc dù đề bài không có dữ kiện về sự cùng phương, cùng hướng hay 
ngược hướng của các vectơ vận tốc nhưng đa số học sinh đều quan niệm là chúng cùng 
phương với nhau. Có thể thấy kết quả này là do ảnh hưởng từ sự lựa chọn các bài tập 
được đưa ra trong chương trình – tất cả các bài tập dạng này đều cho dữ kiện các vectơ 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
13 
vận tốc cùng phương với nhau thể hiện qua cụm từ “ngược dòng” hay “xuôi dòng”. Cụ 
thể là trang 20 sách bài tập Vật lí 10 đưa ra đề bài toán như sau: 
“Một ca nô chạy thẳng đều xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 36km mất 
một khoảng thời gian là 1 giờ 30 phút. Vận tốc của dòng chảy là 6km/h. 
a) Tính vận tốc của ca nô đối với dòng chảy 
b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để ca nô chạy ngược dòng chảy từ bến B 
trở về bến A.” 
Theo đó, vectơ vận tốc của thuyền so với dòng chảy, vectơ vận tốc của dòng chảy 
so với bờ và vectơ của thuyền so với bờ có cùng phương với nhau. Việc xác định dấu 
của vectơ chỉ cần dựa vào chiều chuyển động của thuyền so với dòng chảy. 
Chỉ có 33 học sinh phân biệt được dữ kiện “bờ A, bờ B” với “bến A, bến B” của 
một con sông và đưa ra câu trả lời theo cách 3. Chẳng hạn như phần nháp sau của học 
sinh: 
Tuy nhiên, chỉ có 12 học sinh trong số đó xác định đúng phương của các vectơ 
vận tốc như trên và đi đến đáp số. Kết quả đó cho thấy khi giải quyết các bài tập liên 
quan đến đại lượng vectơ trong Vật lí, học sinh gặp phải khó khăn trong việc xác định 
phương và chiều của các vectơ này. 
3.3. Bài toán 4 
Xuất phát từ bài toán mở đầu, bài toán 4 được đưa ra như sau: 
“Cho một thanh sắt đứng yên. Tác dụng đồng thời vào thanh sắt hai lực kéo về 
hai hướng ngược nhau nhưng có độ lớn bằng nhau. Theo em, hiện tượng gì sẽ xảy ra 
với thanh sắt và hãy giải thích câu trả lời của em.(Vẽ hình minh họa).” 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
14 
Vấn đề tổng hợp hai vectơ lực trong Vật lí không chỉ thực hiện cộng hai vectơ 
như trong Toán học mà phải quan tâm đến yếu tố “điểm đặt lực”. Với bài toán trên, 
chúng tôi hướng đến kiểm chứng học sinh có phân biệt được sự khác nhau giữa phép 
cộng vectơ trong hai phân môn này hay không. 
Theo đó, chúng tôi dự kiến học sinh có thể đưa ra ba cách trả lời như sau: 
1. Cộng hai vectơ lực trong Vật lí không quan tâm đến yếu tố điểm đặt lực 
2. Dựa vào trực giác và kinh nghiệm thực tế 
3. Cộng hai vectơ lực trong Vật lí có quan tâm đến yếu tố điểm đặt lực 
Thực nghiệm đã chứng minh khi giải quyết bài toán tổng hợp lực trong Vật lí, 
học sinh thường sử dụng kiến thức cộng hai vectơ trong Toán học. 
Cụ thể, có 75/90 học sinh sử dụng phép cộng vectơ trong Toán học (không quan 
tâm đến điểm đặt lực) để đưa ra lời giải thích như sau: 
Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến việc học sinh đưa ra lời giải thích như trên cũng là 
do sự ngắt quãng giữa hai phân môn Hình học và Vật lí, cụ thể là: 
- Phép cộng hai vectơ trong Toán học được định nghĩa theo vectơ tự do. 
- Phép cộng hai vectơ lực trong Vật lí được định nghĩa theo vectơ buộc – nghĩa là 
phải chú ý đến điểm đặt lực. 
Chỉ có 10 học sinh trả lời đúng dựa trên phép cộng hai vectơ lực trong Vật lí có 
quan tâm đến yếu tố điểm đặt lực như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Nguyễn Thị Nga và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
15 
Kết quả trên cho thấy bên cạnh những nối tiếp giữa Vật lí và Toán học vẫn còn 
tồn tại nhiều ngắt quãng. Vì vậy, trong một số trường hợp ta không thể đồng nhất lí 
thuyết Toán học để giải thích một hiện tượng Vật lí. Tùy theo trường hợp mà vectơ 
trong vật lí được hiểu như là vectơ buộc hay vectơ tự do trong toán. 
4. Kết luận 
Thực nghiệm cho thấy học sinh có khả năng sử dụng vectơ trong Toán học để giải 
quyết một số bài tập Vật lí. Tuy nhiên, một số sự khác biệt giữa hai phân môn này gây 
ra những khó khăn cho học sinh khi giải quyết các bài toán Vật lí. Chẳng hạn như: 
 Phép cộng hai vectơ trong Toán học được định nghĩa theo vectơ tự do. Tuy 
nhiên, phép cộng hai vectơ trong Vật lí được định nghĩa theo vectơ buộc. Do đó, khi 
tổng hợp lực trong Vật lí, ta phải quan tâm đến yếu tố điểm đặt lực. 
 Khái niệm “Chiều” trong Vật lí thường được gắn liền với thực tế. Bên cạnh 
đó, Toán học chỉ xét sự cùng hướng (hay ngược hướng) của hai vectơ cùng phương. Do 
đó, học sinh thường nhầm lẫn giữa hai khái niệm này. 
Thật vậy, trong thực tế, có thể so sánh chiều của hai chuyển động bất kì. Chẳng 
hạn như, trong hai hình vẽ dưới đây, chiều chuyển động của AB và CD đều là từ trái 
sang phải. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 3(68) năm 2015 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
16 
Tuy nhiên trong Toán học, ta chỉ so sánh hướng khi hai vectơ có cùng phương. 
Nghĩa là ta không thể só sánh hướng của hai vectơ ܣܤሬሬሬሬሬ⃗ và ܥܦሬሬሬሬሬ⃗ trong hình vẽ trên. 
Khi giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong Vật lí, đa phần học sinh 
thường làm việc trên yếu tố độ lớn và ít quan tâm đến phương và hướng của chúng. 
Đặc biệt, với các bài toán liên quan đến tổng hợp lực trong Vật lí, học sinh thường sử 
dụng phép cộng vectơ trong Toán học mà ít quan tâm đến yếu tố điểm đặt lực. Do đó, 
để học sinh thực sự hiểu nghĩa của các khái niệm liên quan đến vectơ và sử dụng được 
chúng, chúng tôi thiết nghĩ cần tăng cường các bài toán và các tình huống liên môn 
thích đáng giữa hai phân môn Toán và Vật lí trong chủ đề này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Thị Hoài Châu (2008), Phương pháp dạy – học Hình học ở trường trung học phổ 
thông, Nxb Đại học Quốc gia TPHCM. 
2. Sách giáo khoa Hình học 10 (2012), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
3. Sách bài tập Hình học 10 (2013), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
4. Sách giáo viên Hình học 10 (2012), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
5. Sách giáo khoa Vật lí 10 (2013), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
6. Sách bài tập Vật lí 10 (2013), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
7. Sách giáo viên Vật lí 10 (2010), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
8. Sách giáo khoa Vật lí 8 (2013), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
9. Sách bài tập Vật lí 8 (2013), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
10. Hoàng Hữu Vinh (2002), Nghiên cứu Didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ 
trong hình học lớp 10, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm TPHCM. 
11. John Peacock (2009 – 2010), Foundations of Mathematical Physics:Vectors, Tensors 
and Fields. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 03-9-2014; ngày phản biện đánh giá: 07-01-2015; 
ngày chấp nhận đăng: 24-3-2015)