Giáo trình Toán cao cấp A2

 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 1 
id11470750 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! -   
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 2 
CHÝÕNG I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 
I. TẬP HỢP RN VÀ HÀM NHIỀU BIẾN 
1. Rn và các tập con 
Với n là một số nguyên dýõngờ ký hiệu Ởn ðýợc dùng ðể chỉ tập hợp tất cả các bộ n số 
thực ậx1, x2, …ờxn) và ta thýờng gọi Ởn là không gian ậthựcấ n chiềuề ẩhi bộ số thực 
(x1, x2,…ờxn) ðýợc ðặt tên là ỳ thì ta viết làầ 
P(x1, x2, …ờ xn) 
Và gọi nó là một ðiểm trong không gian Ởn. 
Cho 2 ðiểm ỳậx1, x2, …ờ xn) và ẵậy1, y2, …ờ yn) trong Rn, khoảng cách giữa hai ðiểm 
P và ẵờ ký hiệu là dậỳờ ẵấ ðýợc ðịnh nghĩa bởi: 
 d(P, Q) = 
Khoảng cách này thỏa bất ðẳng thức tam giác sau ðâyầ 
 d(P, Q) ≤ dậỳờ R) + d(R, Q) 
với ĩ ðiểm ỳờ ẵờ Ở tùy ýề 
Ðiểm ỳậx1, x2, …ờxn) còn ðýợc viết gọn dýới dạng xụậx1, x2, …ờxn) với xụậx1, x2, …ờ 
xn) và yụậy1, y2, …ờ yn), khoảng cách giữa x và y còn ðýợc viết bởiầ 
 | x – y |= 
Cho và r là số thực dýõngờ tập hợp B(P, r) = { | d(P, Q) < r} ðýợc 
gọi là hình cầu mở tâm ỳ bán kính rờ hay là lân cận bán kính r của ỳề 
Tập hợp ừ trong Ởn ðýợc gọi là bị chặn nếu có r ễ ế sao cho , với ẫ là 
ðiểm ẫậếờ ếờ …ờ ếấề 
2. Hàm nhiếu biến 
Cho n là một số nguyên với n ≥ ịề ∞ột phép týõng ứng fầ Ởn R ðýợc gọi là một hàm 
n biếnề Tập hợp các ðiểm mà fậỳấ xác ðịnh ðýợc gọi là miền xác ðịnh của fề Ta 
ký hiệu miền xác ðịnh của f là ắậfấề 
Ví dụầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 3 
1) Hàm f ầ Ở2 R 
(x, y) f(x, y)= 
Là một hàm ị biến có miền xác ðịnh là tập hợp tất cả các ðiểm ỳậxờ yấ sao cho 
4-x2-y2>0. Vậy ắậfấụửậếờ ịấờ hình cầu mở tâm ẫ bán kính ị trong Ở2. 
2) g : R3 R với gậxờ yờ zấụx2+(y+z)/2 là một hàm 3 biến có miền xác ðịnh là 
D(g)=R3. 
Ta chỉ có thể biểu diễn hình họcờ bằng vẽ ðồ thịờ cho hàm ị biến z ụ fậxờ yấề 
Ðồ thị của hàm ị biến này là tập hợp các ðiểm trong không gian Ở3 sau ðâyầ 
G(f)={(x, y, f(x, y)) | } 
Ðây là một mặt cong trong không gian ĩ chiều với hệ tọa ðộ ắescartes ẫxyzề 
Ví dụầ ðồ thị của hàm z ụ là nửa trên của mặt cầu tâm ẫ bán kính ữ 
trong không gian ĩ chiều ẫxyzề 
II. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC 
1. Ðịnh nghĩa giới hạn 
Cho hàm n biến z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) xác ðịnh trên một lân cận bán kính r của một 
diểm và có thể không xác ðịnh tại ỳề Ta nói z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) tiến về 
(hay có giới hạn là ỡấề ẩhi ∞ ậx1, x2, …ờ xn) dần ðến ỳ nếu với mọi å ễ ế cho trýớcờ 
tồn tại ä ễ ế sao choầ 
 0 < d (P, M) < ä ụễ | fậ∞ấ – L | < åề 
Khi ðó ta viếtầ 
Trong trýờng hợp hàm ị biến z ụ f ậxờ yấ thì giới hạn có thể ðýợc viết làầ 
Hay có thể viếtầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 4 
Týõng tự nhý ðối với hàm một biếnờ ta cũng có các ðịnh nghĩa giới hạn vô cùng và 
giới hạn ở vô tận nhý sauầ 
Ví dụầ 
1). 
2). 
3). 
4). 
2. Sự liên tục 
Ðịnh nghĩaầ hàm số z ụ f ậx1, x2, …ờ xn) ðýợc gọi là liên tục tại ðiểm khi: 
Ví dụầ hàm fậxờ yấ ụ liên tục tại mọi ðiểm ậxo, yo) khác ậếờ ếấề 
Týõng tự nhý hàm một biến liên tục trên một ðoạn , ta cũng có tính chất ðạt 
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên ữ miền ðóng và bị chặnề 
III. ÐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 
1. Ðạo hàm riêng 
Ðể ðõn giản cho việc trình bàyờ ở ðây ta sẽ xét các ðạo hàm riêng của hàm ị biếnề Ðối 
với hàm n biến thì hoàn toàn týõng tựề 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 5 
Ðịnh nghĩaầ cho hàm ị biến z ụ f ậxờ yấề Ðạo hàm riêng theo biến x tại ðiểm ậxo, yo) là 
giới hạn ậnếu cóấ sau ðâyầ 
và ðạo hàm riêng theo biến x ðýợc ký hiệu là hay vắn tắt là fx’(xo, yo). Ta 
còn có thể ký hiệu ðạo hàm riêng này bởi z’x (xo, yo) hay (xo, yo). 
Ðạo hàm riêng theo biến y của hàm x ụ f ậxờ yấ tại ậxo, yo) ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự 
bởiầ 
= 
Nhận xétầ dể thấy rằng f’x (xo, yo) = 
Từ ðó ta có thể tính dạo hàm riêng theo biến x tại ậxo, yo) bằng cách coi y ụ yo là hằng 
số và tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ yo) tại x ụ xo. Týõng tựờ ðể tính ðạo hàm 
riêng theo biến y tại ậxo, yo) ta tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ yo) tại y ụ yo (xem 
x = xo là hằng sốấề 
Ví dụầ 
1). Cho z = x2y. Tính z’x và z’y 
Xem y nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến x ta có z’x = 2xy. 
Týõng tựờ xem x nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến y ta vóầ x’y = 
x
2
. 
2) . Tính z’x, z’y và z’x(4, ). Xem y nhý hằng sốờ ta cóầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 6 
Xem x nhý hằng sốờ ta cóầ 
2. Ðạo hàm riêng cấp cao 
Các ðạo hàm riêng z’x và z’y của hàm z = f(x,y) ðýợc gọi là các ðạo hàm riêng cấp ữề 
Ðạo hàm riêng cấp ị của một hàm là ðạo hàm riêng ậcấp 1) của ðạo hàm riêng cấp ữ 
của hàm ðóề ổàm ị biến z = f(x, y) có bốn ðạo hàm riêng cấp ị sau ðâyầ 
1) 
Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bằng các cách khác nhau 
nhý sauầ 
2) 
Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ 
3) 
Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ 
4) 
còn ðýợc ký hiệu là . 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 7 
Hoàn toàn týõ ... ng buộcầ 
(**) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 22 
Với mỗi ðiểm dừng ậx0,y0) và  =  0 tìm ðýợc trong býớc ịờ xét ồ ụ 
d2L(x0,y0) (phụ thuộc dx và dyấề 
Nếu ồ ễ ế với mọi dxờ dy không ðồng thời bằng ế thỏa ràng buộc ậảảấ 
thì hàm số ðạt cực tiểu có ðiều kiện tại ậx0,y0). 
Nếu ồ ≥ ế với mọi dxờ dy không ðồng thời bằng ế thỏa ràng buộc ậảảấ 
thì hàm số ðạt cực ðại có ðiều kiện tại ậx0,y0). 
Nếu dấu của ồ không xác ðịnh xét theo dx và dy không ðồng thời bằng 
0 thỏa ràng buộc ậảảấ thì hàm số không ðạt cực trị tại ậx0,y0). 
Ví dụ: 
Tìm cực trị của hàm z ụ x2 + y2 với ðiều kiện x ự y ụ ở 
Lập hàm ỡagrangeầ 
L(x,y) = x2 + y2 +  (x + y - 4) 
Ta cóầ 
Tìm ðiểm dừng bằng cách giải hệầ 
Ta có một ðiểm dừng ∞ậịờịấ ứng với  = -4. 
Tính ðạo hàm riêng cấp ị của ỡậxờyấầ 
, , 
 d2L = 2dx2 + 2dy2. 
Vậy d2L > 0 tại ∞ậịờịấ nên hàm số ðạt cực tiểu ậcó ðiều kiệnấ tại ðó với zmin = z(2,2) 
= 8. 
Lýu ý: Trong trýờng hợp từ hệ thức 
 (x,y) = 0 
ta có thể tính ðýợc ữ biến thiên theo biến kiaờ chẳng hạn có thể tính y ụ  (x) thì bằng 
cách thay thế y ụ  (x) vào z ta có thể xem z nhý hàm theo ữ biến xầ 
z = z(x,  (x)) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 23 
Khi ðó có thể tìm cực trị của z nhý hàm theo ữ biếnề 
Xét lại ví dụ trênờ ta thấyầ 
x + y = 4 y = 4 – x 
Suy ra z = x2 + y2 = x2 + (4-x)2. 
Xem z là hàm ữ biến ta cóầ 
z’ậxấ ụ ịx –2(4 - x) = 4x – 8 
z’ậxấ ụ ế x = 2 
Lập bảng biến thiênờ ta cóầ 
X 
- 2 + 
Z’ậxấ - 0 + 
Z 
 8 
Vậy z ụ x2 + y2 ðạt cực tiểu ậvới ðiều kiện x ự y ụ ởấ tại ∞ậịờịấ với zmin = 8 
VIII. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT 
Cho D   2. Ðiểm ỳậxờyấ D ðýợc gọi là một ðiểm trong của D khi tồn tại một 
hình cầu mở ửậỳờ ) ðều chứa ðiểm thuộc D và ðiểm không thuộc D . Tập hợp các 
ðiểm biên của D ðýợc gọi là biên của D. Miền D ðýợc goị là miền ðóng khi D chứa 
mọi ðiểm biên của nóề 
Ta có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm  (x,y) trên một miền ðóng 
và bị chặn D nhý sauầ 
Býớc ữầ Tính  ’x và  ’yề Ứiải hệ phýõng trình 
ðể tìm các ðiểm dừng ở phần trong của D 
Býớc ịầ Tìm các ðiểm tại ðó không có ðạo hàm riêng 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 24 
Býớc ĩầ Tìm giá trị lớn nhất của  (x,y) trên biên của D (liên quan ðến cực trị 
có ðiều kiệnấ 
Býớc ởầ So sánh các giá trị của hàm số tại các ðiểm tìm ðýợc ở býớc ữờ býớc 
2 với giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên ậở býớc ĩấ ðể rút ra giá trị lớn nhất 
và nhỏ nhất của hàm sốề 
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
z = x
2
 + y2 – xy + x + y 
trên miền D giới hạn bỡiầ x 0, y 0, x + y -3 
Ta cóầ 
Giải hệầ x = -1, y = -1 
Ta tìm ðýợc ữ ðiểm dừng ∞ậ-1,-1) D, với zậ-1,-1) = -1 
Biên của miền D gồm ĩ ðoạn thẳng ẫồờ ẫử và ồửề 
Trên biên ẫồ ta cóầ 
x = 0, -3 < y < 0 
z = y2 
z’ ụ ịy ự ữ ụ ế y = 
 một ðiểm cực trị trên ẫồ là với 
Týõng tựờ 
trên ẫử có cực trị tại với 
trên ồử có cực trị tại với . 
Tại các ðiểm ẫờ ồ và ử ta cóầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 25 
z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6 
Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên biên của D lần lýợt là ẳ và 
So sánh các giá trị zụ-1, z=6 với ta suy ra giá trị lớn nhất của z là ẳ tại ồậếờ -
3) và ửậ-3, 0); gái trị nhỏ nhất của z là –1 tại ∞ậ-1, -1). 
BÀI TẬP CHÝÕNG 01 
1-Tìm miền xác ðịnh của hàm sốầ 
a) 
b) 
c) 
d) 
2-Tính ðạo hàm riêng của hàm sốầ 
e) 
f) 
g) 
h) 
a) Tính các ðạo hàm riêng tại của hàmầ 
b) Tính các ðạo hàm riêng tại ậếờ ếấ của hàmầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 26 
3-Tính vi phân toàn phần của hàm sốầ 
i) 
j) 
4- Tìm vi phân cấp ị của hàm số 
k) 
l) 
m) 
n) 
5-Cho f(t) là hàm một biến khả viề Ðặt z ụ fậx2-y2). Chứng tỏ rằng hàm z thoả mãn 
phýõng trình sauầ 
Chứng minhầ 
a) với 
b) với 
6- Tìm cực trị của hàm sốầ 
o) 
p) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 27 
q) 
r) 
s) 
t) 
7-Tìm cực trị có ðiều kiệnầ 
a) với ðiều kiện 
b) với ðiều kiện 
8- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốầ 
c) trong tam giác giới hạn bởi các ðýờng 
d) trong hình giới hạn bởi các ðýờng và trục 
hoành 
e) trong hình giới hạn bởi các ðýờng 
9-Tìm ðạo hàm của hàm hợp 
f) với trong ðó và 
g) và với trong ðó và 
10-Tính gần ðúngầ 
h) 
i) 
11-Tính ðạo hàm y’ của hàm ẩn yụyậxấ xác ðịnh bởi các phýõng trìnhầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 28 
j) 
k) 
12-Cho hàm ẩn z ụ zậxờ yấ xác ðịnh bởi phýõng trình 
Tính và 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 29 
CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI 
§1. Tích phân kép 
I. ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT 
1. Ðịnh nghĩa 
Cho hàm f(x,y) xác ðịnh trong miền ðóngờ bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh rời 
nhau D1, D2, .., Dn có diện tích lần lýợt là S1, S2,.., Sn. Trong mỗi mảnh Di , lấy 
tùy ý một ðiểm Mi(xi, yi). Lập tổng ậgọi là tổng tích phân của hàm f(x,y)) 
Gọi d(Di) là khoảng cách lớn nhất giữa hai ðiểm trong Di. Nếu tồn tại giới hạn 
hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), thì hàm 
f(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D, 
ký hiệu 
Nếu f(x,y) khả tích trên miền D, thì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền 
D. Do ðóờ ta chia miền D bởi các ðýờng thẳng song song với các trục tọa ðộề ẩhi ðóờ 
 Si = x  y và dS = dx . dy 
Vì vậy có thể viết 
Ngýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục trên một miền ðóngờ bị chặn D 
thì khả tích trên miền ðóề 
Tính chất: 
a) (diện tích của D) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 30 
b) 
c) 
d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  thì 
e) Nếu f(x,y) g(x,y)  (x,y) D thì 
f) Nếu m f(x,y) M  (x,y) D, m và ∞ là hằng sốờ thì 
g) Nếu f(x,y) liên tục trên miền ðóngờ bị chặn D thì tồn tại ðiểm 
M(x0,y0) sao cho 
(Ðịnh lý về giá trị trung bìnhấề 
 Ðại lýợng gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) 
trên D. 
2. Ý nghĩa hình học 
Ta xét bài toánầ ộ Tìm thể tích của vật thể  giới hạn dýới bởi miền D (Oxy), giới 
hạn trên bởi mặt cong có phýõng trình z = f(x,y) 0 và giới hạn xung quanh bởi mặt 
trụ có ðýờng sinh song song với ẫz và ðýờng chuẩn là biên của ắ ộề 
Ta tính thể tích của  bằng phýõng pháp gần ðúngề 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 31 
Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1,D2,..,Dn có diện tích S1, S2,.., Sn. Lấy 
mỗi mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ con có ðýờng sinh song song với Oz, mặt phía 
trên giới hạn bởi mặt z = f(x,y). 
Xét hình trụ con thứ iầ ðáy là Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi). ta có thể tích hình trụ con 
thứ i 
 Vi f(xi,yi). Si 
Thể tích gần ðúng của  : 
Phép xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh Di có ðýờng kính càng 
nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính của Di ) 
Vậy 
II. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP 
1. Ðýa về tích phân lặp 
Nếu thì 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 32 
Nếu thì 
Ví dụ 1: Xác ðịnh cận của tích phân với miền D xác ðịnh bởi các 
ðýờng 
y = 0, y = x, x = 2 
y = 0, y = x2, x + y = 2 
Giải: 
Có hai cách biểu diễn D: 
hoặc 
Do ðó 
Có ị cách biểu diễn D: 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 33 
Ví dụ 2: Tính , D giới hạn bởi các ðýờng y = x – 4, y2 = 2x 
Giải: Hoành ðộ giao ðiểmầ 
Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn 
Vậy 
2. Ðổi biến trong tích phân kép 
a. Ðổi biến tổng quát 
Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục trên miền 
ðóngờ bị chặn Duv. Gọi 
Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và ðịnh thức ỹacobi 
trên Duv thì ta có 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 34 
Ví dụ 3: Tính với D giới hạn bởi các ðýờng 
Giải: Các ðýờng thẳng viết lại 
Ðặt u = x + y, v = 2x – y thì 
Vậy 
b. Tích phân kép trong tọa ðộ cực 
Công thức liên hệ tọa ðộ 
x = r.cos 
y = r.sin 
Ta cóầ 
Do vậyầ 
Ví dụ 4: Tính , với ắ giới hạn bởiầ ậx –1)2 + y2 1, y 0 
Giải: 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 35 
Rõ ràng 
Thay x = rcos , y = rsin vào ậx –1)2 + y2 = 1, ta ðýợc r ụ ịcos 
Vậy 
Do ðóầ 
Ví dụ 5: Tính với ắ là hình tròn x2 + y2 R2. 
Giải: Chuyển sang hệ tọa ðộ cựcờ ta cóầ 
Do ðóầ 
BÀI TẬP 
1 -Tính các tích phân kép 
a) 
b) 
c) 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 36 
d) 
2-Tính các tích phân kép 
a) , D: 0 x 2; x2 y 2x 
b) , D: 0 x 2; -1 y 1 
c) , D: xy = 1; y = ; x = 2 
3- Ðổi thứ tự biến lấy tích phân 
a) 
b) 
c) 
d) 
4- Tính các tính phân 
d) , D: ; y = 0 
e) , D: y = x; ; y = 0 
f) , D: x2 + y2 1 
g) , D: ; a, b > 0 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 37 
h) , D: 
i) , D: y = x + 1; y = x – 3; 
5-Tính diện tích miền ắ giới hạn bởi 
j) D: y = x2; y = x + 2 
k) D: y2 = x; y = 2x – x2 
l) D: ; x = 1; y = -1 
m) D: y = 2x; y = -2x; y = 4 
§2 Tích phân bội 3 
I. ÐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 
1. Ðịnh nghĩa 
Cho hàm số  (x,y,z) xác ðịnh trong miền ðóngờ giới nội  của không gian ẫxyzề 
Chia miền  thành n miền nhỏ có thể tích là V1,…ờ Vn. Lấy tùy ý một ðiểm 
Mi(xi,yi,zi) trong miền nhỏ thứ iề 
Lập tổng 
Nếu giới hạn : hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền  , 
và ∞i, thì  (x,y,z) gọi là khả tích trên miền  , và ỗ gọi là tích phân bội ĩ của hàm  
trên  , ký hiệu 
Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV và tích phân bội ĩ thýờng 
viết 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 38 
Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = 1 thì (thể tích của  ). 
2. Tính chất 
Nếu thì 
Nếu  (x,y,z) g(x,y,z)  (x,y,z)  thì 
Nếu  (x,y,z) liên tục trong miền ðóng, bị chặn  thì tồn tại ðiểm ậx0,y0,z0) 
 sao cho 
(Ðịnh lý về giá trị trung bìnhấ 
II. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI 3 
1. Tích phân bội 3 trong hệ tọa ðộ Descartes 
Cho  giới hạn bỡiầ 
Mặt trênầ z ụ 2(x,y) 
Mặt dýớiầ z ụ 1(x,y) 
Xung quanh: mặt trụ có ðýờng sinh song song với trục ẫz và ðýờng 
chuẩn là biên của miền ắ thuộc mặt phẳng ẫxyề ậắ là hình chiếu của 
 xuống mặt phẳng ẫxyấề 
Khi ðó 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 39 
Nếu miền thì 
Ví dụ 1: Cho miền Ù giới hạn bởi các mặtầ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếờ x ự y ự ịz ụ ịề 
Viết tích phân bội ĩ theo các thứ tự ầ 
a). dxdydz 
b). dxdzdy 
c). dydzdx 
Giải: 
a). Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxy là miền 
Giới hạn trên của Ùầ 
Giới hạn dýới của Ùầ 
Vậyầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 40 
b). Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxz là miền 
Giới hạn trên của Ùầ 
Giới hạn dýới của Ùầ 
Vậyầ 
c). Hình chiếu  của xuống mặt phẳng ẫyz là 
Giới hạn trên của  là ầ x ụ ị-y-2z 
Giới hạn dýới của  là ầ x ụ ế 
Vậy 
Ví dụ 2: Tính ,  là miền giới hạn bởi các mặtầ 
z = x
2+y2; z = 4; x = 0; y = 0. 
Giải: 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 41 
Hình chiếu của miền Ù xuống mặt phẳng ẫxy là hình tròn ầ 
Mặt trên của Ùầ zụởờ 
Mặt dýới của Ùầ zụx2+y2. 
Vậy: 
2. Tính tích phân bội 3 trong hệ toạ ðộ trụ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 42 
Toạ ðộ trụ của ðiểm ∞ậxờyờzấ là bộ ba số ậrờöờzấờ với ậrờöấ là toạ ðộ cực của hình chiếu 
của ∞ xuống mặt phẳng ẫxy ậổình vẽấ 
Ta luôn cóầ r ≥ ếủ ế≤ ö ≥ịðủ -∞≥z≥ự∞ề 
Mối liên hệ giữa toạ ðộ ắescartes và toạ ðộ trụ 
x = r cosö 
y = r sinö 
z = z 
Ta có ầ 
Ví dụ 3: Tính với Ù là miền giới hạn bởi z ụ x2+y2; z = 4 
Giải: 
Hình chiếu của Ù xuống mặt phẳng ẫxy là hình tròn x2+y2 ≤ ở 
Chuyển sang toạ ðộ trụ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 43 
Ù giới hạn bởiầ o ≤ ö ≥ ịðủ ế ≤ r ≤ ịủ r2 ≤ z ≤ ởề 
Vậyầ 
3. Tính tích phân bội 3 trong hệ toạ ðộ cầu 
Toạ ðộ cầu của một ðiểm ∞ậxờyờzấ là bộ ĩ số ậrờèờö), với r ụ ẫ∞ờ è là góc giữa trục 
Oz và , ö là góc giữa trục ẫx và , với ∞’ là hình chiếu của ∞ xuống mặt 
phẳng ẫxyề 
Ta cóầ Với mọi ðiểm ∞ trong không gian thì r ≥ ếủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịð 
Mối liên hệ giữa toạ ðộ ắescartes và toạ ðộ cầuầ 
x = r sinè cosö 
y = r sinè sinö 
z = r cosè 
Công thức tích phân trong hệ toạ ðộ cầu 
Ví dụ 1: Tính với Ù là miền giới hạn bởi hai mặt cầu 
x
2+y2+z2 = 1; x2+y2+z2 = 4. 
Chuyển sang hệ toạ ðộ cầuờ ta cóầ 
Miền Ù xác ðịnh bởi ữ ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ðủ ế ≤ ö ≤ ịðề 
Vậyầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 44 
Ví dụ 4: Tính với Ù là miền giới hạn bởi x2+y2+z2 ≤ zề 
Chuyển sang hệ toạn ðộ cầu ta cóầ 
Miền Ù xác ðịnh bởi ế ≤ r ≤ cosèủ ế ≤ è ≤ ; 0 ≤ ö ≤ ịðề 
Vậyầ 
§3 Ứng dụng của tích phân bội 
I. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC 
1. Tính diện tích hình phẳng 
Diện tích của miền ắ trong mặt phẳng ẫxy 
2. Thể tích vật thể 
Vật thể Ù trong không gian ẫxyz làầ 
Nếu Ù giới hạn trên bởi mặt z ụ f2(x,y) , giới hạn dýới bởi mặt z ụ f1(x,y) và giới hạn 
xung quanh bởi mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz và có ðýờng chuẩn là biên 
của miền ắ trong mặt phẳng ẫxy thì 
Ví dụ 1: Tính thể tích phần hình nón nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4 
Giải: 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 45 
Gọi Ù là vật thể hình nón nằm trong hình cầu x2+y2+z2 ≤ ở 
Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu thì 
Miền giới hạn bởi ế ≤ r ≤ ịủ ế ≤ è ≤ ; 0 ≤ ö ≤ ịðề 
Vậy 
Ví dụ 2: Tính thể tích hình cầu có bán kính Ở 
Giải: 
Ta có thể tích hình cầu hình cầu 
Hình cầu Ùầ x2+y2+z2 ≤ Ở2 
Chuyển sang hệ toạ ðộ cầu thì 
, 
Và miền Ùầ ế ≤ r ≤ Ởờ ế ≤ è ≤ ðờ ế ≤ ö ≤ ịð 
Vậyầ 
II. ỨNG DỤNG CÕ HỌC 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 46 
1. Tính khối lýợng 
a. Khối lýợng của vật thể Ù có khối lýợng riêng tại ðiểm ∞ậxờ yờ zấ là fậxờ yờ 
z) thìầ 
b. Nếu bản phẳng ắ trong mặt phẳng ẫxy và có khối lýợng riêng là fậxờ yấ thì 
: 
2. Momem quán tính của vật thể Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ðối với 
c. trục ẫxầ 
d. trục ẫyầ 
e. trục ẫzầ 
f. ðýờng thẳng ỡầ , r(x, y, z) là khoảng cách 
từ ðiểm ∞ậxờ yờ zấ ðến ỡ 
g. Mặt ẫxyầ 
h. Mặt ẫxzầ 
i. Mặt ẫyzầ 
j. Gốc tọa ðộầ 
3. Momen tĩnh của Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) ðối với 
a) Mặt ẫxyầ 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 47 
b) Mặt ẫxzầ 
c) Mặt ẫyzầ 
4. Trọng tâm của Ù với khối lýợng riêng ñ(x, y, z) là 
BÀI TẬP 
1- Tính với Ù 
a) giới hạn bởi ế ≤ x ≤ ữủ ữ ≤ y ≤ ịủ ị ≤ z ≤ ĩề 
b) giới hạn bởi các mặtầ x ự y ự z ụ ữủ x ụ ếờ y ụ ếờ z ụ ếề 
2-Tínhầ 
a) , Ùầ z ụ x2 + y2; z = 4, x = 0, y = 0 (lấy trong miền x ≥ ếờ y ≥ ếấề 
b) , Ùầ y ụ x2, y + z = 1, z = 0. 
3- Tínhầ 
a) , Ùầ z ụ x2 + y2; x2 + y2 = 4; z = 0. 
b) , Ùầ x2 + z2 = 1, y = 0, y = 1. 
c) , Ùầ , z = x2 + y2. 
d) , Ùầ góc phần tám thứ nhất của khối cầu ðõn vịề 
e) , Ùầ x2 + y2 + z2 = 2; . 
 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 
Sýu tầm by hoangly85 48 
f) , Ùầ x2 + y2 + z2 ≤ Ở2, x ≤ ếề 
4-Tính thể tích vật giới hạn bởiầ 
a) z = x2 + 3y2, z = 8 – x2 – y2 
b) y + z = 2; x = 4 – y2, các mặt phẳng tọa ðộ nằm trong góc phần tám thứ nhất 
c) x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2. 
d) z = 4 – x2 – y2, các mặt phẳng tọa ðộ nằm trong góc phần tám thứ nhấtề 
5- Tính momen quán tính ðối với các trục ẫxờ ẫyờ ẫz của khối chữ nhật ðồng chất ¿ầ 
a) Tìm tọa ðộ trọng tâm của vật thể ðồng chất giới hạn bởi các mặt z ụ ếờ x2 + 
y2 + z2 = 4. 
b) Tìm tọa ðộ trọng tâm của nửa hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ ế nếu khối 
lýợng riêng tại mỗi ðiểm tỷ lệ với khoảng cách từ ðiểm ðó ðến gốc tọa ðộề