Giáo trình Giải tích 3

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT 
 KHOA TOÁN - TIN HỌC 
 Y 	 Z 
 TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUYÊN SƠN 
GIẢI TÍCH 3 
 (Giáo Trình) 
 -- Lưu hành nội bộ -- 
 Y Đà Lạt 2008 Z 
Giải Tích 3
Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên Sơn
Mục lục
Chương I. Tích phân phụ thuộc tham số
1. Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Các tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương II. Tích phân hàm số trên đa tạp
1. Đa tạp khả vi trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Tích phân hàm số trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương III. Dạng vi phân
1. Dạng k-tuyến tính phản đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Bổ đề Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chương IV. Tích phân dạng vi phân
1. Định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Tích phân dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Bài tập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4I. TÝch ph©n phơ thuéc tham sè
1 TÝch ph©n phơ thuéc tham sè
1.1 §Þnh nghÜa
§Þnh nghÜa 1. XÐt hµm f(x, t) = f(x1, . . . , xn, t1, . . . , tm) x¸c ®Þnh trªn miỊn
X × T ⊂ Rn × Rm. Gi¶ sư X ®o ®­ỵc (Jordan) vµ víi mçi gi¸ trÞ cđa t ∈ T cè
®Þnh, hµm f(x, t) kh¶ tÝch theo x trªn X . Khi ®ã tÝch ph©n
I(t) =
∫
X
f(x, t)dx (1)
lµ hµm theo biÕn t = (t1, . . . , tm), gäi lµ tÝch ph©n phơ thuéc tham sè víi m
tham sè t1, . . . , tm.
1.2 TÝnh liªn tơc
§Þnh lý 1. NÕu f(x, t) liªn tơc trªn X × T ⊂ Rn × Rm, ë ®©y X,T lµ c¸c tËp
compact, th× tÝch ph©n
I(t) =
∫
X
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T .
Chøng minh. Cè ®Þnh t0 ∈ T . Ta sÏ chøng minh víi mäi  > 0, tån t¹i δ > 0 sao
cho víi mäi t ∈ T , d(t, t0) < δ ta cã | I(t)− I(t0) |< .
Tõ ®Þnh nghÜa suy ra
| I(t)− I(t0) |=
∣∣∣∣∫
X
(f(x, t)− f(x, t0))dx
∣∣∣∣≤ ∫
X
| f(x, t)− f(x, t0) | dx.
Do f liªn tơc trªn compact nªn liªn tơc ®Ịu trªn ®ã, tøc lµ tån t¹i δ > 0 sao cho
| f(x′, t′)− f(x, t) |< 
v(X)
víi mäi (x, t), (x′, t′) ∈ X × T , d((x′, t′), (x, t)) < δ.
Tõ ®ã, víi d(t, t0) < δ ta cã
| I(t)− I(t0) |< v(X) 
v(X)
= .
52
VÝ dơ. 1) Ta cã lim
t→0
1∫
−1
√
x2 + t2dx =
1∫
−1
|x|dx = 1 v× hµm √x2 + t2 liªn tơc trªn
[−1, 1]× [−, ].
2) Kh¶o s¸t tÝnh liªn tơc t¹i ®iĨm (0, 0) cđa hµm f(x, t) =
{
xt−2e−x
2t−2 nÕu t 6= 0
0 nÕu t = 0
.
NÕu f(x, t) liªn tơc t¹i (0, 0), th× f(x, t) liªn tơc trªn [0, 1]× [−, ]. Khi ®ã, tÝch
ph©n I(t) =
1∫
0
f(x, t)dx liªn tơc trªn [−, ] . Nh­ng ta cã
lim
t→0
I(t) = lim
t→0
1∫
0
xt−2e−x
2t−2 = −1
2
lim
t→0
1∫
0
e−x
2t−2d(−x2t−2)
= −1
2
lim
t→0
(e−t
−2 − 1) = 1
2
6= 0 = I(0).
VËy, hµm f(x, t) kh«ng liªn tơc t¹i (0, 0).
Sau ®©y chĩng ta sÏ kh¶o s¸t mét tỉng qu¸t hãa cđa §Þnh lý 1 trong tr­êng hỵp
X = [a, b].
§Þnh lý 2. Cho f(x, t) liªn tơc trªn [a, b]×T , víi T lµ tËp compact vµ a(t), b(t)
lµ hai hµm liªn tơc trªn T sao cho a(t), b(t) ∈ [a, b] víi mäi t ∈ T . Khi ®ã, tÝch
ph©n
I(t) =
b(t)∫
a(t)
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T .
Chøng minh. Do f liªn tơc trªn tËp compact nªn giíi néi, tøc lµ tån t¹i M > 0
sao cho | f(x, y) |≤M víi mäi (x, t) ∈ [a, b]× T . Cè ®Þnh t0 ∈ T ta cã:
| I(t) − I(t0) |=
∣∣∣∣a(t0)∫
a(t)
f(x, t)dx+
b(t)∫
b(t0)
f(x, t)dx+
b(t0)∫
a(t0)
[f(x, t)− f(x, t0)]dx
∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣a(t0)∫
a(t)
f(x, t)dx
∣∣∣∣+∣∣∣∣ b(t)∫
b(t0)
f(x, t)dx
∣∣∣∣+∣∣∣∣b(t0)∫
a(t0)
(f(x, t)− f(x, t0))dx
∣∣∣∣
≤M | a(t)− a(t0) | +M | b(t)− b(t0) | +
b(t0)∫
a(t0)
| f(x, t)− f(x, t0) | dx.
6Kh¼ng ®Þnh suy ra tõ tÝnh liªn tơc cđa a(t), b(t) vµ §Þnh lý 1. 2
VÝ dơ. Do hµm
1
1 + x2 + t2
liªn tơc trªn [0, 1] × [−, ] vµ c¸c hµm α(t) = t,
β(t) = cos t liªn tơc trªn [−, ], ta cã
lim
t→0
cos t∫
t
dx
1 + x2 + t2
dx =
1∫
0
dx
1 + x2
=
pi
4
.
1.3 TÝnh kh¶ vi.
§Þnh lý 3. NÕu f(x, t) vµ c¸c ®¹o hµm riªng
∂f
∂ti
(x, t), i = 1, . . . ,m, liªn tơc
trªn X × T ⊂ Rn ×Rm, ë ®©y X,T lµ c¸c tËp compact, th× tÝch ph©n
I(t) =
∫
X
f(x, t)dx
kh¶ vi trªn
o
T vµ víi mçi i ta cã:
∂I
∂ti
(t) =
∫
X
∂f
∂ti
(x, t)dx.
Chøng minh. Víi mçi t0 ∈
o
T cè ®Þnh ta cã:
I(t0 + hiei)− I(t0)
hi
=
∫
X
f(x, t0 + hiei)− f(x, t0)
hi
dx.
trong ®ã ei lµ c¬ së chÝnh t¾c cđa Rm. ¸p dơng ®Þnh lý gi¸ trÞ trung b×nh cho
hµm 1 biÕn ta cã:
f(x, t0 + hiei)− f(x, t0) = ∂f
∂ti
(x, t0 +  ... ọi M là tập con của Rm cho bởi hệ
phương trình F (x) = 0. Chứng minh nếu rankF ′(x) = m với mọi x ∈ M , thì
M là đa tạp khả vi n−m chiều.
3. Cho α : (a, b) → R2 là tham số hoá đường cong trơn, α(t) = (x(t), y(t)) và
y(t) > 0. Chứng minh mặt tròn xoay cho bởi tham số hoá:
φ(t, θ) = (x(t), y(t) cos θ, y(t) sin θ), (t, θ) ∈ (a, b)× (0, 2π),
là một đa tạp khả vi trong R3.
Chứng minh các đường cong tọa độ là vuông góc với nhau. Tìm vector pháp và
mặt phẳng tiếp xúc.
Áp dụng: hãy tham số hoá mặt trụ, cầu, xuyến.
4. Cho α : (a, b) → R2 là tham số hoá một đường cong trơn và p = (p1, p2, p3) ∈ R3
với p3 = 0. Chứng minh mặt nón cho bởi tham số hoá:
φ(t, s) = (1− s)p + s(α(t), 0), (t, s) ∈ (a, b)× (0, 1),
là đa tạp khả vi trong R3. Xác định các đường cong tọa độ, vector pháp, mặt
phẳng tiếp xúc.
5. Kiểm tra các tập cho bởi các phương trình hay tham số sau là đa tạp không.
Trong R2: a) x = a(1− sin t), y = a(1− cos t) b) x = t2, y = t3.
Trong R3: a) x = a cos t, y = a sin t, z = bt (a, b là cá hằng số dương)
b) x =
√
2 cos 2t, y = sin 2t, z = sin 2t
c)
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 d)
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= ±1 e) x
2
a2
+
y2
b2
− z = 1
f) x = (b + a cos θ) cosϕ, y = (b + a cos θ) sinϕ, z = a sin θ
g)
{
x2 + y2 = z2
y2 = ax
h)
{
x2 + y2 = a2
x + y + z = 0
Tìm phương trình đường thẳng hay mặt phẳng tiếp xúc cho các đa tạp trên.
6. Kiểm tra các phương trình và bất phương trình sau xác định đa tạp có bờ trong
R3:
a) x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0 b) x2 + y2 ≤ a2, x + y + z = 0
c) x2 + y2 + z2 ≤ a2, x + z = 0 d) z2 ≤ y2 + x2, z = a.
7. Chứng minh trong R3, mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2 không thể cho bởi một tham
số hoá, nhưng có thể cho bởi hai tham số hoá.
8. Xác định phương trình của không gian tiếp xúc tại (x0, f(x0)) cho đa tạp ở bài
tập 1.
Bài tập 57
9. Phác họa các mặt, rồi xác định các đường cong tọa độ, vector pháp, không gian
tiếp xúc của các mặt cho bởi tham số hoá::
a) ϕ(t, θ) = (t cos θ, t sin θ, θ). (mặt Helicoid).
b) ϕ(t, θ) = ((1 + t cos θ2) cos θ, (1 + t cos
θ
2) sin θ, t sin
θ
2), |t| <
1
4
, θ ∈ (0, 2π).
(lá M
¨
obius)
10. Xét đa tạp M cho ở bài tập 2. Gọi F = (F1, · · · , Fm).
a) Chứng minh khi đó không gian tiếp xúc của M là
TxM = kerF ′(x) = {v ∈ Rn : = · · · == 0 }.
b) Cho f : Rn → R. Chứng minh nếu f đạt cực trị với điều kiện x ∈ M = {x :
g(x) = 0} tại a, thì tồn tại λ1, · · · , λm ∈ R, sao cho
grad f(a) = λ1gradF1(a) + · · ·+ λmgradFm(a).
11. Xét cực trị hàm:
a) f(x, y) = ax + by, với điều kiện x2 + y2 = 1.
b) f(x, y, z) = x− 2y + 2z, với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.
c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, với điều kiện
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 (a > b > c > 0).
d) f(x, y, z) = xyz, với các điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0.
e) f(x, y, z) = x + y + z, với các điều kiện: x2 + y2 = 2, x + z = 1.
12. Xét cực trị các hàm:
a) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2, với điều kiện x2 + y2 − 2 ≤ z ≤ 0.
b) f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2, với điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ 100.
13. Tìm thể tích lớn nhất của các hình hộp chữ nhật với điều kiện diện tích mặt là
10m2.
14. Chứng minh trung bình hình học không lớn hơn trung bình số học, i.e.
(a1 · · · an) 1n ≤ 1
n
(a1 + · · ·+ an), (a1, · · · , an > 0)
15. Chứng minh bất đẳng thức
(
x + y
2
)n
≤ x
n + yn
2
, (x, y > 0, n ∈ N).
(HD: Xét cực trị f(x, y) =
xn + yn
2
, với điều kiện x + y = s).
16. Chứng minh bất đẳng thức H
¨
older:
n∑
i=1
aixi ≤ (
n∑
i=1
api )
1
p (
n∑
i=1
xqi )
1
q , nếu xi, ai > 0,
1
p
+
1
q
= 1 (p, q > 0).
Bài tập 58
Suy ra bất đẳng thức Milkovski:
n∑
i=1
|ai + xi|p)
1
p ≤ (
n∑
i=1
|ai|p)
1
p + (
n∑
i=1
|xi|q)
1
q
HD: |a + x|p = |a + x||a + x| pq ≤ |a||a + x| 1q + |x||a + x| pq .
17. Chứng minh cực trị hàm f(x, y) = ax2 +2bxy + cy2, với điều kiện x2 + y2 = 1,
đạt tại các vector riêng của ma trận
(
a b
b c
)
.
18. Tổng quát bài tập trên. Cho A là ma trận thực, đối xứng cấp n. Định nghĩa
f(x) == txAx, x ∈ Rn. Chứng minh nếu v ∈ Rn, ‖v‖ = 1: f(v) =
max{f(x) : ‖x‖ = 1}, thì Av = λv. Suy ra mọi matrận đối xứng đều có giá trị
riêng thực.
19. Cho u, v ∈ R3. Chứng minh
‖u× v‖ = (‖u‖2‖v‖2− ) 12 = diện tích hình bình hành tạo bởi u, v
Suy ra các tọa độ của u× v theo các tọa độ của u, v.
20. Cho h : Rn → Rn, h(x) = λx, và P là hình bình hành k chiều trong Rn. Tìm
mối quan hệ giữa các thể tích k chiều Vk(P ) và Vk(h(P )).
21. Tính các tích phân đường:
a)
∫
C
y2dl, C là cung cycloid x = a(t− sin t), y = a(1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
b)
∫
C
xdl, C là phần đường loga có phương trình trong tọa độ cực: r = akϕ, r ≤
a.
c)
∫
C
zdl, C là cung xoắn x = t cos t, y = t sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ T.
d)
∫
C
x2dl, C là cung tròn x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0
(HD: Dựa vào tính đối xứng của các biến)
22. Tính các tích phân mặt:
a)
∫
S
zdS, S là mặt x = u cos v, y = u sin v, z = v, 0 < u < a, 0 < v < 2π.
b)
∫
S
zdS, S là phần mặt nón z =
√
x2 + y2 giới hạn bởi trụ x2 + z2 ≤ 2az.
c)
∫
S
(x + y + z)dS, S là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0.
23. Chứng minh công thức Poisson∫
x2+y2+z2=1
f(ax + by + cz)dS = 2π
∫ 1
−1
f(u
√
a2 + b2 + c2)du.
(HD: Dùng phép quay và để ý phép quay bảo toàn điện tích)
Bài tập 59
24. Tính độ dài các đường cong tham số hoá:
a) α(t) = (a cos bt, a sin bt, ct), t ∈ [0, h]
b) α(t) = (t cos bt, t sin bt, ct), t ∈ [0, h]
25. Cho f : U → R là hàm khả vi trên tập mở U ⊂ Rn. Chứng minh công thức
tính thể tích n chiều
Vn(graphf) =
∫
U
(
1 +
n∑
i=1
(
∂f
∂xi
)2
) 1
2
Áp dụng tính độ dài Ellip và diện tích mặt Ellipsoid.
26. Chứng minh công thức tính điện tích cho mặt tròn xoay ở bài tập 3:
Sφ = 2π
∫ b
a
y(t)(x′(t)2 + y′(t)2)
1
2dt
Áp dụng tính diện tích mặt Ellipsoid và mặt xuyến.
27. Viết công thức tính diện tích mặt nón cho ở bài tập 4. Nêu một ví dụ cụ thể.
III. Dạng vi phân.
1. Cho (x, y) = f(r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ). Tính f ∗(dx), f∗(dy), f∗(dx ∧ dy).
2. Cho (x, y, z) = f(r, ϕ, θ) = (ρ cosϕ sin θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cos θ). Tính
f∗(dx), f∗(dy), f∗(dz), f∗(dx∧dy), f∗(dy∧dz), f∗(dz∧dx), f∗(dx∧dy∧dz).
3. Cho f : Rn → Rm v g : Rm → Rp là các ánh xạ khả vi. Chứng minh
(g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗.
4. Cho f : Rn → Rm khả vi và rank f ′(x) < k với mọi x ∈ Rn. Chứng minh khi
đó f ∗ω = 0 với mọi ω ∈ Ωk(Rm).
5. Tính dω các dạng vi phân trong trong R3 sau
a) ω = xdx + ydz b) ω = sinxdx + ydy + exydz c) ω = exydx ∧ dz
d) ω = xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy.
6. Tìm (n− 1)-dạng vi phân ω trong Rn sao cho dω = dx1 ∧ · · · ∧ dxn.
7. Giả sử ω1 v ω2 là các 1-dạng đóng. Chứng minh ω1 ∧ ω2 là dạng đóng.
8. Chứng minh dạng ω(x, y, z) =
1
r3
(xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy),
với r2 = x2 + y2 + z2, là đóng nhưng không khớp trong R3 \ {0}.
Bài tập 60
9. Cho dạng vi phân ω =
n∑
i=1
ai(x)dxi trong cầu mở tâm a của Rn. Giả sử ω đóng.
Chứng minh để tìm hàm f sao cho df = ω có thể dùng các công thức sau:
a) f(x) =
n∑
i=1
(∫ 1
0
ai(a + t(x− a))dt
)
xi.
b) f(x) =
∫ x1
α1
a1(x1, · · · , xn)dx1+
∫ x2
α2
a2(α1, x2, · · · , xn)dx2+· · ·+
∫ xn
αn
an(α1, α2, · · · , xn)dxn.
trong đó a = (α1, · · · , αn)
10. Kiểm tra tính đóng của dạng ω, rồi tìm tích phân đầu khi
a) ω = (x4+4xy3)dx+(6x2y2−5y4)dy b) ω = (x+sin y)dx+(x cos y+sin y)dy
c) ω = ex cos ydx− ex sin ydy d) ω = (x2 + 2xy − y2)dx + (x2 − 2xy − y2)dy
e) ω = a(x)dx + b(y)dy + c(z)dz, trong đó a, b, c là các hàm khả vi trên R.
f) ω = a(x2 + y2 + z2)(xdx + ydy + zdz), trong đó a là hàm khả vi trên R.
11. Xác định α để dạng vi phân sau là đóng, rồi tìm tích phân đầu
ω =
x3 − 3xy2
(x2 + y2)α
dx +
3x2y − y3
(x2 + y2)α
dy.
12. Xác định hàm ϕ : R→ R, ϕ(0) = 0, sao cho dạng sau là đóng
ω = (1 + x2)ϕ(x)dx− 2xyϕ(x)dy − 3zdz.
Tìm tích phân đầu.
IV. Tích phân dạng vi phân
1. Chứng minh một đường hay mặt liên thông định hướng được, thì có thể định
đúng 2 hướng. Một đường hay mặt có d thành phần liên thông định hướng được,
thì có thể định bao nhiêu hướng?
2. Nêu ví dụ đa tạp có bờ không định hướng được, nhưng bờ định hướng được.
3. Tính
∫
C
ydx + zdy + xdz, với C là đường xoắn x = a cos t, y = a sin t, z =
bt, 0 ≤ t ≤ 2π, định hướng (a, 0, 0) đến (a, 0, 2πb).
4. Tính
∫
C
(x + y)dx− (x− y)dy
x2 + y2
, khi:
a) C là đường tròn đơn vị định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
b) C đường cong kín không qua (0, 0).
Bài tập 61
5. Cho α : [a, b] → R2 \ {0} là một tuyến. Giả sử
α(t) = (x(t), y(t)) = (r(t) cos θ(t), r(t) sin θ(t)) với x, y, r, θ là các hàm khả vi.
a) Chứng minh θ′(t) =
−y(t)x′(t) + x(t)y′(t)
x2(t) + y2(t)
.
b) Xét ω =
−ydx + xdy
x2 + y2
. Chứng minh ω đóng nhưng không khớp.
c) Định nghĩa chỉ số vòng quay của α quanh 0:
I(α, 0) =
1
2π
∫
α
ω =
∫ b
a
−y(t)x′(t) + x(t)y′(t)
x2(t) + y2(t)
dt
Tính chỉ số trên khi α(t) = (a cos kt, a sin kt), t ∈ [0, 2π].
6. Tính
∫
C
(y2 − z2)dx + (z2 − x2)dy + (x2 − y2)dz,
trong đó C là chu vi tam giác cầu: x2 + y2 + z2 = 1, x, y, z ≥ 0, định hướng
cảm sinh hướng pháp ngoài mặt cầu..
7. Cho S là đồ thị hàm z = x2 + y2 + 1, (x, y) ∈ (0, 1)2. Hãy xác định một hướng
cho S rồi tính ∫
S
ydy ∧ dz + xzdx ∧ dz
8. Tính tích phân đo góc khối của mặt S đối với gốc 0:
∫
S
xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy
(x2 + y2 + z2)3/2
trong trường hợp S là: a) Mặt cầu. b) Nửa mặt cầu. c) Một phần tám mặt cầu.
9. Trong R3, cho S : 4x2 + y2 + 4z2 = 4, y ≥ 0.
a) Phác họa S và ∂S.
b) Tham số hoá S bởi ϕ(u, v) = (u, 2(1 − u2 − v2) 12 , v). Xác định hướng cho
bởi tham số ϕ.
c) Cho ω = ydx + 3xdz. Tính
∫
∂S
ω và
∫
S
dω.
10. Áp dụng công thức Green, tính: I =
∫
C
xy2dy − x2ydx, với C : x2 + y2 = a2
định hướng ngược chiều kim đồng hồ.
11. Áp dụng công thức Green, tính diện tích hình giới hạn bởi đường cong trong R2
cho bởi phương trình
(
x
a
)n
+
(
y
b
)n
= 1. (a, b, n > 0).
12. Cho I =
∫
C
xdx + ydy + zdz,
với C là đường tròn: x2 + y2 + z2 = a2, x+ y + z = 0, với định hướng tự chọn.
a) Tính trực tiếp I. b) Dùng công thức Stokes tính I.
Bài tập 62
13. Cho S ⊂ R3 là mặt trơn có bờ là đường cong C = ∂S. Giả sử C chứa trong
mặt phẳng cố định ax + by + cz − d = 0, (a2 + b2 + c2 = 1). Tính
∮
C
∣∣∣∣∣∣∣
dx dy dz
a b c
x y z
∣∣∣∣∣∣∣
14. Cho I =
∫
S
yzdx ∧ dy + xzdy ∧ dz + xydz ∧ dx,
với S là phía ngoài mặt: x2 + y2 = R2, x, y, z ≥ 0, z ≤ H .
a) Tính trực tiếp I. b) Dùng công thức Gauss-Ostrogradski tính I.
15. Cho I =
∫
S
4xdy ∧ dz − 2y2dz ∧ dx + z2dx ∧ dy,
với S là phía ngoài mặt giới hạn bởi: x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3.
a) Tính trực tiếp I. b) Dùng công thức Gauss-Ostrogradski tính I.
16. Tính I(t) =
∫
St
P (x2 + y2)dx ∧ dy + Q(y, z)dy ∧ dz + R(z, x)dz ∧ dx,
với P,Q,R là các hàm khả vi, St = {(x, y, z) : x2 + y2 + (z − 1)2 = t2, z ≥ 0}.
Suy ra I ′(t).
17. Cho ω =
n∑
i=1
aidxi ∈ Ω1(U), với U là tập mở, co rút được trong Rn Chứng minh
các điều sau tương đương:
(i) ω là khớp, i.e. tồn tại hàm f : ω = df .
(ii) ω là đóng, i.e. dω = 0.
(iii)
∂ai
∂xj
=
∂aj
∂xi
, với mọi i, j = 1, · · · , n.
(iv)
∮
C
ω = 0, với mọi đường cong kín C.
(iv)
∫
Ca,b
ω chỉ phụ thuộc a, b mà không phụ thuộc đường cong Ca,b nối chúng.
18. Kiểm tra kết qủa bài trên khi ω =
a) f(x2 + y2)(xdx + ydy) b) f(x)dx + g(y)dy + h(z)dz
c) f(x + y + z)(dx + dy + dz) d) f(
√
x2 + y2 + z2)(xdx + ydy + zdz),
trong đó f, g là các hàm lớp C1.
19. Xét
∫
C
f(x2 + y2)(ydx + xdy), với f là hàm lớp C1.
Chứng minh tích phân trên không phụ thuộc dạng của đường cong C mà chỉ
phụ thuộc 2 đầu mút của C.
20. Tìm điều kiện cho các hàm P,Q thuộc lớp C2 sao cho∫
C
P (tx, ty)dx + Q(tx, ty)dy,
không phụ thuộc t, với mọi đường cong kín C.
Bài tập 63
21. Tính tích phân Gauss
∫
S
cos(N, r)
‖r‖2 dS, trong đó r = (x, y, z), S là mặt trơn,
kín trong R3, 0 ∈ S, và N là trường pháp, đơn vị, hướng ngoài.
22. Cho V ⊂ R3 là khối giới hạn bởi mặt tr7n, kín S, và N = (cosα, cosβ, cos γ)
là trường pháp vector đơn vị định hướng mặt S. Chứng minh:
a)
∫
S
cos(N, v)dS = 0, với mọi hướng v ∈ Rn.
b) Thể tích của V cho bởi công thức
V =
1
3
∮
S
(x cosα + y cosβ + z cos γ)dS
c) Nếu F (x, y, z) = (ax, by, cz), thì
∫
S
 dS = (a + b + c)V .
23. Tính F (t) =
∫
S
fdS, với S : x + y + z = t, và f(x, y) = x2 + y2, nếu
x2 + y2 + z2 ≤ 1; và f(x, y) = 0 trong trường hợp ngược lại.
24. Tính
∫
S
((cos z − cos y) cosα + (cosx− cos z) cosβ + (cos y − cosx) cos γ) dS,
với S là phía trên mặt cầu x2+y2+ z2 = 1, và α, β, γ là các góc tạo bởi trường
pháp vector của S với các trục tọa độ.
25. Tính
∫
S
(x2 cosα + y2 cosβ + z2 cos γ)dS,
với S là mặt nón giới hạn miền: x2+y2 ≤ z2, 0 ≤ z ≤ h, định hướng bởi trường
pháp vector N = (cosα, cosβ, cos γ) hướng ra ngoài.
26. Cho trường vector F (x, y, z) = (x2z,−2y3z2, xy2z). Tính div F = và
rot F = ∇× F .
27. Chứng minh rot(grad )f = 0, và div(rot F )= 0 (f là hàm, F là trường vector
lơp C2)
28. Trường vector F = (F1, · · · , Fn) trên U ⊂ Rn, gọi là trường thế nếuu hàm f
khả vi trên U , sao cho F = grad f (gọi là hàm thế)
a) F là trường thế khi và chỉ khi ωF = F1dx1 + · · ·+ Fndxn là dạng khớp.
b) Trường hấp dẫn F (x, y, z) = −m (x, y, z)
(x2 + y2 + z2)
3
2
có là trường thế? Nếu có
tìm hàm thế của nó.
29. Trong R3, cho trường vector F . Thử giải thích tại sao trong vật lý người ta gọi
a)
∫
C
 ds là công của trường F dọc theo đường cong C.
b)
∫
S
 dS là thông lượng dòng F qua mặt cong cong S.
30. Trong R3 cho trường vector khả vi F . Chứng minh
divF (x0) = lim
r→0
1
Vr
∫
Sr
 dS,
Bài tập 64
Với Vr là thể tích hình cầu tâm x0 bán kính r, với Sr là bờ và N là trường pháp
vector đơn vị trên Sr.
31. Cho S là mặt giới hạn khối V và N trường pháp vector đơn vị trên S. Chứng
minh ∫
V
divNdV = diện tích (S)× thể tích (V )
32. Cho ϕ, ψ là các hàm lớp C2 trên miền giới nội V ⊂ R3, có bờ là mặt kín S,
định hướng bởi trường pháp vector đơn vị N hướng ra phía ngoài. Chứng minh
a) Công thức Green thứ nhất:∫
V
(ϕ∆ψ+ dV =
∫
S
 dS
b) Công thức Green thứ hai:∫
V
(ϕ∆ψ − ψ∆ϕ > dV =
∫
S
 dS
trong đó ∆ == ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
, là toán tử Laplace.