Giáo trình Cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT 
F 7 G 
GIÁO TRÌNH 
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 
ThS. NGUYỄN DUY HƯNG 
1998 
Cơ học lượng tử - 1 -
MỤC LỤC 
MỤC LỤC ............................................................................................................- 1 - 
LỜI NÓI ĐẦU......................................................................................................- 4 - 
BÀI MỞ ĐẦU ......................................................................................................- 5 - 
§1 LƯỢC ĐỒ TỔNG QUÁT CỦA VẬT LÝ HỌC...........................................- 5 - 
§2 BỨC TRANH THẾ GIỚI CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN.........................- 5 - 
I/ Hai ý tưởng cơ bản của vật lý học cổ điển :...............................................- 5 - 
II/ Hai bộ phận chủ yếu của vật lý học cổ điển : ..........................................- 6 - 
III/ Hai dạng vật chất cơ bản của vật lý học cổ điện :...................................- 7 - 
IV/ Những quan niệm cơ sở của vật lý học cổ điển : ....................................- 7 - 
§3 NHỮNG BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN VÀ NHỮNG Ý TƯỞNG 
NỬA LƯỢNG TỬ.............................................................................................- 8 - 
CHƯƠNG I. CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ............................................. - 10 - 
§1 CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ........................................... - 10 - 
I/ Thế giới vi mô: ........................................................................................ - 10 - 
§2 HAI Ý TƯỞNG CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ............................ - 12 - 
1/ Ý tưởng lượng tử hóa. ............................................................................. - 12 - 
2/ Ý tưởng lưỡng sóng hạt. .......................................................................... - 13 - 
§3 CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ .................................... - 16 - 
I/.Toán tử tuyến tính : ................................................................................. - 16 - 
II/ Giao hoán tử và phản giao hoán tử : ...................................................... - 17 - 
III/. Bài toán trị riêng của toán tử tuyến tính : ............................................ - 18 - 
IV/. Một số toán tử đặt biệt :....................................................................... - 19 - 
V/.Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp (hecmitic) :............................... - 24 - 
§4 THÍ NGHIỆM QUAN TRỌNG TÍNH THỐNG KÊ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG 
TỬ................................................................................................................... - 28 - 
I/ Thí nghiệm hai lỗ : .................................................................................. - 28 - 
II/ Tính thống kê của CHLT: ...................................................................... - 29 - 
§5 CÁC BIẾN ĐỘNG LỰC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ....................... - 30 - 
1/.Các toán tử tọa độ : ................................................................................. - 30 - 
2/.Các toán tử xung lượng : ......................................................................... - 30 - 
3/. Các toán tử Moment xung lượng L và toán tử moment xung lượng bình 
phương L2 . ................................................................................................. - 31 - 
4/.Toán tử Hamilton H: ............................................................................... - 32 - 
§6 CÁC HỆ THỨC BẤT ĐỊNH..................................................................... - 34 - 
I/ Ý Tưởng Lưỡng Sóng Hạt Và các Hệ Thức Bất Định: ........................... - 34 - 
II/ Ý nghĩa của các hệ thức bất định: .......................................................... - 35 - 
III/ Một số kết quả thu được từ hệ thức bất định : ....................................... - 37 - 
IV . Xây dựng hệ thức bất định Heisenberg: .............................................. - 39 - 
§7 HÀM SÓNG . NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẬP TRẠNG THÁI. ................ - 44 - 
I/. Hàm Sóng:.............................................................................................. - 44 - 
II/. Nguyên lý chồng chập trạng thái: ......................................................... - 45 - 
§8 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER................................................... - 46 - 
I/. Cách “Thiết lập” phương trình: .............................................................. - 46 - 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 2 -
§9 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG LƯỢNG TỬ.......................... - 49 - 
I/ Nhận xét chung : ..................................................................................... - 49 - 
II/ Các móc Poisson lượng tử : ................ ...  định thức của hệ phải 
bằng không nghĩa là : 
AK ±=−ε 
Trường hợp : 
AK +=ε . 
Thay giá trị vào phương trình (10) ta có : 
C1= C2=C. 
Như vậy mức năng lượng AKoEoEE ++=+= ε ứng với hàm sóng : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2121221121 21 rrrrC oo
rrrr ψψψψψψψ +=+='
 (2.10) 
( 2
1
 là hệ số chuẩn hóa ). 
Trường hợp AK −=ε và tính toán như trên ta có : C1= -C2 .Vậy mức năng 
lượng : AKEEE oo −+=+= ε tương ứng với hàm sóng : 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1221221121 rrrr
rrrr ψψψψψ −=''
 (2.12) 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 121 -
Mức năng lượng Eo dịch chuyển đi một khoảng K và tách thành hai mức con , 
khoảng cách giữa hai mức này là 2A 
 Eo +K+A 
 Eo +K 
 Eo +K-A 
 Eo 
Đại lượng A được gọi là năng lượng trao đổi . 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 122 -
BÀI KẾT 
Khi trình bày các nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử – như trong giáo trình 
này và trong đa số các giáo trình cơ học lượng tử khác – không thể trình bày theo 
một hệ thống chặt chẽ, hợp lý và sáng sủa về logic được. Bởi lẽ nếu trình bày như 
thế sẽ vấp phải một nhược điểm không phải là nhỏ là tính trừu tượng quá mức của 
khái niệm, nó che lấp các cơ sở vật lý của môn học (như giáo trình của Dirac). Vì 
vậy để khắc phục phần nào nhược điểm của cách trình bày của chúng ta, ở phần 
cuối này ta tổng kết một cách ngắn gọn các nguyên lý và các bài toán cơ bản cũng 
như giới hạn áp dụng của cơ học lượng tử – hay chính xác hơn là cơ học lượng tử 
không tương đối tính. 
I/. Các nguyên lý và bài toán cơ bản của cơ học lượng tử : 
Cơ học lượng tử nghiên cứu cá tập hợp thống kê các hạt vi mô và giải ba toán 
chủ yếu: 
1. Xác định các giá trị khả dĩ của các đại lượng cơ học (Xác định phổ của các 
đại lượng ). 
2. Tính xác xuất của một đại lượng nào đó trong số các đại lượng của tập hợp 
các hạt vi mô. 
3. Sự biến đổi của tập hợp theo thời gian (chuyển động của hạt vi mô). 
Các nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử 
1/. Ha øm Sóng Và Nguyên Lý Chồng Chất Trạng Thái. 
Các hạt vi mô của một tập hợp xác định trong cơ học lượng tử được đặc trưng 
bởi hàm số sóng ψ. 
Hàm ψ là hàm số của tập hợp xác định các đại lượng mà ta ký hiệu là x (x ở 
đây không chỉ là tọa độ hay các tọa đôï, rộng hơn ta có thể hiểu là một tập hợp bất 
kỳ các biến số gián đoạn hay liên tực tạo thành một tập hợp đủ nào đó ). Số các đại 
lượng của tập hợp đủ được xác định bởi bản chất của hệ và bằng số bậc tử do của 
hệ. Tùy theo cách chọn tập hợp các đại lượng là đối số của hàm số sóng mà ta nói 
rằng hàm sóng ở trong biểu diễn này hay biểu diễn khác của trạng thái. Cụ thể hơn 
nếu x là các tọa độ ta nói trạng thái trong biểu diễn tọa độ, nếu x là xung lượng ta 
nói trạng thái trong biểu diễn xung lượng  Hàm số sóng còn có chỉ số n (thường 
được bỏ đi không ghi) khi đó viết là ψn(x) – để chỉ hàm số sóng đã được xác định 
trên tập hợp nào. 
Một tập hợp thống kê được mô tả bởi một hàm số sóng được xác định gọi là 
một tập hợp thuần nhất (hay tinh khiết). Tập hợp không có một hàm số sóng được 
xác định gọi là tập hợp hỗn hợp. Nó được đặc trưng bởi ma trận mật độ. thay cho 
hàm số sóng . 
Tính chất cơ bản của các tập hợp lượng tử tinh khiết được biểu thị trong 
nguyên lý: Nếu hai trạng thái khả dĩ được biểu diễn bằng các hàm số sóngψ1 vàψ2 
thì tồn tại một trạng thái thứ ba được biểu diễn bởi hàm số sóng: 
 ψ= C1ψ1 + C2ψ2 . 
trong đó C1 và C2 được gọi là các biên độ trạng thái. 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 123 -
Tất cả những hệ thức giữa các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử được 
biểu diễn bằng các toán tử tuyến tính tự liên hợp sao cho mỗi một đại lượng vật lý 
thực L được đối ứng với một toán tử tuyến tính tự liên hợp biểu diễn nó. 
2/ Giá Trị Trung Bình: 
Sự biểu diễn các đại lượng nhờ các toán tử liên hệ với các đại lượng đo được 
nhờ các công thức xác định giá trị trung bình của đại lượng ở trạng thái ψ: ( )ψψ LL ,= 
Với điều kiện chuẩn hóa: 
 (ψ,ψ)=1 
Cách định nghĩa giá trị trung bình này cho phép ta tìm được phổ của lượng L, 
nghĩa là tìm được các giá trị khả dĩ của nó. Muốn thế ta tìm các trạng thái mà ở đó 
lượng L chỉ có một giá trị xác định, nghĩa là tìm những trạng thái mà: 
 0
2 =∆L 
3/ Bài toán trị riêng và các giá trị đo được của các đại lượng vật lý 
trong thực nghiệm 
Phương trình xác định các hàm số riêng của toán tử Lˆ : 
 ( ) ( )xLxL LL ψψ =ˆ
Từ đó ta tìm được phổ của toán tử Lˆ (liên tục hay gián đoạn) và các trạng thái 
riêng tương ứng 
( )xLψ . Ta thừa nhận rằng: các giá trị riêng của toán tử Lˆ là các 
giá trị của đại lượng L quan sát được trong thực nghiệm. 
Vì các hàm số riêng lập thành một hệ hàm số trực giao nên một hàm số sóng 
bất kỳψ (x) có thể khai triển theo các hàm số riêng ψL(x) của phổ: 
 ( ) ( ) ( )∑=
L L
xLCx ψψ
trong đó: 
 C(L)=( ψL,ψ) 
Nếu phổ là liên tục thì dấu tổng phải được thay thế bằng dấu tích phân: ∫ dL. 
Xác xuất tìm thấy giá trị của đại lượng bằng L trong tập hợp được đặc trưng 
bởi hàm số sóng ψ(x) là bằng ⎢C(L) ⎢2 (trong trường hợp phổ biến liên tục ⎢C(L) ⎢2 
là mật độ xác xuất). 
Lưu ý rằng C(L) là hàm số sóng cũng như tập hợp này nhưng lấy trong L-biểu 
diễn. Như vậy C(L) và ψ(x) cũng biểu diễn một tập hợp. 
4/ Phương trình cơ bản: 
Sự biến đổi theo thời gian của hàm số sóng miêu tả hạt được cho bằng phương 
trình Schrodinger 
ψψ Hti ˆ=∂
∂h
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 124 -
trong đó toán tử Hˆ là Hamiltonien của hệ chỉ phụ thuộc vào bản chất của hệ 
và phụ thuộc vào ngoại trường tác dụng lên hệ. Toán tử Hˆ sẽ là toán tử năng lượng 
toàn phần của hệ nếu ngoại trường không phụ thuộc thời gian: 
Thông thường có thể viết: 
 Hˆ = T+U 
Từ phương trình Schrodinger và định nghĩa giá trị trung bình ta suy ra rằng: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +∂
∂=∂ ψψψψ LHt
L
dt
L ˆ,ˆ,
ˆ
,
Do đó toán tử dt
dL
 biểu diễn đạo hàm toán tử Lˆ theo thời gian có dạng: 
[ ]LHtLdtLd ,
ˆ +∂
∂=
trong đó: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= HLLHiLH ˆˆˆˆˆ,ˆ h là móc Poisson lượng tử. 
Tích phân chuyển động được cho bởi hệ thức: 
0
ˆ =dt
Ld
Khi không có ngoại lực các tích lhân chuyển động quan trọng là năng lượng, 
xung lượng toàn phần: 
∑∇−=∑=
K KK K
iPP h
và momen xung lượng: 
[ ] ∑+∑ ×=
K KK KK
SPrM
trong đó SK là momen Spin của hạt thứ K. 
5/ Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất: 
Theo nguyên lý này thì sự trao đổi của một cặp hạt giống nhau không dẫn đến 
một trạng thái mới nào về mặt vật lý. Về phương diện toán học điều này được cho 
bằng một điều kiện cho hàm số sóng: 
PKj ψ=λψ 
trong đó λ = ±1 là các trị riêng của toán tử hoán vị PKj . 
Từ đó hàm sóng được chia thành hai loại: 
 -loại mô tả các trạng thái đối xứng ψs . 
 - loại mô tả các trạng thái phản đối xứng aψ 
Từ phương trình Schrodinger suy ra rằng tính đối xứng không thay đổi theo 
thời gian. Do đó hạt thuộc về loại đối xứng hay phản đối xứng được quy định từ bản 
chất của các hạt. Các hạt được mô tả bằng các hàm sóng đối xứng được gọi là các 
Boton. 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 125 -
Các hạt được mô tả bằng các hàm sóng phản đối xứng được gọi là các 
Fermion-Chúng tuân theo nguyên lý Pauli-như là hệ qủa trực tiếp của nguyên lý 
bất định Heisenberg. 
II/ Những chân trời mới – hay là sự phát triển tiếp tục của Cơ học 
lượng tử: 
Mặc dù quá phức tạp và rất chặt chẽ song phần cơ học lượng tử ở trong giáo 
trình này nói chính xác mới chỉ là cơ học lượng tử không tương đối tính-một phần 
mở đầu-phần đơn giản nhất trong mạch phát triển của vật lý lý thuyết hiện đại. 
Quay trở lại trang đầu của giáo trình ta thấy đây chỉ là phần tương ứng với 
 v << e . 
 h ≈ hữu hạn. 
Do đó hiển nhiên là không đâỳ đủ nếu như không xét sự mở rộng của nó sang 
các phần khác. Chính vì vậy ngay trong nửa đầu của thế kỷ thứ 20, các nhà vật lý 
đã liên tiếp mở rộng cơ học lượng tử và đạt được những kết quả to lớn. 
Sự mở rộng đầu tiên dựa trên nhận xét là: phương trình Schrodinger 
 ( ) ( ) ( )trtrUmt tri ,,, rh
r
h ψψ ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +∆−=∂
∂
2
2
rõ ràng là không bất biến đối với phép biến đổi lorentz vì nó là phương trình 
bậc nhất theo thời gian và bậc hai theo các tọa độ không gian, nghĩa là các tọa độ 
không gian và không gian là không đối xứng trong phương trình này. 
Mở rộng phương trình Schrodinger theo yêu cầu đó đưa tới phương trình mới 
tổng quát hơn- phương trình Klein-Gordon cho hạt có Spin bằng không: 
 (  - H 2) ϕ(x)=0 
trong đó:  là toán tử Dalembert, 
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= h
mcH
 phương trình này là phương 
trình bậc hai theo các tọa độ thời gian và không gian. Nó bất biến với phép biến đổi 
Lorentz. 
Phương trình Klein-Gordon đưa tới những thành công mới song lại đưa tới một 
khó khăn lớn đó là sự xuất hiện mật độ xác xuất âm một điều quá “kỳ quặc” không 
thể chấp nhận. Để vượt qua tình trạng này Pauli và Weisskopf đã xem ϕ(x) và một 
số đại lượng khác nữa như là các toán tử và do đó phương trình Klein-Gordon là có 
thể chấp nhận được. 
Sự phát triển tiếp theo là sự mở rộng phương trình tương đối tính cho các hạt 
có Spin bán nguyên. Vinh quang này thuộc về nhà vật lý học người Anh là 
PaulDirac với phương trình: 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 126 -
( ) 0=+∂
∂
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
xHx ψγ µµ với 
( )
( )
( )
( )
( )⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
x
x
x
x
x
4
3
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Đây là phương trình bậc nhất theo đạo hàm các tọa độ không gian và thời gian 
và bất biến với phép biến đổi Lorentz. 
Phương trình Dirac với thành công xuất sắc là khẳng định sự tồn tại của hạt 
Positron mà nhiều năm sau thực nghiệm mới phát hiện được. 
Tuy nhiên cơ học lượng tử tương đối tính với hai phương trình cơ bản là 
phương trình Klein-Gordon và phương trình Dirac chưa phải là tận cùng. Bởi lẽ 
cùng với phương trình Schrodinger các phương trình này mới chỉ mô tả hệ hạt với 
số hạt bảo toàn, hay nói cách khác các phương trình này mới chỉ mô tả hệ hạt với số 
hữu hạn bậc tự do (3N hay 4N nếu kể cả Spin). Như vậy chúng không thể mô tảđầy 
đủ thế giới các hạt cơ bản với một đặc tính quan trọng là sự sinh và hủy hạt-nghĩa 
là số hạt không bảo toàn – khi năng lượng của các hạt đủ lớn. 
Vì thế cơ học lượng tử tương đối tính lại được phát triển ở mức cao hơn và trở 
thành “lý thuyết trường lượng tử”. Về mặt toán học người ta thường gọi sự tiến bộ 
này bằng thuật ngữ lượng tử hóa lần hai. Nghĩa là khi đó không chỉ các đại lượng 
động lực mà cả các hàm sóng cũng là các toán tử tuân theo những hệ thức giao 
hoán nhất định. Lý thuyết trường lượng tử là lý thuyết vật lý xem các hạt vi mô như 
là các lượng tử của một trường nào đó tương ứng. Ví dụ photon là lượng tử của 
trường điện từ, electron là lượng tử của trường electron - Positron. 
Mặc dù đạt được những kết quả tuyệt vời lý thuyết trường lượng tử cũng làm 
nảy sinh những khó khăn mới rất không nhỏ. Đặc biệt đó là sự”phân kỳ” trong các 
lý thuyết này. Nói cho rõ hơn : khi tính toán lý thuyết trường lượng tử cho thấy khối 
lượng, năng lượng của vi hạt lại không phải là những lượng hữu hạn mà lại bằng vô 
cùng-một kết luận không thể hình dung nổi  
Tiếc rằng trong khuôn khổ của giáo trình này ta không thể nghiên cứu nhiều 
hơn về lý thuyết trường lượng tử. Vài dòng thay lời kết luận này chỉ hy vọng giúp 
bạn đọc hiểu rằng cơ học lượng tử hay chính xác hơn cơ học lượng tử không tương 
đối tính mới chỉ là một bước đầu tiên đơn giản nhất đi vào thế giới vi mô. 
Vật lý là như thế , khoa học là như thế và cuộc sống như một nhà thơ đã viết : 
Trong đôi mắt tuổi thơ của tôi 
Chân trời là nơi có dãy núi mờ tím . 
Dãy núi ấy bây giờ tôi đến 
Trước mắt tôi lại một chân trời. 
(Phạm Quốc Ca ) 
cũng là như thế .Chân trời nối tiếp chân trời ,ước mơ nối tiếp ước mơ . Tòa 
nhà vật lý học dù đã vô cùng đồ sộ và phức tạp nhưng không phải đã hoàn chỉnh 
mà vẫn còn rất nhiều chổ dành cho các bạn . Hãy biết ước mơ , ước mơ và dành hết 
tâm trí , sức lực của mình cho ước mơ ấy ngay từ khi còn đầu xanh tuổi trẻ . 
Một lần nữa tôi chúc các bạn gặt hái nhiều thành công trong học tập và luôn 
ước mơ , vươn tới nhưng chân trời xa xôi trong khoa học . 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý 
Cơ học lượng tử - 127 -
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 
Hướng dẫn các tài liệu tham khảo thêm: 
1/ D . DavuDop , Cơ học lượng tử, Hà nội, 1980. 
2/ L.V.Tarasop ,Basics consept of Quantum Mechanics , Moscow, 1980. 
3/ Blokhinsep , Cơ học lượng tử, Hà nội, 1963. 
4/ B.B.Balasop, B.K.Dolinop , Giáo trình Cơ học lượng tử, Moscow, 1982 
(Tiếng nga). 
5/ E.Fermi ,Notes on Quantum Mechanics, Moscow, 1968. 
6/ L.A.Borisolepski, Minscơ, 1981 (Tiếng nga). 
7/ V.A.Fock , Các nguyên lý cơ bản của Cơ học lượng tử, Moscow, 1978. 
8/ P.Dirac , Các nguyên lý của Cơ học lượng tử, Moscow, 1979. 
9/ Nguyễn Xuân Hãn , Giáo trình Cơ học lượng tử ,Đại học Tổng hợp Hà nội, 
1983. 
10/ Nguyễn Hoàng Phương , Nhập môn Cơ học lượng tử, Hà nội, 1998. 
11/ D.D.Landau , E.M.Lifshitz, Cơ học lượng tử, Moscow,1965 (Tiếng nga). 
12/ R. Feymann , Lecture on Physics , Vol III , California , 1976. 
 ThS. Nguyễn Duy Hưng Khoa Vật lý