Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian B-mêtric

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO NHỜ HÀM C-LỚP
VỚI TÍNH CHẤT (E.A) TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC
Trần Văn Ân(1), Lê Đức Anh(2)
1Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh
2Trường Đại học Tây Nguyên
Ngày nhận bài 09/10/2018, ngày nhận đăng 05/11/2018
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh định lý điểm bất động chung
của các ánh xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-
mêtric và cho ví dụ minh họa. Từ đó, chúng tôi cũng chỉ ra rằng các kết quả chính
của Ozturk, Radenovic (Some remarks on b-(E.A)-property in b-metric spaces,
Springer Plus, 5: 544 (2016)) và Ozturk, Turkoglu (Common fixed point for
mappings satisfying (E.A)-property in b-metric spaces, J. Nonlinear Sci. Appl., 8
(2015), 1127 - 1133) là hệ quả của nó.
1 MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quan trọng của Giải
tích toán học. Đây cũng là một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện
tượng phi tuyến. Nó có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học
kỹ thuật, trong tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, các mô hình toán học và lý thuyết kinh tế. Nguyên
lý ánh xạ co Banach đã trở thành một công cụ phổ dụng để chứng minh sự tồn tại duy
nhất nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình tích phân, cũng như giải quyết
các bài toán về sự tồn tại trong nhiều ngành của Giải tích toán học và được ứng dụng vào
các ngành khoa học khác. Vì thế đã có một số lớn các mở rộng của định lý cơ bản này cho
các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, bằng cách điều chỉnh điều kiện co cơ bản hoặc
thay đổi không gian.
Năm 1993, để mở rộng các không gian mêtric, Czerwik đã đưa ra khái niệm không gian
b-mêtric và chứng minh một vài kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co
trong không gian b-mêtric. Năm 2002, Aamri và Moutawakil [1] đã đưa ra ý tưởng về tính
chất (E.A) trong không gian mêtric. Gần đây, một số nhà nghiên cứu đã vận dụng ý tưởng
này để thu được một số kết quả mới về điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng với tính
chất (E.A) trong không gian b-mêtric.
Năm 2017, Ozturk và Ansari đã phát biểu và chứng minh kết quả về điểm bất động
chung của các ánh xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtric
trong ([6]). Tuy nhiên, Ozturk và Ansari đã nhầm lẫn trong chứng minh kết quả này khi
thừa nhận rằng b-mêtric d là hàm liên tục theo từng biến. Song điều này là không hoàn
1) Email: tvandhv@gmail.com (T. V. Ân).
5
Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...
toàn đúng và nó đã được Trần Văn Ân, Nguyễn Văn Dũng và Lương Quốc Tuyển chỉ ra
thông qua Ví dụ 3.9 và Ví dụ 3.10 trong [2].
Trong quá trình tìm cách khắc phục lỗi trên trong lập luận chứng minh của Ozturk và
Ansari, chúng tôi giới thiệu và chứng minh một định lý điểm bất động chung cho các ánh
xạ co nhờ các hàm C-lớp với tính chất (E.A) trong không gian b-mêtric. Từ đó, chỉ ra rằng
các kết quả của chúng tôi là mở rộng các kết quả đã có trong [7] và [8].
Trước hết chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả cần thiết cho các trình bày
về sau.
Định nghĩa 1.1. ([4]) Cho X là một tập khác rỗng và số thực s ≥ 1. Hàm d : X ×X →
[0,+∞) được gọi là một b-mêtric, nếu với mọi x, y, z ∈ X, các điều kiện sau đây được thỏa
mãn
(1) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(2) d(x, y) = d(y, x);
(3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)].
Khi đó, (X, d) được gọi là không gian b-mêtric với hệ số s.
Định nghĩa 1.2. ([4]) Cho {xn} là một dãy trong không gian b-mêtric (X, d).
(1) Dãy {xn} được gọi là hội tụ nếu với x ∈ X nào đó ta có d(xn, x)→ 0 khi n→∞;
(2) Dãy {xn} được gọi là Cauchy nếu d(xn, xm)→ 0 khi n,m→∞;
(3) Không gian b-mêtric (X, d) là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều là hội tụ.
Nhận xét rằng: dãy {xn} là Cauchy nếu lim
n→∞ d(xn, xn+p) = 0, với mọi p > 0.
Định lý 1.3. ([4]) Trong không gian b-mêtric (X, d), các khẳng định sau là đúng
(1) Dãy hội tụ có giới hạn duy nhất;
(2) Mỗi dãy hội tụ là dãy Cauchy;
(3) Nói chung, một b-mêtric thì không liên tục.
Định nghĩa 1.4. ([4]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric. Tập con Y ⊂ X được gọi là đóng
nếu với mỗi dãy {xn} trong Y mà nó là hội tụ đến phần tử x, thì x ∈ Y .
Định nghĩa 1.5. ([8]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric, f, g : X → X là các ánh xạ từ
X vào chính nó.
(1) f và g được gọi là tương thích với nhau nếu với bất kì dãy {xn} ⊂ X sao cho {fxn}
và {gxn} là hội tụ tới điểm t ∈ X nào đó, thì lim
n→∞d (fgxn, gfxn) = 0;
(2) f và g được gọi là không tương thích với nhau nếu tồn tại ít nhất một dãy {xn} ⊂ X
sao cho {fxn} và {gxn} là hội tụ tới điểm t ∈ X nào đó, nhưng lim
n→∞d (fgxn, gfxn) khác
không hoặc không tồn tại;
6
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16
(3) f và g được gọi là thỏa mãn tính chất (E.A) nếu tồn tại một dãy {xn} ⊂ X sao cho
lim
n→∞ fxn = limn→∞ gxn = t, với t nào đó thuộc X.
Định nghĩa 1.6. ([8]) Gọi Ψ là họ tất cả các hàm thay đổi k ... limn→∞ d(fxn, gyn)) = 0.
Từ các tính chất của các hàm ψ và ϕ ta suy ra lim
n→∞ d(fxn, gyn) = 0. Vì thế, nhờ giả thiết
lim
n→∞ fxn = q, từ bất đẳng thức
0 ≤ d(q, gyn) ≤ s[d(q, fxn) + d(fxn, gyn)],
ta suy ra lim
n→∞ gyn = q.
a) Bây giờ giả sử rằng T (X) là không gian con đóng trong X. Khi đó, vì lim
n→∞fxn = q
và f (X) ⊂ T (X), nên tồn tại một phần tử r ∈ X, sao cho Tr = q. Nhờ điều kiện co (2)
và điều kiện của F , ta có
ψ (sd (fxn, gr)) ≤ F (ψ (Ms (xn, r)) , ϕ (Ms (xn, r))) ≤ ψ(Ms(xn, r)), (3)
với
Ms (xn, r) = max
{
d (Sxn, T r) , d (fxn, Sxn) , d (Tr, gr) ,
d (fxn, T r) + d (Sxn, gr)
2s
}
= max
{
d (Sxn, q) , d (fxn, Sxn) , d (q, gr) ,
d (fxn, q) + d (Sxn, gr)
2s
}
.
Từ bất đẳng thức cuối cùng này ta suy ra lim
n→∞Ms(xn, r) = d(q, gr). Do đó, nhờ tính
liên tục của ψ và ϕ, lấy giới hạn khi n→∞ trong công thức (3), ta có
ψ( lim
n→∞ sd(fxn, gr) ≤ F (ψ( limn→∞Ms(xn, r)), ϕ( limn→∞Ms(xn, r))) (4)
= F (ψ(d(q, gr)), ϕ(d(q, gr))) ≤ ψ(d(q, gr)).
9
Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...
Mặt khác, ta có d(q, gr) ≤ s[d(q, fxn) + d(fxn, gr)]. Do đó, vì lim
n→∞fxn = q, ta nhận được
d(q, gr) ≤ lim
n→∞ sd(fxn, gr).
Từ đó, nhờ tính không giảm của hàm ψ, ta suy ra
ψ(d(q, gr)) ≤ ψ( lim
n→∞ sd(fxn, gr)). (5)
Vì thế, từ (4) và (5) ta thu được
F (ψ(d(q, gr)), ϕ(d(q, gr))) = ψ(d(q, gr)).
Nhờ tính chất của hàm C-lớp F , điều này kéo theo ψ(d(q, gr)) = 0 hoặc ϕ(d(q, gr)) = 0,
hay q = gr. Do đó r là một điểm trùng nhau của cặp ánh xạ (g, T ).
Tương tự, vì lim
n→∞gyn = q, gr = q và g (X) ⊂ S (X), nên tồn tại một điểm z ∈ X sao
cho q = Sz. Ta sẽ chứng minh rằng Sz = fz. Thật vậy, nhờ điều kiện co (1), tính không
giảm của hàm ψ và điều kiện của F , ta có
ψ (d (fz, q)) ≤ ψ (sd (fz, q)) = ψ (sd (fz, gr)) (6)
≤ F (ψ (Ms (z, r)) , ϕ (Ms (z, r))) ≤ ψ (Ms(z, r)) ,
với
Ms (z, r) = max
{
d (Sz, Tr) , d (fz, Sz) , d (Tr, gr) ,
d (fz, Tr) + d (Sz, gr)
2s
}
= max
{
d (q, q) , d (fz, q) , d (q, q) ,
d (fz, q) + d (q, q)
2s
}
≤ max
{
d (fz, q) ,
d (fz, q)
2s
}
= d (fz, q) .
Do đó, từ bất đẳng thức (6), ta thu được
ψ (d (fz, q)) ≤ F (ψ (d (fz, q)) , ϕ (d (fz, q))) ≤ ψ (d (fz, q)) ,
hay
F (ψ (d (fz, q)) , ϕ (d (fz, q))) = ψ (d (fz, q)) .
Từ đẳng thức cuối này, vì F là hàm C-lớp, ta suy ra ψ (d (fz, q)) = 0 hoặc ϕ (d (fz, q)) =
0. Lại nhờ tính chất của hàm ψ và ϕ, ta thu được d (fz, q) = 0. Điều này kéo theo fz = q.
Suy ra Sz = fz = q. Do đó z là điểm trùng nhau của cặp ánh xạ (f, S). Vì vậy, từ các
chứng minh trên ta nhận được fz = Sz = gr = Tr = q. Điều này chứng tỏ q là giá trị
trùng nhau của các cặp ánh xạ (f, S) và (g, T ).
10
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16
Bây giờ giả sử các cặp ánh xạ (f, S) và (g, T ) là tương thích yếu. Khi đó, nhờ tính tương
thích yếu của các cặp ánh xạ (f, S) và (g, T ), ta thu được fSz = Sfz và gTr = Tgr, nghĩa
là ta có fq = Sq và gq = Tq.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng q là điểm bất động chung của các ánh xạ f, g, S và T .
Thật vậy, từ bất đẳng thức (1), tính không giảm của hàm ψ và điều kiện của F , ta có
ψ (d (fq, q)) = ψ (d (fq, gr)) ≤ ψ (sd (fq, gr)) (7)
≤ F (ψ (Ms (q, r)) , ϕ (Ms (q, r))) ≤ ψ (Ms (q, r)) ,
với
Ms (q, r) = max
{
d (Sq, Tr) , d (fq, Sq) , d (Tr, gr) ,
d (fq, Tr) + d (Sq, gr)
2s
}
= max
{
d (fq, q) , d (fq, fq) , d (q, q) ,
d (fq, q) + d (fq, q)
2s
}
= d (fq, q) .
Vì thế, từ bất đẳng thức (7) ta có
ψ (d (fq, q)) ≤ F (ψ (d (fq, q)) , ϕ (d (fq, q))) ≤ ψ (d (fq, q)) ,
hay
F (ψ (d (fq, q)) , ϕ (d (fq, q))) = ψ (d (fq, q)) .
Từ đẳng thức cuối này, vì F là hàm C-lớp ta nhận được ψ (d (fq, q)) = 0 hoặc
ϕ (d (fq, q)) = 0. Lại nhờ tính chất của hàm ψ và ϕ, ta suy ra d (fq, q) = 0. Điều này kéo
theo fq = q. Vì vậy, ta thu được fq = Sq = q.
Tương tự, từ bất đẳng thức (1), tính không giảm của hàm ψ và điều kiện của F , ta có
ψ (d (q, gq)) = ψ (d (fz, gq)) ≤ ψ (sd (fz, gq)) (8)
≤ F (ψ (Ms (z, q)) , ϕ (Ms (z, q))) ≤ ψ (Ms(z, q)) ,
với
Ms (z, q) = max
{
d (Sz, Tq) , d (fz, Sz) , d (gq, T q) ,
d (fz, Tq) + d (Sz, gq)
2s
}
= max
{
d (q, gq) , d (q, q) , d (gq, gq) ,
d (q, gq) + d (q, gq)
2s
}
= d (q, gq) .
Do đó, từ bất đẳng thức (7), ta có
ψ (d (q, gq)) ≤ F (ψ (d (q, gq)) , ϕ (d (q, gq))) ≤ ψ (d(q, gq)) ,
hay
F (ψ (d (q, gq)) , ϕ (d (q, gq))) = ψ (d(q, gq)) .
11
Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...
Từ đẳng thức cuối này, vì F là hàm C-lớp ta nhận được ψ (d (q, gq)) = 0 hoặc ϕ (d (q, gq)) =
0. Bởi vậy, nhờ tính chất của hàm ψ và ϕ, ta suy ra d (q, gq) = 0. Điều này kéo theo gq = q.
Vì vậy, ta thu được Tq = gq = q. Do đó q là điểm bất động chung của các hàm f, g, S, T .
Bây giờ ta chứng minh q là điểm bất động duy nhất. Giả sử p là một điểm bất động
chung khác của các hàm f, g, S, T . Khi đó, nhờ bất đẳng thức (1), tính không giảm của
hàm ψ và điều kiện của F , ta có
ψ (d (q, p)) = ψ (d (fq, gp)) ≤ ψ (sd (fq, gp))
≤ F (ψ (Ms (q, p)) , ϕ (Ms (q, p))) ≤ ψ (Ms(q, p)) ,
trong đó
Ms (q, p) = max
{
d (Sq, Tp) , d (fq, Sq) , d (Tp, gp) ,
d (fq, Tp) + d (Sq, gp)
2s
}
= max
{
d (q, p) , d (q, q) , d (p, p) ,
d (q, p) + d (q, p)
2s
}
= d (q, p) .
Vì thế, ta nhận được bất đẳng thức
ψ (d (q, p)) ≤ F (ψ (d (q, p)) , ϕ (d (q, p))) ≤ ψ (d(q, p)) ,
hay
F (ψ (d (q, p)) , ϕ (d (q, p))) = ψ (d(q, p)) .
Do F là hàm C-lớp ta suy ra ψ (d (q, p)) = 0 hoặc ϕ (d (q, p)) = 0. Nhờ tính chất của
hàm ψ và ϕ, ta có d (q, p) = 0, tức là q = p. Vậy q là điểm bất động chung duy nhất của
các ánh xạ f, g, S, T .
b) Trường hợp nếu f (X) là không gian con đóng trong X. Khi đó, vì lim
n→∞fxn = q,
nên ta có q ∈ f(X). Lại vì f (X) ⊂ T (X), suy ra q ∈ T (X). Do đó, tồn tại một phần tử
r ∈ X, sao cho Tr = q. Từ đây chứng minh tương tự như trường hợp T (X) là không gian
con đóng trong X ta suy ra các ánh xạ f, g, S, T có điểm bất động chung duy nhất trong
X.
c) Trường hợp nếu S(X) là không gian con đóng trong X, chứng minh tương tự như
trường hợp a).
d) Trường hợp nếu g(X) là không gian con đóng trong X, chứng minh tương tự như
trường hợp b).
2) Cuối cùng, trường hợp cặp (g, T ) thỏa mãn tính chất (E.A) ta tiến hành chứng
minh tương tự như trường hợp cặp ánh xạ (f, S) thỏa mãn tính chất (E.A).
Trong Định lí 2.1, nếu ta lấy g = f và S = T , thì ta có được các hệ quả sau.
Hệ quả 2.2. Cho (X, d) là không gian b-mêtric và f, T : X → X là các ánh xạ từ X vào
chính nó thỏa mãn f (X) ⊆ T (X) và g (X) ⊆ S (X) sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có
ψ (sd (fx, fy)) ≤ F (ψ (Ms (x, y)) , ϕ (Ms (x, y))) ,
12
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16
trong đó
Ms(x, y) = max
{
d(Tx, Ty), d(fx, Tx), d(fy, Ty),
d(fx, Ty) + d(Tx, fy)
2s
}
.
Giả sử rằng cặp ánh xạ (f, T ) thỏa mãn tính chất (E.A) và T (X) đóng trong X. Khi
đó, cặp ánh xạ (f, T ) có một điểm trùng nhau trong X. Hơn nữa, nếu cặp ánh xạ (f, T )
tương thích yếu, thì f và T có một điểm bất động chung duy nhất.
Hệ quả 2.3. Cho (X, d) là không gian b-mêtric và f, g, S, T : X → X là các ánh xạ từ X
vào chính nó, với f (X) ⊆ T (X), g (X) ⊆ S (X) và với mọi x, y ∈ X điều kiện sau được
thỏa mãn
sd (fx, gy) ≤ F (Ms (x, y) , ϕ (Ms (x, y))),
trong đó
Ms(x, y) = max
{
d(Sx, Ty), d(fx, Sx), d(gy, Ty),
d(fx, Ty) + d(Sx, gy)
2s
}
.
Giả sử rằng các cặp ánh xạ (f, S) và (g, T ) thỏa mãn tính chất (E.A) và một trong các
không gian con f (X) , g (X) , S (X) và T (X) là đóng trong X. Khi đó, các cặp ánh xạ
(f, S) và (g, T ) có một điểm trùng nhau trong X. Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ (f, S) và
(g, T ) là tương thích yếu, thì f, g, S và T có một điểm bất động chung duy nhất.
Bằng cách lấy các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ được xác định bởi ψ (t) = ϕ (t) = t với mọi
t ∈ [0,∞) và hàm C-lớp F cho bởi F (s, t) = s− t với mọi s, t ∈ [0,∞), khi đó nhờ Định lý
2.1 ta thu được kết quả sau đây.
Hệ quả 2.4. (Theorem 2.1 [8]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric và f, g, S, T : X → X là
các ánh xạ từ X vào chính nó, thỏa mãn f (X) ⊆ T (X) và g (X) ⊆ S (X) sao cho với mọi
x, y ∈ X, ta có
ψ
(
s2d (fx, gy)
) ≤ ψ (Ms (x, y))− ϕ (Ms (x, y)) , (9)
trong đó ψ, ϕ ∈ Ψ và
Ms(x, y) = max
{
d(Sx, Ty), d(fx, Sx), d(gy, Ty),
d(fx, Ty) + d(Sx, gy)
2s
}
.
Giả sử rằng một trong các cặp ánh xạ (f, S) và (g, T ) thỏa mãn tính chất (E.A) và một
trong các không gian con f (X) , g (X) , S (X) và T (X) là đóng trong X. Khi đó, các cặp
ánh xạ (f, S) và (g, T ) có một giá trị trùng nhau trong X. Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ
(f, S) và (g, T ) là tương thích yếu, thì f, g, S, T có một điểm bất động chung duy nhất.
Bằng cách lấy các hàm ψ ∈ Ψ và ϕ ∈ Φ được xác định bởi ψ (t) = ϕ (t) = t với mọi
t ∈ [0,∞) và hàm C-lớp F cho bởi F (s, t) = s với mọi s, t ∈ [0,∞), khi đó nhờ Định lý 2.1
ta thu được kết quả sau đây.
13
Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...
Hệ quả 2.5. (Theorem 10 [7]) Cho (X, d) là không gian b-mêtric với hệ số s > 1 và
f, g, S, T : X → X là các ánh xạ từ X vào chính nó thỏa mãn f (X) ⊆ T (X) và g (X) ⊆
S (X) sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có
sεd (fx, gy) ≤Ms (x, y) , (10)
với hằng số ε > 1 và
Ms(x, y) = max
{
d(Sx, Ty), d(fx, Sx), d(gy, Ty),
d(fx, Ty) + d(Sx, gy)
2s
}
.
Giả sử rằng một trong các cặp (f, S) và (g, T ) thỏa mãn tính chất (E.A) và một trong
các không gian con f (X) , g (X) , S (X) và T (X) là tập con đóng trong X. Khi đó, các cặp
ánh xạ (f, S) và (g, T ) có một giá trị trùng nhau trong X. Hơn nữa, nếu các cặp ánh xạ
(f, S) và (g, T ) là tương thích yếu, thì f, g, S, T có một điểm bất động chung duy nhất.
Ví dụ. Cho X = [0, 1], F (s, t) =
99
100
s với mọi s, t ∈ [0,∞) và hàm d : X ×X → [0,∞)
được xác định như sau
d (x, y) =
{
0 nếu x = y;
(x+ y)2 nếu x 6= y.
Khi đó (X, d) là không gian b-mêtric với hệ số s = 2. Xét các ánh xạ f, g, S, T : X → X
từ X vào chính nó được xác định như sau
f (x) =
x
4
, g (x) =

0 nếu x 6= 1
2
;
1
8
nếu x =
1
2
,
và
S(x) =

2x nếu 0 ≤ x ≤ 1
2
;
1
8
nếu
1
2
< x ≤ 1,
T (x) =

x nếu 0 ≤ x < 1
2
;
1
2
nếu
1
2
≤ x ≤ 1,
với mọi x ∈ X.
Dễ thấy rằng F là hàm C-lớp, f (X) đóng và f (X) ⊆ T (X) , g (X) ⊆ S (X). Lấy dãy
{xn} ⊂ X, với xn = 1
2
+
1
n
với mọi n ≥ 1. Khi đó, ta có lim
n→∞fxn = limn→∞Sxn =
1
8
. Do đó
cặp ánh xạ (f, S) thỏa mãn tính chất (E.A) nhưng chúng không tương thích với nhau, vì
lim
n→∞ d (fSxn, Sfxn) 6= 0.
Bằng cách lấy các hàm thay đổi khoảng cách ψ,ϕ : [0,∞) → [0,∞) được xác định bởi
ψ (t) =
√
t, ϕ (t) = t với mọi t ∈ [0,∞). Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra điều kiện co (1), được
thỏa mãn với mọi x, y ∈ X.
(i) Nếu x = 0, y =
1
2
, thì fx = 0, gy =
1
8
. Khi đó, ta có d(fx, gy) =
(
1
8
)2
. Do đó
14
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 3A (2018), tr. 5-16
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2
8
≤ 99
100
.
1
2
=
99
100
ψ
(
d(Sx, Ty)
) ≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
(ii) Nếu x = 0, y 6= 1
2
, thì fx = gy = 0. Lúc đó, ta được d(fx, gy) = 0. Tương tự, nếu
x = y =
1
2
, thì fx = gy =
1
8
và ta cũng có d(fx, gy) = 0. Vì thế, trong cả 2 trường
hợp này ta có
ψ
(
2d(fx, gy)
)
= 0 ≤ F (ψ(Ms(x, y)), ϕ(Ms(x, y))).
(iii) Nếu x =
1
2
, y 6= 1
2
, thì fx =
1
8
, gy = 0. Khi đó d(fx, gy) =
(
1
8
)2
. Do đó
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2
8
≤ 99
100
.
(
1
8
+ 1
)
=
99
100
ψ
(
d(fx, Sx)
) ≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
(iv) Nếu x ∈
(
0,
1
2
)
, y =
1
2
, thì fx =
x
4
, gy =
1
8
. Lúc đó, ta có d(fx, gy) =
(
x
4
+
1
8
)2
.
Vì thế
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2
(
x
4
+
1
8
)
≤ 99
100
.
(
2x+
1
2
)
=
99
100
ψ
(
d(Sx, Ty)
)
≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
(v) Nếu x ∈
(
0,
1
2
)
, y 6= 1
2
, thì fx =
x
4
, gy = 0. Trường hợp này d(fx, gy) =
(x
4
)2
.
Do đó
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2x
4
≤ 99
100
.
9x
4
=
99
100
ψ
(
d(fx, Sx)
)
≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
(vi) Nếu x ∈
(
1
2
, 1
]
, y =
1
2
, thì fx =
x
4
, gy =
1
8
. Khi đó d(fx, gy) =
(
x
4
+
1
8
)2
. Do
đó
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2
(
x
4
+
1
8
)
≤ 99
100
.
(
1
8
+
1
2
)
=
99
100
ψ
(
d(Sx, Ty)
)
≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
15
Trần Văn Ân, Lê Đức Anh Điểm bất động chung của các ánh xạ co nhờ hàm C-lớp ...
(vii) Nếu x ∈
(
1
2
, 1
]
, y 6= 1
2
, thì fx =
x
4
, gy = 0. Lúc đó, ta có d(fx, gy) =
(x
4
)2
. Do
đó
ψ
(
2d(fx, gy)
)
=
√
2x
4
≤ 99
100
.
(
x
4
+
1
8
)
=
99
100
ψ
(
d(fx, Sx)
)
≤ 99
100
ψ
(
Ms(x, y)
)
= F
(
ψ
(
Ms(x, y)
)
, ϕ
(
Ms(x, y)
))
.
Vì vậy, điều kiện (1) được thỏa mãn với mọi x, y ∈ X. Dễ thấy rằng các cặp ánh xạ
(f, S) và (g, T ) là tương thích yếu. Do đó, tất cả các điều kiện của Định lý 2.1 được thỏa
mãn. Vì thế, f, g, S, T có một điểm bất động chung duy nhất. Hơn thế nữa, 0 chính là điểm
bất động duy nhất của các ánh xạ f, g, S và T .
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Aamri, D. El Moutawakil, Some new common fixed point theorems under strict
contractive conditions, J. Math. Anal. Appl., 270, 2002, 181-188.
[2] T. V. An, N. Dung, L. Q. Tuyen, Stone-type theorem on b-metric spaces and applications,
Topology Appl., 185-186, 2015, 50-64.
[3] A. H. Ansari, Note on ϕ-ψ-contractive type mappings and related fixed point, The 2nd
Regional Conference on Mathematics and Applications PNU, 2014, 377-380.
[4] S. Czerwik, Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav.,
1 1993, 5-11.
[5] M. S. Khan, M. Swaleh, S. Sessa, Fixed point theorems by altering distances between the
points, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 30 (1), 1984, 1-9.
[6] V. Ozturk, A. H. Ansari, Common fixed point theorems for mappings satisfying (E.A)-
property via C-class functions in b-metric spaces, Appl. Gener. Topol., 18, 2017, 45-52.
[7] V. Ozturk, S. Radenovic, Some remarks on b-(E.A)-property in b-metric spaces, Springer
Plus, 5: 544, 2016, 10 pages, doi:10.1186/s40064-016-2163-z.
[8] V. Ozturk, D. Turkoglu, Common fixed point for mappings satisfying (E.A)-property in
b-metric spaces, J. Nonlinear Sci. Appl., 8, 2015, 1127 - 1133.
SUMMARY
Commom fixed points for contractive mappings satisfying
(E.A)-property via C-class functions in b-metric spaces
In this paper, we prove a common fixed point theorem for contractive mappings satisfy-
ing (E.A)-property via C-class functions in b-metric spaces and give a illustration example.
Then, we also show that the main results of Ozturk, Radenovic (Some remarks on b-(E.A)-
property in b-metric spaces, Springer Plus, 5: 544 (2016)) and Ozturk, Turkoglu (Com-
mon fixed point for mappings satisfying (E.A)-property in b-metric spaces, J. Nonlinear Sci.
Appl., 8 (2015), 1127 - 1133) are its corollaries.
16