Dạy và học phương trình vi phân với sự trợ giúp phần mềm toán học Maple

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
74
DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI SỰ TRỢ GIÚP 
PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE 
Nguyễn Hữu Học1 
TÓM TẮT
Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm Maple để
phân tích quá trình giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Từ đó áp dụng trong dạy và 
học phương trình vi phân. Bước đầu định hướng cho sinh viên sử dụng phần mềm Maple 
lập trình để giải quyết các bài toán cao cấp, từ đó có thể mở rộng, phát triển tạo ra các 
chương trình giải quyết các bài toán khác nột cách hiệu quả, chính xác.
Từ khóa: Phương trình vi phân, Maple.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kỹ thuật và những 
yêu cầu đòi hỏi thực tế. Đã có những tài liệu, giáo trình đề cập đến những bài toán cơ học, 
vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng. Cùng với những thành 
tựu tuyệt vời trong lĩnh vực công nghệ thông tin, người ta đã xây dựng những phần mềm mà 
nhờ nó việc giải toán được thực hiện dễ dàng bằng những câu lệnh đơn giản, không phải lập 
trình phức tạp như trước. Nhiều phần mềm hỗ trợ tính toán ưu việt phải kể đến như: Maple, 
Mathematica, Matlab... Với mục đích tìm hiểu về phương pháp, phân tích quá trình giải bài 
toán phương trình vi phân bằng chương trình toán học. Bài báo đi sâu tìm hiểu về phần mềm 
Maple và sử dụng nó trong việc dạy và học phương trình vi phân, được minh họa các ý tưởng 
giải phương trình vi phân qua phần mềm Maple. 
2. NỘI DUNG
2.1. Vai trò của phương tiện trực quan trong dạy học toán
Ngày nay khoa học máy tính và công nghệ thông tin đã xâm nhập vào mọi lĩnh vực 
hoạt động của con người. Đối với ngành Toán đã có những phần mềm tương đối hữu dụng 
và nhiều chương trình chuyên dụng cho từng bộ môn của Toán học. Những phần mềm này 
giúp ích rất nhiều trong việc giảng dạy toán học. Chính vì vậy việc sử dụng nhiều loại hình 
phương tiện trực quan, đáng chú ý là các phần mềm dạy học (Cabri, Power Point, Violet, 
Maple, Mathlab, Mathematica...) nhằm hỗ trợ, thúc đẩy hoạt động tích cực của học sinh, góp 
phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán.
2.2. Giới thiệu phần mềm Maple
Maple là phần mềm do một nhóm các nhà khoa học của Canada thuộc Trường Đại 
học Waterloo xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985, với mục đích giải quyết mọi công 
1 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
75
việc liên quan đến tính toán, bao gồm cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển 
thị. Ngoài các câu lệnh có chức năng kiểm tra, tính toán, minh họa hình ảnh, nó còn cho 
phép các giáo viên có thể sử dụng ngôn ngữ lập trình của Maple để tạo các công cụ mới, các 
gói câu lệnh mới. Vì thế Maple có khả năng đầy đủ để giảng dạy và học tập từ bậc phổ thông 
(các gói chức năng về đại số, số học, giải tích, hình học) lên đại học (đại số tuyến tính, 
phương trình vi phân, hình học cao cấp, đại số hiện đại).
Hiện nay sách, báo viết về những ứng dụng của Maple trong việc hỗ trợ tính toán, vẽ
đồ thị... phục vụ cho việc giảng dạy toán học ở phổ thông cũng như đại học khá nhiều, những 
chủ yếu khai thác hệ thống câu lệnh có sẵn của Maple, những sách hướng dẫn lập trình trên 
Maple cũng có nhưng những chương trình viết trên Maple để phục vụ việc dạy và học Toán 
chưa có nhiều. Bài báo này nhằm mục đích từng bước khuyến khích, hướng dẫn sinh viên 
sư phạm viết các chương trình để Maple tiến hành giải và hiển thị từng bước cách giải các 
bài toán minh họa phương pháp trong giảng dạy Toán học.
2.3. Về phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
' ( ) ( )y p x y q x+ =
Khi 0q x º thì phương trình gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Khi 0q x ¹ thì phương trình gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
2.4. Phương pháp giải (Phương pháp biến thiên hng số) 
Giải phương trình thuần nhất: ' 0y p x y+ = . Đây là phương trình biến số phân ly 
ta được nghiệm tổng quát: .
Xem C C x= là hàm số theo x, Tính y’: .
Thay vào phương trình đã cho ta được:
'
p x dx p x dx
C x q x e C x q x e dx Kò ò= Þ = +ò
Từ đó ta được nghiệm tổng quát của phương trình: 
p x dx p x dx
y e K q x e dx
- é ùò ò= +ê úë ûò
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân: 3'y xy x+ =
Giải. Phương trình thuần nhất: ' 0y xy+ =
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 
21
2
x
y x Ce
-
=
Xem C C x= là hàm theo x, ta có: 
2 21 1
2 2' '
x x
y x C x e xC x e
- -
= -
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 38.2018
76
Thay vào phương trình đã cho, ta được: 
2 21 1
3 22 2
1
1
' 2
2
x x
C x x e C x x e C
-
= Þ = - +
Vậy nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính là: 
Nhận xét 1. Đây là lời giải chi tiết theo từng bước của một phương trình vi phân tuyến 
tính cấp 1, dù là một ví dụ rất đơn giản nhưng việc tính toán cũng rất mất thời gian và có thể
nhầm lẫn. Maple có thể giúp ta khắc phục những vấn đề này.
2.5. Giải phương trình vi