Dạy học Toán bằng tranh luận khoa học

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP HOÀ CHÍ MINH 
TAÏP CHÍ KHOA HOÏC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HOÏC GIAÙO DUÏC 
Tập 14, Số 1 (2017): 29-39 
EDUCATION SCIENCE
Vol. 14, No. 1 (2017): 29-39
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
29 
DẠY HỌC TOÁN BẰNG TRANH LUẬN KHOA HỌC 
Lê Thái Bảo Thiên Trung* 
Ngày Tòa soạn nhận được bài: 14-10-2016; ngày phản biện đánh giá: 28-10-2016; ngày chấp nhận đăng: 06-01-2017 
TÓM TẮT 
Tổ chức tranh luận khoa học trong một lớp học Toán sẽ thúc đẩy các giao tiếp toán học của 
học sinh. Hình thức dạy học này góp phần phát triển những năng lực xã hội cần thiết cho cuộc 
sống cộng đồng của học sinh, đồng thời cho phép họ tự xây dựng các chân lí toán học với nhau. 
Bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày những lợi ích và cách thức tổ chức tranh luận khoa học. 
Từ khóa: tranh luận khoa học, đồ án dạy học, giao tiếp toán học, dạy học Toán. 
ABSTRACT 
Teaching mathematics through scientific debate 
Scientific debate in a mathematic class will promote the mathematic communications of 
student. This form of teaching contributes to the development of social competence essential for the 
life of human communities, while allowing students to build the mathematical truth together. In this 
paper, we will present the benefits and ways of organizing the scientific debate. 
Keywords: Scientific debate, didactic engineering, mathematics communication, teaching 
mathematics. 
* Khoa Toán-Tin học - Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: letbttrung@gmail.com 
1. Khái niệm tranh luận khoa học 
Legrand (1993), giới thiệu thuật ngữ 
tranh luận khoa học (trong dạy học toán) 
từ hai quan điểm đối với người học. Giới 
hạn trong dạy học ở bậc phổ thông, chúng 
tôi phát biểu hai quan điểm đó như sau: 
- Học sinh không nhất thiết sẽ trở 
thành một nhà toán học chuyên nghiệp; 
- Tuy nhiên, là một người học toán, 
với mục tiêu học hiệu quả môn toán (theo 
nghĩa: Phát triển trí tuệ để hiểu những gì ta 
đang học, giữ lại những điều cốt lõi học 
được ngay cả khi chúng ta không sử dụng 
kiến thức này hằng ngày), học sinh cần tạm 
thời trở thành nhà toán học. Muốn làm 
được điều này, lớp học nên được tổ chức 
như một cộng đồng khoa học. 
Từ đó, Legrand định nghĩa: “tranh 
luận khoa học là tiến hành một đồ án dạy 
học thể hiện hai quan điểm trên” (Legrand, 
1993, p. 1). 
1.1. Đồ án dạy học: Một phương pháp 
luận đặc trưng của Didactic Toán 
Vào đầu những năm 80, Artigue giới 
thiệu khái niệm đồ án dạy học trong phạm 
vi của Didactic Toán. Theo đó, đồ án dạy 
học một kiểu công việc sư phạm có thể so 
sánh với công việc của một kĩ sư: Để thực 
hiện một công việc với kế hoạch xác định, 
người kĩ sư phải dựa vào những kiến thức 
Tập 14, Số 1 (2017): 29-39 
30 
khoa học trong lĩnh vực của mình, phải 
chấp nhận bị kiểm soát bởi khoa học, 
nhưng đồng thời bắt buộc phải làm việc 
trên những đối tượng phức tạp hơn rất 
nhiều những đối tượng thuần túy của khoa 
học. 
Việc dạy học Toán cũng vậy, giáo 
viên với những tri thức toán học và phương 
pháp của mình cùng với những phương 
tiện khác phải tiến hành giải quyết nhiều 
vấn đề không thuộc lĩnh vực của toán học 
thuần túy. 
Phạm vi nghiên cứu của đồ án dạy 
học có thể được mô tả bằng một quy trình 
gồm 4 giai đoạn: 
Giai đoạn 1: Phân tích ban đầu 
Những phân tích ban đầu (phân tích 
tri thức luận, phân tích thể chế) nhằm 
làm xuất hiện những tri thức gắn với lĩnh 
vực nghiên cứu và nhằm chuẩn bị cho việc 
xây dựng các tình huống dạy học với 
những mục tiêu sư phạm xác định. 
Giai đoạn 2: Xây dựng và phân tích 
tiên nghiệm tình huống dạy học 
Trong giai đoạn thứ hai, nhà nghiên 
cứu sẽ thực hiện những lựa chọn sư phạm 
nhằm xây dựng tình huống dạy học phù 
hợp với mục tiêu nghiên cứu của mình. 
Phân tích tiên nghiệm cho thấy bằng 
cách nào mà những lựa chọn của nhà 
nghiên cứu cho phép điều khiển những 
hành vi của học sinh và ý nghĩa của những 
hành vi này. Phân tích tiên nghiệm phải 
dựa trên những giả thuyết về kiến thức 
người học. 
Việc hợp thức hóa những giả thuyết 
này được thực hiện bằng cách đối chiếu 
giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích 
hậu nghiệm. Ta gọi đây là sự hợp thức hóa 
nội tại - một trong những nét đặc trưng của 
đồ án dạy học. 
Giai đoạn 3: Thực nghiệm 
Nhằm làm rõ mục tiêu của nghiên 
cứu, thực nghiệm phải cho phép thu thập 
các dữ liệu theo các kiểu khác nhau: Quan 
sát khi thực nghiệm, sản phẩm của học sinh 
làm trên lớp và làm ngoài lớp. Những kiểu 
dữ liệu này được thu thập tại nhiều thời 
điểm khác nhau thông qua: bảng câu hỏi, 
phỏng vấn cá nhân hay nhóm nhỏ. 
Giai đoạn 4: Phân tích hậu nghiệm 
và đánh giá 
Phân tích hậu nghiệm dựa trên tập 
hợp các dữ liệu thực nghiệm và đối chiếu 
với phân tích tiên nghiệm để hợp thức các 
giả thuyết đã nêu. 
Việc hợp thức hóa nội tại trong phạm 
vi của một đồ án không có nghĩa là những 
giả thuyết được phát biểu tường minh trong 
đồ án sẽ ...  
một mệnh đề toán học, chúng ta có thể tổ 
chức một tranh luận khoa học được diễn ra 
theo bốn giai đoạn. 
Giai đoạn 1: Làm việc cá nhân 
Mỗi học sinh sẽ làm việc độc lập trên 
mệnh đề đặt ra. Đây là thời gian để mỗi 
học sinh có thể hiểu rõ mệnh đề mà không 
bị những học sinh khác lĩnh hội nhanh hơn 
làm rối loạn. 
Giai đoạn 2: Nghiên cứu theo nhóm 
Giáo viên sẽ chia lớp thành nhóm nhỏ 
(mỗi nhóm tối đa 4 học sinh). Các nhóm sẽ 
đưa ra lựa chọn : mệnh đề đúng, mệnh đề sai 
hay ý kiến khác. Mục tiêu của giai đoạn này 
là soạn thảo ý kiến của nhóm để trình bày 
trước lớp chuẩn bị cho giai đoạn tranh luận 
tập thể. 
Đây là giai đoạn thiết lập các lập luận 
của nhóm. Mỗi nhóm sẽ chọn người phát 
ngôn, thảo luận trong nhóm về tính đúng 
sai của mệnh đề và phát triển các lí lẽ để 
thuyết phục cho lựa chọn của mình. 
Nghiên cứu theo nhóm sẽ kết thúc bằng 
việc tạo ra một câu trả lời duy nhất và như 
vậy việc một số lí lẽ sẽ được cũng cố và 
một số khác sẽ bị loại bỏ. 
Việc yêu cầu các nhóm soạn thảo 
một áp phích đem đến những lợi ích như 
sau: 
- Các lí lẽ bằng lời được cũng cố khi 
thảo luận nhóm sẽ được soạn thảo thành 
văn bản. Sản phảm viết này rất quan trọng 
đối với việc tranh luận; 
- Tạo thuận lợi cho sự liên kết của 
nhóm bởi vì toàn nhóm có một mục đích 
chung; 
- Làm tăng thêm tính được thua đối 
với học sinh vì các em biết rằng áp phích 
của mình sẽ được các bạn khác đọc, phê 
phán và bình luận; 
- Làm cho việc tổ chức pha tranh luận 
được thực hiện dễ dàng vì các lời giải được 
đề nghị tranh luận sẽ ít hơn. 
Trong giai đoạn này, giáo viên không 
can thiệp. Nếu có học sinh thắc mắc về nội 
dung toán học thì giáo viên sẽ giải thích 
cho nhóm. Nếu có thắc mắc về tổ chức lớp 
học, giáo viên yêu cầu học sinh xem những 
chỉ dẫn đã ghi trên bảng. 
Giai đoạn 3: Tranh luận chung trong 
lớp 
Lúc này, học sinh được khuyến khích 
tranh luận để tìm ra chân lí của mệnh đề. 
Vai trò của học sinh và giáo viên trong giai 
đoạn 3 như sau: 
- Vai trò của học sinh: Tìm hiểu 
những lập luận của nhóm khác, đưa ra 
những lập luận mới, thay đổi ý kiến của 
mình khi nghe các lập luận và phản đối 
những lập luận. Họ cũng có thể phạm sai 
Tập 14, Số 1 (2017): 29-39 
34 
lầm tuy nhiên họ được bày tỏ ý tưởng toán 
học của mình. 
- Vai trò của giáo viên: Khởi đầu cuộc 
tranh luận, phát biểu rõ lại nhưng tuyệt đối 
trung thành những lập luận của học sinh, 
nhấn mạnh những lập luận khác biệt và đôi 
khi dẫn dắt học sinh tập trung lại vào một 
lập luận nào đó. Giáo viên không nói hay 
ám chỉ chân lí của mệnh đề nhưng phải 
dùng nhiều cách thức để duy trì cuộc tranh 
luận. Chẳng hạn, giáo viên có thể đề nghị 
nghiên cứu một trường hợp cụ thể đã xuất 
hiện trong các lập luận nhưng với hình 
thức tổng quát. 
Arsac et al. (1992), lưu ý giáo viên 
khi tổ chức tranh luận chung trong lớp như 
sau: 
- Giáo viên phải tìm hiểu và cố gắng 
hình dung trước về thực chất của cuộc 
tranh luận do mỗi áp phích gợi ra. Giáo 
viên nên chọn áp phích đầu tiên với nội 
dung vừa rõ ràng vừa sai. Vì kiểu áp phích 
này sẽ làm cho cuộc tranh luận diễn ra sôi 
nổi với sự xuất hiện của nhiều kiểm chứng1 
khác nhau. 
- Khi giới thiệu áp phích với cả lớp, 
giáo viên yêu cầu học sinh tìm hiểu áp 
phích và đặt câu hỏi chỉ liên quan đến việc 
hiểu nội dung áp phích. 
- Học sinh trong nhóm có áp phích 
được đưa ra cần phải thể hiện rõ các em có 
đồng ý hay không với một kết quả và sự 
giải thích kết quả ấy. Học sinh trong nhóm 
không bị bắt buộc phải nhất trí với nhau. 
Một người phát ngôn nêu lại quan điểm 
của mỗi thành viên trong nhóm. Giáo viên 
ghi lên bảng các lí lẽ đã được trình bày, sau 
đó cuộc tranh luận được thiết lập ở cấp độ 
lớp. 
- Tranh luận về tính hợp thức của các 
lí lẽ cần được tập trung hơn là tính đúng sai 
của áp phích. Giáo viên phải chọn lọc các 
lí lẽ cần được tranh luận theo ý đồ của việc 
học tập. 
- Không cần thiết phải đưa tất cả các 
áp phích ra tranh luận, giáo viên có thể 
chọn vài áp phích (hoặc thậm chí duy nhất 
một áp phích). Vì lợi ích và các mục tiêu 
sư phạm của tranh luận có thể đã đạt được 
sau khi học sinh làm việc với một số áp 
phích đầu tiên. Ngoài ra, nếu lớp học đông 
thì không đủ thời gian để làm việc với tất 
cả các áp phích. 
Giai đoạn 4 :Thể chế hóa 
Từ những khám phá chưa có hệ 
thống và thường chưa đầy đủ của học sinh 
thông qua tranh luận, giáo viên tổng kết 
thành tri thức mới bằng cách viết lại một 
cách ngắn gọn nhưng hàm chứa ý nghĩa 
tổng quát. Thể chế hóa tương ứng với phần 
lí thuyết trong sách giáo khoa và như vậy, 
ta có thể gọi đây là giai đoạn xây dựng lí 
thuyết. 
Theo Legrand (2000), mục tiêu của 
tranh luận khoa học là đặt học sinh vào một 
tình huống thích đáng cho lí do tạo ra một 
tri thức mới. Khi kết thúc tranh luận khoa 
học, điều cần thiết là phải đưa vào các yếu 
tố tri thức luận đã xác định. 
Arsac et al. (1992), lưu ý giáo viên 
Lê Thái Bảo Thiên Trung 
35 
khi tổ chức thể chế hóa như sau: 
- Tùy theo bài toán đặt ra, tùy theo tình 
hình tranh luận, giáo viên nhấn mạnh một 
số quy tắc tranh luận toán học và tính 
không đầy đủ của một số kiểm chứng thực 
dụng. Chẳng hạn, nếu học sinh dựa trên 
một vài ví dụ để chứng thực tính hợp thức 
của một phỏng đoán thì giáo viên phải 
nhấn mạnh: một vài ví dụ không cho phép 
chứng minh tính hợp thức tổng quát của 
một phát biểu. 
- Nếu việc tranh luận bị sa lầy vì học 
sinh không thống nhất được với nhau về 
một số định nghĩa hay tính chất. Đây là dịp 
để giáo viên tận dụng cơ hội này xác định 
rõ quy tắc sau: Trong phạm vi một cuộc 
tranh luận, cần thiết phải thống nhất về 
các tính chất và các định nghĩa mà ta sử 
dụng. 
5. Những lưu ý khi phân tích tiên 
nghiệm tình huống dạy học bằng tranh 
luận khoa học 
5.1. Danh sách các câu hỏi cần làm rõ 
trong phân tích tiên nghiệm 
Phân tích tiên nghiệm những tình 
huống dạy học bằng tranh luận khoa học 
thường khá phức tạp. 
"Một số cuộc tranh luận có thể bị rút 
ngắn, hoặc là do học sinh nhanh 
chóng nhất trí với nhau, hoặc là do 
các em không thể tạo ra được những 
kiểm chứng. Vì vậy trước khi đưa ra 
cho lớp một tình huống hợp thức hóa, 
thì cần thiết phải dự kiến trước 
những gì sẽ xảy ra. Công việc này 
không phải bao giờ cũng dễ dàng. Và 
đó chính là công việc mà chúng tôi 
gọi phân tích tiên nghiệm một tình 
huống”.( Arsac et al., 1992, p. 2) 
Arsac et al. (1992), đề nghị một danh 
sách câu hỏi cần làm rõ trong phân tích tiên 
nghiệm. Chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi 
này như sau: 
- Mục tiêu sư phạm của tình huống 
này là gì? 
- Học sinh có dễ dàng chấp nhận giải 
bài toán hay không? Các em sẽ làm phép 
thử? Các em sẽ phỏng đoán? Các em có thể 
đưa ra những phỏng đoán nào? Có thể xảy 
ra khả năng tất cả các em đều cùng tạo ra 
một phỏng đoán không? 
- Các được thua nào sẽ thúc đẩy các 
em hợp thức hóa phỏng đoán của mình? 
- Học sinh có các phương tiện để 
chứng minh phỏng đoán của mình không? 
- Những quy tắc tranh luận nào sẽ 
được thể chế hóa? 
5.2. Tiếng ồn trong giờ tranh luận 
Việc tổ chức lớp học theo hình thức 
tranh luận khoa học không đơn giản vì cả 
thầy lẫn trò chưa quen với kiểu làm việc 
này. Khi tổ chức lần đầu, giáo viên thường 
đánh giá một cách bi quan (trong khi học 
sinh lại phấn khởi). Thật vậy, giáo viên dễ 
phản ứng với tiếng ồn ào trong lớp hơn là 
cảm nhận những kiểm chứng được học 
sinh tạo ra. Hoạt động dạy học kiểu này sẽ 
tạo ra không khí ồn ào hơn so với kiểu dạy 
học truyền thống. 
Chúng ta cần nhìn nhận tiếng ồn 
Tập 14, Số 1 (2017): 29-39 
36 
trong lớp học khi dạy học bằng tranh luận 
khoa học là điểm tích cực. Vì tiếng ồn ở 
đây không phải do sự quậy phá ầm ĩ gây 
nên, mà là sự ồn ào thường có ở các hội 
nghị, ở đây, trong khi tranh luận, mọi 
người đều hăng hái bảo vệ lập trường của 
mình. 
“Cũng nên lưu ý rằng, với một chút 
kinh nghiệm, học sinh sẽ học được 
tính kỉ luật tự giác, biết chú ý đến lời 
ăn tiếng nói của mình và chú ý đến 
những ý kiến của người khác... Đây 
là nhận xét của một nhóm học sinh 
lớp đệ ngũ về vấn đề này: “Chúng 
em đã hiểu rằng muốn thuyết phục 
người khác thì trước hết cần phải biết 
lắng nghe họ nói”. (Arsac et al., 1992, 
p. 27) 
Như vậy tiếng ồn mang tính tích cực 
trong dạy học bằng tranh luận khoa học 
cần phải được nhà nghiên cứu và giáo viên 
dự kiến trước. 
6. Nghiên cứu một ví dụ 
6.1. Một số yếu tố phân tích tiên nghiệm 
Chúng tôi đã nghiên cứu một đồ án 
dạy học bằng tranh luận khoa học với 
mệnh đề sau: 
Nếu 5)(lim
2
xf
x 
thì f (2) có luôn 
luôn bằng 5 không?
 Giải thích rõ câu trả lời của bạn. 
Mệnh đề được đưa ra tranh luận liên 
quan đến khái niệm giới hạn hàm số. Khái 
niệm này được chọn lựa vì chúng tôi đã 
thực hiện những phân tích ban đầu về nó 
bao gồm: phân tích tri thức luận và phân 
tích các sách giáo khoa Toán hiện hành của 
Việt Nam ( Le Thai Bao Thien Trung, 2012). 
Phân tích tri thức luận cho phép xác 
định nhiều chướng ngại liên quan đến tiến 
trình “vô hạn” của khái niệm giới hạn. Một 
trong những chướng ngại tri thức luận 
được chúng tôi chọn lựa để xây dựng đồ án 
dạy học bằng tranh luận khoa học là sự khó 
khăn để xác định câu trả lời chính xác cho 
câu hỏi: một giới hạn có đạt tới hay 
không?. Nghĩa là, trong quá trình lĩnh hội 
khái niệm giới hạn, người học sẽ khó để trả 
lời chính xác câu hỏi: nếu lim ( )
x a
f x L
 thì 
có tồn tại giá trị nào của x sao cho f(x) = L 
hay không? 
Phân tích các sách giáo khoa Toán 
Việt Nam hiện hành kết hợp với việc điều 
tra học sinh cho thấy, chỉ có kiểu nhiệm vụ 
tính giới hạn hàm số là thực sự được dạy 
học. Những khía cạnh khác về bản chất tri 
thức giới hạn chưa được hệ thống dạy học 
nước ta quan tâm, trong đó có chướng ngại 
tri thức luận đã nêu. Từ đó, chúng tôi có 
thể dự đoán trong phân tích tiên nghiệm sẽ 
xuất hiện những câu trả lời đối lập nhau 
“Có” và “Không”. Như vậy, việc tranh 
luận sẽ diễn ra một cách tự nhiên. 
6.2. Một số yếu tố phân tích hậu nghiệm 
Thực nghiệm đã được thực hiện 
trong một lớp học có 24 học sinh đã học 
khái niệm giới hạn hàm số với thời gian 90 
phút. 
- Khi làm việc cá nhân, 20 học sinh trả 
lời “Không” và 4 học sinh trả lời “Có” 
cùng với những lí lẽ ban đầu. Điều này 
Lê Thái Bảo Thiên Trung 
37 
chứng tỏ các em hiểu câu hỏi trong tình 
huống. 
- Sau khi nghiên cứu theo nhóm (lớp 
học được chia thành 6 nhóm, mỗi nhóm 4 
học sinh), một nhóm học sinh trình bày 
áp phích với câu trả lời “Có” và tạo ra 
các ví dụ về hàm số có giới hạn là 5 khi x 
tiến về 2: 
Năm nhóm còn lại trả lời “Không” và tìm cách xây dựng những phản ví dụ. Một 
nhóm đã thành công: 
- Giáo viên bắt đầu cuộc tranh luận 
chung trong lớp với áp phích trả lời “Có” 
và kết thúc với áp phích trả lời “Không” đã 
xây dựng thành công phản ví dụ. Những lí 
lẽ được học sinh đưa ra rất đa dạng và 
không khí lớp học sôi động như đã dự kiến. 
Sau đây là một đoạn lí lẽ bác bỏ câu trả lời 
“Có”: 
“HS: Em không đồng ý vì trong 
trường hợp f(x) không xác định tại x = 2 
thì câu trả lời của bạn là sai. 
GV: Như vậy đối với hàm số của 
nhóm bạn cho thì f(x) có xác định tại x=2 
không? 
HS: Có, em nghĩ trong trường hợp 
dạng 
0
0 thì không đúng.” 
- Để tổng kết, giáo viên hỏi ý kiến học 
Tập 14, Số 1 (2017): 29-39 
38 
sinh về câu trả lời cuối cùng sau khi tranh 
luận chung. Những học sinh xung phong 
phát biểu đều trả lời “Không” với giải 
thích: “Thưa cô, lim của f(x) khi x dần về 2 
bằng 5 thì f(2) có thể bằng 5 hoặc không 
bằng 5”. Tất cả các học sinh còn lại đều 
giơ tay khi được hỏi: “Vậy những bạn nào 
có câu trả lời giống như câu trả lời của 
các bạn thì giơ tay lên nào?”. 
Quy tắc tranh luận toán học “một phản 
ví dụ đủ để bác bỏ một phát biểu” đã được 
giáo viên tổng kết với yêu cầu giải thích tại 
sao tất cả lại chọn câu trả lời “Không”. Một 
học sinh phát biểu: “Thưa cô, nếu ta có câu 
trả lời là “Không” thì chỉ cần đưa ra một ví 
dụ minh họa cho điều đó là đủ”. Tất cả 
những học sinh còn lại đều đồng ý với học 
sinh này. 
7. Kết luận 
Với hình thức dạy học bằng tranh 
luận khoa học, lớp học được tổ chức như 
một cộng đồng khoa học và học sinh sẽ 
tạm thời đóng vai các nhà toán học để thực 
hiện các giao tiếp toán học xoay quanh một 
(hay những) tình huống có vấn đề. 
Lợi ích của hình thức dạy học này 
là người học tự xây dựng chân lí của các 
mệnh đề khoa học so với việc dạy học 
thông thường khi mà chân lí thường đến 
từ phán quyết của giáo viên hay những gì 
đã in trong sách. Ngoài ra, thông qua 
cuộc tranh luận những quy tắc tranh luận 
toán học xuất hiện và được cũng cố ở 
người học. 
Những lợi ích này phù hợp với định 
hướng phát triển năng lực mà hệ thống 
dạy học Việt nam đang hướng tới trong 
tương lại. Đặc biệt là năng lực hợp tác, 
năng lực ngôn ngữ và năng lực phản 
biện. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Arsac, G., Chapiron, G., Colonna, A., Germain, G., Guichard, Y. & Mante, M. (1992), 
Initiation au raisonnement déductif au collège: une suite de situations permettant 
l'appropriation des règles du débat mathématique, Presses Universitaires Lyon. 
2. Artigue, M. (1990), “Ingéniérie didactique”, Recherche en didactique des mathématiques, 
Vol. 9.3 pp. 281-307, La Pensée Sauvage, Grenoble, 1990. 
3. Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của 
didactic toán (Éléments fondamentaux de didactique des mathématiques) - Sách song ngữ 
Việt-Pháp, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 
4. Bruner, J. S. & Hickmann, M. (1983), La conscience, la parole et la “zone proximale”: 
réflexions sur la théorie de Vygotsky, Presses universitaires de France. 
5. Radford, L. & Demers S. (2004), Communication et apprentissage - Repères conceptuel et 
pratiques pour la salle de classe de mathématiques, Imprimeur de la Reine pour l’Ontario. 
6. Legrand, M. (1993), “Débat scientifique en cours de mathématiques”, Repères IREM, n°10, 
Topiques Editions. 
Lê Thái Bảo Thiên Trung 
39 
7. Legrand, M. (2000), “Scientific debate in mathematics course”, International Newsletter on 
the teaching and learning of mathematical proof, La lettre de la Preuve. 
8. Le Thai Bao Thien Trung (2012), “Notion de limite et décimalisation des nombre réels: le 
cas d’enseignement secondaire au Viet Nam”, Petit x, n0 89, IREM de Grenoble. 
9. Stewart J. (2012), Calculus: Early Transcendentals, 7th edition, Cengage Learning. 
1 Trong tác phẩm của mình, các tác giả đã làm rõ thuật ngữ “kiểm chứng”, đó là những lập luận để giải thích 
được một nhóm người chấp nhận. Chẳng hạn, nếu nhóm học sinh quyết định chọn một vài ví dụ để giải thích 
mà cả nhóm đã đồng thuận thì đây là một kiểm chứng thực dụng. Các tác giả cũng làm rõ rằng chứng minh là 
“kiểm chứng được các nhà toán học chấp nhận” (trang 6). Để phân biệt với kiểm chứng thực dụng, chứng 
minh có thể được gọi là một kiểm chứng trí tuệ.