Đặc trưng của vành Noether và Artin

 TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH JOURNAL OF SCIENCE 
 Tập 18, Số 6 (2021): 1071-1075 Vol. 18, No. 6 (2021): 1071-1075 
 ISSN: 
 2734-9918 Website:  
 Bài báo nghiên cứu* 
 ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH NOETHER VÀ ARTIN 
 Mai Duy Tân 
 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam 
 Tác giả liên hệ: Mai Duy Tân – Email: maiduytan020492@gmail.com 
 Ngày nhận bài: 14-3-2021; ngày nhận bài sửa: 27-5-2021; ngày duyệt đăng: 09-6-2021 
TÓM TẮT 
 Trong những năm gần đây, việc mô tả vành thông qua lớp môđun hữu hạn sinh đang thu hút 
được nhiều sự chú ý của các nhà đại số. Cho R là một vành, bài báo này nhằm chứng minh rằng: R 
là vành noether (tương ứng artin) phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là môđun 
noether (tương ứng artin) hoặc môđun ADS. Sử dụng kết quả này, chúng tôi đã chứng minh được 
rằng: một vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là ADS. Bên cạnh đó, 
chúng tôi còn chứng minh rằng: vành R là SC phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải sinh bỏi 2 phần 
tử là ADS. Kết quả này là một mở rộng của một định lí của Rizvi: một vành R là SC phải nếu và chỉ 
nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là tựa liên tục. 
 Từ khóa: artin; môđun; noether; vành 
1. Mở đầu 
 Trong bài báo này, vành được hiểu là vành có đơn vị và môđun là môđun phải. Định 
lí nổi tiếng của Osofsky đã chỉ ra rằng: Một vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mọi R-môđun 
cyclic là nội xạ (Nguyen, Dinh, Smith, & Wisbauer, 1994). Sau đó, Huynh và Rizvi đã chứng 
minh được rằng: Một vành R là noether phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun cyclic là tổng trực 
tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Q, trong đó Q là một môđun nội xạ hoặc một 
môđun noether (Dinh, & Rizvi, 2008). Được thúc đẩy bởi kết quả này, bài báo sẽ chứng 
minh các kết quả sau: một vành R là noether (tương ứng artin) phải nếu và chỉ nếu mọi 
R-môđun sinh bởi 2 phần tử là môđun noether (tương ứng artin) hoặc môđun ADS. Năm 
1990, Rizvi và Yousif (Rizvi, & Yousif, 1990) đã đưa ra định nghĩa về vành SC phải và 
chứng minh được rằng: Một vành R là SC phải khi và chỉ khi mọi R-môđun kì dị hữu hạn 
sinh là tựa liên tục. Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng kết quả của Rizvi bằng định lí: 
Một vành R là SC phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun kì dị sinh bởi 2 phần tử là ADS. 
2. Kiến thức chuẩn bị 
 Cho R là một vành và M là một R-môđun và NK là môđun con của M. Môđun N 
được gọi là cốt yếu trong K, hay K là một mở rộng cốt yếu của N, kí hiệu NK e , nếu với 
Cite this article as: Mai Duy Tan (2021). Characterizations of noetherian and artinian rings. Ho Chi Minh City 
University of Education Journal of Science, 18(6), 1071-1075. 
 1071 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1071-1075 
mọi môđun con L của K sao cho NL=0 thì L = 0. Môđun con C của M được gọi là 
đóng (trong M) nếu C không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, nghĩa là nếu tồn tại TM 
sao cho C cốt yếu trong T thì C=T. Cho N là môt môđun con của môđun M. Một môđun H 
của M được gọi là phần bù của N (trong M) nếu H là môđun tối đại (theo quan hệ bao hàm) 
sao cho NH=0 . Một môđun K của M được gọi là bù (trong M) nếu tồn tại môđun con 
N của M sao cho K là phần bù của N trong M. Khái niệm môđun ADS được đề xuất lần đầu 
tiên bởi Fuchs (Fuchs, 1970). Từ đó đến nay, môđun ADS đã được nghiên cứu bởi nhiều 
nhà đại số, chẳng hạn (Alahmadi, Jain, & Leroy, 2012), (Burgess, & Raphael, 1992). Một 
R-môđun M được gọi là ADS nếu với mỗi phân tích MST= và với mọi phần bù T’ của 
S trong M ta có MST=' . Độc giả có thể xem thêm về môđun ADS trong (Alahmadi, 
Jain, & Leroy, 2012). 
 Cho I và M là các R-môđun, I được gọi là M-nội xạ nếu với mọi đơn cấu g: K→ M 
và với mọi đồng cấu h: K→ U tồn tại một đồng cấu h': M→ U sao cho h= h' g . Một 
môđun M được gọi là nội xạ nếu M là RR -nội xạ, tựa nội xạ nếu M là M-nội xạ. Môđun M 
được gọi là CS nếu mọi môđun con đóng của M đều là hạng tử trực tiếp của M. Một môđun 
CS M được gọi là bán liên tục nếu tổng trực tiếp của hai hàng tử trực tiếp của M là một hạng 
tử trực tiếp của M, liên tục nếu mọi môđun con đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M là 
một hạng tử trực tiếp của M. Độc giả có thể tham khảo thêm về môđun CS trong (Nguyen, 
Dinh, Smith, & Wisbauer, 1994). Một cách tổng quát ta có sơ đồ sau: nửa đơn/nội xạ tựa 
nội xạ liên tục tựa liên tục ADS/CS. Chiều ngược lại nói chung không đúng. Hạng 
tử trực tiếp của môđun ADS (tương ứng CS/tựa nội xạ/liên tục/tựa liên tục) là ADS (tương 
ứng CS/tựa nội xạ/liên tục/tựa liên tục). 
 Tổng của tất cả các môđun con đơn của một môđun M là được gọi là đế của M, kí hiệu 
là soc(M). Môđun M được gọi là nhúng hữu hạn nếu soc(M) là hữu hạn sinh và cốt yếu trong 
M. Môđun M được gọi là có chiều đều hữu hạn nếu không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn 
các môđun con khác không của M. Dễ dàng chứng minh được các môđun noether, artin, 
nhúng hữu hạn có chiều đều hữu hạn. 
3. Các kết quả chính 
3.1. Định lí 
 Một vành R là noether phải khi và chỉ khi mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là môđun 
noether hoặc ADS. 
 Chứng minh. Giả sử R là một vành noether phải. Khi đó mọi R-môđun hữu hạn sinh 
là noether. Do đó ta có chiều thuận. Giả sử mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là môđun noether 
hoặc ADS. Lấy M là một R-môđun cyclic. Khi đó TMR= là một R-môđun sinh bởi 2 
phần tử. Theo giả thiết, T là noether hoặc ADS. Nếu T là môđun noether thì M cũng là 
môđun noether. Nếu T là môđun ADS thì M là R-nội xạ (Alahmadi, Jain, & Leroy, 2012). 
 1072 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Mai Duy Tân 
Do đó mọi R-môđun cyclic là noether hoặc nội xạ. Suy ra R là vành noether phải (Dinh, & 
Rizvi, 2008). 
3.2. Định lí 
 Một vành R là artin khi và chỉ khi mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là nhúng hữu hạn 
hoặc ADS. 
 Chứng minh. Giả sử R là một vành artin. Khi đó mọi R-môđun hữu hạn sinh là artin. 
Do đó, ta có chiều thuận. Giả sử mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là nhúng hữu hạn hoặc 
ADS. Lấy N là một R-môđun cyclic và M là một môđun thương của một môđun con cyclic 
của N. Đặt TMR=, theo giả thiết, T là môđun nhúng hữu hạn hoặc ADS. Nếu T là 
môđun nhúng hữu hạn thì T có chiều đều hữu hạn, do đó M cũng có chiều đều hữu hạn. Nếu 
T là môđun ADS thì M là nội xạ (Alahmadi, Jain, & Leroy, 2012). Như vậy, mọi môđun 
thương của mỗi môđun con cyclic của N là nội xạ hoặc có chiều đều hữu hạn. Do đó, mọi 
môđun thương của N có chiều đều hữu hạn (Nguyen, Generalized injectivity and chain 
conditions, 1992). 
 Nếu mọi môđun thương khác 0 của N chứa một môđun con đơn thì N là môđun artin 
(Shock, 1974). Giả sử tồn tại môđun thương 0 K của N sao cho K không chứa môđun con 
đơn. Lấy 0 xR là một môđun con cyclic của K. Đặt H= xR K . Theo giả thiết, H là 
môđun nhúng hữu hạn hoặc ADS. Do K không chứa môđun con đơn nên H là ADS. Suy ra 
xR là K-nội xạ (Alahmadi, Jain, & Leroy, 2012). Vì xR K nên xR là hạng tử trực tiếp của 
K (Anderson, & Fuller, 1973, mệnh đề 16.8). Suy ra mọi môđun con cyclic của K là hạng tử 
trực tiếp của K. Vì K có chiều đều hữu hạn nên K là môđun nửa đơn (Goodearl, 1972, Mệnh 
đề 1.22), mâu thuẫn. Do đó N là môđun artin. Như vậy mọi R-môđun cyclic là artin, nói 
riêng, R là vành artin. 
 Vì mỗi môđun artin là một môđun nhúng hữu hạn nên ta có: 
3.3. Hệ quả 
 Một vành R là artin khi và chỉ khi mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là môđun artin 
hoặc ADS. 
 Một định lí nổi tiếng của Osofsky đã chỉ ra rằng: Một vành R là nửa đơn khi và chỉ khi 
mọi R môđun cyclic là nội xạ (Nguyen, Dinh, Smith, & Wisbauer, 1994). Vì môđun tựa nội 
xạ (tương ứng liên tục/tựa liên tục/CS/ADS) là mở rộng của môđun nội xạ, nên một câu hỏi 
đặt ra là: vành R có là nửa đơn nếu thay giả thiết nội xạ trong định lí của Osofsky thành tựa 
nội xạ (tương ứng liên tục/tựa liên tục/CS/ADS)? Câu trả lời là không (Levy, 1966). Vành 
R được xây dựng trong ví dụ của Levy không là noether, do đó không là nửa đơn dù mọi R-
môđun cyclic là tựa nội xạ. Tuy nhiên, ta có định lí sau: 
3.4. Định lí 
 Một vành R là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là ADS. 
 Chứng minh. Chiều thuận là hiển nhiên. Giả sử mọi R-môđun sinh bởi 2 phần tử là 
ADS, từ Hệ quả 2. 3 ta có R là artin. Suy ra soc() RR là hữu hạn sinh và cốt yếu trong RR . 
 1073 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 18, Số 6 (2021): 1071-1075 
Nếu soc( RR )= 0 thì R = 0 do đó R là nửa đơn. Nếu soc( RR ) 0 , lấy S là một môđun con 
đơn khác 0 của RR . Theo giả thiết SR là ADS. Do đó S là R-nội xạ (Alahmadi, Jain, & 
Leroy, 2012). Suy ra mọi môđun đơn của là nội xạ. Vì soc() RR là hữu hạn sinh nên 
 là nội xạ. Suy ra là hạng tử trực tiếp của R (Lam, 1999, mệnh đề 3.4). Vì 
 cốt yếu trong RR nên soc() RR = R , hay R là vành nửa đơn. 
3.5. Định nghĩa 
 Cho R−môđun M, phần tử mM được gọi là kì dị nếu tồn tại iđêan phải cốt yếu I 
của R sao cho mI = 0 . Tập hợp tất cả các phần tử kì dị của M kí hiệu là Z(M). Môđun M 
được gọi là kì dị nếu ZMM()= , không kì dị nếu ZM( )= 0. 
 Rizvi đã chứng minh được định lí sau (Rizvi, & Yousif, 1990): 
3.6. Định lí 
 Cho R là một vành, các mệnh đề sau tương đương: 
 (1) Mọi R-môđun kì dị là nửa đơn 
 (2) Mọi R-môđun kì dị hữu hạn sinh là tựa nội xạ 
 (3) Mọi R-môđun kì dị hữu hạn sinh là liên tục 
 (4) Mọi R-môđun kì dị hữu hạn sinh là tựa liên tục 
 (5) R/I là môđun nửa đơn với mọi iđêan phải I cốt yếu trong R . 
3.7. Định nghĩa 
 Một vành R được gọi là SC phải nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện của 
Định lí 2.6. 
 Chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của Rizvi bằng: 
3.8 Định lí 
 Một vành R là SC phải nếu và chỉ nếu mọi R-môđun kì dị sinh bởi 2 phần tử là ADS. 
 Chứng minh. Chiều thuận đã được chứng bởi Rizvi. Giả sử mọi R-môđun kì dị sinh 
bởi 2 phần tử là ADS. Lấy M là một R-môđun cyclic. Dễ dàng chứng minh được lớp các 
môđun kì dị là đóng với phép lấy môđun thương, môđun con, tổng các môđun. Do đó sử 
dụng lại kĩ thuật chứng minh trong Định lí 2.3 ta có M là môđun nửa đơn. Lấy N là một R-
môđun kì dị bất kì. Khi đó N=  xR , trong đó các môđun xR là nửa đơn. Suy ra N là nửa 
 xN 
đơn. Như vậy, mọi R-môđun kì dị là nửa đơn, do đó R là vành SC phải. 
 ❖ Tuyên bố về quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 1074 
Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Mai Duy Tân 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Alahmadi, A., Jain, S., & Leroy, A. (2012). ADS modules. Journal of Algebra, 215-222. 
Anderson, F., & Fuller, K. (1973). Rings and Categories of Modules. Berlin-Heidelberg-New York: 
 Springer Verlag. 
Burgess, W., & Raphael, R. (1992). On modules with the absolute direct summandproperty. In Ring 
 theory. Granville, OH: World Sci. Publ. 
Dinh, H., & Rizvi, S. (2008). An affirmative answer to a question on noetherian rings. Journal of 
 Algebra and Its Applications, 47-59. 
Fuchs, L. (1970). Infinite Abelian Groups, vol. I. Academic Press, New York, London. 
Goodearl, K. (1972). Singular torsion and the splitting properties. Providence, RI: American 
 Mathematical Society. 
Lam, T. (1999). Lectures on Modules and Rings. Berlin-Heidelberg-New York: Springer. 
Levy, L. S. (1966). Commutative rings whose homomorphic images are self-injective. Pacific J. 
 Math., 149-153. 
Nguyen, D. (1992). Generalized injectivity and chain conditions. Glasgow Mathematical Journal, 
 319-326. 
Nguyen, D., Dinh, H., Smith, P., & Wisbauer, R. (1994). Extending Modules. Pitman Research Notes 
 in Mathematics Series, 313. Longman Scientific & Technical: Harlow. 
Rizvi, S., & Yousif, M. (1990). On continuous and singular modules, 116-124. 
Shock, C. (1974). Dual generalizations of the Artinian and Noetherian conditions. Pacific Journal of 
 Mathematics, 227-235. 
 CHARACTERIZATIONS OF NOETHERIAN AND ARTINIAN RINGS 
 Mai Duy Tan 
 University of Science, Vietnam National University Ho Chi Minh City, Vietnam 
 Corresponding author: Mai Duy Tan – Email: maiduytan020492@gmail.com 
 Received: March 14, 2021; Revised: May 27, 2021; Accepted: June 09, 2021 
ABSTRACT 
 For the last few decades, characterizing rings in terms of finitely generated modules has 
become a topic of research for many algebraists. Let R be a ring, the aim of this paper is to prove 
the theorems: R is right noetherian (respectively artinian) if and only if every 2-generated right R-
module is noetherian (respectively artinian) or an ADS module. Using this result, we proved that a 
ring R is semi-simple if and only if every 2-generated R-module is ADS. In addition, we also proved 
that a ring R is right SC if and only if every 2-generated R−module is ADS. This result generalizes 
a theorem of Rizvi which states that a ring R is right SC if and only if every finitely generated right 
R-module is quasi-continuous. 
 Keywords: artinian; modules; noetherian; rings 
 1075