Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trong tọa độ cầu

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
145 
CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC 
 VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG TỌA ĐỘ CẦU 
LƯU HỒNG PHONG*, PHẠM HOÀNG QUÂN**, LÊ MINH TRIẾT*** 
TÓM TẮT 
Như chúng ta đã biết, bài toán nhiệt ngược có nhiều ứng dụng trong vật lí và các 
ngành khoa học kĩ thuật. Cho đến nay, các công trình nghiên cứu bài toán nhiệt ngược chủ 
yếu xem xét bài toán trong tọa độ Đề-các, có rất ít bài báo xem xét bài toán trong tọa độ 
cực, tọa độ trụ hay tọa độ cầu. Do đó trong bài báo này, chúng tôi mong muốn nghiên cứu 
bài toán nhiệt ngược trong tọa độ cầu với hệ số khuếch tán phụ thuộc vào thời gian. Chi 
tiết hơn, chúng tôi sẽ chỉnh hóa bài toán bằng cách áp dụng phương pháp tựa giá trị biên 
có điều chỉnh và đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa nhanh hơn dạng Hölder. Và 
sau cùng, một ví dụ số được đưa ra để minh họa cho tính hiệu quả của phương pháp của 
chúng tôi. 
Từ khóa: bài toán nhiệt ngược, tọa độ cầu, phương pháp tựa giá trị biên có điều 
chỉnh. 
ABSTRACT 
Regularizing the Backward Heat Problem with time-dependent diffusivity 
in the spherical coordinates 
It is known that the backward heat problem (BHP) has many applications in physics 
and engineering sciences. Until now, the works on the BHP have been conducted in 
Descartes coordinates, and there have been few papers in polar coordinates, cylindrical 
coordinates or spherical coordinates. Therefore, in this paper, we study the BHP in the 
spherical coordinates with the time-dependent diffusivity. In more details, we regularize 
the problem by applying the modified quasi-boundary value method and get the 
convergence of the regularized solution, which is better than the Hölder type. Eventually, a 
numerical experiment is given to illustrate the effectiveness of our method. 
Keywords: backward heat problem, spherical coordinates, the modified quasi-
boundary value method. 
1. Giới thiệu 
Như đã biết, lí thuyết phương trình đạo hàm riêng đã xuất hiện từ lâu trong vật lí 
và các ứng dụng khoa học kĩ thuật. Cho đến nay, một trong các phương trình đạo hàm 
riêng được khảo sát đến nhiều nhất là phương trình parabolic. Cụ thể hơn, bài toán 
* NCS - ThS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG TPHCM 
** PGS TS, Trường Đại học Sài Gòn; Email: phquan@sgu.edu.vn 
*** TS, Trường Đại học Sài Gòn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
146 
ngược cho phương trình nhiệt được đưa vào nghiên cứu trong nhiều thập kỉ qua. Ý 
nghĩa của bài toán, đó là, chúng ta phải tìm lại được sự phân bố nhiệt tại một thời điểm 
cụ thể t T khi chúng ta đo đạc được sự phân bố nhiệt tại thời điểm cuối T . Bài toán 
này được xuất hiện trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật; ví dụ như, xác định nhiệt độ 
đầu của một vật thể, việc đo đạc di chuyển của nước ngầm, xác định và kiểm soát các 
nguồn ô nhiễm, bảo vệ môi trường... 
Bài toán nhiệt ngược (BHP) được xuất hiện trong nhiều bài báo chẳng hạn như 
[9, 13, 14, 16, 17]. Các bài báo trên tập trung nghiên cứu chủ yếu vào các bài toán BHP 
một chiều với hệ số hằng hoặc không hằng trong tọa độ Đề-các. Chi tiết hơn, trong 
[13], P. H. Quân cùng với các cộng sự đã xem xét bài toán BHP với hệ số khuếch tán 
phụ thuộc thời gian sau: 
 ( , ) ( ) ( , ), ( , ) 0, ,
( , ) ( ), .
xxu x t a t u x t x t T
u x T g x x


 (1.1) 
Bằng phương pháp tựa giá trị biên (MQBV) và yêu cầu một số điều kiện đầu cho 
dữ liệu chính xác, các tác giả thu được tốc độ hội tụ của nghiệm chỉnh hóa nhanh hơn 
dạng Hölder. Tuy nhiên, các bài toán BHP được xét trong tọa độ cực thì rất hiếm. Gần 
đây, bài toán truyền nhiệt ngược đối xứng (ABHP) trên một đĩa tròn được nghiên cứu 
bởi W. Cheng và C. L. Fu [3, 4]. Trong bài báo [3, 4], W. Cheng và C. L. Fu đã sử 
dụng phương pháp chặt cụt phổ toán tử và phương pháp Tikhonov có điều chỉnh để 
chỉnh hóa bài toán sau: 
2
02
0
0
1 , 0 , 0 ,
( , ) ( ), 0 ,
( , ) 0, 0 ,
(0, ) , 0 .
u u u r r t T
t r rr
u r T r r r
u r t t T
u t t T
   
   
 (1.2) 
Với một số điều kiện của nghiệm chính xác, các tác giả thu được các sai số dưới 
dạng logarit. Trong [5], một mô hình vật lí được xem xét đến là xác định nguồn nhiệt 
trong một quả cầu có bán kính r₀ và được xét trong trường hợp đối xứng tâm với thông 
lượng nhiệt trên bề mặt bằng 0. Từ đó, mô hình toán học tương ứng có thể mô tả qua 
bài toán BHP đối xứng tâm sau: 
0
0
0
2 , 0 , 0 ,
( , ) 0, 0 ,
( , ) ( ), 0 ,
(0, ) , 0 ,
t rr r
r
u u u r r t T
r
u r t t T
u r T r r r
u t t T
 (1.3) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
147 
trong đó, ( )r là nhiệt độ tại thời điểm cuối. Hơn nữa, các tác giả đã sử  ...  n m
j n m n n j n j
F T k
u r T f j r Y
F T k
 

    
   
  
2
2
,,
0 0 023
1 1 ,
2
2 ( , , ) ( ) ( , ) ,
a
n mjnm n n j
n n j
f f r j r Y r sin d d dr
a j
         
với α(ε) là tham số chỉnh hóa được chọn sao cho 
0
lim 0, 0k

 
 và f  là dữ liệu 
đo. Khi đó, chúng tôi thu được nghiệm chỉnh hóa u ứng với dữ liệu đo f  
 , ,
1 0
( , , , ) ( ) ( , ),
n
jnm n n j n m
j n m n
u r t B t j r Y     
   (3.5) 
trong đó, 
 
 
2
,
2 2
, ,
exp ( )
,
exp ( )
n j
jnm jnm
n j n j
F t k
B t f
F T k
 

   
và nghiệm chỉnh hóa v ứng với dữ liệu chính xác f 
 , ,
1 0
( , , , ) ( ) ( , ),
n
jnm n n j n m
j n m n
v r t B t j r Y     
   (3.6) 
với 
 
 
2
,
2 2
, ,
exp ( )
,
exp ( )
n j
jnm jnm
n j n j
F t k
B t f
F T k

   
Để tiện cho việc trình bày, từ đây trở đi, chúng tôi kí hiệu .  
Sau đây, chúng tôi đưa ra một số bổ đề giúp ích cho việc đánh giá sai số giữa 
nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. 
Bổ đề 3.1. Giả sử 0 , 0,T a ta có bất đẳng thức sau: 
1
}
.1 ln
{
T T
a exp aT 
Bổ đề 3.3. Giả sử 0 , 0t s T T và 2.p Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau: 
 i) 
 
  00
(exp
e
)
sup ln ,
xp
t s
T
a
s t T a T
T
a aT
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
152 
 ii) 
 
 

1
0
exp
sup l
xp
,
e
n
t
T
a
ta T
T
a aT
 iii) 
  
1
/ 2
0
lnsup , ,
1 exp
p
a
a
C p T
a a T
T
a
T
 trong đó, T₀=max{1;T} và 
1 /2
2( , )
2
p
pC p T
T
 . 
Chứng minh. 
Người đọc có thể tham khảo phần chứng minh của (i) - (ii) trong bài báo [13], nên 
trong phần này, chúng tôi chỉ chứng minh (iii). Đặt 
 
1 / 2
( ) .
paH a
a exp aT 
Dễ dàng thấy rằng 
0
lim lim 0
a a
H a H a
 . Dẫn đến tồn tại 0 0,a sao cho: 
 0 0 vôùi 0 vaø( 0 .) ( )H a H a a H a 
Bằng phép tính đơn giản, chúng tôi có được: 
  00
0
/ 2
exp .
1 / 2
a p
a T
p Ta
 (3.7) 
Mặt khác, vế trái của (3.7) là một số thực dương, do đó, chúng tôi thu được: 
0
2 .
2
pa
T
Áp dụng Bổ đề 3.1, suy ra: 
0
11 /2
( ) ( )
2 l .
2
n 
p
H a H a
p
T
T T
Kết thúc chứng minh Bổ đề 3.1 iii). 
Trong thực tế, để có được nhiệt độ tại thời điểm cuối T , chúng ta phải sử dụng 
các thiết bị đo đạc. Do đó, không thể tránh được sự xuất hiện sai số giữa dữ liệu chính 
xác f và dữ liệu đo đạc được. Trong bài báo này, chúng tôi giả sử dữ liệu đo đạc là 
f  và thỏa điều kiện sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
153 
H₁: Giả sử, f , f  2 0; ;L a r lần lượt là dữ liệu chính xác và dữ liệu đo đạc 
sao cho: 
 2, 0, 0,2
sup ( , , ) ( , , ) .f f
  
    
  
Ngoài ra, chúng tôi cần thêm một điều kiện đầu về nghiệm chính xác như sau: 
H₂: Với một số thực 2p . Giả sử rằng ( , , , ) ([0; ])pu t H a  - không gian 
Sobolev, tức là tồn tại một số dương K sao cho 
 ([0; ]), , 0, 0,2 0,
sup ( , , , ) ,pH at T
u t K
  
 
 (3.8) 
trong đó, 
 /22, , ,([0; ])
1 0 2
 ( , , , ) 1 ( ) ( , ) .p
n p
n j jnm n n j n mH a
j n m n
u t A t j Y     
    
Với hai điều kiện trên, chúng tôi đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác 
và nghiệm chỉnh hóa qua định lí sau. 
Định lí 3.1. Với f , f  thỏa điều kiện H₁,  0 min 1,T và  . Giả sử rằng 
( , , , )u r t  và ( , , , )u r t   , được cho bởi (3.1) và (3.5), lần lượt là nghiệm chính xác và 
nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo f  . Với , , 0, 0,2 0,t T  , 
chúng tôi có đánh giá sau: 
2
1
ln ( )( , , , ) ( , , , ) ( ),k
F T k
u t u t T M    

  (3.9) 
trong đó, max 1;kT F T k và 
( )
( )( )( ) ln ( , ( ) ) .
F t k
F T kF T kM C p F T k K 

Chứng minh. 
Chứng minh của định lí này được chia thành hai phần. Trong phần 1, từ (3.5), 
(3.6) và Bổ đề 3.1, chúng tôi có đánh giá sau: 
 
  
2
2
,
, ,2 2
1 0 , , 2
 ( , , , ) ( , , , )
exp ( )
( ) ( , )
exp ( )
n
n j
jnm jnm n n j n m
j n m n n j n j
u t v t
F T k
f f j Y
F T k
 

   

  
  
 
 
 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
154 
( ) 1
( )
, ,
1 0 2
( ) 1
( )
2
( ) 1
( )
ln
l
( ) ( ) ( , )
( ) ( , , ) ( , , )
(
n
ln . )
F t k
nF T k
k jnm jnm n n j n m
j n m n
F t k
F T k
k
F t k
F T k
k
F T kT f f j Y
F T kT f f
F T kT

   
   
 
 
  
 
 
 (3.10)
Trong phần hai, từ (3.1) và (3.6), chúng tôi có được: 
   
 
 
2
,2
, 2 2
, ,
2 2
, ,
2 2
, ,
exp ( )
exp ( ( ) ( )) ,
exp (
 ( )
)
exp ( ( ) ( ))
exp (
)
)
(
.
n j
n j jnm
n j n j
n j n j
jnm
jnm j
n j n j
nm
F t k
F T F t f
F T k
F T F t
f
F T k
A t B t


  
  
  
Áp dụng Bổ đề 3.2 iii), chúng tôi có 
  
 
2
2
, 2
,2 2
1 0 , ,
, , 2
/ 22 2
, ,
2 2
1 0 , ,
/ 22
, ,
 ( , , , ) ( , , , )
exp ( ) ( )
exp ( )
 ( ) ( , )
1
exp ( )
 ( ) 1 (
n
n j
n j
j n m n n j n j
jnm n n j n m
p
n
n j n j
j n m n n j n j
p
n j jnm n n jt
v t u t
F T F t
F T k
f j Y
F T k
A j
    
 

  
  
  
  
 
 
 
 
 
,
2
1
/ 22
, , ,
1 0 2
1
) ( , )
( ), ( )
 1 ( ) ( , )
( ), ( ) , (
ln
(
3.
)
l 11)n
n m
n p
n j jnm n n j n m
j
k
n m n
k
Y
F T k
C p F T k
A j Y
F T k
C Tp F T k K
T
t
 
   

 
 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
155 
trong đó, 
1 / 2
2( , ( ) )
2 ( )
p
p
C p F T k
F T k
. 
Bằng bất đẳng thức tam giác, kết hợp (3.10), (3.11) và chọn  , chúng tôi suy 
ra được đánh giá sau: 
2
2 2
( ) 1 1( ) ( )
( )
( ) 1
( )
 ( , , , ) ( , , , )
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
ln ln
ln
( , , , )
( ) ( ), ( )
( )
F t k
F t k F T k
F T k
k
F t k
F T k
k
k
u t u t
u t v t v t u t
F T k F T kT C p F T k K
F k
T
TT

  
   
   



   

 
    
( )
( ) , .( )
F t k
F T k C p F T k K
Từ đó, chúng tôi có được đánh giá (3.9). Chú ý rằng ln F T k

 sẽ hội tụ về 
0 khi  tiến về 0. 
Kết thúc chứng minh Định lí 3.1. 
Chú ý 3.1. Nếu 2p , điều kiện H₂trở thành 
2 ([0; ])
( , , , ) ,
H a
u t K  
Hơn nữa, ( , ( ) ) (2, ( ) ) 0C p F T k C F T k . Điều này dẫn đến ước lượng sai số 
(3.9) trở thành 
( ) 1( ) ( )
( )
2
( )( , , , ) ( , , , ) ln .
F t k
F t k F T k
F T k
k
F T ku t u t T     

  
Đây là sai số dưới dạng kết hợp logarit và Hölder nhanh hơn dạng logarit của 
(3.9). 
Chú ý 3.2. Dựa vào (3.9), chúng ta có thể thấy rằng k càng lớn thì tốc độ hội tụ 
của nghiệm chỉnh hóa càng tốt. 
4. Ví dụ số 
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán cụ thể sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
156 
2 2 2
2
2 2 2 2
2 1( ) cot csc , (4.1)
, , , 0, (4.2)
,
t
u u u u u
u a t
r rr r
u a t
u r
 
 
 
        
    
 , , , , , (4.3)T f r    
trong đó, , , , 0,1 0, 0,2 0,1r t  và 
 10 12 25/ 2 ,1 12 , 12 12 ,12( , , ) 10 , , , (4.4)
1 1( ) ,
50 10
f r j r Y Y
a t t
     
Chúng ta có được 
 12 1212,12 12
25, cos ,
24!4
iY P e   
6
12 12 6 12
12 6
12
12
12,1212, 12
2
6
12 2
12
0
( )
( ) ( 1) (1 )
1 (24 2 )!( ) ( 1) ,
!(12 )!(12 2 )!
,
, =( 1) ,
2
.
m m
m
d P x
P x x
dx
mP x x
m m m
Y Y   
 
Từ đó, chúng tôi thu được nghiệm chính xác u tương ứng với dữ liệu chính xác 
(4.4) như sau: 
 2, , ,
1 0
( , , , ) exp ( (1) ( )) ( ) ( , ),
n
n j jnm n n j n m
j n m n
u r t F F t f j r Y     
   
Xét dữ liệu đo sau 
 ( , , ) 1 rand ( , , ),f r f r        (4.5) 
trong đó, ( )rand 0,1 .N  Từ (4.4) và (4.5), ta có 
2
( , , ) ( , , ) .f f       
Ngoài ra, từ (3.5), (4.5) và chọn 10, ,
3
k k ₁ ₂ chúng tôi đưa ra các nghiệm chỉnh 
hóa 1,ku và 2,ku lần lượt tương ứng với , k k₁ ₂ như sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
157 
 
 
1,
2
,
, ,2 2
1 0 , ,
 ( , , , )
1 rand exp ( )
( ) ( , ), (4.6)
exp (1)
k
n
n j
jnm n n j n m
j n m n n j n j
u r t
F t
f j r Y
F
  
 
  
 
   
 
và 
2,
2
,
, ,
1 0 2 2
, ,
 ( , , , )
11 rand exp ( )
3
( ) ( , ), (4.7)
1exp (1)
3
k
n jn
jnm n n j n m
j n m n
n j n j
u r t
F t
f j r Y
F
  
 
  
 
  
    
  
  
  
 

 Chúng tôi đưa ra các tính toán sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ tại 
các giá trị của t. Chi tiết hơn, chúng tôi lấy ε lần lượt là 10 , 1,4ii i
 , 0;0.5t 
và , ,
6 6
 
 . Các bảng sau đây thể hiện các tính toán sai số của cả hai trường hợp 
10, .
3
k k ₁ ₂ 
Bảng 1. Ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa 1,ku 
 trong trường hợp , ,
6 6
 
 và 1 0k 
 1,
2
, , , , , ,
6 6 6 6
ku t u t 
  
t 11 10
 22 10
 33 10
 44 10
0 
13.1297 10 13.1206 10 
13.0320 10 
12.3617 10 
0.5 
46.4538 10 
46.4350 10 
46.2524 10 
44.8700 10 
Bảng 2. Ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa 2,ku 
 trong trường hợp , ,
6 6
 
 và 2
1
3
k 
 2,
2
, , , , , ,
6 6 6 6
ku t u t 
  
t 11 10
 22 10
 33 10
 44 10
0 
11.0669 10 11.0649 10 
29.2697 10 
29.2028 10 
0.5 
45.6685 10 
45.5152 10 
45.4914 10 
45.3310 10 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
158 
Tiếp theo, Hình 1 thể hiện nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa 2,i ku , 
1,4i tại thời điểm t=0 trong trường hợp 1r và 
6
 . Sau cùng, chúng tôi vẽ đồ thị 
nghiệm chính xác u và các nghiệm chỉnh hóa 2,i ku , 1,4i tại thời điểm t=0 với 
6
 
trong Hình 2, Hình 3. 
5. Kết luận 
Trong bài báo này, chúng tôi đã nghiên cứu một bài toán nhiệt không đối xứng 
trong tọa độ cầu bằng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh. Với phương pháp 
này, chúng tôi đã đưa ra ước lượng sai số dạng Hölder kết hợp logarit trong Chương 3. 
Hơn nữa, trong Chương 4, Bảng 1 và 2 đã minh họa cho Chú ý 3.2. Một điểm yếu của 
bài báo là chúng tôi xét bài toán trong trường hợp thuần nhất. Do đó, trong những công 
trình tiếp theo, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán này trong trường hợp không 
thuần nhất. 
Hình 1. Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa tại t=0, 1r và
6
 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
159 
Hình 2. Nghiệm chính xác và các nghiệm chỉnh hóa 2,i ku , 1,2i tại t=0, 
6
 
Hình 3. Các nghiệm chỉnh hóa 2,i ku , 3,4i tại t=0, 
6
 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Beskos, D. E., (1997), “Boundary element method in dynamic analysis: Part II”, 
Applied Mechanics Review, 50, pp. 149-197. 
2. Chen, J. T. & Wong, F. C., (1998), “Dual formulation of multiple reciprocity 
method for the acoustic mode of a cavity with a thin partition”, Journal of Sound 
and Vibration, 217, pp. 75-95. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 12(90) năm 2016 
____________________________________________________________________________________________________________ 
160 
3. Cheng, W. & Fu, C. L., (2009), “A spectral method for an axisymmetric 
backward heat equation”, Inverse Problems in Science and Engineering, 17(8), 
pp. 1085-1093. 
4. Cheng, W.& Fu, C. L., (2010), “A modified Tikhonov regularization method for 
an axisymmetric backward heat equation”, Acta Mathematica Sinica, English 
Series, 26(11), pp. 2157-2164. 
5. Cheng ,W., Ma, Y.-J.& Fu C. L., (2014), “A regularization method for solving 
the radially symmetric backward heat conduction problem”, Applied Mathematics 
Letters, 30, pp. 38-43. 
6. Denche, M. & Djezzar S., (2006), “A modified quasi-boundary value method for 
a class of abstract parabolic ill-posed problems”, Hindawi Publishing 
Corporation Boundary Value Problems, 2006, Article ID 37524, pp.1-8. 
7. Edmund, Y. M. C., (2008), A brief introduction to Bessel and related special 
functions, Math306 supplementary material. 
8. Frank, B. (1958), Introduction to Bessel functions, Dover publications Inc., New 
York. 
9. Fu, C. L., Xiong, X. T.& Qian, Z., (2007), “Fourier regularization for a backward 
heat equation”, J. Math. Anal. Appl., 331, pp. 472-480. 
10. Gun, S. et al., (2009), “Linear independence of digamma function and a variant of 
a conjecture of Rohrlich”, J. Number Theory, doi:10.1016/j.jnt. 2009.02.007. 
11. Nakhlé, H. A., (2005), Partial differential equations with Fourier series and 
boundary value problems, second edition, University of Missouri, New Jersey. 
12. Neta, B., (2002), Partial differential equation MA 3132 Lecture Notes, 
Department of Math-ematics Naval Postgraduate School, Monterey, California. 
13. Quan, P. H., Trong, D. D., Triet, L. M.& Tuan, N. H. (2011), “A modified quasi-
boundary value method for regularizing of a backward problem with time-
dependent coefficient”, Inverse Problems in Science and Engineerin, 19(3), pp. 
409-423. 
14. Trong, D. D. & Tuan, N. H. (2008), “Stabilized quasi-reversibility method for a 
class of nonlinear ill-posed problems”, Electronic Journal of Differential 
Equations, 2008(84), pp.1-12. 
15. Trong, D. D., Quan, P. H. & Tuan, N. H. (2009), “A quasi-boundary value 
method for regularizing nonlinear ill-posed problems”, Electronic Journal of 
Differential Equations, 2009(109), pp. 1-16. 
16. Trong, D. D. & Tuan, N. H. (2008), “A nonhomogeneous backward heat 
problem: Regularization and error estimates”, Electronic Journal of Differential 
Equations, 2008(33), pp. 1-14. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Lưu Hồng Phong và tgk 
_____________________________________________________________________________________________________________ 
161 
17. Tuan, N. H. & Trong, D. D. (2011), “A note on a nonlinear backward heat 
equation Stability and error estimates”, Acta Universitatis Apulensis, 2011(28), 
pp. 279-292. 
18. Z. Qian, C. -L. Fu & X. -T. Xiong (2008), “Two regularization methods for a 
Cauchy problem for the Laplace equation”, J. Math. Anal. Appl., 338, pp. 479-
489. 
19. Watson, G. N. (1966), A treatise on the theory of bessel functions 2nd edition, 
Cambridge, the University Press. 
(Ngày Tòa soạn nhận được bài: 14-11-2016; ngày phản biện đánh giá: 25-11-2016; 
ngày chấp nhận đăng: 16-12-2016)