Các trạng thái đan rối trong bộ ghép phi tuyến kiểu Kerr được bơm trên hai mode

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
72 
CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI TRONG BỘ GHÉP PHI TUYẾN 
KIỂU KERR ĐƯỢC BƠM TRÊN HAI MODE 
Nguyễn Thị Hồng1 
TÓM TẮT 
Bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bộ ghép phi tuyến kiểu Kerr bao gồm hai dao 
động tử phi tuyến được liên kết bằng kiểu tương tác tuyến tính và chịu tác động của 
trường điện từ bên ngoài được giả thiết dưới dạng các xung liên tục trên cả hai mode. 
Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng hệ có thể được xem như kéo lượng tử phi tuyến và đóng vai trò 
như một mô hình hai qubit. Bằng cách sử dụng các công thức toán tử biến đổi, chúng tôi 
tiến hành mô hình hóa hệ lượng tử, tìm ra biểu thức giải tích của biên độ xác suất của 
các trạng thái phụ thuộc vào thời gian và từ đó tạo ra các trạng thái đan rối cực đại với 
hiệu quả cao. 
Từ khóa: Trạng thái đan rối, độ đan rối lượng tử, entropy von Neumann, 
concurrence, cổng lượng tử. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Do nhu cầu tính toán ngày càng tăng, máy tính được vi tính hóa liên tục kèm theo đó 
là nhu cầu cải tiến thiết bị điện tử ngày càng nhỏ hơn nữa. Việc thực hiện cả hai nhu cầu trên 
là thách thức lớn đối với các nhà khoa học. Trong khoảng đầu những năm tám mươi của thế 
kỷ trước, để tìm lối thoát khỏi tình huống này, nhà bác học nổi tiếng Richard Feynman đã 
đưa ra ý tưởng tính toán chính ngay trên hệ vật lý [2]. Sau đó, tính toán lượng tử đã phát 
triển như vũ bão, hiện đang là đề tài nóng trong vật lý lý thuyết. Thông tin lượng tử dùng 
đơn vị nhỏ nhất là qubit (bit lượng tử), một hệ hai trạng thái bất kỳ để liên hệ với tin học cổ 
điển, người ta thường ký hiệu chúng là  0  và  1 . Trong khuôn khổ lý thuyết lượng tử, nó 
có thể là tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái  0  và  1 . Theo đó thì qubit là một véc tơ trong 
không gian Hilbert hai chiều được biểu diễn dưới dạng [1]: 
0 1= +a b (1) 
Trong đó  a  và b  là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa 
2 2
1+ =a b . 
Biểu hiện của qubit khi được đo là chỉ thu được các kết quả  0 hoặc 1 . Phép đo làm 
thay đổi trạng thái của qubit, làm tan vỡ trạng thái tổ hợp của  0  và  1 . Khi không thực 
hiện một phép đo nào lên trạng thái lượng tử, rõ ràng nó giữ nguyên tất cả các biến liên tục 
mô tả hệ như a và b. Nhưng nếu không đo thì làm sao có thể xử lý được thông tin? Khái 
1 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
73 
niệm trạng thái đan rối được đưa ra giải quyết cho câu hỏi này, đó là trạng thái không thể 
phân ra được tích tenxơ của hai trạng thái mô tả các hệ con thành phần. Nếu trạng thái của 
hệ là đan rối thì khi đọc qubit riêng biệt thứ nhất được hai kết quả với cùng xác suất thì nếu 
ta đo qubit thứ hai cũng luôn thu được kết quả như qubit thứ nhất (thậm chí ở khoảng cách 
rất xa). Einstein đã gọi đây là một tác động ma quái ở khoảng cách.  
Trạng thái đan rối của hai hệ con được định nghĩa là trạng thái được mô tả bằng một 
véctơ trong không gian Hilbert của hệ phức hợp mà không phải là tích của các véctơ mô tả 
các hệ con.  
A B¹ Ä (2) 
Toán tử ma trận mật độ của chúng không được biểu diễn dưới dạng: 
=å A Bi i i
i
p (3) 
Ma trận mật độ là đại lượng đo mật độ trạng thái nên không có thứ nguyên. 
Một lớp các trạng thái đan rối này được gọi là các trạng thái Bell. Tính chất đan rối 
của hệ lượng tử tiến tới thực hiện một máy tính lượng tử trong tương lai với những khả năng 
tính toán mà không một máy tính hiện thời nào thực hiện được [3,4]. Trong bài báo này, 
chúng tôi nghiên cứu sử dụng kéo lượng tử để cắt các không gian Hilbert vô hạn chiều tạo 
ra các trạng thái đan rối giữa hai qubit có độ đan rối cao nhất - Trạng thái Bell. 
Hình thức luận kéo lượng tử và mô hình kéo lượng tử tuyến tính. 
Chúng ta biết rằng không gian Hilbert là một không gian mà không bị giới hạn về số 
chiều, đó là một không gian có tích vô hướng. Tuy nhiên, gần đây các trạng thái liên kết hữu 
hạn chiều đã được xem xét ở các khía cạnh khác nhau trong một số công trình. Có nhiều các 
trạng thái lượng tử hữu hạn chiều như trạng thái n-photon, các trạng thái bị ép hữu hạn chiều, 
các trạng  thái Bell... Các trạng  thái này được gọi  là các  trạng  thái bị cắt [7,8,10]. Chúng 
thường được xét trong trạng thái đan rối lượng tử. Ví dụ trạng thái Bell là một trạng thái như 
vậy [13]. Kéo lượng tử tuyến tính chính là cơ cấu sử dụng các phần tử tuyến tính cắt các 
không gian vô hạn chiều thành không gian hữu hạn chiều. Từ đó ta tìm ra các hệ liên quan 
trong tin học lượng tử.  
Đề án lý thuyết đầu tiên về khả năng cắt ngắn các trạng thái liên kết quang được đề 
xuất bởi Pegg, Philips, và Barnett [5,12,14].  
 Các trạng thái kết hợp định nghĩa không gian hai chiều: 
2
0 0
exp
2 !
¥ ¥
= =
æ ö
ç ÷= = -
ç ÷
è ø
å å
n
n
n n
a n
n
(4) 
đã được cắt để có một dạng đơn giản hơn mà ở đó chỉ có sự chồng chập của hai trạng thá ... +
+
ed b bb (5) 
Độ đan rối của trạng thái cắt ngắn được tính thông qua độ tụ hợp (concurrence)  
Concurrence của trạng thái đang xét được xác định theo [13]: 
00 11 01 102= = -%AB AB ABC c c c c (6) 
Cũng theo [13] ta xác định độ đan rối 
AB
E  của 
AB
 theo công thức: 
2 2log 1 log 1= - - - -ABE x x x x (7) 
với 
21 1
2
+ -
=
C
x .  
Trong đó Concurent có thứ nguyên là ebit, độ đan rối được đo bằng entropy. 
2. KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN VÀ BỘ GHÉP PHI TUYẾN KIỂU KERR  
Kéo lượng tử phi tuyến là thiết bị quang học sử dụng các yếu tố quang phi tuyến mà 
kết quả tác động của nó lên các trạng thái quang cũng tương tự như mô tả đối với trường 
hợp kéo lượng tử tuyến tính. Trong phần này, chúng tôi sẽ mô tả thiết bị kéo lượng tử phi 
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
75 
tuyến sử dụng bộ ghép hai dao động phi tuyến với tính chất phi tuyến Kerr  ,a b  có tính 
đến cả tương tác với trường ngoài. Bộ ghép phi tuyến kiểu Kerr thể hiện sự tự khắc phục, tự 
điều chế những thay đổi của chính nó và các hiệu ứng tự chuyển đổi. Trong trạng thái lượng 
tử, chúng cũng tạo ra ánh sáng nén, hay các trạng thái đan rối [6].  
Bộ nối phi tuyến kiểu Kerr được đưa ra bao gồm hai dao động tử điều hòa phi tuyến 
kiểu Kerr a và b tương tác với nhau bằng kiểu tương tác tuyến tính, các dao động tử có thể 
được tác động bằng trường điện từ bên ngoài được giả thiết dưới dạng xung liên tục mô tả 
trên hình 2. Cụ thể, chúng tôi sẽ giới thiệu bộ nối phi tuyến kiểu Kerr bao gồm hai dao 
động tử điều hòa phi tuyến kiểu Kerr a và b được liên kết một cách tuyến tính với nhau, 
các dao động tử được tác động bằng trường điện từ bên ngoài được giả thiết dưới dạng các 
xung liên tục [11]. 
Hình 2. Mô hình bộ ghép phi tuyến kiểu Kerr, tương tác với nhau và chịu sự kích thích 
của trường ngoài ở cả hai mode dưới dạng xung liên tục 
Hamiltonian mô tả hệ có dạng: 
0 1
ˆ ˆ ˆ= +H H H (8) 
trong đó: 
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ+ += +a bH a a b b (9) 
1 int ex ex
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= + + + +a b a bnonl nonl t tH H H H H H (10)
22 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
2 2
+ ++ = +a b a bnonl nonlH H a a b b (11)
*
int
ˆ ˆˆ ˆ ˆ+ += +H a b ab (12)
* *
ex ex
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ;+ += + = +
a b
t tH a a H b b (13)
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
76 
ˆ ˆˆ ˆ, , ,+ +a b a b  là các toán tử hủy và sinh boson tương ứng với hai mode a và b của tần 
số  ,a b ;  intHˆ  mô tả tương tác tuyến tính giữa các dao động tử, đặc trưng bằng tham số 
mô tả độ lớn của tương tác giữa các mode, 
,
ex
ˆ a b
tH  mô tả tác động của xung bơm bên ngoài 
lên các dao động tử điều hòa a và b, các xung bơm này là các xung bơm liên tục.  ,a b là 
độ cảm mô tả tính chất phi tuyến trong Hamiltonian của các dao động tử. Các tham số  ,
đặc trưng cho độ mạnh của tương tác với trường ngoài. Tiến triển theo thời gian của hệ có 
thể được mô tả bởi phương trình Schrodinger: 
ˆ=
d
i t H t
dt
(14) 
Bỏ qua quá trình tắt dần (damping) và do đó tiến triển của hệ có thể được mô tả bởi 
một hàm sóng phụ thuộc thời gian. Hàm sóng này có thể được biểu diễn thông qua tổ hợp 
tuyến tính trong cơ sở của các trạng thái Fock như sau: 
, 0
( ) ( )
¥
=
= å mn a b
m n
t c t m n (15) 
Với  ( )mnc t  là biên độ xác suất tương ứng với trạng thái m và n photon trên dao động 
tử a và b. Sử dụng các tính chất của toán tử hủy hạt và toán tử sinh hạt và kết hợp các biểu 
thức từ (11) đến (13) thay vào phương trình (14) ta thu được:  
*
1, 1 1, 1
* *
1, 1, , 1 , 1
1
1 1
2
1 1
              + c 1 1
- + + -
- + - +
= - + - +é ùë û
+ + + + +
+ + + + +
mn a b mn
m n m n
m n m n m n m n
d
i c m m n n c
dt
c m n c n m
m c m c n c n
(16) 
Trong thực tế phương trình (16) bao gồm vô số phương trình, việc giải hệ phương 
trình này gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, giả sử rằng tất cả các tương tác được xem xét 
ở đây là yếu  , ,= a b , hệ lượng tử có thể được xem xét như kéo lượng tử phi tuyến. 
Và theo đó, tiến triển theo thời gian của hệ sẽ được giới hạn trong bốn trạng thái cộng hưởng 
0 0
a b
,  1 0
a b
,  0 1
a b
,  1 1
a b
. Kết quả thu được là hệ phương trình (16) sẽ được giới 
hạn xuống hệ bốn phương trình cho biện độ xác suất tương ứng với  , 0, 1=m n . Nghĩa 
là các biên độ xác suất  , 0 khi , 0, 1= ¹m nc t m n , từ đó ta có thể viết lại hàm sóng dưới 
dạng “cắt” như sau: 
00 01 10 11
0 0 0 1 1 0 1 1= + + +
a b a b a b a bcut
t c c c c (17) 
Với giả thuyết tại thời điểm ban đầu, hệ trong trạng thái chân không  (0) 0 0 .=
Từ đó ta thu được hệ bốn phương trình đơn giản sau:  
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
77 
* * * *00 01
10 01 10 11 00
*10 11
01 00 11 01 10
   , ,
, .
= + = + +
= + + = +
dc dc
i c c i c c c
dt dt
dc dc
i c c c i c c
dt dt
(18) 
Giải  hệ  phương  trình  trên  trong  trường  hợp  =  với  các  điều  kiện  ban  đầu: 
00 11 10 010 0 0 0, 0 1= = = =c c c c  ta thu được nghiệm tương ứng với một số trường hợp 
cụ thể: 
Trường hợp:  =
2
00 11( ) ( ) 2i sin
2
-æ ö
= = - ç ÷
è ø
i tt
c t c t e (19) 
2
01
1 1
( ) cos sin
2 2 2 2
-é ùæ ö æ ö
= + -ç ÷ ç ÷ê ú
è ø è øë û
i t
i t t tc t e i e    (20)
2
10
1 1
( ) cos sin
2 2 2 2
-é ùæ ö æ ö
= - + -ç ÷ ç ÷ê ú
è ø è øë û
i t
i t t tc t e i e    (21)
trong đó:  2 216= +  . 
Tính Concurent theo công thức  00 11 01 102= -C c c c c  và tính độ đan rối theo (7): 
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
log 1 log 1
2 2 2 2
æ ö æ ö+ - + - + - + -
= - - - -ç ÷ ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
C C C C
E t    (22) 
Kết quả thu được thể hiện trên đồ thị tiến triển theo thời gian của độ đan rối các trạng 
thái được tạo ra (các dấu chấm) và các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn (đường 
liền nét) bởi bộ ghép bơm 2 mode như sau: 
Hình 3. Tiến triển độ đan rối của các trạng thái t được tạo ra (các dấu chấm) và 
các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn 
cut
t (đường liền nét) bởi bộ ghép 
bơm 2 mode ;= = =
810
200
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
78 
Trường hợp:  = -   
2
00 11( ) ( ) 2i sin
2
æ ö
= - = ç ÷
è ø
i tt
c t c t e    (23) 
2
01
1 1
( ) cos sin
2 2 2 2
- é ùæ ö æ ö= + +ç ÷ ç ÷ê ú
è ø è øë û
i t
i t t tc t e i e    (24)
2
10
1 1
( ) cos sin
2 2 2 2
- é ùæ ö æ ö= - + -ç ÷ ç ÷ê ú
è ø è øë û
i t
i t t tc t e i e    (25)
Kết quả thu được thể hiện trên đồ thị tiến triển theo thời gian của độ đan rối của các 
trạng thái được tạo ra (đường chấm) và các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn (đường 
liền nét) bởi bộ ghép bơm 2 mode như sau:  
Hình 4. Tiến triển độ đan rối của các trạng thái t được tạo ra (đường chấm) 
và các trạng thái được cắt ngắn theo mong muốn 
cut
t (đường liền nét) bởi bộ ghép 
bơm 2 mode ;= - = - =
810
200
Rõ ràng trong cả hai trường hợp trên hình 3 và hình 4 thì độ đan rối giải tích thu được 
rất phù hợp với kết quả tính số. Ta cũng nhận thấy đồ thị Tiến triển của độ đan rối của các 
trạng thái được tạo ra ở hai trường hợp trên hình 3 và hình 4 là như nhau. Điều này được 
giải thích đơn giản từ công thức tính concurent và công thức tính độ đan rối (22) trong hai 
trường hợp này là như nhau. Độ đan rối của trạng thái thu được có thể xấp xỉ hoặc thậm chí 
bằng 1, tuy nhiên cũng có những thời điểm trạng thái đan rối của hệ hoàn toàn bị biến mất 
(độ đan rối bằng không) rồi lại được tái sinh. Để đánh giá chất lượng của trạng thái quang 
học  được  cắt  ngắn,  bây giờ  ta  sẽ  xét  đến  độ  sai  lệch  giữa  trạng  thái  hai  qubit  lý  tưởng 
ˆ =cut cut cutt t  và  trạng  thái  đầu  ra  thực  tế 
ˆ =t t t  ,  trong  đó, 
t  được tính toán số dạng [11,15].  ˆexp( ) 01= -t iHt  trong không gian Hilbert 
hai mode thực tế là vô hạn chiều. Trong phần tính toán số tôi sẽ đưa ra ở phụ lục, tôi chọn 
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
79 
số chiều là 20 trong mỗi không gian con. Độ chính xác của trạng thái cắt ngắn được tạo ra 
của phép cắt ngắn bằng kéo lượng tử ở trên được xác định bởi [11,15]: 
2
1/2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, é ù=
ê úë û
cut cut cutF Tr    (26) 
độ tin cậy được đo bằng ebit. 
Trong phần này, tôi tập trung vào trường hợp các trạng thái thuần được cắt ngắn. Khi 
đó độ chính xác ở (26) được đơn giản hóa thành: 
2
=
cut
F t t    (27) 
Độ chính xác của việc cắt ngắn lý tưởng bằng 1. Kết quả thu được từ việc tính số độ 
chính xác của sự cắt ngắn trong các trường hợp được thể hiện rõ trong hình 5 và hình 6.  
Hình 5. Độ chính xác giữa trạng thái thực được tạo ra t và trạng thái cắt ngắn 
 lý tưởng 
cut
t bởi bộ ghép bơm 2 mode ;= = =
810
200 10
Hình 6. Độ chính xác giữa trạng thái thực được tạo ra t và trạng thái cắt ngắn 
lý tưởng 
cut
t bới bộ ghép bơm 2 mode ;= - = - =
810
200 10
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
80 
Kết quả thu được trên hình 5 và hình 6 cho thấy độ tin cậy của quá trình cắt trong 
trường hợp  = đạt được là cao hơn so với trường hợp  = - . Theo định nghĩa của 
fidelity (độ chính xác hay độ tin cậy của phép “cắt”), fidelity sẽ bằng 1 cho trường hợp 
chúng ta có phép “cắt” hoàn hảo. Với việc lấy số chiều của mỗi không gian Hilbert con là 
m=n=20, kết quả tính toán số độ tin cậy của trạng thái  ( )
cut
t và trạng thái thực  ( )t
được chúng tôi tính toán và thể hiện trên hình 5 và 6, với một số giá trị khác nhau của 
tham số đầu vào. Ta nhận thấy độ chính xác của việc cắt ngắn luôn xấp xỉ 1 trong một 
thời gian ngắn. Các giá trị của độ chính xác chỉ lệch khỏi 1 cỡ  43.10- , thậm chí là  42.10-
, điều này chỉ ra sự phù hợp trong phương pháp phân tích để chỉ ra một thiết bị kéo lượng 
tử dùng để cắt ngắn các trạng thái tạo ra được trạng thái hai qubit có độ đan rối cao nhất 
trong thời gian tiến triển tương đối ngắn. Vào năm 2006, nhóm tác giả Miranowicz A. 
and Leoński W. cũng đã công bố công trình tính toán độ đan rối của trạng thái được tạo 
ra cũng như độ tin cậy của phép cắt ngắn này với các tham số đầu vào khác nhau và cũng 
thu được các kết quả tương tự. 
3. KẾT LUẬN 
Bài báo giới thiệu tổng quan về trạng thái đan rối lượng tử, phân tích tính toán độ 
đan rối theo hai cách khác nhau. Chúng tôi cũng đưa ra các mô hình kéo lượng tử tuyến 
tính và kéo lượng tử phi tuyến và tập trung nghiên cứu mô hình kéo lượng tử phi tuyến 
có các mode tương tác tuyến tính được bơm 2 mode tạo ra không gian Hilbert hữu hạn 
chiều trong trường hợp không có mất mát và thu được những trạng thái có độ đan rối cao. 
Qua nghiên cứu, khảo sát chúng tôi đã thu được các trạng thái lượng tử hai qubit có độ 
đan rối xấp xỉ hoặc thậm chí bằng 1 từ việc sử dụng kéo lượng tử phi tuyến để cắt các 
trạng thái trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Chất lượng của trạng thái tạo ra tương 
đối cao và được chúng tôi đánh giá qua đồ thị của độ chính xác giữa trạng thái thực được 
tạo ra và trạng thái lý tưởng theo mong muốn. Độ chính xác này xấp xỉ 1 và chỉ sai lệch 
cỡ 2.10-4. Các kết quả tính toán được so sánh giữa phương pháp tính số và phương pháp 
giải tích đã xác nhận giá trị của phương pháp giải tích mà chúng tôi đưa ra. Điều có thể 
được áp dụng như là nguồn nguyên liệu của giao thức viễn tải lượng tử và máy tính lượng 
tử trong tương lai không xa. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Văn Hóa, Nguyễn Mạnh An, Cao Long Vân (2014), Ở ngưỡng cửa của cách 
mạng lượng tử trong tin học, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Hồng Đức, số 19. 
[2] Cao Long Vân, Tạ Phương Hạnh (2005), Tin học lượng tử và máy tính lượng tử (I), 
Tạp chí ứng dụng toán học tập III, (số 1), trang 83-102. 
[3] Cao Long Vân (2005), Tin học lượng tử và máy tính lượng tử (II), Tạp chí ứng 
dụng toán học, tập III, (số 2), trang 77-100.  
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 39.2018 
81 
[4] Cao Long Vân (2006), Tin học lượng tử và máy tính lượng tử (III): Các thuật toán 
lượng tử, Tạp chí ứng dụng toán học, tập IV, (số 1), trang 73-90. 
[5] Babichev S. A., Ries J. and Lvovsky A. I. (2003), Europhys. Lett. 64 1. 
[6] Gree Jaeger (2009), Entanglement, information and the interpretation of quantum 
mechanics, The Frontiers Collection, 50-52. 
[7] Kuang L.M., Wang F.B. and Zhou Y.G. (1993), Phys. Lett. A 183, 1. 
[8] Kuang L.M., Wang F.B. and Zhou Y.G. (1994), J. Mod.opt. 41, 1607 
[9] Leonski W, Miranowicz  A  (2004), Kerr nonlinear coupler and entanglement, 
J.Opt. B: Quantum Semiclass. Opt, 6, pp 37-42. 
[10] Miranowicz A., Leonski W., and Imoto (2001), Quantum-Optical State in Finite-
Dimensional Hilbert Space, J. Mod.opt. 155, 193. 
[11] Miranowicz A. and Leoński W.  (2006), Two-mode optical state truncation and 
generation of maximally entangled states in pumped nonlinear couplers, J.Phys. 
B: At. Mol.Opt. Phys. 39. 
[12] Ozdemir S.K., Miranowicz A., Koasi M. and Imoto N (2001), Phys.Rev. A 64 063818. 
[13] Pegg D.T. and Barnett S.M. (1989), Phase properties of the quantized single-mode 
electromagnetic field, Phys.Rev.A. 39 1665. 
[14] Pegg  D.T.,  Philips  L.S.  and Barnett  S.M.  (1998), Optical State Truncation by 
Projection Synthesis, Phys. Rev. Lett. 81 1604. 
[15] Wootters W.K. (1998), Entanglemen of Formation of an Arbitrary State of Two 
Qubits, Phys. Rev. Lett. 26, 78. 
ENTANGLEMENT STATES IN THE KERR - LIKE NONLINEAR 
COUPLER PUMPED ON TWO MODES 
Nguyen Thi Hong 
ABSTRACT 
In this paper, we study the Kerr - like nonlinear coupler consisting of two nonlinear 
oscillators that are linearly coupled together and affected by an external electromagnetic 
field being assumed to be in the form of continuous pulses in both modes. We explore that it 
is possible to apply the formalism of nonlinear quantum scissors to the system so that the 
system can be considered as a two-qubit system. By using transformational formulas for 
operators, we conduct modeling the quantum system, find out the analytical expressions of 
the probability amplitudes of time-dependent states, and thus generating maximal entangled 
states with high efficiency. 
Keywords: Entanglement state, quantum entanglement, von Neumann entropy, 
concurrence, quantum gates.
Edited with the trial version of 
Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping