Các Mode dao động trong dây lượng tử tự do

TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 5 
 CÁC MODE DAO ĐĐỘỘỘỘNGNG QUANG 
 TRONG DÂY LƯLƯỢỢỢỢNGNG TTỬỬỬỬ T TỰỰỰỰ DO 
 Đng Trn Chin1(1) , Nguyn Anh 1, Nguyn S Hi1, T Anh Tn2 
 1Trưng Đi hc Tài nguyên và Môi trưng Hà Ni 
 2Trưng Đi hc Th ñô Hà Ni 
 Tóm tttttt: Chúng tôi áp dng mô hình liên tc ti biên vt liu ñ mô t các phonon quang 
 dc (LO) trong dây lưng t t do. S giam gi các mode dao ñng quang trong dây 
 lưng t ch to bng vt liu bán dn phân cc ñưc mô phng bng lí thuyt lai cp ba 
 gia các mode quang dc (LO), quang ngang (TO), và dao ñng b mt (IP). Trong công 
 trình này chúng tôi tp trung mưu t các mode LO, TO, IP mt cách riêng l có s dng 
 hai ñiu kin biên cơ và ñin t. 
 TTTT khoákhoá: LO, TO, IP, ñiu kin biên cơ ñin t. 
1. M ĐU 
 Mt trong các lí do làm cho cu trúc nanô ñưc ñc bit quan tâm là tính cht ñin t 
 và dao ñng ca chúng b bin dng do chúng tr thành thp chiu và ñi xng thp. H 
 chun mt chiu (quasionedimesional) ñưc chú ý vì chúng cho hàng lot hin tưng vt 
 lí hp dn. Khi áp dng trong các thit b vi ñin t thì s vn chuyn ht ti ca chúng 
 ñưc ñc bit chú ý. K t khi Sakaki [3] tiên ñoán v s tăng cao ca ñ linh ñng do s 
 tán x không tinh khit  xa gây nên, tương tác ca electron vi phonon quang dc (LO) ñã 
 ñưc nhiu tác gi nghiên cu và cho rng các phonon là phonon khi và nhng hiu ng 
 giam gi ca phonon ñưc b qua. Điu này làm cho vn ñ tr nên ñơn gin. Trong h hai 
 chiu tương ng (ví d ging lưng t GaAs/Al xGa 1xAs), hàng lot các nghiên cu ch ra 
rng hiu ng giam gi phonon to ra s thay ñi quan trng trong vic vn chuyn các ht 
ti [6, 7]. 
 Trong bài báo này, chúng tôi quan tâm ñn s giam nht ca các mode quang trong 
dây lưng t. Vn ñ này cũng ñã ñưc nhiu nhà vt lí lí thuyt quan tâm nghiên cu như: 
công trình [4] nghiên cu các mode quang dc và ch rõ ñưc tán sc ca chúng và tính tc 
(1) Nhn bài ngày 05.8.2016; gi phn bin và duyt ñăng ngày 15.9.2016 
 Liên h tác gi: Đng Trn Chin; Email: dtchien@hunre.edu.vn 
6 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
ñ chuyn mc ca electron ñi vi dây freestanding cũng như dây có môi trưng ngoài 
bao quanh. Tuy nhiên cho ñn nay trong h chun mt chiu, hu như các nghiên cu vn 
tp trung nhiu vào tác ñng ca các phonon 
quang b giam gi lên tính cht vn chuyn ca 
electron trong dây mà b qua tác dng do s giam 
gi ca các mode dao ñng quang ngang (TO) 
cũng như nh hưng ca lưng t ánh sáng khi liên 
kt vi các mode TO. 
 Mô hình nghiên cu là mt si GaAs ñưc 
ñt t do (môi trưng vt liu th 2 là chân 
 Hình 1. Mô hình nghiên cu 
không, (hình 1). 
2. CÁC MODE DAO ĐNG QUANG TRONG DÂY LƯNG T 
 Áp dng lí thuyt liên tc cho bán dn khi và các ñiu kin liên tc ti biên ñ gii 
bài toán cho mt si dây t do (free standing wires) có bán kính R 0 và chiu dài L. Như 
 vy ñiu kin biên áp dng  ñây là s tin ti 0 ca mi dch chuyn ti biên. Bài toán si 
dây hình tr có chiu dài L và bán kính R 0 ñưc s dng h to ñ tr do tính cht ñi xng 
 ca dây (hình 1). Chn trc z hưng theo chiu dài ca dây. Các biu thc div, rot và toán 
t laplaxien ñưc vit như sau: 
 2 2
 2 1∂∂  1 ∂  ∂ 
 ∇=u(r u )( +2 uu ) + r 2  (1) 
 rrrr∂∂ ∂ϕ ∂ z 
 1 ∂∂()L () L   ∂∂ () LL ()  
 []∇×=uuz (,,)rzϕ −() rrze uϕ (,,). ϕ  r + u r (,,) rz ϕϕ − u z (,,). rze  ϕ
 r∂ϕ ∂ z   ∂∂ zr 
 (2) 
 1 ∂()L ∂ () L  
 +()ruϕ (,,) rzϕ − u r (,,). rze ϕ  z = 0 (2)
 r∂ r ∂ ϕ 
 (P ) 1∂ 1 ∂ ∂
 ()∇=.uur (,,)rzϕ + u r (,,) rz ϕ + uϕ (,,) rz ϕ + u z (,,) rz ϕ (3) 
 r∂ rr ∂ϕ ∂ z
 


 Các mode quang dc (LO mode) 
 Đ tìm phương trình cho ñ dch chuyn ca mode LO trong dây thì s dng (1) 
 ta ñưc: 
 2 2 2
 1∂∂ 1 ∂ ∂ 2  L
 ++ ++kL  u = 0 (4) 
 rrrr∂∂2 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2
   
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 7 
 Nghim ca (4) ñưc tìm dưi dng: 
 u()Lrzϕ = A u () L ree is ϕ iqz z
 (,,) . (). . (5) 
 Thay (5) vào phương trình (4) ñưc: 
 2 2 2
 1∂∂ 1 ∂ ∂ 2  (L ) is ϕ iq z
 ++++k  A. u ( ree ). .z = 0 (6) 
 rrrr∂∂2 2 ∂ϕ 2 ∂ z 2
  
 Có th vit li: 
 ∂2 1 ∂ m2
 u()Lr+ u () L r − u () LL rqr −+ 2() uku 2() L r =
 2 () ()2 ()z () L ()0 (6a) 
 ∂r rr ∂ r
 Phương trình (6a) là phương trình vi phân ch vi mt bin r cho nên ta có th vit li 
chúng như sau: 
 2 2
 d()L1 d () L m () LL 2() 2()  L
 u()r+ u () r +− uquku () rr −z () + L  ()0 r = (7) 
 dr2 r dr r 2
   
 Đt: 
 L 2 22 2 222−
 (qkqsp) =−=− L z(ω L ω ) β − q z (8) 
 Ta ñưc: 
 2 2
 d()L1 d () LL2 m  () L
 u()r+ u () r +−() qsp  u ()0 r = (9) 
 dr2 r dr r 2
  
 L
 Đưa vào bin s mi χsp,= q sp , r sau ñó ñt chúng vào phương trình (9) sau khi bin 
 ñi, thu ñưc phương trình sau: 
 d2 1 d m 2
 u()L()r+ u () L ()(1 r +− )()0 u () L r = (10) 
 dχ2 χχ d χ 2
 sp, spsp ,, sp ,
 Đây là phương trình Bessel, theo ñiu kin ca bài toán (r≤ R 0 ) nên (2.10) có nghim 
là dng th nhât ca hàm Bessel ñó là hàm J s(χ s, p ) . Ta tìm ñưc nghim ca phương trình 
 (1) như sau: 
 (L ) is ϕ iqz z
 u(,rzϕ , ) = AJ s( χ s, p ) ee (11) 
 S dng ñiu kin th 2 ca mode quang dc: [∇×u ] = 0 , vit trong to ñ tr: 
 1 ∂∂   ∂∂ 
 ∇×=u urz()Lϕ − rurz () L ϕe + urz () LL ϕϕ − urz () e
 [] z (,,)()ϕ (,,).  r r (,,) z (,,)  ϕ
 r∂ϕ ∂ z   ∂∂ zr 
 1 ∂()L ∂ () L 
 +()ruϕ (,,) rzϕ − ur (,,).0 rz ϕ  e z = (12)(12) 
 r∂ r ∂ ϕ 
8 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 Thay (11) vào (12) ly ño hàm và chú ý rng các véc tơ ñơn v ñc lp tuyn tính nên 
ta tìm ñưc phương trình cho ñ dch chuyn ion ca mode LO trong dây là: 
  −iqL
 Ls, p ' L is ϕ iqz z
 uAr= zJ msp() q , ree
  qz
 
  Lm Lis ϕ iqz z
 uAϕ = zJ s() q sp, ree (13) 
  rqz
 uL= AJ q L ree is ϕ iqz z
  z zs() sp,
 
 Hay có th vit: 
 −iqL 
 L s, p ' Lm L Lis ϕ iqz z
 u= Asp Jq msp(), r; JqJq ssp()() , r ; ssp , ree (14) 
  kz r q z 
  
 L
 Trong ñó: Az ta ñã thay bng A sp là h s ca mode, qs, p là véc tơ sóng ñưc xác ñnh 
 L
 bi χsp,= q sp , r vi χ s, p là nghim ca hàm Bessel J s,p ( χ s, p ) và p là ch s nghim ca 
hàm Bessel. 
 


 Các mode dao ñng interface polariton (IP) 
 Các mode quang ngang TO tho mãn ñiu kin ∇.∇.∇. u=0with Ο u0≠ và có phương 
 trình cho ñ dch chuyn là: 
 ω2 ω 2  
 εωεω2−2  + εβωω 22+ −∇∇∇ 2 2222 + β u=0
  20 T∞   2 ∞ bT  b  (15) 
  c c 
    
 Theo [9] mode TO có hưng vuông góc vi các b mt phân cách ca các môi trưng 
vt liu bán dn s tương tác vi photon và tr thành polariton. Ti b mt vt liu, khi b 
qua hiu ng tr tc là coi vn tc c ca ánh sáng là ln vô cùng thì ta thu ñưc mode 
interface polariton (IP). Mode này gim rt nhanh khi tin ra xa mt phân cách hai môi 
trưng như mt sóng ñin t. Khi xét ñn các mode ngang, chn trc z theo chiu dài ca 
 dây, nên các mode TO có hưng truyn tin v b mt dây và s tương tác mnh vi 
 ánh sáng to ra polariton. Theo [5] thì ñ dch chuyn ca mode polariton tho mãn 
phương trình: 
 2
 ω 22 2 2 2 
 εω0 T− εω∞  +() ω T −∇ ω  u = 0 (16) 
 c2  
  
 Gii phương trình này tương t như mode LO, ta thay biu thc ca vi phân cp 2 theo 
 to ñ tr vào trong phương trình trên ñng thi ñt: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 9 
 ω 2
 εω2 − εω 2 
 2 0 L ∞ 
 k 2 = c (17) 
 p ω2 − ω 2
 L
 Chúng ta s tìm ñưc phương trình chuyn ñng cho mode IP là: 
 ∇2 + k 2 u=0 (18) 
 { p }
 2 2
 dp1 d p2 s  p
 ur()+ ur () +−q p  ur ()0 = (19) 
 dr2 r dr r 2
  
 2 2 2
  ñây ta ñã ñt: qp= k p − q z 
 Phương trình (19) là phương trình Bessel. Đ ý ñn biu thc: 
 2 εω2 − εω 2 
 2 2 2 ω 0 T ∞  2
 q=−=k q − q 
 p p z c 2ω2 − ω 2 z
 T
 Đng thi, mode IP ñưc xét trong gii hn b qua mi hiu ng tr tc là 1/c 2 =0, nên 
 q2= − q 2 (20) 
 p z
 T (20) ta thy rng véc tơ sóng ca mode IP bt buc phi là phn o, cho nên ta 
phi có: 
 q= − i q (21) 
 p z
 Vy phương trình (19) tr thành: 
 2 2
 dp1 d p2 s  p
 ur()+ ur () −+qz  ur ()0 = (22) 
 dr2 r dr r 2
  
 Phương trình (22) nghim ca mode IP ñưc tìm có dng sau: 
 uprϕ z= C I ree is ϕ iq z z 
 (,,)s () (23)
 Biu thc ca (∇.u(P ) ) ñưc vit trong to ñ tr như sau: 
 ()PP1 ()∂ () P 1 ∂ () P ∂ () P
 ()∇=.uur (,,)rzϕ + u r (,,) rz ϕ + uϕ (,,) rz ϕ + u z (,,)0 rz ϕ = (24) 
 r∂ r r ∂ϕ ∂ z 
 Thay (23) vào (24) và ly ño hàm chúng ta có 
 1 ' is
 CrIqsz() rCk+ r zsz Iq () rC +ϕ Iq sz () riC +z qIq zsz ()0 r = (25) 
 r r
 S dng (25) ta tìm ñưc 2 mode IP như sau: 
10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 


 Mode IP th nht 
 T nhn xét v tính cht ca các Mode IP trong dây ta thy ngoài tho mãn (25) thì 
 mode IP còn trc giao vi mode LO  ñây ta có th chn mode IP1 trc giao vi trc z và 
 tìm ñưc phương trình ca mode IP1 như sau: 
  
 ()1p i η  is ϕ iqz z
 u= Csp 1; ;0  eer Im ( q z ) (26) 
 sIs() q z R 
 0 
 Trong ñó ta ñã ñt: 
 η =(s +1)Iq( RR) − qI( q R )  (27) 
 sz0 0 zs+ 1 z 0 
 Cr ñã ñưc thay bng C sp là h s ca mode, qz là véc tơ sóng dc theo trc dây. 
 


 Mode IP th hai 
 Mode IP2 tho mãn tính cht như mode IP1 nhưng ñng thi nó li trc giao vi chính 
mode IP1 vì vy ta tìm ñưc phương trình ca mode IP2 là: 
 2 2 2
 isq q R η − sIs() q z R  
 ()2 p s() z 0 i 0   is ϕ iqz z
 u = Bsp 1; ;  Is ( q z r ) e e (28) 
 ηqzR0 η I s() q z R 0 
  
3. KT LUN 
 Chúng tôi ñã xây dng tưng minh mode dao ñng LO và IP1, IP2 là các mode tương 
tác ca phonon quang ngang TO vi photon to thành polariton. Trong nghiên cu ti ñây 
chúng tôi s s dng ñiu kin biên liên tc ca mt si dây t do tìm phương trình chuyn 
ñng ca các mode hybrid LO, IP1, IP2 trong dây lưng t bán dn phân cc. Lưng t 
hoá ln th 2 tìm các ht lai hybridons và các h thc tán sc ca chúng. S dng phương 
pháp hàm bao ñ gii bài toán cho electron trong si dây lưng t. Sau ñó dùng lí thuyt 
 nhiu lon Dirac ñ thành lp biu thc xác ñnh tc ñ tán x và thi gian hi phc cho 
 electron trong dây lưng t cu trúc như trên. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 11 
 Ph lc 
 XÁC ĐNH MODE QUANG DC (LO) 
 Xét phương trình (12), các véc tơ ñơn v theo các trc là ñc lp tuyn tính ñi vi 
nhau cho nên thu ñưc h phương trình sau: 
  ∂()L ∂ () L
 uz (,,)rzϕ− () r u ϕ (,,) rz ϕ
 ∂ϕ ∂ z
 
  ∂()L ∂ () L
  ur(,,)rzϕ− u z (,,) rz ϕ (P.1) 
 ∂z ∂ r
  ∂()L ∂ () L
 ()rrzuϕ (,,)ϕ− u r (,,) rz ϕ
 ∂r ∂ ϕ
 
 Ta ñi tìm nghim thành phn theo các trc ca to ñ tr dưi dng như sau: 
 L is ϕ iqz z
 ur(,rzϕ , ) = A rSSP J ( χ ) ee
 
  L is ϕ iqz z
 uϕ(,rzϕ , ) = A ϕ J S() χ SP ee (P.2) 
  L is ϕ iqz z
 uz(,rzϕ , ) = A zSSP J () χ ee
 
 Trong ñó: Ar, Aϕ , A z là các h s. Thay (A.2) vào (A.1) và ly ño hàm ta tìm ñưc: 
  isϕizqz is ϕ iz q z
 isAzJ s(χ sp) e e− ri q z Aϕ J m( χ sp ) e e = 0
 
  isϕizqz L' is ϕ iz q z
 iAqJz r s()()χ sp ee− qJ sp A z m χ sp ee = 0 (P.3) 
 
 isϕizqz L' is ϕ iz qz is ϕ iz q z
 AϕJs()()()χ sp e e+ qJ sp rA ϕ s χ sp e e − isA r J s χ sp e e = 0
 
 Gii h phương trình (A.3) ta biu din ñưc các h s A, A qua A 
 rϕ z 
  s
 A= A
  ϕ z rq
  z
  L ' L (P.4) 
 −iq Js() q sp r
 A= A sp
  r z L
 qz Js() q sp r
 
 Thay (A.5) vào (A.2) ta tìm ñưc phương trình ñ dch chuyn cho mode LO 
 −iqL 
 Lsp ' Ls L L  is ϕ iqz z
 u(rz ,ϕ , ) = A z Jq ssp() r; JqJq ssp()() r ; ssp ree  
 qzr q z 
  
12 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 XÁC ĐNH CÁC MODE INTERFACE POLARITON (IP) 
 S dng phương trình: 
 1()P∂ () P 1 ∂ () P ∂ () P
 urzr(,,)ϕ+ urz r (,,) ϕ + urzϕ (,,) ϕ + urzz (,,)0 ϕ = 
 r∂ r r ∂ϕ ∂ z
 Thay (22) vào (24) và ly ño hàm ta ñưc: 
 1 ' is
 CrIqsz() rC+ r qIq zsz () rC +ϕ Iq sz () riC +z qIq zsz ()0 r = (P.5) 
 r r
 S dng tinh cht ño hàm ca hàm Bessel: 
 s
 Iq' ()r= Iq()() r − Iq r (P.6) 
 szq r sz sz+1
 z
 Chúng ta ñưc: 
 1 is
 Csr()()()+−1 Iqsz rCr r qIq zsz+1 rC  +ϕ Iq sz()() riC +z qIq zsz r = 0 (P.7) 
 r r
 Vi chú ý rng phương trình này ca mode phi ñúng cho toàn b vt liu vì vy nó 
cũng phi ñúng cho mt ñim bt kì nào ñó nm trên biên, ta có h thc sau 
 1 is
 Cs+−Iq RR qIq RC  + Iq RiC + qIq R = (P.8) 
 r ()()()1 sz001 zsz+ 0  ϕ sz()() 0z zsz 0 0
 R r 
 Đt: 
 η=(s +1) Iq( RR) − qIq( R )  (P.9) 
 sz0 0 zs+ 1 z 0 
 Ta vit li (P.8) 
 1 is
 Cη+ C Iq()() R + iC qIq R = 0 (P.10) 
 r Rϕ r sz0z zsz 0
 0
 Như trên ta ñã nói trong vt liu luôn tn ti hai mode dao ñng ngang trc giao nhau 
cho nên mode IP cũng s tn ti hai mode trc giao nhau. 
 Mode IP th nht 
 Đ tìm mode IP th nht chúng ta chú ý rng mode IP trc giao vi mode LO và do 
 tính cht ñi xng ca vt liu theo to ñ tr cho nên ta có th xoay h to ñ sao cho 
 mode IP th nht trc giao vi trc z ta có: 
 u(P ) e = 0 (P.11) 
 z
 Hay: 
 u(P ) e =u = Cee is ϕ iqz z I( q r ) = 0 (P.12) 
 zzz sz
TẠP CHÍ KHOA HỌC −−− SỐ 8/2016 13 
 Và như vy thì thành phn theo trc z ca mode IP th nht s bng 0. T ñiu kin 
 ca mode IP div u = 0 có: 
 1 is
 Cs()()()+−1 Iq RR qIq RC  + Iq()() RiC + qIq R = 0 (P.13) 
 r Rsz001 zsz+ 0  ϕ r sz 0z zsz 0
 0
 Ta tìm ñưc: 
 i η
 Cϕ = C r (P.14) 
 sIs() q z R 0
 Thay (P.14) vào (22) ñưc phương trình ñ dch chuyn cho mode IP th nht: 
  
 (1p ) iη is ϕ iqz z
 u= C1; ;0  eer Is ( q z ) 
 sIs( q z R 0 ) 
 Mode IP th 2 
 Như ñã nói  trên mode IP th hai trc giao vi mode th nht cho nên ta s có 
phương trình sau: 
 i η
 BCeeisϕiqz zIq() Ree is ϕ i q z z Iq () RBC+ eeisϕizqz Iq () Ree is ϕ iz q z Iq ()0 R = (P.15) 
 r s z0 s z 0 ϕ sI() q R sz0 sz 0
 s z 0 
 i η isI( q R )
 BB+ =⇒=0 BB s z 0 (P.16) 
 r ϕsI() q R ϕ r η
 s z 0
 Hoàn toàn tương t thì mode IP th hai này cũng phi tho mãn ñiu kin ca mode IP 
 ñó là div u=0 cho nên ta có: 
 1 is
 Br η+ Bϕ Iqsz()() R0 + iBz qIq zsz R 0 = 0 (P.17)
 R0 R
 0 
 2
 1 sIs( q z R )
 Bη− B0 + iB qIq() R = 0 (P.18) 
 rRr R η z zsz 0
 0 0
 η2 −s2 I 2 q R 
 i s( z 0 ) 
 ⇒B = B (P.19) 
 z r qR ηI() q R
 z0 s z 0
 Như vy, phương trình cho ñ dch chuyn ca mode IP th 2 là:
 2 2 2 
 isI q R η− s Is() q z R  
 ()2 p s() z 0 i 0   is ϕ iqz z
 u = B 1; ;  Is ( q z r ) e e 
 η qzR0 ηI s() q z R 0 
  
14 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ H NỘI 
 TÀI LIU THAM KHO 
1. Nguyn Quang Báu (2001), Lí thuyt bán dn, Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên  Đi hc 
 Quc gia Hà Ni. 
2. Nguyn Văn Hùng (2000), Lí thuyt cht rn, Đi hc Quc gia Hà Ni. 
 3. Constantinou N. C. (1993), "Interface optical phonons near perfectly conducting boundaries 
 and their coupling to electrons", Physical Review B 48, pp.1193111935. 
 4. Constantinou N. C., Ridley B. K. (1990), "Interaction of electrons with the confined LO 
 phonons of a freestanding GaAs quantum wire", Physical Review B 41, pp.1062210626. 
 5. M. Babiker (1996), " Longitudinal polar optical modes in semiconductor quantum wells ", J. 
 Phys.C: Solid State Phys 19, pp.683697. 
 6. M. Babiker, M. P. Chamberlain, B. K. Ridley (1987), "Resonance effect in intersubband 
 transitions of single quantum wells", Semiconductor Science and Technology 2, p582. 
 7. M.Babiker, B.K. Ridley (1986), " Effective mass eigenfunctions in superlattices and their role 
 in wellcapture ", Superlatt. and Microstruct 2, p287 
 8. Melnikov D. V., Fowler W. B. (2001), "Electronphonon interaction in a spherical quantum 
 dot with finite potential barriers: The Fr\"ohlich Hamiltonian", Physical Review B 64, 
 p245320. 
 9. Redley B. K. (1991), "Electron –hybridon interaction interaction a quan tum well", 
 Department of physic, Univercity of Esex, Wivenhoe Park, Colchester, Esex CO4 3SQ, 
 England. Rev , p4592. 
 10. Redley B. K. (1993), " Opticalphonon tunning ", Phys. Rev. B.49 p17253. 
 11. Silin A. P. (1995), "Semiconductors superlattice ", Sov. Phys. Usp 28, p972. 
 OPTICAL MODES IN A FREE STANDING QUANTUM WIRE 
 AbstractAbstract: A continuum model is employed to describe the allowed longitudinaloptical 
 (LO) phonons of a cylindrical freestanding GaAs wire. The confinement of optical 
 modes in a quantum wire of polar material is described by a theory involving the triple 
 hybridization of LO, transverse optical (TO) phonon, and IP (interface polariton) modes. 
 In this work, we tried to calculate the LO, TO, and IP modes in a quantum wire using 
 conditions of both mechanical and electromagnetic boundary. 
 KeywordsKeywords: LO, TO, IP, mechanical and electromagnetic boundary.