Các biểu diễn của nhóm Heisenberg tổng quát HR(m,n)

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
CÁC BIỂU DIỄN
CỦA NHÓM HEISENBERG TỔNG QUÁT H
(m,n)
R
Nguyễn Việt Hải 1
1. Mở đầu
Năm 1960, A.A. Kirillov [7] đã đưa ra phương pháp quĩ đạo đối với nhóm
Lie luỹ linh thực. Công trình đó của ông được tổng quát hoá sang các nhóm
giải được kiểu I bởi L. Auslander và B. Kostant [1] vào năm 1970 với cách làm
độc đáo. Phép chứng minh của hai nhà toán học này dựa trên sự tồn tại của
phân cực phức thoả mãn các điều kiện nào đó.
Cách làm của Kirillov đối với nhóm Lie luỹ linh thực cũng đã được mở
rộng sang các nhóm giải được exponential đặc trưng bởi ánh xạ exp từ đại số
g = Lie(G) sang nhóm Lie G ứng với nó, là một vi phôi. Đối với loại nhóm này
ta có song ánh giữa các K-quĩ đạo và các biểu diễn, đồng thời có thể sử dụng
biểu diễn cảm sinh bằng cách xây dựng tường minh một phân cực như đối với
nhóm Lie luỹ linh thực. Trong các bài [3], [4], [5], [6] chúng tôi đã thu được
các kết quả đầy đủ và tường minh đối với loại nhóm này. Mặc dù lí thuyết của
Kirillov là như vậy nhưng trong nhiều trường hợp cụ thể, nhất là các trường
hợp số chiều lớn, việc tính các K-quĩ đạo và các biểu diễn tương ứng còn rất
khó khăn. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu phương pháp quĩ đạo đối
với nhóm Heisenberg tổng quát H
(m,n)
R (trường hợp 3 chiều đã được trình bày
trong [5]) theo cách chỉ ra các phân cực của nhóm để xây dựng các biểu diễn
unita bất khả qui.
Bài báo được sắp xếp như sau: ở $1 chúng tôi giới thiệu các khái niệm phân
cực và tương ứng Kirillov ; $2 dành cho việc tính các K-quĩ đạo của nhóm
Heisenberg H
(m,n)
R . Cuối cùng, trong $3, chúng tôi tìm các phân cực, mô tả các
biểu diễn unita, bất khả qui của nhóm ứng với các K-quĩ đạo qua tương ứng
Kirillov.
Kí hiệu. Như thông thường, Sp(n,R) kí hiệu nhóm symplectic thực bậc n. Chúng
tôi gọi R(m,n) là tập tất cả các ma trận cỡ m × n với các phần tử thuộc vành
giao hoán R. Với mỗi A ∈ R(m,m), Tr(A) kí hiệu vết của A. Ma trận đồng nhất
cấp m được kí hiệu bởi Em.
1TS, Khoa Toán Trường ĐH Hải Phòng.
11
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008
2. Phân cực và tương ứng Kirillov
Chúng tôi nhắc lại các kết quả của Kirillov về biểu diễn unita của nhóm
Lie luỹ linh thực (xem [8],[2]). Gọi G là nhóm Lie liên thông, đơn liên và đại số
Lie của nó, g = Lie(G), là không gian tiếp xúc tại đơn vị e. Dễ thấy mỗi phần
tử g ∈ G có thể xác định một ánh xạ A(g) : G −→ G, x 7→ gxg−1 cố định phần
tử e ∈ G. Từ đó tồn tại một ánh xạ tiếp xúc tương ứng
A(g)∗ : g −→ g
X ∈ g 7→ d
dt
g exp(tX)g−1|t=0 ∈ g.
Ánh xạ này xác định một tác động, thường kí hiệu bởi AdG, của nhóm G trong
đại số Lie(G). Đặt K = Ad∗G : G −→ GL(g∗) xác định bởi 〈K(g)F,X〉 :=
〈F,AdG(g−1)X〉, với mọi F ∈ g∗, X ∈ g, g ∈ G. K được gọi là biểu diễn đối
phụ hợp hay K-biểu diễn của nhóm G. Ta kí hiệu quĩ đạo đối phụ hợp hay K-quĩ
đạo của G trong g∗, đi qua F bởi
ΩF = K(G)F := {K(g)F |g ∈ G}.
Dễ thấy, không gian đối ngẫu g∗ được phân tích thành hợp rời rạc các K-quĩ
đạo. Với mỗi F ∈ g∗, ta xác định dạng song tuyến tính BF trên g bởi
BF (X, Y ) =, X, Y ∈ g. (1)
Định nghĩa 2.1.
(1) Đại số Lie con h của g được gọi là phụ thuộc F ∈ g∗ nếu BF |h×h = 0.
(2) Đại số Lie con h của g phụ thuộc F ∈ g∗ được gọi là một phân cực của
g đối với F nếu h có tính chất: nếu P là không gian véc-tơ con của g chứa h và
BF |P×P = 0 thì h = P .
(3) Cho F ∈ g∗ và h là phân cực của g đối với F . Gọi H là nhóm con đóng
liên thông, đơn liên của G mà Lie(H) = h . Hàm χF,h xác định như sau gọi là
đặc trưng unita của H:
χF,h(expH(X)) = e
2pii,X ∈ h (2)
trong đó, expH : h −→ H kí hiệu ánh xạ exponential từ h sang H, (expH là một
toàn ánh).
12
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải
Trong [7], Kirillov đã chứng minh được các định lí quan trọng sau:
Định lí 2.2. G là nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên và g = Lie(G). Nếu đã có
biểu diễn unita bất khả qui pi của G thì tồn tại ` ∈ g∗ và một phân cực h của g
đối với F sao cho pi ∼= IndGHχF,h với χF,h là đặc trưng unita của H xác định bởi
(2).
Định lí 2.3. G là nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên và g = Lie(G). Nếu F ∈ g∗
thì tồn tại một phân cực h của g đối với F sao cho biểu diễn đơn thức IndGHχF,h
là biểu diễn bất khả qui. Nếu F ′ là một phần tử của g∗ mà thuộc K-quĩ đạo
K(G) := Ad∗G(G)F và h
′ là một phân cực của g đối với F ′ thì các biểu diễn đơn
thức IndGHχF,h và Ind
G
H′χF′,h′ sẽ tương đương unita, trong đó kí hiệu H và H
′ là
các nhóm con đóng đơn liên, h = Lie(H), h′ = Lie(H′). Ngược lại, nếu h và h′ là
các phân cực của g đối với F ∈ g∗ và F ′ ∈ g∗ tương ứng sao cho các biểu diễn
đơn thức IndGHχF,h và Ind
G
H′χF′,h′ của G là tương đương unita thì F và F
′ thuộc
cùng một K-quĩ đạo của G trong g∗.
Cuối cùng, với mỗi biểu diễn unita bất khả qui τ của G đều tồn tại duy nhất
một K-quĩ đạo Ω của G trong g∗ sao cho với mỗi dạng tuyến tính ` ∈ Ω và mỗi
phân cực h của g đối với F , các biểu diễn τ và IndGHχ`,h đều tương đương unita.
Định nghĩa 2.4. Song ánh từ không gian g∗/G, các K-quĩ đạo