Bài giảng Vật lý đại cương A2 - Chương 6: Cơ học lượng tử

 CHƯƠNG VI
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Cơ học cổ điển khảo sát dạng vận động cơ của 
các vật vĩ mô. Tuy nhiên, khi đi sâu vào thế giới 
vi mô nghĩa là khi nghiên cứu sự vận động của 
vật chất trong phạm vi kích thước phân tử, 
nguyên tử trở xuống, qui luật vận động của nó về 
bản chất khác hẳn qui luật vận động của các vật 
vĩ mô. Do đó, cơ học cổ điển bị hạn chế, không 
thể áp dụng cho các hạt vận động trong thế giới 
vi mô. Vì lẽ đó môn cơ học lượng tử đã ra đời. 
Trong chương này chỉ nêu lên những điểm cơ 
bản, khái niệm mở đầu của cơ học lượng tử để 
giúp chúng ta hiểu được một cách khái quát về sự 
vận động của vật chất trong thế giới vi mô.
I. Lưỡng tính Sóng – Hạt của vật chất. 
1. Lưỡng tính sóng hạt của AS
 Lưỡng tính sóng hạt của AS đã được Einstein nêu 
 lên trong trong thuyết lượng tử AS.Theo thuyết 
 này, ánh sáng cấu tạo bởi các hạt photon, mỗi hạt 
 c
 mang năng lượng:  h  h
 
  h
 Và động lượng: p mc 
 c 
 Từ các biểu thức này ta thấy rõ những đại lượng 
 đặc trưng cho tính chất hạt (,)  p và cho tính 
 chất sóng (,)   của AS liên hệ trực tiếp với nhau
2. Hàm sóng phẳng ánh sáng:
 Xét một chùm AS đơn sắc song song. Các mặt 
sóng là các mặt phẳng vuông góc với tia sóng 
 Nếu dao động sáng tại O là a cos 2  t thì dao 
động sáng tại mọi điểm trên mặt sóng đi qua M, 
cách mặt sóng đi qua O một đoạn d là: 
 d d
acos 2  ( t ) a cos 2 (  t )
 c  
 r M 
 O n
 d
Mà : d rcos r . n
n là vecto pháp tuyến đơn vị nằm theo phương 
truyền sóng AS
Như vậy biểu thức dao động ở trên có thể viết 
dưới dạng: r. n
 acos 2 (  t )
 
gọi là hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng. 
Trong phép biểu diễn phức hàm này có dạng:
 r. n 
 2 i  t 
  ae  
• Khi biểu diễn ν và λ qua ε và p tương ứng, ta có :
 
  h   
 h
 h h 
 p p n
  
 2 i  i  
 (.)t p r t p. r 
  aeh ae 
 h
  1,05.10 34 J . s
 2 
• Khi biểu diễn theo vectơ sóng k với:
 2  
 k n p  k
 
 Khi đó hàm sóng phẳng đơn sắc còn có thể viết:
 i   
 t p.(.) r i t k r
  ae ae 
 2 
 i(.) h t k r i  t k. r 
 aeh ae
• Tóm lại hàm sóng phẳng ánh sáng đơn sắc có thể 
 biểu diễn : r. n
  acos 2 (  t )
 
• Hoặc dưới dạng phức:
 i  
 t p. r i  t k. r 
  ae ae
• Với:
  h 2 
  h  ;; p n k n
  
3.Giả thuyết De Broglie
 Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, De 
 Broglie đã suy rộng tính chất đó cho mọi đối 
 tượng vật chất khác. 
 Một vi hạt tự do có năng lượng xác định, động 
 lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn 
 sắc xác định.
 Năng lượng và động lượng của vi hạt liên hệ với 
 tần số và bước sóng của sóng theo các hệ thức:
 E h 2    
 h 2   
 p p  k
  
 Chú ý: Đối với photon, vì ta có  c /  nên chỉ 
 cần một hệ thức là có thể suy ra bước sóng và tần 
 số từ các tính chất hạt là năng lượng và động 
 lượng. Còn đối với các vi hạt khác thì phải có hai 
 hệ thức để suy ra bước sóng (  h / p ) và tần số
 (   / h )
• Ví dụ: Tính bước sóng cho vật với khối lượng 1g 
 chuyển động với vận tốc 1m/s.
 Ta có: h h 6.625.10 34
  6.625.10 34 m
 p mv 1.10 3 .1
 Bước sóng này quá nhỏ nên ta không thể quan sát 
 được tính chất sóng của vật.
4.Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie.
a)Thí nghiệm nhiễu xạ điện tử do Davisson và 
Germer thực hiện năm 1927. Hai ông cho một 
chùm điện tử có năng lượng 54 eV đập vào một2 
đơn tinh thể Ni và nghiên cứu sự 1
 
 phụ thuộc vào góc phản xạ của
 cường độ chùm tia phản xạ.
 Các ông đã thu được bức tranh nhiễu 
 xạ điện tử. Bước sóng tính theo công thức về cực 
đại nhiễu xạ Vulf-Bragg rất phù hợp với bước 
sóng De Broglie.
Hình a và b là hình ảnh nhiễu xạ chụp được khi 
cho chùm tia X tán xạ trên bột đa tinh thể, và 
chùm electron đi qua cùng vật liệu đó. 
 (hình a) (hình b)
b)Thí nghiệm 2
Cho một chùm electron qua một khe hẹp. Sau khi 
qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi 
phương và trên màn huỳnh quang 
cũng thu được các vân 
nhiễu xạ giống như trường e
 hợp nhiễu xạ của chùm sáng qua 
 khe hẹp. Kết quả thí nghiệm không thay đổi nếu 
ta cho lần lượt các electron qua khe trong thời 
gian dài.
II. Hàm sóng phẳng De Broglie 
1. Hàm sóng: 
 Theo giả thuyết của De Broglie, chuyển động của
 hạt tự do được mô tả bởi hàm sóng tương tự
 như sóng phẳng ánh sáng đơn sắc, được gọi là
 hàm sóng De Broglie:
 i  
 Et p. r i t k. r
  
  0e  0 e
 Trong đó 0 là biên độ của hàm sóng được xác
 định bởi: 22 *
 0  . 
  * là liên hiệp phức của 
2. Ý nghĩa xác xuất của sóng De Broglie:
 Trước khi có giả thuyết De Broglie, người ta chỉ 
 biết hai loại sóng cơ và sóng điện từ. Hàm sóng 
 mô tả các các loại sóng này biểu diễn sự biến 
 thiên theo thời gian và không gian của các đại 
 lượng đặc trưng cho chúng. Ví dụ độ lệch khỏi vị 
 trí cân bằng trong sóng cơ, hay vecto cường độ 
 điện trường, từ trường trong sóng điện từ. Sóng 
 De Broglie không phải là sóng cơ và sóng điện từ. 
 Để hiểu được ý nghĩa vật lý của sóng De Br ... tìm thấy hạt photon càng lớn.
• Ý nghĩa xác xuất đối với các hạt vi mô
 Dựa trên kết quả của thí nghiệm tương tự về 
 nhiễu xạ các hạt vi mô trên màng kim loại. Max 
 Born đã đưa ra giả thuyết cho rằng trong biểu 
 thức biểu diễn sóng De Broglie, bình phương biên 
 độ sóng tại một vị trí nào đó trong không gian sẽ 
 tỉ lệ với xác xuất tìm thấy hạt tại vị trí đó. 
 2
  .  *gọi là mật độ xác xuất (xác xuất 
 thấy hạt trong một đơn vị thể tích). Như vậy hàm 
 sóng  không mô tả một sóng thực nào trong 
 không gian như sóng cơ, sóng điện từ trong vật lý 
 cổ điển mà chỉ cho phép ta tính xác suất tìm hạt 
 tại một trạng thái nào đó.
 Xác xuất tìm thấy hạt trong thể tích bất kỳ dV là
  2 dV
• Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng: khi tìm hạt trong 
 toàn không gian, chúng ta chắc chắn tìm thấy 
 hạt, nghĩa là xác xuất tìm hạt trong toàn không 
 gian bằng 1:
  2 dV 1 (1)
 (1) gọi là điều kiện chuẩn hóa hàm sóng
• Cần chú ý một điểm khác nhau giữa cơ học 
 lượng tử và vật lý phân tử. Trong vật lý 
 phân tử, qui luật thống kê có quan hệ với 
 tập hợp nhiều hạt (phân tử, nguyên tử) còn 
 từng hạt riêng rẽ không có tính thống kê. 
 Nhưng trong Cơ học lượng tử qui luật thống 
 kê có quan hệ ngay cả với từng vi hạt riêng 
 biệt, cũng như đối với tập hợp hạt.
• Điều kiện của hàm sóng:
 a) Hàm sóng phải giới nội, vì nếu hàm sóng không 
 giới nội thì tích phân (1) không thể giới nội
 b) Hàm sóng phải đơn trị, vì nếu không đơn trị thì 
 ứng với mỗi trạng thái có nhiều xác suất tìm hạt. 
 Điều này trái với lý thuyết xác xuất.
 c) Hàm sóng phải liên tục, vì  2 không thể thay 
 đổi nhảy vọt.
 d)Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục 
Ví dụ: Hàm sóng của điện tử trong nguyên 
tử hydro ở trạng thái cơ bản có dạng :
  ()r Ae r/ a0
 -10
trong đó a0 = 0,529. 10 m là bán kính quỹ 
đạo Bohr thứ nhất. Xác định A qua điều 
kiện chuẩn hóa.
• Điều kiện chuẩn hóa:
 2
 (r ) dV 1 A2 e 2r / a0 4 r 2 dr 1
 0
 1
 A 
 a0
3)Sóng phẳng và vận tốc pha:
 Xét một sóng đơn sắc truyền dọc theo trục x: 
 i() t kx
   oe
Đại lượng:  t kx gọi là pha của sóng 
 Giả sử tại một điểm x nào đó pha có giá trị xác 
 định . Tọa độ của điểm này được xác định từ 
 phương trình: t kx
 Theo thời gian điểm có pha dịch chuyển với 
 một vận tốc vf được xác định từ điều kiện không 
 đối của pha, được gọi là vận tốc pha 
t kx const
 dx dx 
  k 0 v 
 dtf dt k
Áp dụng cho sóng De Broglie ta có:
   E mc2 c 2
 v 
 f k k p mv v
Theo TTĐ vận tốc hạt v của hạt không thể lớn 
hơn c, do vận tốc pha vf lớn hơn c. Điều này 
chứng tỏ vận tốc pha vf của sóng De Broglie 
không đặc trưng cho tốc độ truyền hạt, truyền 
năng lượng hay truyền tín hiệu.
Chú ý: đối với hạt cổ điển chuyển động với v << 
c, thì : E mv2 v
 v f 
 p2 mv 2 E mc2
 Đối với photon ta có: v c
 f p mc
Vậy vận tốc pha của sóng De Broglie có thể lớn 
hơn, bằng hoặc nhỏ hơn vận tốc AS
Nếu vf phụ thuộc vào k, tức phụ thuộc vào bước 
sóng thì sóng được gọi là sóng tán sắc. Theo TTĐ 
ta có: p2
 E m2c4 p2c2 m c2
 o o 2m 
 o
(Vì vận tốc của hạt v << c)
 2 2
 E mo c  k
 v f ; ....
 p k 2 mo
Do đó vf phụ thuộc k. Vậy khác với sóng điện từ, 
sóng De Broglie tán sắc trong chân không.
4)Vận tốc nhóm
Như vậy làm thế nào để duy trì việc mô tả tính 
chất sóng cùng với tính chất hạt? Để giải quyết 
vấn đề này, CHLT cho rằng chuyển động của các 
hạt không phải ứng với các sóng đơn sắc riêng 
biệt, mà là ứng với một tập hợp sóng có các tần 
số gần nhau gọi là bó sóng. Nếu tại một điểm nào 
đó mà pha của các sóng trong bó sóng gần trùng 
nhau thì sóng tổng hợp sẽ cực đại, điểm này 
chính là tâm của bó sóng, năng lượng của sóng 
hầu như tập trung ở tâm sóng.
 A
 k0
k1
 x
 k2
Vận tốc nhóm được xác định từ điều kiện là tại 
tâm sóng pha của các sóng đều trùng nhau mà 
không phụ thuộc vào k
 d() t kx d 
 0 x t v t
 dk dk g
 Vậy vận tốc nhóm : 
 d
 v 
 g dk
• Trong trường hợp phi tương đối tính:
 p2 
 d 
 d d()  dE2m p
 v v
 g dk d() k dp dp m
 Vậy vận tốc nhóm của sóng De Broglie bằng vận 
 tốc hạt.
IV. Hệ thức bất định Heisenberg
 Trong vật lý cổ điển, vị trí ban đầu của hạt và 
 vận tốc ban đầu ( hay động lượng ban đầu) của 
 hạt có thể đo với độ chính xác cao tuỳ ý và động 
 tác đo hầu như không có ảnh hưởng gì đến 
 chuyển động của hạt. Khi đó quỹ đạo của hạt 
 được sẽ được xác định một cách chính xác từ 
 định luật Newton. Tuy nhiên nếu áp dụng quan 
 niệm này cho các vi hạt như electron hay photon 
 thì tình hình không còn giống như bức tranh cổ 
 điển.
Hệ thức bất định Heisenberg
a) Hệ thức giữa độ bất định về toạ độ và độ bất 
định về động lượng của vi hạt:
   
 x.;.;. p y p z p 
 x2 y 2 z 2
Vị trí và động lượng của vi hạt không thể 
được xác định đồng thời.
b) ) Hệ thức giữa độ bất định về năng lượng và 
thời gian sống của vi hạt: 
 E. t 
 2
Ý nghĩa: nếu năng lượng của hệ ở một trạng 
thái nào đó càng bất định thì thời gian để hệ 
tồn tại ở trạng thái đó càng ngắn và ngược 
lại. Tóm lại, trạng thái có năng lượng bất 
định là trạng thái không bền, còn trạng thái 
có năng lượng xác định là trạng thái bền. 
• Xét sự nhiễu xạ của chùm electron qua một khe 
 hẹp độ rộng b theo hướng y, một electron vừa ló 
 qua khe có độ bất định x b , vì ta không thể 
 biết trước electron sẽ đập vào chỗ nào trên màn, 
 nên thành phần động lượng có độ bất định 
 px
 mà chúng ta cần phải xác định. Sử dụng 
 px
 tính chất sóng của electron, chúng ta có thể đoán 
 nhận rằng electron sẽ chủ yếu đập vào đâu đó 
 trên màn trong khoảng giữa hai cực tiểu đầu tiên 
 của bức tranh nhiễu xạ một khe 
 
 sin 
 b
• Độ bất định về động lượng
 h h
 p psin 
 x  b b
 x. px h
 x
 φ
• Như vậy quá trình đo phù hợp dẫn tới những độ 
 bất định phù hợp với hệ thức bất định 
 Heisenberg
Ví dụ: Tính độ bất định về toạ độ ∆x của hòn đá 
khối lượng 5g chuyển động với vận tốc v = 1m/s 
và độ bất định về vận tốc ∆v = 1/106 của v. 
 
 x. p Giải
 x 2
   1,05.10 34 10 6
 x 3
 2 px 2 m v 2.5.10 .1
 x 10 26 m
Giá trị này quá nhỏ nên vị trí và động lượng của 
hòn đá có thể được xác định đồng thời
Ví dụ: Tính độ bất định về toạ độ ∆x của 
electron trong nguyên tử hidro biết rằng 
vận tốc của electron v = 1,5.106 m/s và độ 
bất định về vận tốc ∆v = 10% của v. So sánh 
kết quả tìm được với đường kính d của quỹ 
đạo Bo thứ nhất và xét xem có thể áp dụng 
khái niệm quỹ đạo cho trường hợp kể trên 
được không?
 
 x. p 
 x 2
  
 x 3,85.10 9 m
 2 px 2 m e v
Đường kính quỹ đạo Bo thứ nhất: 
 d = 2.0,53.10-10 m = 1,06. 10-10 m
Vậy trong trường hợp này không thể áp 
dụng khái niệm quỹ đạo 
V. Phương trình Schroedinger:
 Cũng như PT Newton trong cơ học cổ điển, ta 
 không thể dẫn ra PT Schroedinger mà chỉ có thể 
 giả thiết nó mà thôi. PT Schroedinger tổng quát 
 (đối với một vi hạt)
  (,)r t 2 
 i U  (,) r t
 t 2 m 
 2  2  2
 : là toán tử Laplace 
 x2  y 2  z 2
 trong hệ toạ độ Descartes
nếu hàm thế năng U chỉ phụ thuộc r , hàm sóng ψ
có dạng hàm sóng của trạng thái dừng
 i
 Et 
 (,)()r t e  r
 ()r là phần phụ thuộc toạ độ không gian của 
hàm sóng thoả mãn phương trình:
 2m 
 (r ) E U ( r )  ( r ) 0
 2 
Đây là phương trình Schroedinger không phụ 
thuộc thời gian.
• Trong trường hợp vi hạt chuyển động tự do
 U( r ) 0 nên:
 2m 
 (r ) E  ( r ) 0
 2
• Đây là phương trình Schroedinger cho vi hạt 
 chuyển động tự do.
VI.Ứng dụng PT Schrodinger
1.Hạt trong giếng thế năng: Xét một hạt khối 
lượng m chuyển động theo phương x trong một 
miền mà thế năng được xác định theo điều kiện:
 khi x 0 , x a
 U x 
 0khi 0 x a
 U
 0 a x
Phương trình Schroedinger trong giếng thế
 d2 2 m
 E 0
 dx2 2
 2m d 2
Đặt k2 E 0 k 2 0
 2dx 2
Nghiệm của PT có dạng:
 (x) = Asin kx + Bcos kx (1)
Vì hạt chỉ ở trong giếng nên xác suất tìm hạt 
ở ngoài giếng bằng không. Nhưng do điều 
kiện liên tục của hàm sóng nên
 (0) = 0 , (a) = 0
Từ (1) rút ra:
  (0) B 0
  (a ) A sin ka 0
Vì B = 0 nên A phải khác không (vì nếu A = 0 thì 
là một nghiệm tầm thường). n 
 sinka 0 k ( n 1,2,...)
Do đó : a
Hằng số A được xác định từ ĐK chuẩn hóa của 
 2
hàm sóng: a
  (x ) dx 1
 0
 a n 2
 A2sin 2 dx 1 A 
 0 a a
 Vậy hàm sóng là:
 2 n 
  x sin x
 n a a
Năng lượng của hạt:
Từ 2 mE 2 2
 k2 E n 2
 2n 2ma 2
Khoảng cách giữa các mức năng lượng kế tiếp 
tăng theo số lượng tử n: 
 2 2
 E E E 2 n 1 
 n n 1 n 2ma2
 càng lớn khi a và m càng nhỏ, nghĩa là 
 En
trong phạm vi thế giới vi mô sự lượng tử hóa thể 
hiện rõ.
• Mật độ xác xuất tìm hạt trong giếng
 2 2 n x
  x sin 2
 n a a
Ta nhận thấy khi :
n = 1, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/2 
n =2 , XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/4 , 3a/4 . 
n = 3, XS tìm thấy hạt cực đại ở x = a/6, a/2, 5a/6.
 2
 n =3
 n =2
 n =1
 0 a/2 a x
2.Hạt trong giếng thế vuông góc ba chiều có độ sâu 
 vô cùng với các cạnh là a1, a2, a3
PT Schrodinger của hạt trong giếng:
 2  2   2  2mE
 2 2 2 2  0
 x  y  z 
Với các điều kiện biên ở thành giếng:
 (0,,)y z  (,,) a1 y z 0,  (,0,) x z  (, x a 2 ,) z 0,
 (x , y ,0)  ( x , y , a3 ) 0
Nghiệm của PT có dạng: Csin k1 x .sin k 2 y .sin k 3 z
 2 2 2 2mE
Trong đó: k k k 
 1 2 3 2
Từ các điều kiện biên ta suy ra:
 k1 n 1 n 1 ;; k 2 n 2 n 2 k 3 n 3 n 3 
n1, n2, n3 là các số nguyên
Vậy hàm sóng và năng lượng của hạt là:
 n x n y n z
  C sin1  sin 2  sin 3
 n1 n 2 n 3
 a1 a 2 a 3
 2 2 n2 n 2 n2 
 E 1 2 3
 n1 n 2 n 3 2 2 2 
 2m a1 a 2 a 3 
Hằng số C được xác định từ ĐK chuẩn hóa: 
 2 8
  dxdydz 1 C 
 V a2 a 2 a 3
3.Hiệu ứng đường ngầm
 Xét chuyển động của hạt trong trường có thế 
 năng biến đổi như hình vẽ U
 0khi x 0 miền I
 U
 0
 U U0 E khi0 x a miền II
 I II III
 0
 0 khi x a miền III x
 a
 Theo VL cổ điển một hạt ở trong vùng I có năng 
 lượng toàn phần E < Uo thì không thể vượt qua 
 hang rào thế vùng II để sang vùng III. Tuy nhiên 
 do tính chất sóng của hạt vi mô, CHLT tiên đoán 
 tồn tại một xác suất khác không tìm thấy hạt 
 trong vùng III. Hiện tượng đó gọi là hiệu ứng 
 đường ngầm.
PT Schrodinger đối với ba miền:
Miền I:
d 2 2mE
 1 k2 0 , k 2 0
 dx21 1 1  2
 d 2
 2 k 2 0
Miền II: dx2 2 2
 2m
 k2 U E 0
 2 2 o
 2
Miền III: d 
 3 k 2 0
 dx2 1 3
Nghiệm của các PT này là:
 ik1 x ik 1 x
 1 A 1 e B 1 e
 k2 x k 2 x
  2 A 2 e B 2 e
 ik1()() x a ik 1 x a
  3 A 3 e B 3 e
 ik1 x ik1 x
Trong đó A 1 e và B 1 e đặc trưng 
sóng tới và sóng phản xạ trên bờ x = 0; 
 ik1 () x a
A3 e đặc trưng sóng truyền qua 
 ik1 () x a
hàng rào thế còn B 3 e mô tả sóng 
phản xạ từ vô cực trở về. Do đó các 
hằng số A1 , B1 , A3 , B3 được gọi là các 
biên độ sóng. Vì ở vô cực không có sự 
phản xạ sóng, nên B3 = 0
Hệ số truyền qua D được định nghĩa:
 2
 A3
 D 2
 A1
Từ các điều kiện biên:
 ''
I(0)  II (0) ,  I (0)  II (0)
 ''
II()(),()()a  III a  II a  III a
Ta được các hệ thức:
 ABAB1 1 2 2
 ik1()() A 1 B 1 k 2 A 2 B 2
 k2 a k 2 a
 A2 e B 2 e A 3
 k2 a k 2 a
 k2() A 2 e B 2 e ik 1 A 3
Từ hai phương trình cuối , rút ra:
 1 in 1 in
 A A ek2 a, B A e k 2 a
 22 3 2 2 3
 k E
 Với n 1 
 k2 Uo E
Vì 1 in 1 in và hầu hết các trường hợp có ý 
nghĩa thực tiễn thì k2 a > 1 nên AB 2 2 . Do đó 
từ hai phương trình đầu ta được:
 1 1 1 in k2 a
 2iA1 i A 2 i A 3 e
 n n 2 
 2
 2 2
 1 1 n 2k2 a
 4A1 1 2 A 3 e
 n 4 
 2
 A 16n2
 3 
 2 (1 n2 ) 2
 A1
 16n2
Nếu vào cở 1 ( U vào cở 10E) thì có thể 
 (1 n2 ) 2 o
viết: 
 2a U
 2m ( Uo E )
 D e 2k2 a e  E
 0
 x x
 x1 2
Đối với hàng rào thế có dạng bất kỳ thì:
 x
 2a 2
 2m ( U ( x ) E )
  
 D ex1 dx
• Từ biểu thức này ta thấy mặc dù E < U0 ; D vẫn 
 luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua 
 rào. Thí dụ, đối với electron, chọn U0 – E =1,28 
 10-31 J ,ta có bảng biểu thị sự phụ thuộc của D 
 vào khoảng cách a
 a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10
 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
 Hệ số D đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng 
 đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong kích thước vi 
 mô
Hiệu ứng đường ngầm cho phép giải 
thích nhiều hiện tượng gặp trong tự 
nhiên như: Hiện tượng phát electron 
lạnh, hiện tượng phân rã . 
 U
 Kích thước hạt nhân
4. Dao động tử điều hoà:
Vi hạt chuyển động theo phương x, trong trường 
 1
thế U kx 2 được gọi là dao động tử điều hoà. 
 2
Lúc đó chuyển động của của hạt là một dao động 
điều hoà với tần số
 k
  
 m
Phương trình Schoedinger đối với dao động tử 
điều hoà:
 d22 m m  2 x 2 
 2 2 E  0
 dx  2 
• Khi giải phương trình này người ta đã tìm được 
 biểu thức năng lượng của dao tử
 1 
 En  n n 0,1,2,....
 2 
• Biểu thức trên chứng tỏ năng lượng của dao tử bị 
 lượng tử hoá. Năng lượng thấp nhất của nó ứng 
 với n = 0: 1
 E 
 0 2
 gọi là năng lượng không.
Ví dụ:
1) Tính bước sóng kết hợp với một khối
 lượng 2kg chuyển động với vận tốc 25m/s.
2) Tính bước sóng kết hợp với nơtron có động
 năng 0,05eV.
1.
 h h 6,625.10 34
  1,33.10 35 m
 p mv 2.25
2. 
 h h
  
 p 2mT
 6,625.10 34
 2.1,67.10 27 .0,08.1,6.10 19
 0
 10,1.10 11 m 1,01 A
5) Giả sử ta có thể đo được động lượng 
 của một hạt chính xác đến phần nghìn. 
 Xác định độ bất định cực tiểu về vị trí 
 của hạt:
 a) Nếu hạt có khối lượng 5mg và vận 
 tốc 2m/s
 b) Hạt là electron có vận tốc 1,8.108 m/s
5. p
 10 3 p 10 3 p 10 3 mv
 p
Theo hệ thức bất định:
 h h h
 p. x x 
 4 4 p 4 10 3 mv
a) 6,625.10 34
 x 5,28.10 30 m
 4 10 3 .5.10 3 .2
b) Khối lượng tương đối tính của electron
 m
 m 0
 v2
 1 
 c2
 h1 v2 / c 2
 x 3
 4 10 m0 v
 6,625.10 34 1 0,6 2
 2,57.10 10 m
 4 10 3 .9,1.10 31 .1,8.10 8
6) Xác định độ bất định cực tiểu về vị 
 0
 trí của một photon 3000 A nếu biết 
 bước sóng chính xác đến phần triệu.
6. Ta có:
 h h h 
 p p  
  2  
  h
 p 10 6 p 10 6
  
 h h 
 p. x x 
 4 4 p 4 10 6
 3000.10 10
 0,023m
 4 10 6
7) Độ rộng của một vạch quang phổ 
 0 0
 bước sóng 4000 A bằng 10-4 A .Tính 
 thời gian sống trung bình để hệ nguyên 
 tử ở trạng thái năng lượng tương ứng. 
• Theo hệ thức bất định:
 h h
 E. t E 
 4 4 t
 hc hc
 EE 
   2
• Độ bất định cực tiểu về năng lượng của một trạng 
 thái tương ứng với thời gian sống trung bình của 
 trạng thái ở trạng thái kích thích  nên:
 hc h  2
   4,24.10 9 s
 2 4  4 c 
3. Với giá trị nào của động năng thì 
 sai số về bước sóng De Broglie khi 
 tính theo cổ điển và tính theo tương 
 đối tính sẽ không quá 1% đối với 
 hạt electron và hạt proton ?
• Gọi λ0 và λ là bước sóng De Broglie tính theo cổ 
 điển và theo tương đối tính
 h h
 0 
 p0 m 0 v
 h h
  
 p mv
 1 2
T 1 m0 c
 v2 
 1 
 c2 
 1 T
 1 
 2 2
 v m0 c
 1 
 c2
 m1 T
0 1 
 2 2
 m0v m 0 c
 1 
 c2
0 TT 
 1 2 2
m0 c  m 0 c
  1T 1
 2 
 100m0 c 100
• Đối với electron:
 2 31 16
 m0 c 9,1.10 9.10 J 5,1 KeV
 T 5,1 KeV
• Đối với proton:
 2 27 16
 m0 c 1,67.10 9.10 J 9,4 MeV
 T 9,4 MeV