Bài giảng Vật lý đại cương 2 - Chương 6: Cơ học lượng tử - Phạm Thị Hải Miền

 CHƢƠNG 6
 CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
1. LƢỠNG TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
 1.1. Giả thuyết De Broglie
 1.2. Thực nghiệm xác nhận giả thuyết De Broglie
 1.3. Ý nghĩa xác suất của sóng De Broglie
2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
 2.1. Hệ thức bất định đối với vị trí và động lƣợng 
 2.2. Hệ thức bất định đối với năng lƣợng và thời gian
3. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 
 3.1. Phƣơng trình Schrodinger
 3.2. Ứng dụng của phƣơng trình Schrodinger
 1.1. GIẢ THUYẾT DE BROGLIE 
 VỀ LƢỠNG TÍNH SÓNG – HẠT CỦA VẬT CHẤT
1. Lƣỡng tính sóng – hạt của ánh sáng.
 • Tính sóng: giao thoa, nhiễu xạ.
 • Tính hạt: hiệu ứng quang điện, Compton.
2. Lƣỡng tính sóng – hạt của vi hạt.
 • Giả thuyết De Broglie: Mọi vi hạt tự do có năng lượng xác định,
 động lượng xác định đều liên hợp với một sóng phẳng đơn sắc, gọi
 là sóng vật chất hay sóng De Broglie.
 • Sóng De Broglie được xác định bởi hàm sóng có dạng tương tự
 như hàm sóng phẳng đơn sắc của ánh sáng:
 i 
  r.t  o exp Et p.r 
  
 Trong đó E và p là năng lượng và động lượng của vi hạt liên hệ với
 tần số và bước sóng của sóng De Broglie như sau:
 hc hf h
 E hf , p 
 c
 1.2. THỰC NGHIỆM XÁC NHẬN GIẢ THUYẾT
 DE BROGLIE
• Cho một chùm electron (hoặc một electron) qua một khe hẹp. Sau
khi qua khe hẹp, các electron bị nhiễu xạ theo mọi phương và trên
màn huỳnh quang đặt sau khe quan sát được các vân nhiễu xạ giống
như trường hợp nhiễu xạ ánh sáng qua khe hẹp.
 Vi hạt electron mang tính sóng.
• Trong thế giới vĩ mô, tính hạt thể hiện
rõ hơn tính sóng, vì:
 hh
  
 p mv
Giả sử quả cầu khối lượng 100 g được
ném với vận tốc 10 m/s sẽ liên hợp với
sóng có λ=6,625.10-34 m bước sóng
quá nhỏ không thể đo được.
 1.3. Ý NGHĨA XÁC SUẤT CỦA SÓNG DE BROGLIE 
• Sóng De Broglie (sóng vật chất) là sóng xác suất, không phải là
 sóng điện từ. Một hạt vi mô riêng lẻ cũng thể hiện tính sóng.
• Ý nghĩa của sóng xác suất như sau: gọi  (,,)x y z là hàm sóng vật
 chất tại điểm O(x, y, z) của một vi hạt. Xác suất dP để tìm thấy hạt
 trong thể tích dV bao quanh điểm O:
 dP * dV  2 dV
• Đại lượng  2 được gọi là mật độ xác suất tìm thấy hạt trong một
 đơn vị thể tích dV.
• Xác suất tìm thấy hạt trong không gian ∞ luôn bằng 1:
 2
 P  dV 1
 - điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng
 BÀI TẬP VÍ DỤ 1
Một electron không vận tốc đầu được gia tốc bởi hiệu điện thế U. Tìm
bước sóng De Broglie của electron sau khi được gia tốc nếu:
a. U=0,51 V.
b. U=510 kV.
 Hƣớng dẫn giải
• Năng lượng nghỉ của electron:
 2
 2 31 8 15
 E00 m c 9,1.10 . 3.10 81,9.10 J 0,51 MeV
• Động năng của electron sau khi được gia tốc bởi U: K qU
• TH a: K=0,51 eV << E0 vận tốc e rất nhỏ áp dụng cơ học cổ
điển.
 h h h h
  1,72nm
 p mv 12mK
 2.m mv2
 2
• TH b: K=510 kV ~ E0 vận tốc e rất lớn áp dụng cơ học tương
đối tính.
 22m0
 K ()() m mo c m0 c qU
 v2
 1 
 c2
 2
 c qU( qU 2 m0 c )
 v 2
 qU m0 c
 h h h hc
  1,4 pm
 2
 p mv m0
 v qU( qU 2 m0 c )
 v2
 1 
 c2
 2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
 2.1. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI VỊ TRÍ VÀ ĐỘNG LƢỢNG
• Gọi Δx là độ bất định (độ chính xác) của tọa độ x của một vi hạt, Δpx
là độ bất định của động lượng của hạt theo phương x, ta có mối liên hệ
giữa Δx và Δpx:
 x. px h
• Tương tự ta có: y. py h
 z. pz h
 Không thể xác định được chính xác đồng thời tọa độ và động lượng
của các vi hạt.
 Khái niệm quĩ đạo không tồn tại trong thế giới vi hạt. Nó được thay
thế bằng khái niệm xác suất tìm thấy hạt.
 BÀI TẬP VÍ DỤ 2
a. Trong thế giới vi mô:
 Xét một e ở trong nguyên tử có vận tốc trên quĩ đạo là 106 m/s.
 Độ bất định về vị trí của nó bằng kích thước nguyên tử 10 10 m.
 Độ bất định về vận tốc:
 h 6,625.10 34
 v 7,2.106 ms
 x mx. 9,1.10 31 .10 10
 Độ bất định về vận tốc lớn hơn cả vận tốc không thể xác
 định chính xác đồng thời vị trí và vận tốc.
b. Trong thế giới vĩ mô:
 Một quả banh golf có m=45 g bay với v=35 m/s. Vận tốc được đo
 với độ chính xác 1,5%, tức là Δv=0,525 m/s.
 h 6.6.10 34
 x 280.10 34 m
 mv 0,045.0,525
 Độ bất định về vị trí rất nhỏ Có thể xác định đồng thời vị trí
 và động lượng của quả banh.
 2.2. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH
 ĐỐI VỚI NĂNG LƢỢNG VÀ THỜI GIAN.
Gọi Δt là thời gian vi hạt tồn tại ở một trạng thái, ΔE là độ bất định
năng lượng hạt ở trạng thái đó.
 E. t h
 Nếu năng lượng của hệ càng bất định ( E lớn), thì thời gian tồn tại
 của hệ càng nhỏ ( t nhỏ) và ngược lại.
 Trạng thái của hệ có năng lượng xác định ( E nhỏ) là trạng thái bền
 ( t lớn), còn trạng thái của hệ có năng lượng bất định ( E lớn) là
 trạng thái không bền.
 HIỆU ỨNG ĐƢỜNG NGẦM – HỆ QUẢ CỦA HỆ THỨC
 BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI NĂNG LƢỢNG VÀ THỜI GIAN
• Giả sử có một vi hạt bị giam trong một giếng
thế năng có thế năng U.
• Hạt không thể ra khỏi giếng vì năng lượng của
nó nhỏ hơn độ sâu của giếng thế (E<U).
• Tuy nhiên, nếu trạng thái của hạt là không bền
và hạt chỉ tồn tại trong một khoảng thời gian rất
ngắn (Δt ≈ h/U), thì trong khoảng thời gian này
độ bất định về năng lượng của hạt là:
 h
 EU 
 t
 Độ bất định về năng lượng của hạt lớn hơn thế năng của giếng.
 Trong khoảng thời gian Δt rất nhỏ hạt có thế thoát ra khỏi giếng.
 Hiện tượng này gọi là hiệu ứng đường ngầm.
• Hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra ở thế giới vi mô. Ví dụ: phát
electron lạnh, phân rã α.
 3. PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ
 3.1. PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
a. Phƣơng trình Schrödinger tổng quát:
 Hàm sóng vật chất Ψ(x,y,z,t) của một hạt khối lượng m,
 chuyển động trong trường có thế năng U(x,y,z,t) thỏa mãn
 phương trình Schrödinger tổng quát sau:
  2
 iU () 
 tm2
 h
 Trong đó:  - hằng số Planck rút gọn.
 2 
 2  2  2
 2 - toán tử Laplace.
 x2  y 2  z 2
b. Phƣơng trình Schrödinger dừng: vi hạt có năng lượng toàn phần E
 chuyển động trong trường thế năng không phụ thuộc thời gian
 U=U(x,y,z),
 2m
  EU 0
 2
 2 2 2
 Trong đó:  
 x2 y2 z2
 • Nghiệm của phương trình trên là hàm sóng Ψ mô tả chuyển động
 (xác định trạng thái) của hạt trong trường lực thế.
c. Phƣơng trình Schrödinger cho hạt chuyển động tự do: U=0
 2m
  E 0
 2
3.2. ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
Phương trình Schrödinger dùng để giải một số bài toán cơ học
lượng tử đơn giản. Nội dung chính bài toán cơ học lượng tử bao
gồm việc tìm năng lượng E và hàm trạng thái  của hệ.
Bài toán: Hạt trong giếng thế vô hạn một chiều.
Bề rộng giếng bằng a.
Thế năng của giếng: 
 khi x 0, x a
 Ux 
 00khi x a
• Phương trình Schrödinger cho hạt nằm trong giếng (U = 0)
 d 2 2m
 E 0 (1)
 dx 2 2
 2m
• Đặt: k 2 E 0
 2
 d 2
 (1) k 2 0
 dx2
• Nghiệm của (1) có dạng: (x) = Asinkx + Bcoskx
• Hạt nằm trong giếng Xác suất tìm thấy hạt tại x = 0 và x = a
bằng không: (0) = 0,(a) = 0
 B 0 22
  (0) B 0  2
 n Enn 2
  (a ) Asin ka 0 k 2ma
 a
• Năng lượng của hạt chỉ lấy những giá trị gián đoạn, phụ thuộc
vào số lượng tử n (n=1,2,3). Ta nói năng lượng của hạt bị lượng
tử hóa:
 22 
 En 2
 n 2ma2
 n 
• Hàm sóng của hạt:  n Asin x
 a
• Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
 aana 2
 *.d x A 2 sin 2 xdx A 2 1 A 
 00aa2
 2 n 
 Hàm sóng của hạt có dạng:  x sin x
 n a a
 2 2 nx 
  x sin2 ( )
• Mật độ xác suất tìm thấy hạt trong giếng: n aa
 n=1 là trạng thái cơ bản.
 n=2 là trạng thái kích thích thứ nhất.
 n=3 là trạng thái kích thích thứ hai.
0 a 0 a
 BÀI TẬP VÍ DỤ 3
Một vi hạt chuyển động trong giếng thế một chiều sâu vô hạn, bề rộng
a. Khi hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất thì xác suất tìm thấy hạt
trong đoạn [0, a/3] là bao nhiêu?
 Hƣớng dẫn giải
• Hàm sóng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất (n=2):
 22 
  xx sin
 n aa
• Xác suất tìm thấy hạt:
 22
 aa/3 /3 22 
  x dx sin x dx 0,402
 n 
 00aa