Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 6: Trường tĩnh điện

 CHƯƠNG VI
TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
I. Điện tích 
• Thực nghiệm đã các nhận trong tự nhiên chỉ có 
 hai loại điện tích dương và âm. Các điện tích 
 cùng dấu thì đẩy nhau, trái dấu thì hút 
 nhau.Điện tích nguyên tố là điện tích nhỏ nhất đã 
 được biết trong tự nhiên, có độ lớn e = 1,6.10-19C. 
 Proton mang điện tích nguyên tố dương, còn 
 electron mang điện tích nguyên tố âm. 
• Vật mang điện tích dương hay âm là do vật đó đã 
 mất đi hay nhận thêm electron so với lúc vật 
 không mang điện. Điện tích mang bởi một vật có 
 cấu tạo gián đoạn nó luôn là số nguyên lần điện 
 tích nguyên tố.
1.Sự phân bố điện tích: Trong phần lớn các hiện 
 tượng vĩ mô, các điện tích được coi như phân bố 
 liên tục trong không gian mà không để ý đến tính 
 gián đoạn của chúng.
 dQ
a) Mật độ điện tích dài:  
 dl
 dQ
b) Mật độ điện tích mặt:  
 dS
 dQ
c) Mật độ điện tích khối: 
 d
2. Định luật bảo toàn điện tích:
 Tổng đại số các điện tích trong một hệ cô lập là 
 không đổi.
II. Định luật Coulomb: là định luật về tương tác 
 giữa hai điện tích điểm đứng yên.
   
   M F N
 q1q2 21 F12
 F 12 k e e21 e12
 2 12 q
  r 2 ĐT trái dấu 2
 F
   21
 q1q2 F
 F 21 k e 12
  r 2 21 2 ĐT cùng dấu
 C 2
  8,86 .10 12 , hay ( F / m )
 0 N .m 2
 2
 1 9 N.m
 k 9.10 2
 4  0 C
 q1 q 2
 Độ lớn F F k
 12 21 r 2
II. Điện trường
1.Khái niệm về ĐT: bất kỳ một vật mang 
 điện nào đứng yên cũng tạo ra trong 
 khoảng không gian xung quanh nó một 
 dạng vật chất gọi là trường tĩnh điện 
 hay gọi tắt là điện trường. Một tính 
 chất cơ bản của điện trường là mọi 
 điện tích đặt trong điện trường đều bị 
 điện trường đó tác dụng lực.
2. Vectơ cường độ điện trường
a) ĐN: Vectơ CĐĐT tại điểm M trong ĐT 
 F
 E 
 q0
 F là lực tác dụng lên điện tích thử q0 đặt tại M
 Vectơ CĐĐT là đại lượng đặc trưng cho ĐT về 
 mặt tác dụng lực, đơn vị là V/m hoặc N/C
b) Vectơ CĐĐT gây bởi một điện tích điểm
 Xác định vectơ CĐĐT do điện tích điểm q gây ra 
 tại điểm M cách nó r. Ta tưởng tượng đặt tại M 
 một điện tích thử q0. Lực tác dụng của điện tích q 
 lên điện tích q0 là:   
     e
 kqq0 F kq r
 F 2 er , E 2 er q M
   r q0  r
 er là vectơ đơn vị hướng từ điện tích q đến M
 E
 k q q > 0 M
 Cường độ ĐT: E 2 E
 r q < 0 M
c) Vectơ CĐĐT gây bởi hệ điện tích điểm
 q1 , q2 ,..,qi , .
 E  E i
 i
d) Trường hợp hệ điện tích phân bố liên tục (vật 
mang điện) 
Chia vật mang điện thành các phần tử VCB 
mang điện tích dq coi như điện tích điểm.
  
Gọi d E là vectơ CĐĐT gây bởi điện tích dq tại 
điểm xét
 kdqr
 dE 
 r 2 r
 r là bán kính vectơ hướng từ dq đến điểm xét
 Vectơ CDĐT do toàn bộ vật gây ra tại điểm xét
 E dE
 VMĐ
4. Ứng dụng NgLýCCĐT
a) Điện trường của một Lưỡng cực điện
 LCĐ là một hệ hai điện tích điểm có độ lớn bằng 
 nhau nhưng trái dấu +q và –q, cách nhau một 
 đoạn l rất nhỏ so với khoảng cách từ LCĐ tới 
 những điểm đang xét của trường. Vectơ mômen 
 lưỡng cực điện được đ ịnh nghĩa:
 pe ql
 l là vectơ hướng từ -q đến +q và có độ dài bằng l.
 Tính vectơ cường độ điện trường tại điểm A nằm 
 trên trục LCĐ và điểm B nằm trên đường trung 
 trực của LCĐ cách LC một đoạn r >> l
Giải:
 Theo NLCCĐT: E E E 
 Tại điểm A, ta có EA E E 
 Gọi r là khoảng cách từ A đến tâm O của LC
 B
 k q q α
 EA 
 2 2 r r
  l l 1 r 2
 r r α A
 2 2 -q O +q
 2 2
 l l 
 r r 
 kq 2 2
 2 2 
  l l 
 r r 
 2 2 
Vì r >> l/2 nên: 
 k 2ql 2kp
 E e
 A  r 3 r 3
Tại điểm B, ta có r1 = r2
 nên: kq
 E E 
 r 2
 1  
Theo qui tắc tổng hợ p vectơ ta thấy E song song 
và ngược chiều với l nên: E = E+cosα + E-cosα
 l kql
 Trong đó:
 cos E 3
 2r1 r1
 2
 2 l
 Vì r >> l nên: r1 r r
 kql kp 4
 Do đó: E e
 r 3 r 3
 k p
 Vì E   l nên có thể viết: E e
 r 3
b) Điện trường gây bởi một 
 sợi dây thẳng tích điện 
 đều mật độ điện dài λ > 0 
 tại điểm cách sợi dây một 
 đoạn là a.
Trên sợi dây ta lấy một phần tử chiều dài dy VCB 
cách chân của đường thẳng góc MH một khoảng 
bằng y, mang điện tích dq = λdy
 kdq kdy
 dE 2 2
 r r y
 r
 M
 H α
 a ( x
 E dE dEx dEy
 (
 Ex dEx E dE dE.cos 
 x x 
 E y dE y E dE dE.sin 
 y y 
 a
 r ; y atg 
 cos 
 a k
 dy d dE d 
 cos 2 a
 k 2 k
E cos d (sin sin )
 x a a 1 2
 1
 k 2 k
E sin d (cos cos )
 y a a 1 2
 1
* Trường hợp H nằm ngoài đoạn dây:
 k 2 k
 E cos d (sin sin )
 x a a 2 1
 1
 k 2 k
 E sin d (cos cos ) H
 y a a 1 2 M
 1
* Trường hợp hai đầu dây dài ra vô cùng:
 2 k 
 E 
 x  a
 E y 0
c) Điện trường gây bởi một sợi 
 dây thẳng tích điện đều mật độ 
 điện dài λ > 0 tại điểm nằm trên 
 đường kéo dài của sợi dây và 
 cách đầu gần nhất của sợi dây 
 một đoạn là a.
Chọn gốc tại M, ta lấy một phần tửVCB dx có tọa 
độ x bất kỳ mang điện tích dq = λdx xem như 
điện tích điểm, vectơ CĐĐT do phần tử này gây 
ra tại M có phương chiều như hình vẽ và có độ 
lớn
 x
 kdq kdx a
 dE L M
 x 2 x 2
   k a L ...  
  3 
 0 h 2 r 2 2 0
 2 k h 1 1 
 E 
  h h 2 R 2 
  h 1 1 
 2 2 
 2 0  h h R 
Nếu đĩa tròn mang điện đều trở thành mặt 
phẳng vô hạn đều, R lúc đó :
 
 E 
 2 0
Vậy vectơ CĐĐT do mặt phẳng vô hạn mang điện 
đều gây ra tại điểm M trong điện trường có 
phương thẳng góc với mặt phẳng, chiều phụ 
thuộc dấu của điện tích và độ lớn không phụ 
thuộc vị trí của điểm M. 
 Lưu ý: Vì điện tích có thể có giá trị dương hay 
âm, nên trong trường hợp tổng quát khi tính 
cường độ điện trường E thì điện tích được lấy trị 
tuyệt đối.
III.Định lý Gauss về tĩnh điện (ĐL Ô-G)
1.Đường sức điện truờng: là đường cong mà 
 tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với 
 phương của vectơ CĐĐT tại điểm đó; chiều 
 của đường sức là chiều của vectơ CĐĐT.
 Người ta qui ước vẽ số đường sức ĐT qua 
 một đơn vị diện tích đặt vuông góc với đường 
 sức bằng CĐĐT E tại nơi đặt diện tích. Tập 
 hợp các đường sức ĐT gọi là phổ đường sức 
 ĐT hay điện phổ.
2.Vectơ cảm ứng điện: Trong môi trường 
 đồng chất và đẳng hướng , vectơ cảm ứng 
 điện được ĐN:
 D  0 E
 Vì CĐĐT tỉ lệ nghịch với hằng số điện môi 
 ε , nên khi đi qua mặt phân cách của hai 
 môi trường, phổ các đường sức ĐT bị gián 
 đoạn ở mặt phân cách của hai môi trường. 
 Còn D không phụ thuộc môi trường nên khi 
 đi qua mặt phân cách của hai môi trường, 
 phổ của đường cảm ứng điện là liên tục.
3. Thông lượng của vectơ CĐĐT:
 Thông lượng của vectơ CĐĐT gửi qua diện tích 
  
 dS vô cùng bé sao cho E coi như không đổi trên 
 dS được định nghĩa:
 d E.dS
  
 d S là vectơ diện tích hướng theo pháp tuyến của 
 dS và có độ lớn bằng chính diện tích dS.
 Thông lượng điện trường gửi qua diện tích S:
  d E.dS E.dS.cos 
 (S) (S) (S)
Tương tự thông lượng vectơ điện cảm gửi 
qua diện tích S:
  d D.dS D.dS.cos 
 (S) (S) (S)
Đối với mặt kín vectơ pháp tuyến đơn vị 
luôn qui ước hướng ra phía ngoài của mặt.
  
 (dS) E
 (S) n
Một mặt diện tích A đư ợc đ ặt trong 
điện trường đều E a i b j , tính 
thông lượng điện đi qua mặt này nếu 
nó nằm trong:
a) Mặt yz
b) Mặt xz
c) Mặt xy
a)    
 E.dS EdSi (ai bj)dS.i adS aA
 (A) (A) (A) (A)
b)
     
 E.d S EdS j (ai b j)dS. j bdS bA
 ( A) ( A) ( A) ( A)
c) 
     
 E.d S EdSk (ai b j)dS.k 0
 ( A) ( A) ( A)
5. Định lý Gauss trong chân không:
   1
 E.d S q
   i
 (S ) 0 i
  qi là tổng đại số các điện tích chứa trong 
 i
 mặt kín
 Định lý Gauss trong môi trường:
   
 D.d S q
   i
 (S ) i
Nếu điện tích phân bố liên tục trong mặt kín S với 
mật độ điện tích khối ρ thì:
 q Q d ; τ là thể tích giới hạn bởi 
  i 
 i ( ) mặt kín S
Khi đó ĐL Gauss có thể viết:
   Q 1
  E.d S d
 (S ) o  o ( )
   
  D.d S Q d
 (S ) ( )
Các phương trình này gọi là ĐL Gauss trong 
chân không và môi trường dưới dạng tích phân
Theo g iải tích vec tơ thì:
  E.d S divEd
 (S ) ( )
    
  D.d S divDd
 (S ) ( )
Do đó ta được ĐL Gauss dưới dạng vi phân:
   
 divE hay .E 
  
  o  o
 divD hay .D 
Trong hệ tọa độ Descartes:
  E E E
 divE x y z
 x y z
• Chứng minh định lý Gauss
1. Góc khối:góc khối từ O nhìn diện tích dS là đại
 lượng:
 dS cos 
 d 
 r 2
 r = OM, M là một điểm trên dS, α là góc hợp bởi
 OM và vectơ đơn vị pháp tuyến của dS
 dS cos dS là hình chiếu của dSn
 n α
 dS lên mặt phẳng vuông góc
 với OM . Vậy: dS
 dS r
 d n
 r 2
 O
Nếu vẽ mặt cầu tâm O bán kính r = 1 và gọi d∑ là 
phần diện tích mặt cầu nằm trong hình nón đỉnh 
O tựa trên chu vi của dS thì :
 d  dS
 n d d 
 12 r 2
Nếu chọn chiều pháp tuyến dương hướng ra 
ngoài O thì dΩ > 0 : dΩ = + d∑
Nếu chọn chiều pháp tuyến dương hướng vào 
trong O thì dΩ < 0 : dΩ = - d∑
Đơn vị góc khối là steradian (sr)
Góc khối từ O nhìn diện tích S bất kỳ
 dS cos 
  d 
 2
 S S r
Giá trị tuyệt đối của Ω chính là phần diện tích 
mặt cầu tâm O bán kính 1 nằm trong mặt nón 
đỉnh O tựa trên chu vi của S.
Đặc biệt nếu S là mặt kín bao quanh O thì góc 
khối Ω nhìn từ O có giá trị tuyệt đối là 
  4 12 4 
Nếu chọn chiều dương pháp tuyến S hướng ra 
ngoài mặt S thì Ω = +4π, trong trường hợp ngược 
lại thì Ω = -4π
  
2. Thông lượng E do điện tích q đặt tai O gửi 
qua diện tích dS 
   
 d E.d S E.dS.cos 
 q dS.cos q
 2 d
 4  0 r 4  0
Khi q > 0 thì dФ cùng dấu với dΩ, q < 0 thì dФ
trái dấu với dΩ nên 
 q
 d d
 4 0
a) Trường hợp mặt kín S bao quanh điện tích q
 q q q
  d d 4 
 S 4  0 S 4 0 0
b) Trường hợp q nằm ngoài mặt kín S
Dựng mặt nón đỉnh O tiếp xúc với mặt kín S, 
đường tiếp xúc của mặt nón với S chia S thành 
hai phần S1 và S2 khi đó:
 d d d 0  0
 S S1 S2
 S1
 S2
 O
Vậy điện thông do một điện tích q gây ra qua mặt 
kín S có giá trị bằng q nếu q ở trong mặt kín S và 
bằng 0 nếu q ở ngoài mặt kín S.
Trong trường hợp nếu có nhiều điện tích q1 , q2,
q3 . theo nguyên lý chồng chất điện trường ta 
suy ra: điện thông qua mặt kín S bằng tổng điện 
thông do từng điện tích gây ra qua mặt kín S 
6.Ứng dụng ĐL Gauus: ĐL Gauss về tĩnh 
 điện được áp dụng để tính vectơ CĐĐT khi 
 sự phân bố điện tích có tính chất đối xứng 
 và sự đối xứng này đảm bảo cho vectơ 
 CĐĐT có độ lớn không đổi hoặc vuông góc 
 dọc theo những mặt nào đó vẽ tưởng tượng 
 trong ĐT.
VD 1: Xác định vectơ CĐĐT do một mặt 
 phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ 
 điện mặt σ gây ra.
 Ta chọn mặt kín S là mặt trụ thẳng tưởng tượng 
 có hai đáy So song song và đối xứng nhau qua 
 mặt phẳng và một trong hai đáy đi qua điểm ta 
 xét. Vì trên mặt xung quanh, hai vectơ E và d S 
 luôn vuông góc với nhau nên:
         
  EdS EdS EdS EdS
(S) (S0 ) (S0 ) (Sxq )
 1 1 
 So 2ESo So E 
 0 0 2o
VD 2: Xác định vectơ CĐĐT do quả cầu 
 bk R mang điện tích Q phân bố đều 
 gây ra tại một điểm nằm bên ngoài và 
 bên trong quả cầu trong trường hợp:
 a) điện tích phân bố trên bề mặt.
 b) điện tích phân bố trong toàn bộ thể 
 tích của quả cầu với mật độ điện tích 
 khối 
Do tính chất đối xứng của bài toán, nên vectơ 
CĐĐT có phương xuyên tâm. Măt khác những 
điểm cách đếu tâm quả cầu đều hoàn toàn tương 
đương nhau nên độ lớn của vectơ CĐĐT tại 
những điểm đó phải bằng nhau. Ta chọn mặt kín 
S là mặt cầu tưởng tượng tâm O bk r.
   Q Q
  Ed S in  EdS in R
 ( S )  0 ( S )  0
 2 Qin Qin
 E.4 r E 2
  0 4  0 r
 a)
 R
 Q
Trường hợp:
 r R :Qin Q E 2
 4  0r
Trường hợp: r R: Qin 0 E 0
b) *Trường hợp r > R
 4 3 Q
Qin Q R E 2
 3 4  o r
 *Trường hợp r < R
 4 3
 Qin r
 3 R
 r
 E 
 3 0 
  r
 Dưới dạng vecto: E 
 30
• Bên trong một quả cầu đặc, tích điện 
 đều với mật độ điện tích khối ρ có một 
 lỗ rỗng hình cầu. Tâm của lỗ rỗng cách 
 tâm quả cầu một khoảng a. Xác định 
 vectơ cường độ điện trường bên trong 
 lỗ rỗng.
• Điện trường tại điểm M trong hốc
    
 E M E E1
   
 O O’
 E, E1 là điện trường do quả cầu
 tâm O và tâm O’ gây ra tại M
 Áp dụng kết quả tính điện trường bên trong quả 
 cầu ở trên ta được
    
  OM O 'M OO '
 E M 
 3o 3o 3o
 Vậy điện trường bên trong hốc là điện trường 
 đều
• Xác định điện trường bên trong 
 và bên ngoài hình trụ đặc dài vô 
 hạn bán kính R tích điện đều 
 với mật độ điện tích khối ρ
• Do phân bố điện tích đối xứng trụ nên điện 
 trường có phương thẳng góc với trục của trụ. 
 Chọn mặt kín S là mặt trụ bán kính r chiều cao h
 R
 R
 n
 n
 E
 E r
 r
 n
 n
 E
 E
 R
 R
 n
 n
Áp dụng định lý Gauss
   Q     Q
 Ed S in Ed S Ed S in
   
 ( S ) 0 2 S 0 S xq 0
 Q Q
 E.2 rh in E in
  0 2  0 rh
 S0 là diện tích đáy, Sxq là diện tích xung quanh 
 của mặt trụ kín S.
 a) Khi r > R
 2
 2 R
 Qin R h E 
 20r
b) Khi r < R
 2 r
 Qin r h E 
 20
 Hay dưới dạng vecto
  r
 E 
 20
Bên trong hình trụ đặc dài vô hạn, tích 
điện đều với mật độ điện tích khối có 
một lỗ rỗng hình trụ dài vô hạn. Trục 
của hình trụ và trục của lỗ rỗng song 
song nhau và cách nhau một khoảng a. 
Xác định vectơ cường độ điện trường 
bên trong lỗ rỗng
Điện trường tại điểm M trong hốc. Áp dụng 
 nguyên lý chồng chất ĐT:
       
 E E E 2 E1 E E
 1   2 
  OM O 'M OO ' a
 E1 
 2 2 2 2
  o o o o
 a OO '
 Vậy điện trường bên trong lỗ rỗng là 
 một điện trường đều
IV.Điện thế
1.Công của lực tỉnh điện
 Giả sử ta dịch chuyển một điện tích điểm qo
 trong điện trường của điện tích điểm q. Công của 
 lực tỉnh điện trong chuyển dời vô cùng nhỏ bằng:
     
 dA F.dr q0 .E.dr
  
 q q0q
 q0 3 r.dr 2 dr
 4  0 r 4  0 r
 r2 q q q q q q
 A dA 0 dr 0 0
 4   r 2 4   r 4   r
 r1 0 0 1 0 2
• Chứng tỏ công của lực tỉnh điện trong sự dịch 
 chuyển điện tích qo trong điện trường của điện tích 
 điểm q không phụ thuộc vào dạng của đường cong 
 dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu 
 và điểm cuối của chuyển dời.
• Nếu ta dịch chuyển điện tích qo trong điện trường 
 của hệ điện tích điểm thì:
 N   N n   n N   
 A F .d r F .d r F .d r
 M N  i  i
 M M i 1 i 1 M
 n q q n q q
  0 i  0 i (1)
 i 1 4  0  riM i 1 4  0  riN
• Trong trường hợp tổng quát, nếu ta dịch chuyển 
 điện tích qo trong một trường tỉnh điện bất kỳ thì 
 ta có thể coi trường tĩnh điện này như gây ra bởi 
 một hệ vô số điện tích điểm. Vậy:
• Công của lực tỉnh điện trong sự dịch chuyển 
 điện tích qo trong một điện trườngbất kỳ 
 không phụ thuộc vào dạng của đường cong 
 dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm 
 đầu và điểm cuối của chuyển dời.
2.Tính chất thế của trường tỉnh điện
 Theo kết quả trên, nếu ta dịch chuyển qo theo một 
 đường cong kín bất kỳ thì công của lực tĩnh điện 
 trong dịch chuyển đó sẽ bằng không. Vậy trường 
 tỉnh điện là một trường thế.
     
 A q E.ds 0 E.ds 0
  o  
 Vậy :
 “Lưu số của vectơ CĐĐT(tỉnh)dọc theo một đường 
 cong kín bằng không”
 Theo định lý Stockes thì: 
 E.ds rotE.dS
 (S)
Trong đó S là mặ t giới hạn bởi đường cong kín 
nên rotE 0
  
  E 0
Phương trình này biểu diễn tính chất thế của 
TTĐ nhưng dưới dạng vi phân.
2.Thế năng của một điện tích trong điện 
 trường
 Vì trường tĩnh điện là trường thế, nên công 
 của lực tỉnh điện trong sự dịch chuyển một 
 điện tích qo trong điện trường bằng độ giảm 
 thế năng W của điện tích đó trong điện 
 trường
 AMN = WM - WN
 WM - WN là độ giảm thế năng của điện tích 
 điểm qo trong sự dịch chuyển điện tích đó 
 từ M đến N trong điện trường.
So sánh biểu thức trên với biểu thức (1) ta suy ra 
biểu thức thế năng của điện tích điểm q0 đặt 
trong điện trường của điện tích điểm q và cách 
điện tích này một đoạn r là:
 q q
 W 0 C
 4  0r
C là một hằng số tùy ý, W còn được gọi là thế 
năng tương tác của hệ điện tích qo , q.
Nếu qui ước thế năng của điện tích qo khi nó cách 
xa q vô cùng bằng 0 thì C = 0 khi đó: 
 q q
 W 0
 4  0 r
 Tương tự :
• Thế năng của điện tích qo trong điện trường của 
 hệ điện tích điểm là:
 n q q
 W  0 i
 i 1 4  0 ri
• Thế năng của điện tích qo trong điện trường bất 
 kỳ là:
   
 W A q E .ds
 M M 0
 M
4.Điện thế
a) ĐN : Điện thế tại một điểm đang xét trong điện 
 trường được định nghĩa: W
 V 
 q o
 W là thế năng của điện tích qo tại điểm đang xét
b) Từ định nghĩa của điện thế ta suy ra:
 * Điện thế của điện trường gây bởi một điện tích 
 điểm q tại điểm cách nó một khoảng r là: 
 q
 V C
 4 0r
 kq
 Nếu qui ước V 0 k h i r C 0 V 
 r
* Điện thế của điện trường gây bởi một hệ điện tích 
 điểm q1, q2,.qn tại một điểm nào đó trong điện 
 trường là:
 n n
 qi
 V  Vi
 i 1 4 0.ri i 1
 ri là khoảng cách từ điểm xét đến qi
* Điện thế gây bởi hệ điện tích phân bố liên tục ( 
 vật mang điện) 
 kdq
 V dV 
 VMĐ VMĐ r
 r là khoảng cách từ phần tử điện tích vô cùng nhỏ 
 dq đến điểm xét
* Điện thế tại điểm M trong điện trường 
 bất kỳ là:
 V E.ds
 M 
 M
 Ta có thể tính công qua hiệu điện thế
 AMN = WM - WN = qo (VM – VN)
5) Năng lượng của LCĐ trong điện trường ngoài:
Giả sử LCĐ được đặt trong điện trường ngoài 
đều. Khi đó các điện tích của E
 F1
LCĐ bị điện trường ngoài tác p ql +
dụng các lực cùng phương F2 _ α
ngược chiều và có độ lớn bằng 
qE tạo thành một ngẫu lực. 
Nếu momen của LCĐ hợp với một góc α thì 
momen của ngẫu lực tác dụng lên LCĐ có độ 
bằng : µ = qlEsinα
Công của lực điện trường khi quay LCĐ góc dα
 dA = -µdα = - qlEsinαdα = -pEsinαdα
Công của lực ĐT khi quay LCĐ từ góc α đến α = 0
 0
 A dA pEsin d 
 pEcos0 pEcos pEcos ( pEcos0)
Mà theo phương trình ĐN hiệu thế năng:
 A = W(α) – W(0)
Vậy thế năng của LCĐ trong điện trường ngoài 
là:
 W( ) pEcos p.E
V. Mặt đẳng thế
1.ĐN: Mặt đẳng thế là quỹ tích những điểm 
 có cùng điện thế.
2.Tính chất:
a) Công của lực tĩnh điện trong sự dịch 
 chuyển một điện tích qo trên một mặt đẳng 
 thế bằng không.
b) Vectơ CĐĐT tại một điểm trên mặt đẳng 
 thế vuông góc với mặt đẳng thế tại điểm đó
VI. Liên hệ giữa vectơ CĐĐT và điện thế
1. Hệ thức giữa vectơ CĐĐT và điện thế
 Theo phương trình ĐNHTN:
 A W W dA dW
  MN M N  
 F.d s qodV qo E.d s qodV
 E.ds.cos dV
 dV
 E ds dV E 
 s s ds
Từ biểu thức trên ta suy ra hình chiếu Ex, Ey, Ez
của vectơ CĐĐT trên ba trục tọa độ Descartes là:
 V V V
 E ; E ; E 
 x x y y z z
Do đó: 
  V V V 
 E iEx jEy kEz i j k 
 dx dy dz 
Hay: 
 E grad V
Theo trên ta có: d V E d s c o s nên d V 
max khi E cùng phương với d s mà E thẳng 
góc với mặt đẳng thế nên : Lân cận một 
điểm trong điện trường, điện thế biến thiên 
nhiều nhất theo phương pháp tuyến với mặt 
đẳng thế.
* Theo trên 
  VB B  B  
 dV E.d s dV E.d s V V E.d s
 A B 
 Nếu VA A A
    
 E const VA VB E.AB
1) Một đoạn dây thẳng dài L, tích điện đều mật độ 
 điện dài  . Tính điện thế tại điểm M nằm trên 
 đường kéo dài của đoạn dây và cách đầu gần 
 nhất một đoạn a.
 x
 dx
 a L kdx k a L
 V ln
 a  x  a
2) Một cung tròn AB bán kính R mang điện tích Q 
 phân bố đều, AÔB = α0 . Tính điện thế tại tâm O 
 của cung.
 kdq kQ k R k 
 V 0 0
  R  R  R 
3) Một vòng dây tròn bán kính R mang điện tích Q 
 phân bố đều. Tính điện thế tại điểm M nằm trên 
 trục vòng dây và cách tâm của nó một đoạn h
 kdq kQ
 V 
 2 2
 r  R h
4) Tính điện thế bên trong và bên ngoài quả 
cầu tâm O, bán kính R mang điện tích Q 
phân bố đều trong trường hợp :
a) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt.
b) Điện tích phân bố trong toàn bộ thể tích 
của quả cầu với mật độ điện tích khối .
a) r < R
 Điện trường bên trong quả cầu bằng không nên 
 điện thế tại mọi điểm bên trong quả cầu đều 
 bằng nhau do đó:
 kdq kQ
 V V 
 o R R
 r > R
 dV kQ
 E E dV Edr dr
 r dr r 2
 0 dr kQ
 dV kQ V 
 2
 V r r r
b) r > R 
 dV kQ
 E E dV Edr dr
 r dr r 2
 0 dr kQ
 dV kQ V 
 2
 V r r r
 r < R 
 dV VR R R r
 E E dV Edr dr
 r dr 3
 Vr r r o
 r 2 R2
 VR Vr 
 6 0 6 0
Mà: 
 kQ 4 R3 R2
 VR 
 R 4 o 3R 3o
 R2 r 2 R2
 Vr 
 3 o 60 6 0
 r 2 R2
 Vr 
 60 2 0