Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 3: Động lực học hệ chất điểm

 Chương III
ĐỘNG LỰC HỌC 
HỆ CHẤT ĐiỂM
Nội lực là lực do các phần tử bên trong hệ tác dụng
lên nhau. Ngoại lực là lực bên ngoài hệ tác dụng lên
các phần tử bên trong hệ.
Theo ĐL Newton III thì tổng các nội lực bằng
không.
Từ đó suy ra tổng momen của các nội lực cũng
bằng không.
 1
 2
 3
I. Động lượng hệ chất điểm
1. Định nghĩa:
 P  pi mi vi
 i i
2. Định lý và định luật ĐLHCĐ
    
   ,
 a) dP d pi d pi
  ; Fi Fi
 dt i dt dt
 Fi là tổng các ngoại lực tác dụng vào chất điểm i
 F’i là tổng các nội lực tác dụng vào chất điểm i
  
     
 d P ,
  Fi  Fi  Fi F
 dt i i i
• Vậy:  
 d P  
 F
 dt
  
 là tổng các ngoại lực tác dụng vào HCĐ
F  Fi
 i
b) p2 t2 t2
 d P Fdt P2 P1 Fdt
 p1 t1 t1
   
c) Nếu F 0 p const
   
d) Nếu F 0 nhưng hình chiếu của F lên một 
 phương nào đó bằng không thì động lượng được 
 bảo toàn theo phương đó .
 Ví dụ: Fx = 0 thì Px = const
 Ví dụ: Một khẩu đại bác không có bộ phận 
 chống giật, nhả đạn dưới một góc α = 45o so với 
 mặt phẳng nằm ngang. Viên đạn có khối lượng m 
 = 10kg và có vận tốc ban đầu vo = 200m/s. Đại 
 bác có khối lượng M = 500kg. Hỏi vận tốc giật lùi 
 của súng nếu bỏ qua ma sát
Giải: Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và 
phản lực của mặt đường có phương thẳng đứng. 
Nên hình chiếu của chúng lên phương ngang 
bằng không
Áp dụng ĐLBTĐL theo phương ngang cho hệ 
gồm súng và đạn
 mv cos MV 0
 mv cos 
 V 3,5m / s
 M
Một người có khối lượng m = 60kg 
 đứng trên một con thuyền dài 3m có 
 khối lượng M = 120kg, đang đứng yên 
 trên mặt nước yên lặng. Người đó bắt 
 đầu đi từ mũi thuyền đến chỗ lái 
 thuyền (đuôi thuyền). Hỏi khi người đó 
 đi tới chỗ lái thuyền thì thuyền đã đi 
 được một đoạn bao nhiêu? Bỏ qua sức 
 cản của nước.
Áp dụng ĐLBTĐL cho hệ người và thuyền:
    m  
 0 mv1 M v2 v2 v1
 M
v
 1 là vận tốc của người đối với bờ
v
 2 là vận tốc của thuyền đối với bờ
Gọi v ' là vận tốc của người so với thuyền thì:
 1    
 ' '
 v1 v1 v2 v1 v1 v2
Ta có: l s
 v' ;v 
 1 t 2 t
 l là chiều dài thuyền, s là đoạn đường thuyền đi 
được trong thời gian t.
Do đó: l s
 v v' v 
 1 1 2 t
 l s s
Mà: mv Mv m M
 1 2 t t
 ml
 s 1m
 m M
II. Khối tâm
1.Định nghĩa: Khối tâm G của hệ chất điểm là vị trí 
 thỏa mãn hệ thức:
 mi M iG 0
 i
 Mi là vị trí chất điểm i
2. Vị trí khối tâm : đối với điểm O trong HQC nào 
 đó được xác định bởi vectơ vị trí 
 rG OG
Ta có:
 OG OM i M iG 
  mi OG  mi OM i  mi M iG
 i i i
  mi OM i
 OG i
  mi
 i
  mi ri   
 r OM ; M m
 r với i i  i
 G M i
Tọa độ khối tâm trong hệ tọa độ Descartes:
 mi xi mi yi mi zi
 x i ; y i ; z i
 G M G M G M
Khối tâm của vật rắn: chia VR ra làm các phần 
tử khối lượng dm VCB coi như chất điểm:
 dm.x dm.y dm.z
 x ; y ; z 
 G M G M G M
x, y, z là tọa độ của phần tử khối lượng dm
Lưu ý:
* Với các vật đồng chất mà dạng hình học có yếu tố 
 đối xứng thì khối tâm nằm trên các yếu tố đó.
* Trong trọng trường khối tâm trùng với trọng 
 tâm, tuy nhiên khái niêm khối tâm có ý nghĩa cơ 
 bản hơn trọng tâm bởi vì trong tình trạng không 
 trọng lực trọng tâm không còn nhưng khối tâm 
 vẫn có.
* Trong trọng trường đồng nhất có gia tốc g thế 
 năng của VR bằng thế năng của khối tâm mang 
 tổng khối lượng.
 Nếu hệ S gồm hai hệ S1 và S2 thì:
 m OG m OG
 OG 1 1 2 2
 m1 m2
• G, G1, G2 là khối tâm của S, S1, S2
• m1, m2 là khối lượng của S1, S2
3) Vận tốc khối tâm
 dri
 mi
 dr dt
 v G i
 G dt M
 mi vi  pi
 P
 i i 
 M M M
4) Gia tốc khối tâm:
 dv 1 d P F
 a G 
 G dt M dt M
5) Phương trình chuyển động của khối tâm
 F MaG
 Vậy khối tâm của hệ chuyển động như một chất 
 điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ 
 và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại 
 lực tác dụng lên hệ đặt tại khối tâm.
6) Nếu F 0 thì : aG 0 vG const
 Khối tâm của hệ hoặc đứng yên hoặc chuyển động 
 thẳng đều
Ví dụ 1: Tại ba đỉnh của một tam 
giác đều cạnh a có đặt ba chất điểm, 
khối lượng lần lượt bằng m1, m2, 
m3. Xác định khối tâm của hệ ba 
chất điểm đó.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, ta có:
 m1x1 m2x2 m3x3
 xG 
 m1 m2 m3
 y
 a m
 0 m2 m3a ● 2
 2
 m m m x
 1 2 3 O ● ●
 m1 m3
 m1y1 m2 y2 m3 y3
 yG 
 m1 m2 m3
 a 3
 0 m2 0
 2
 m1 m2 m3
Ví dụ 2: Xác định vị trí khối 
tâm của một sợi dây đồng 
chất, khối lượng m được uốn 
thành một cung tròn AB tâm 
O bán kính R với góc mở 
AÔB = 2αo
Vì sợi dây đối xứng qua đường phân giác của góc 
AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường phân 
giác này. Chọn trục Ox trùng với đường phân 
giác. Tọa độ khối tâm:
 1
x dm.x
G m A
 R
 m m dα
 α x
dm dl .R.d O
 l R.2 o
x Rcos 
 B
 R o R
 xG cos d sin o
 2 o o
 o
Ví dụ 3: Xác định vị trí khối tâm của 
 một hình quạt đồng chất, khối lượng 
 m, bán kính R với góc mở AÔB = 2αo
 dS rdrd 
 rd 
 dr
 d r
 Vì hình quạt đối xứng qua đường phân giác của 
góc AÔB nên khối tâm của nó nằm trên đường 
phân giác này. Chọn trụ ... óc với
 mặt phẳng của đĩa.
1)
 I dm.R 2
 R 2 dm
 I mR 2
2) 
 m
 I dm.r2 ; dm rdrd 
 R2
 m R 2 
 I r3dr d 
 2 
 R 0 0
 1
 I mR2
 2
Ví dụ : Xác định mômen quán tính của:
1) Một vành tròn đồng chất khối lượng
 m, bán kính R đối với trục đi qua tâm
 và nằm trong mặt phẳng của vành.
2) Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m, 
 bán kính R đối với trục đi qua tâm và
 nằm trong mặt phẳng của đĩa.
a)
 dI dm.(Rsin )2
 m
 Rd .R2 sin2 
 α 2 R
 mR2
 sin2 d 
 2 
 mR2 2 1
 I dI sin2 d mR2
 2 0 2
b) Chia đĩa thành các vành tròn bán kính r bề dày 
 dr, khối lượng của nó là:
 m 2mrdr
 dm 2 rdr 
 R2 R2
 1 mr3dr
 dI dmr 2 
 2 R2
 m R 1
 I dI r3dr mR2
 2 
 R 0 4
3)Một đĩa bằng đồng khối lượng 
 riêng ρ có bề dày b, bán kính R.
 Đĩa bị khoét thủng hai lỗ tròn O
 bán kính R/2 như hình vẽ. 
 Tìm mômen quán tính của đĩa đã bị khoét đối với 
 trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa
Ta có: I Io (I1 I2)
Io, I1, I2 lần lượt là MMQT của đĩa khi chưa bị 
khoét và mỗi phần khoét đối với trục vuông góc 
với đĩa và đi qua tâm O của đĩa. Ta có:
Với 1
 I m R2
 o 2 o
 2 2
 1 R R 
 I1 I2 m1 m1 
 2 2 2 
 2
 mo b R
 2
 R 5 bR4
 m1 b I 
 2 16
4) Tìm mômen quán tính của bản 
 mỏng đồng chất hình chữ nhật 
 khối lượng m, các cạnh là a và b 
 đối với trục vuông góc với mặt 
 bản và đi qua một đỉnh của bản.
 1
 dI dm .b 2 dm .x 2
 12
 m m
 dm bdx dx
 ab a
Momen QT đối với trục đi qua khối tâm và thẳng 
góc với mặt bảng
 a a
 2 1 m 2 m
 I dI b2dx x2dx
 o 
 a 12 a a a
 2 2
 1
 m a2 b2 
 12
 MMQT đối với trục đi qua một đỉnh của bảng và 
thẳng góc với mặt bảng. Áp dụng ĐL Steiner –
Huyghen
 a2 b2 1
 I I m m a2 b2
 o 
 4 4 3
V. Chuyển động của Vật Rắn:
1) Chuyển động tịnh tiến: 
 Vật rắn chuyển động tịnh tiến khi vectơ nối hai 
 điểm M,N bất kỳ của nó không đổi trong quá 
 trình chuyển động
 M N
 M N M N
 MN c ON OM c
 Lấy đạo hàm hai vế, ta suy ra 
     
 VN VM ; aM aN
Vậy các chất điểm của VR đều có cùng vectơ vận 
tốc và gia tốc. Do đó để xác định chuyển động 
tịnh tiến của VR, ta chỉ cần xác định chuyển động 
của một điểm trên VR, thường chọn khối tâm.
Chú ý: Trong chuyển động tịnh tiến QĐ của các 
chất điểm của vật rắn có thể là các đường cong
Phương trình chuyển động tịnh tiến của VR
 F M a
M là khối luợng của VR
 
F là tổng các ngoại lực tác dụng vào VR
2. Chuyển động quay quanh một trục cố định
 VR (cố thể) chuyển động quay quanh một trục cố 
 định nếu có hai điểm đứng yên. Mọi chất điểm 
 nằm trên đường nối hai điểm này, gọi là trục 
 quay của VR, cũng đứng yên. Các chất điểm 
 không nằm trên trục quay chuyển động tròn có 
 tâm nằm trên trục và bán kính bằng khoảng cách 
 từ chất điểm đến trục quay.
 Khi VR quay quanh một trục cố định thì:
 * Trong cùng khoảng thời gian, mọi điểm của VR 
 đều quay được cùng một góc θ.
* Tại cùng một thời điểm, mọi điểm của VR đều 
có cùng: d
 vận tốc góc :  
 dt
 d
 và gia tốc góc :  
 dt
 a)MMĐL của HCĐ quay quanh một trục cố 
định:
 Ta đặt trục z trùng với trục quay cố định. Trên 
trục z ta lấy một điểm O
 z
    
 O ri
 pi mi vi
MMĐL của chất đ iểm i đối với điểm O, theo ĐN là:
 Li ri mi vi
MMĐL của HCĐ đối với điểm O:
 L  Li
 i
MMĐL của HCĐ đối với trục z
 Lz  Liz
 i
  
Môđun của L i là 
 2
 Li mirivi mirii Ri miri i Iii
trong đó Ri là k hoảng cách từ chất điểm i đến 
trục quay. Vì L nằm trên trục z nên hình chiếu 
  i
của L i lên trục z là:
 Liz Li Iii
Vậy Lz Liz Iii
 i i
i 0 nếu  i cùng chiều với trục z và âm nếu 
ngược lại
b)Mômen ĐL của VR quay quanh một trục cố 
 định
 Khi đó mọi chất điểm của VR đều có cùng vận tốc 
 góc nên các  i đều bằng nhau và bằng  nên :
 Lz Ii  I
 i 
 với I là m ômen QT của VR đối với trục quay.
 Vì L và  cùng phương chiều nên: 
   
 L I
c) Tác dụng của lực trong chuyển động quay của 
VR quanh một trục cố định: Giả thiết có một lực 
tác dụng lên vật rắn, phân tích ra hai thành 
  F
phần: F F 1 F 2 , F 1 ┴ trục ; F 2 | | trục.
 Lực F 1 nằm trong mặt phẳng vuông 
 ∆
 góc với trục đi qua M lại được 
  phân tích ra hai thành phần: 
 F
 2  
 F F F F
  1 t n
 O
 Ft
 M  
 F
 Fn 1
  
Trong đó F t ┴ bán kính OM nghĩa là nằm theo 
tiếp tuyến của vòng tròn tâm O bán kính OM còn 
  
 Fn nằm theo bán kính OM. 
 Kết quả ta có: F F t F n F 2 
 Ta thấy rằng :
  
- F2 không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác 
dụng làm vật rắn trượt dọc theo truc quay
  
- Fn không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác 
dụng làm vật rắn dời khỏi trục quay.
Vậy trong chuyển động quay của một vật rắn xung 
quanh một trục chỉ những thành phần lực tiếp 
tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng 
thực sự.
d) Momen của lực đối với trục quay
         
 MO(F) MO(Ft ) MO(Fn ) MO(F2)
     
 M (F) M (Ft ) M (Fn ) M (F2 )
       
 MO(F) OM F MO(F) nằm trên trục 
 t  t t  
Nên: 
 M (Ft ) OM.Ft sin(OM,Ft ) r.Ft
      
 MO(Fn) OM Fn 0 M (Fn) 0
        
 MO(F2) OM F2 MO(F2)  M (F2) 0
Vậy
   
 M (F) M (Ft ) r.Ft
Momen lực là đại lượng đặc trưng cho tác dụng 
của lực trong chuyển động quay.
Momen của lực đối với trục sẽ bằng không khi lực 
đó bằng không hoặc khi lực đó đồng phẳng với 
truc ∆.
e)Phương trình cơ bản của VR quay quanh trục cố 
 định
 Ta có MMĐL của VR đối với trục quay:
 dL d
 L I I I
 dt dt
 M I
 Đây là phương trình cơ bản của VR quay quanh 
 trục cố định
 Trong đó M là tổng mômen của các ngoại lực tác 
 dụng lên vật rắn đối với trục quay, I là momen 
 quán tính của VR đối với trục quay.
 Chú ý: Mômen lực đối với trục có trị đại số
Bài 1: Một đĩa tròn khối lượng m1 = 100kg 
quay với vận tốc góc ω1 = 10 vòng/phút. 
Một người khối lượng m2 = 60 kg đứng ở 
mép đĩa. Hỏi vận tốc góc của đĩa khi người 
đi vào đứng ở tâm đĩa.
Áp dụng ĐLBTMMĐL đối với trục cho hệ gồm 
đĩa và người:
 I11 I22
 1 2 2 1 2
 m1R m2R 1 m1R 2
 2 2
 m1 2m2
 2 1 22vòng / phút
 m1
Bài 2: Một thanh có chiều dài l quay 
xung quanh một trục nằm ngang đi 
qua một đầu thanh. Lúc đầu, thanh ở 
vị trí nằm ngang, sau đó được thả ra. 
Tìm gia tốc góc của thanh lúc bắt đầu 
thả rơi và lúc thanh đi qua vị trí thẳng 
đứng
 Phương trình chuyển động quay của thanh
 M I
 1 2
 Với I ml
 3
 a) Lúc bắt đầu thả rơi 
 l 3g
 M mg  14,7rad / s2
 2 2l
b) Lúc thanh đi qua vị trí thẳng đứng
 M 0  0
Bài 3: Một cột đồng có chiều cao h, 
 đang ở vị trí thẳng đứng thì bị đổ 
 xuống. Xác định:
 a) Vận tốc dài của đỉnh cột khi nó 
 chạm đất
 b) Vị trí của điểm M trên cột sao cho 
 khi M chạm đất thì vận tốc của nó 
 đúng bằng vận tốc chạm đất của một 
 vật thả rơi tự do từ vị trí M.
a) Áp dụng ĐLBTCN:
 E1 E2
 h 1 1 1
 mg I 2 mh2 2
 2 2 2 3
 3g
  
 h
 v h 3gh 12,2m / s
b) Gọi x là độ cao của điểm M khi cột ở vị trí thẳng 
 đứng
 Vận tốc chạm đất của vật thả rơi tự do từ vị trí M 
 là:
 vM 2gx
 Theo đầu bài thì :
 3g
 v x 2gx x
 M h
 2
 x h
 3
3.Chuyển động song phẳng:
 Chuyển động song phẳng của vật thể là chuyển 
 động trong đó tất cả các điểm đều di chuyển song 
 song với một mặt phẳng cố định P nào đó. 
 Ta xét tiết diện S của vật bị cắt bởi mặt phẳng 
 Oxy nào đó song song với mặt phẳng P. Vì trong 
 chuyển động song phẳng, tất cả các điểm của vật 
 nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt cắt S 
 đều chuyển động như nhau, nên để xác định 
 chuyển động của toàn vật thể chỉ cần nghiên cứu 
 chuyển động của mặt cắt S của vật thể trên mặt 
 phẳng Oxy.
Giả sử mặt cắt S là tam giác với các đỉnh ban đầu 
ở vị trí A, B, C trong mặt phẳng Oxy, sau khoảng 
thời gian ∆t khá bé chúng chiếm các vị trí A’, B’, 
C’ cũng thuộc mặt phẳng này. Chuyển động của 
tam giác có thể thực hiện như sau: - Tịnh tiến 
tam giác từ vị trí ban đầu đến vị trí (I) sao cho A 
đến trùng với A’, khi đó ABC dời đến A’B”C”.
 -Quay tam giác ở vị trí (I) 
 C’’
 C’
 C quanh trục qua A’ và 
 B’
 vuông góc với mặt phẳng 
 A’ B’’
 A B hình vẽ (Oxy) đến vị trí 
(II) sao cho B” đến trùng với B’, khi đó C” đến 
trùng với C’.
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng:
Chuyển dịch bất kỳ của VR từ vị trí này đến vị trí 
khác trong khoảng thời gian khá bé, có thể thực 
hiện được nhờ chuyển động tịnh tiến, tương ứng 
với chuyển dịch của một điểm và sự quay quanh 
trục đi qua điểm ấy.
Điểm được chọn để lấy sự dịch chuyển của nó 
làm chuyển dịch tịnh tiến gọi là điểm cực. 
• Xác định vân tốc của các điểm của vât rắn:
 Ký hiệu A là cực, vị trí của điểm M thuộc VR:
 OM OA AM
 Lấy đạo hàm theo thời gian:
    
 d (OM ) d (OA) d (AM )
 dt dt dt
     
 vM vA  AM
 Trường hợp VR có một điểm cố định thì chuyển 
 động tức thời của VR là chuyển động quay quanh 
 trục, trục tức thời luôn đi qua điểm cố định.
• Ttrường hợp chuyển động của VR là chuyển động 
 lăn không trượt
 Khi VR chuyển động lăn không trượt, mặt cắt S 
 của VR là hình tròn thẳng góc với trục quay. 
 Nếu chuyển động củaVR là chuyển động lăn 
 không trượt của một vật thể ví dụ hình trụ trên 
 bề mặt của một vật thể cố định khác thì:
 Điểm tiếp xúc A có vận tốc tức thời bằng 0 ( VA = 0 
 vì các tiếp điểm của hai vật khi không trượt lên 
 nhau phải có cùng vận tốc, mà vật thứ hai là cố 
 định)
 Trong chuyển động lăn không trượt, lực ma sát 
 không sinh công
Nếu chọn khối tâm G của VR làm điểm cực thì 
phương trình động lực học miêu tả chuyển động 
lăn không trượt của VR là:
* PTCĐTT của khối tâm G : 
 F MaG
* PTCĐ quay quanh trục đi qua G 
  M I 
 F là tổng các ngoại lực tác dụng lên VR.
 M là tổng momen của các ngoại lực đối với trục
 I là momen quán tính của VR đối với trục
 Vận tốc và gia tốc khối tâm trong chuyển động 
 lăn không trượt.
• VG = Rω
 N
• aG = Rβ
 ω và β là vận tốc M G
 và gia tốc góc của VR P
 A
VI. Động năng của HCĐ
1.Động năng của HCĐ: 
 1 2
 K  mivi
 i 2
2.ĐN của VR CĐ tịnh tiến: trong chuyển động tịnh 
 tiến vận tốc của các chất điểm đều bằng nhau nên
 1 2 1 2 1 2
 K  miv  mi v Mv
 i 2 2 i 2
 M mi là khối lượng của VR
 i
3) ĐN của VR quay quanh trục cố định:
 1 2 1 2
 K  mivi  mi Ri 
 i 2 2
 1 2 2 1 2
 mi Ri  I
 2 i 2
4) ĐN của VR lăn không trượt:
 1 1
 K M v 2 I  2
 2 G 2
 1
 Mv 2 là ĐN chuyển động tịnh tiến của khối tâm
 2 G
 1
 I 2 là ĐN chuyển động quay quanh trục qua 
 2
 khối tâm
VII. Công và công suất của VR quay quanh trục cố 
 định
 Xét trường hợp một VR quay xung quanh một 
 trục cố định dưới tác dụng của lực tiếp tuyến Ft. 
 Công vi phân của lực tiếp tuyến là: dA = Ft .ds
 Trong đó ds = rdα , dα là góc quay ứng với 
 chuyển dời ds.
 Vậy : dA rFt d Md 
 dA d 
Công suất: P M M
 dt dt
   
Tổng quát: P M.
Bài 1: Trên một hình trụ đặc đồng chất có khối 
lượng M và bán kính R người ta quấn
một sợi chỉ mảnh. Một đầu sợi chỉ có M
buộc một vật có khối lượng m. 
Tại lúc t = 0 hệ bắt đầu chuyển động.
 m
Bỏ qua sự ma sát ở trục hình trụ, tìm sự phụ
thuộc theo thời gian của:
a) Vận tốc góc của hình trụ;
b) Động năng của toàn hệ.
a) PT Newton 2 cho vật:
 mg T ma
 Chiếu lên phương chuyển động:
 mg – T = ma (1) T
 PT chuyển động quay của ròng rọc: T
 M I
 1 a 1
 TR MR2 T Ma (2) mg
 2 R 2
 Từ (1) và (2) suy ra:
 mg
 a 
 M
 m 
 2
Vận tốc của vật tại thời điểm t:
 mgt v mgt
 v at ; 
 M R M 
 m R m 
 2 2 
b) Động năng của hệ tại thời điểm t:
 1 1 1 1 1 v2
 W mv2 I 2 mv2 MR 2
 2 2 2 2 2 R2
 1 M 1 (mgt)2
 m v2 
 2 2 2 M 
 m 
 2 
 Bài 2: Một quả cầu đồng chất có khối lượng m và 
bán kính R lăn không trượt trên một mặt phẳng 
nghiêng tạo thành một góc α với mặt phẳng nằm 
ngang. Tìm:
a) giá trị của hệ số ma sát sao cho sự trượt không 
xảy ra
b) động năng của quả cầu sau t giây kể từ lúc bắt 
đầu chuyển động.
PT chuyển động tịnh tiến của khối tâm:
 mg N Fms ma
Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:
 mg sin Fms ma
PT chuyển động quay quanh trục qua KT:
 M I
 N
 2 a
 R.F mR2
 ms 5 R
 Fms
 2
 Fms ma
 5 mg
 5 2
 a g sin F g sin 
 7 ms 7
 Điều kiện để vật không trượt:
 2 2
 F kN g sin kmg cos k tg 
 ms 7 7
b) Động năng của vật sau t giây:
 2
 1 2 1 2 1 2 1 2 2 v 7 2
 Wđ mv I mv mR mv
 2 2 2 2 5 R2 10
 5 5
 v at gtsin W mg2t2 sin2 
 7 đ 14
 Bài 3: Từ đỉnh một mặt phẳng 
nghiêng cao h, người ta cho một đĩa 
tròn lăn không trượt trên mặt 
phẳng nghiêng đó. Tìm vận tốc dài 
của đĩa ở cuối mặt phẳng nghiêng
Cách 1:    
 mg N Fms ma
Chiếu lên phương chuyển động của khối tâm:
 mg sin Fms ma (2)
PT chuyển động quay quanh trục qua KT:
 M I
 1 a 1
 RF mR2 F ma (2)
 ms 2 R ms 2
 2
 a gsin 
 3
 2 h 4
 v2 2as 2 gsin . v gh
 3 sin 3
Cách 2:
Áp dụng ĐLBTCN:
 1 1 1 1 1 v2
 mgh mv2 I2 mv2 mR2
 2 2 2 2 2 R2
 3 4
 mv2 v gh
 4 3
 N
 Fms
 mg
VII. Va chạm
 Khảo sát bài toán va chạm của hai quả cầu nhỏ 
 chuyển động trên đường thẳng nối liền hai tâm 
 của chúng ( va chạm xuyên tâm)
 Khối lượng của hai quả cầu lần lượt là m1 và m2.
 Tr ước va chạm chúng có vectơ vận tốc là v 1 và 
 v2 (cùng phương).   
 ' '
 Sau va chạm, chúng có vectơ vận tốc là v 1 và v2
 (cùng phương như ban đầu). Giả thiết hệ (m1 + 
 m2) cô lập.
 Động lượng của hệ được bảo toàn nên
 m1v1 m2v2 m1v'1 m2v'2
 Chiếu lên phương chuyển động ta được
 ' '
 m1v1 m2v2 m1v1 m2v2 (1)
Ta xét hai trường hợp:
1.Va chạm đàn hồi: Động năng của hệ (m1 và m2) 
 trước và sau va chạm được bảo toàn. Do đó: 
 1 1 1 1
 mv2 m v2 mv'2 mv'2 (2)
 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2
Giải hệ PT (1) và (2) ta được:
 ' (m1 m2 )v1 2m2v2
 v1 
 m1 m2
 ' (m2 m1)v2 2m1v1
 v2 
 m1 m2
2.Va chạm mềm: Sau va chạm hai quả cầu dính 
 ' '
vào nhau chuyển động cùng vận tốc v 1 v 2 v . 
Vậy (1) trở thành:
 m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
 m v m v
 v 1 1 2 2
 m1 m2
Trong va chạm mềm động năng không được bảo 
toàn mà bị giảm đi. Có một phần động năng biến 
thành nhiệt.
 Ví dụ 1: Hai quả cầu được treo ở đầu hai sợi dây
 song song dài bằng nhau. Hai đầu kia của các sợi
 dây được buộc vào một cái giá sao cho các quả
 cầu tiếp xúc với nhau và tâm của chúng cùng
 nằm trên một đường nằm ngang. Khối lượng của
 các quả cầu lần lượt bằng 200g và 100g. Quả cầu
 thứ nhất được nâng lên độ cao h = 4,5cm rồi thả
 xuống. Hỏi sau va chạm, các quả cầu được nâng
 lên độ cao bao nhiêu nếu:
a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi;
b) Va chạm là mềm.
 Vận tốc quả cầu 1 ngay trước va chạm:
 1
 m v2 mgh v 2gh
 2 1 1 1
a) Va chạm là hoàn toàn đàn hồi
 Vận tốc của quả cầu 1 ngay sau va chạm
 ' (m1 m2 )v1 2m2v2 1 1
 v1 v1 2gh
 m1 m2 3 3
 Vận tốc của quả cầu 2 ngay sau va chạm
 ' (m2 m1) 2m1v1 4 4
 v2 v1 2gh
 m1 m2 3 3
Áp dụng ĐLBTCN cho quả cầu 1 và 2
 1 v,2 h
 m v,2 m gh h 1 0,5cm
 2 1 1 1 1 1 2g 9
 1 v,2 16h
 m v,2 m gh h 2 8cm
 2 1 2 1 2 2 2g 9
b) Va chạm mềm:
 Vận tốc của (m1 + m2) ngay sau va chạm:
 m v 2
 V 1 1 2gh
 m1 m2 3
 Áp dụng ĐLBTCN cho m1 + m2
 1 V 2 4h
 (m m )V 2 (m m )gH H 2cm
 2 1 2 1 2 2g 9