Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 2: Động lực học chất điểm

 Chương II
ĐỘNG LỰC HỌC 
 CHẤT ĐiỂM
I. Các khái niệm:
 * Lực là một đại lượng đặc trưng cho mức độ tác 
 dụng của các vật xung quanh lên vật mà ta đang 
 xét. Lực được biểu diễn bằng một vectơ và phụ 
 thuộc vào vị trí tác dụng của nó.
 Trong cơ học người ta chia lực ra làm hai loại: 
 lực gây ra do các vật tiếp xúc trực tiếp với nhau 
 (áp lực, lực ma sát) và lực tác dụng lên vật do 
 trường của các vật khác gây ra.
* Khối lượng: Thực nghiêm cũng chứng tỏ rằng,
mỗi vật đều chống lại bất kỳ một cố gắng nào làm
thay đổi trạng thái chuyển động của nó, tức làm
thay đổi vectơ vận tốc của nó về độ lớn hoặc
phương chiều hoặc cả hai. Tính chất bảo tồn trạng
thái chuyển động của vật được gọi là quán tính của
vật. Đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật gọi
là khối lượng quán tính ( hay khối lượng) của vật.
Vật có khối lượng càng lớn thì quán tính càng lớn
nghĩa là càng khó thay đổi trạng thái chuyển động
II. CÁC ĐỊNH LUẬT NEWTON
1. ĐL Newton thứ nhất – Hệ qui chiếu quán tính.
 Một chất điểm cô lập hoặc tổng các lực tác dụng 
 vào nó bằng không thì chất điểm sẽ đứng yên hoặc 
 chuyển thẳng đều.
 HQC trong đó ĐL Newton I nghiệm đúng gọi là 
 HQC quán tính. Để giải phần lớn các bài toán kỹ 
 thuật với độ chính xác đủ dùng trong thực tế, ta 
 có thể xem HQC gắn với Trái đất là HQC quán 
 tính.
 Các hệ QC chuyển động thẳng đều với HQC quán 
 tính cũng là HQC quán tính
2. ĐL Newton thứ hai
 F ma : PT cơ bản ĐLH
3 Định luật Newton thứ ba
 Nếu vật thứ nhất tác dụng lên vật thứ hai một 
 lực F 1 2 thì đồng thời vật  thứ hai cũng tác dụng lên 
 vật thứ nhất một lực F 2 1 : hai lực đó cùng phương 
 ,ngược chiều cùng độ lớn, tức là 
 F21 F12
III. ĐỘNG LƯỢNG CHẤT ĐIỂM
1. ĐN: p m v
2. Các định lý và định luật:
  
  d v d (mv) d p
 a) F ma m 
 dt dt dt
     t2  
 b) d p Fdt p p Fdt
 2 1 t
  1
 c) Nếu F 0 thì p const
 Động lượng là đại lượng đặc trưng cho chuyển
 động về mặt động lực hoc.
IV. Các lực 
1. Lực liên kết: khi chuyển động của một vật bị 
 ràng buộc bởi các vật khác, thì các vật này sẽ tác 
 dụng lên vật một lực gọi là lực liên kết.
 a) Phản lực pháp tuyến và lực ma sát: Phản lực R 
 do B tác dụng lên A được phân thành:
     
  N
 R N F R  
 ms F
 A
   
 N gọi là phản lực pháp tuyến  
  Fms B
 PA
 Fms gọi là lực ma sát
N vuông góc với bề mặt của B và hướng về phía 
vậ t A gọi là phản lực pháp tuyến
Fms nằm trong mặt phẳng tiếp xúc giữa các vật, 
cùng phương và ngược chiều với vận tốc của vật 
A(hoặc ngược chiều vận tốc tương đối của A đối 
B, nếu B cũng chuyển động) gọi là lực ma sát 
trượt hay ma sát động có độ lớn:
 Fms = kN
 k là hệ số ma sát trượt
Nếu vật A chịu tác dụng của lực F mà 
 không dịch chuyển đối với vật B thì lực 
 ma sát gọi là ma sát tỉnh (nghĩ) Fms0, nó 
 sẽ tự điều chỉnh giá trị để cân bằng 
với F khi F tăng. Tăng dần lực tác 
 dụng đến khi vật A bắt đầu dịch 
 chuyển đối với B, độ lớn của lực ma sát 
 nghĩ tăng từ 0 đến Fmsomax, gọi là lực ma 
 sát nghĩ cực đại. Trong tính toán lấy 
 Fmsomax bằng ma sát trượt kN
b) Lực căng dây: Lực căng tại một điểm A trên dây 
 là lực tương tác giữa hai nhánh của dây hai bên 
 điểm A. Trong các bài toán thông thường, lực 
 căng có cường độ không đổi dọc theo sợi dây.
 Lực liên kết do dây tác dụng lên vật gọi là lực 
 căng dây, hướng dọc theo dây đến điểm treo
2. Trọng lực : là lực Trái đất tác dụng vào vật, có 
 phương thẳng đứng, chiều hướng xuống.
   
 P mg
 Các bước để giải bài toán bằng phương pháp 
 động lực học.
• Chọn chiều chuyển động của các vật (thường 
 chọn chiều chuyển động tự nhiên để gia tốc các 
 vật có cùng dấu)
• Xác định các lực tác dụng vào vật
• Thiết lập PT Newton II cho vật
• Chiếu PT Newton II lên các trục chọn (thường 
 lên phương chuyển động và phương thẳng góc 
 với phương chuyển động)
 Bài 1: Cho hệ như hình vẽ, khối lượng của hai 
vật A và B bằng 1kg, α = 300, β = 450, ròng rọc 
khối lượng không đáng kể. Bỏ qua tất cả các lực 
ma sát. Tìm gia tốc của hệ và lực căng của sợi 
dây. 
 A
 B
 α β
• Giải:
 T1
• PT Newton II cho 2 vật: T2
    A
 B
 mA g T1 mA aA
 mA g
    α β
 m g T m a
 B 2 B B mB g
• Chiếu các PT trên lên phương chuyển động của 
 các vật với chiều dương như hình vẽ, ta được:
 mA g sin T1 mAaA
 mB g sin  T2 mAaB
• Vì gia tốc của hai vật bằng nhau: aA = aB = a và 
 ròng rọc không khối lượng nên: T1 = T2 = T. Do 
 đó: m g sin  m g sin 
 a B A 1m / s2
 mA mB
Bài 2: Một vật đặt ở độ cao h trên mặt phẳng 
nghiêng hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc 
α. Hỏi:
a) Lực ma sát tác dụng vào vật khi nó nằm yên 
trên mặt phẳng nghiêng.
b) Giới hạn của hệ số ma sát giữa vật và mặt 
phẳng nghiêng để vật có thể trượt xuống trên 
mặt phẳng nghiêng đó.
c)Khi hệ số ma sát thỏa mãn điều kiện trên thì gia 
tốc của vật bằng bao nhiêu.
d)Vận tốc của vật ở cuối dốc.
PT Newton 2
    
 N
 mg N F ms ma
Chiếu PT trên lên phương Fms
chuyển động và ph ... ới HQCQT K.
 * Nếu chất điểm đứ ng yên trong hệ K’
 F m 2 R là lực (quán tính) ly tâm
   lt
 R OM O là tâm QĐ, M là vị trí chất điểm
 * Nếu chất điểm chuyển động trong hệ K’ với vận 
 tốc v ' thì ngoài lực ly tâm chất điểm còn chịu tác 
 dụng của lực (quán tính) Coriolis
    
 Fc 2m(v ' )  
 v '
 Lực Corio lis triệt tiêu nếu v’ = 0 hoặc song 
 song với 
Chú ý: các định luật Newton chỉ
đúng trong các hệ qui chiếu quán
tính. Nếu dùng HQC không quán
tính thì ngoài các lực tác dụng
vào chất điểm trong HQC quán
tính ta phải thêm vào lực quán
tính (Fqt , Flt , Fcor ).
 Bài 1: Đặt một vật A khối lượng m = 500g tại đỉnh 
 B của một nêm có mặt BC dài l = 1,5m và 
 nghiêng góc α =300 so với phương ngang. Thả cho 
 A trượt xuống. Tính thời gian để vật A trượt tới 
 C trong các trường hợp:
1) Nêm đứng yên 
 2
2) Nêm được kéo với gia tốc a0 = 2m/s
 a) theo phương thẳng đứng đi lên, đi xuống
 b) theo phương ngang sang trái, sang phải
 c) theo phương song song với BC và đi xuống
 Cho biết hệ số ma sát giữa A và mặt nêm k = 0,2. 
 Lấy g = 10m/s2
PT Newton 2 trong hệ QC gắn với nêm:
1) Nêm đứng yên:
 F
    ms N
 mg N Fms ma
 Chiếu lên phương chuyển động : mg
 mg sin Fms ma; Fms kN mg cos 
 a g(sin k cos ) 3,27m / s2
 2l
 t 0,96s
 a
      
2) '
 mg N Fms Fqt ma
a) Chiếu lên phương mặt nêm và phương thẳng
 góc với mặt nêm :
 F N
 mg sin F sin F ma ' ms
 qt ms ao
 F
 N mg cos Fqt cos 0 mg qt
 Fqt mao ; Fms kN kmcos (g ao )
 2
 a ' (g ao )(sin k cos ) 3,92m / s
 2l
 t 0,87s
 a '
Các câu khác làm tương tự:
 a) đi xuống: a’ = 2,62m/s2 ; t = 0,98s
 b) Sang trái a’ = 5,2m/s2 ; t = 0,76s
 Sang phải a’ = 1,36m/s2 ; t = 1,47s
 c) a’ = 1,27m/s2 ; t = 1,53s
Bài 2: Trên một đĩa nằm ngang đang quay, người 
ta đặt một vật có khối lượng m = 1kg cách trục 
quay r =50cm. Hệ số ma sát giữa vật và đĩa k 
=0,25. Hỏi:
a)Lực ma sát phải có độ lớn bằng bao nhiêu để 
vật được giữ trên đĩa nếu đĩa quay với vận tốc n 
= 12vòng/phút.
b)Với vận tốc góc nào thì vật bắt đầu trượt khỏi 
đĩa.
 Chọn HQC gắn với đĩa
a)Vật nằm yên trên đĩa khi :
 2 2 2
 Fms Flt m r m4 n r 0,79N
 b)Vật bắt đầu trượt khỏi đĩa khi:
 Fms kN kmg
 2 kg
 Mà :Fms m r  2,2rad/s
 r
 Bài 3: Một máy bay nhào lộn vạch 
một nữa đường tròn thẳng đứng 
bán kính R =500m với vận tốc 
không đổi v =360km/h. Tính trọng 
lượng của người lái khối lượng m = 
70kg tại điểm cao nhất, điểm thấp 
nhất và điểm giữa của đường bay.
Vì chuyển động của người lái là chuyển động tròn 
đều nên:
 mg N ma man
Chiếu lên trục hướng tâm, ta được:
-Tại điểm cao nhất : 2
 v N
 mg N man m
 R mg
 v2 
 N m g 
 R 
Trọng lượng người lái là lực mà người lái tác 
dụng vào ghế ngồi , theo ĐL Newton III N’ = N
- Tại điểm thấp nhất:
 v2
 mg N m N
 R R
 v2 mg
 ma
 N m g n
 R 
 mg
- Tại điểm giữa: mg R ma man
 2
 2
 2 mv 
 R (mg) 
 R 
Cho hệ như hình vẽ. Hệ số ma sát giữa 
 vật m và mặt phẳng thẳngđứng BC là k 
 = 0,1. Cho g = 10m/s2. Để m không 
 trượt xuống theo mặt BC, cần cho khối 
 ABCD chuyển động sang phải theo 
 phương ngang với gia tốc bằng bao 
 nhiêu?
 A B
 m
 D C
 Chọn HQC gắn với khối ABCD,
 PT Newton II cho vật:
 m g N Fms Fqt ma'
Chiếu lên phương thẳng đAứng ta đượcB
  
 F
 mg F ma ' ms
 ms   
 Fqt N
  
 mg
 D C
Chiếu lên phương ngang ta được: 
N Fqt 0 N Fqt mao 
Để cho vật không trượt xuống theo 
mặt BC thì 
a' 0
Fms kN mg kmao
 g 2
 a 100m / s 
 o k
Treo vật vào trần thang máy như hình vẽ. Thang 
máy gia tốc về phía trên 4m/s2 . Mỗi sợi dây có 
khối lượng 1kg. Xác định sức căng dây ở các 
điểm A, B, C, D.
 A
 B
 10kg
 C
 D
 10kg
PT Newton 2 trong hệ qui chiếu gắn với thang máy
    
 T M g Fqt 0
 Chiếu xuống trục thẳng đứng chiều dương hướng 
 xuống: 
 T Mg Fqt 0 T Mg Fqt
Tại A: M 22kg Fqt 88N TA 304N
Tại B:
 M 21kg Fqt 84N TB 290N
Tại C: M 11kg Fqt 44N TC 152N
Tại D: M 10kg Fqt 40N TD 138N
VII. Cơ năng của chất điểm
1. Công và công suất: 
   
 Công của lực F trên độ chuyển dời vô cùng bé ds
 là:   
 dA F.ds F.ds.cos Fsds
    
 α là góc hợp b ởi F vàds, Fs là hình chiếu của F lên
 phương của ds .Công có thể dương, âm hoặc bằng
 không.
  
 Công của lực F thực hiện trên toàn bộ quỹ đạo từ
 vị trí 1 đến vị trí 2
 2
 A F.d s
 1
  
Trường hợp nếu quỹ đạo là đường thẳng và F
không đổi thì:
 A F.s.cos 
Trong hệ tọa độ Descartes:
 ds dr dx.i dy.j dz.k
  
 F Fx.i Fy.j Fz.k
 dA Fxdx Fydy Fzdz
Công suất: 
 dA dr
 P F. F.v
 dt dt
2. Động năng chất điểm
 1
a) Định nghĩa: K m v 2
 2
b) ĐL biến thiên ĐN:
 2 2 2
 2  d v 
 A F.d s ma.d s m d s mvd v
 12 1 
 1 1 dt 1
 1 1
 mv2 mv2 K K
 2 2 2 1 2 1
3. Trường thế: Một chất điểm được gọi là 
 chuyển động trong một trường lực nếu tại 
 mỗi vị trí của chất điểm đều xuất hiện một 
 lực F tác d ụng lên chất điểm ấy, nếu công 
 của lực F thực hiện trong sự di chuyển một 
 chất điểm giữa hai điểm bất kỳ của trường 
 không phụ thuộc dạng đường đi mà chỉ phụ 
 thuộc vào vị trí đầu và cuối của quãng đường 
 đi đó thì F gọi là lực thế và trường lực gọi là 
 trường thế.
  
Nếu F là lực thế thì:
     
 Fd s Fd s Fd s Fd s 0
 1a2  1b2  1a2 1b2
 Fd s Fd s 0 a
 2
 1a2 2b1
Hay: F d s 0 1 b
Hoặc dưới dạng vi phân: rot F 0
4.Thế năng: 
 a) ĐN:TN của chất điểm trong trường lực thế là 
 một hàm U phụ thuộc vị trí chất điểm sao cho
 A12 = U1 – U2 (1)
 b) Liên hệ giữa lực và thế năng
 Từ (1) ta suy ra dA = -dU 
  
 F.ds dU Fs.ds dU
 dU
 F 
 s ds
  
 Fs là hình chiếu của F lên phương của d s
Trong hệ tọa độ Descartes:
   
F Fx i Fy j Fz k
  U  U U     
 i j k i j k U
 dx dy dz dx dy dz 
    
  i j k là toán tử gradian trong hệ tọa 
 dx dy dz độ Descartes.
Vậy tron g trường hợp tổng quát:
 F U gradU
  
 Trường hợp F chỉ phụ thuộc một tọa độ, ví dụ x 
 dU
 thì: F 
 dx
Bài 1: Một hạt chuyển động theo một 
 quỹ đạo nào đó trong mặt phẳng xy từ 
 điểm 1 có bán kính vectơ r 1 i 2 j ( m )
 đến điểm 2 có bán kính vectơ 
  
 r 2 i 3 j(m )
 2 . Hạt đó chuy ển đ ộng 
 dưới tác dụng của lực F 3 i 4 j ( N ). 
 Tính công thực hiện bởi lực F.
 r2
A12 Fdr F(r2 r1)
 r1
 (3i 4 j)(i 5 j)
 3 20 17J
Bài 2:Có hai trường lực dừng:
 1) F a y i 
 2) F ax i byj
 a, b là các hằng số. Xét xem các trường 
 lực đó có tính chất thế hay không?
1)   
 r2  r2 x2
 F.dr ayi.(dxi dy j dzk) aydx
   
 r1 r1 x1
 Vì tích phân trên phụ thuộc đường đi nên F 
 không phải là lực thế.
   
b) r2  r2 
 F.dr (axi by j).(dxi dy j dzk)
   
 r1 r1
 x2 y2 1 1
 axdx bydy a(x2 x2 ) b(y2 y2 )
 2 2 1 2 2 1
 x1 y1
 Vậy F là lực thế.
 Bài 3: Một đầu máy xe lửa khối 
lượng m mở máy chạy từ nhà ga 
sao cho tốc độ của nó cho bởi qui 
luật v A s , với A là hằng số, s là 
quãng đường đi được. Tính công 
tổng cộng của tất cả các lực tác 
dụng lên đầu máy thực hiện trong t 
giây đầu kể từ lúc mở máy.
Áp dụng ĐLBTĐN:
 1 1
 A K K mv2 mA2s
 12 2 1 2 2
 ds ds t s ds
 v A s Adt 
 dt dt 0 0 s
 1
 At 2 s s A2t 2
 4
 1
 A mA4t 2
 12 8
Bài 4: Động năng của một 
hạt chuyển động trên đường 
tròn bán kính R, phụ thuộc 
quãng đường đi theo qui luật 
K = As2 , A là hằng số. Tính 
lực tác dụng lên hạt theo s
Ta có:
 1 dK dv
 K mv2 mv mva
 2 dt dt t
 dK dK ds 2As
 . 2As.v a 
 dt ds dt t m
 v2 2K 2As2
 a 
 n R mR mR
 s2
 F ma m a2 a2 2As 1 
 t n R2
Bài 5: Một viên đạn khối lượng m = 
10g đang bay với vận tốc v = 100m/s thì 
gặp một bản gỗ dày và cắm sâu vào 
bản gỗ một đoạn s = 4cm. Tìm:
a) Lực cản trung bình của bản gỗ lên 
viên đạn.
b) Vận tốc viên đạn sau khi ra khỏi bản 
gỗ chỉ dày d = 2cm.
a) Áp dụng ĐLBTĐN:
 1 1
 mv2 mv2 F .s
 2 2 2 1 c
 1
 0 mv2 F .s
 2 c
 mv2
 F 1250N
 c 2s
b)
 1 1
 mv2 mv2 F .d
 2 2 2 1 c
 1 1
 mv2 mv2 F .d
 2 2 2 c
 2F .d
 v c v2 70m/ s
 2 m
Bài 6:Một vật có khối lượng m = 2(kg) chịu 
tá c dụng lực của một lực bảo toàn (lực thế) 
F (2 8x)i (N) , x tính bằng m. 
Cho U = 0 khi x = 1m.
a) Tính thế năng liên kết với lực này.
b) Tính độ biến đổi của thế năng và động 
năng khi vật đi từ x = 2m đến x = 3m.
1) Ta có:
 dU
 F dU F dx (2 8x)dx
 x dx x
 U x
 dU (2 8x)dx 4x2 2x 2
 0 1
2) 
 2 2
 A12 U1 U2 (4.2 2.2 2) (4.3 2.3 2)
 18J
7. Định luật bảo toàn cơ năng trong trường lực thế
Theo ĐLBTĐN: A12 = K2 - K1
Theo ĐNTN : A12 = U1 - U2
Nên K2 – K1 = U1 –U2 K1 + U1 = K2 + U
Vậy E1 = E2
Với E = K + U là cơ năng của chất điểm 
 Chú ý: Nếu ngoài các lực thế, chất điểm còn chịu 
 tác dụng của các lực không phải là lực thế (ví dụ 
 lực ma sát,) thì cơ năng chất điểm không được 
 bảo toàn . 
VIII. Trường hấp dẫn
1.ĐL Newton về lực hấp dẫn vũ trụ
 Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm khối lượng m1 và 
 m2 ở khoảng cách r là lực hút có chiều hướng vào 
 nhau và có độ lớn:
 m m
 F G 1 2
 r 2
 G = 6,67.10-11 (N.m2/kg2) là hằng số hấp dẫn
 Để giải thích lực hấp dẫn, người ta cho rằng xung 
 quanh một vật có khối lượng, tồn tại một trường 
 hấp dẫn.
2. Thế năng trong trường hấp dẫn
 Lực hấp dẫn giữa hai chất điểm m1 , m2 cách 
 nhau một khoảng r là: 
  m m r
 F G 1 2 .
 r 2 r
   
 Giả sử lực này làm r thay đổi từ r 1 đến r 2 . 
 Công của lực F là:
 r2  r2 dr 1 1 
 A12 F.dr Gm1m2 Gm1m2 
 r 2 r r
 r1 r1 2 1 
 Vì công này chỉ phụ thuộc vị trí đầu và cuối nên 
 lực hấp dẫn là lực thế.Vậy trường hấp dẫn là 
 trường thế.
Mà trong trường thế thì : A12 = U1 – U2
 m m
Vậy : U G 1 2 c o n s t là thế năng hấp dẫn
 r
Nếu qui ước U = 0 khi r thì const = 0
 m m
Lúc đó : U G 1 2
 r
3. Công của trọng lực và thế năng trong trường hấp 
 dẫn của Trái đất:
 Giả sử chất điểm khối lượng m, chuyển động 
 trong trường hấp dẫn của QĐ từ độ cao h1 đến độ 
 cao h2 so với mặt đất. Công của trọng lực là:
 GMm GMm GMm GMm
 A 
 12 R h R h h h
 2 1 R(1 2 ) R(1 1 )
 R R
 M và R là khối lượng và bán kính Trái đất
 Nếu h1 và h2 rất nhỏ so với R thì
 GMm h2 GMm h1 GMm
 A12 1 1 2 (h1 h2 )
 R R R R R
 M
 g G là gia tốc trọng trường trên mặt đất
 R2
 Vậy A12 = mg( h1 –h2 )
 Suy ra thế năng ở độ cao h là :
 U = mgh
h là độ cao tính từ một mốc tùy ý
Ví dụ 1: một vật khối lượng m = 10kg trượt 
không vận tốc đầu từ đỉnh một mặt phẳng 
nghiêng cao 20m xuống. Khi tới chân dốc vật có 
vận tốc 15m/s. Tính công của lực ma sát.
 Giải:
 Áp dụng ĐLBTĐN:
 1 1
 mv2 mv2 mgh A
 2 2 o ms
 1 1
 A mv2 mv2 mgh 835J
 ms 2 2 o
Ví dụ 2: Một vật khối lượng m lăn theo một 
đường rãnh như hình vẽ. Hỏi độ cao h tối thiểu 
phải bằng bao nhiêu để vật đi hết đường rãnh 
nếu vận tốc của vật ở A bằng không.
 A C
 M
 h O 
 B
Giả sử vật lăn đến điểm M . Pt Newton 2 cho vật 
tại M:   
 mg N ma
Chiếu xuống phương OM (chiều + hướng đến O)
 v2
 mg cos( ) N m
 R
 v2
 mg cos N m
 R
 v2
 N mg cos m
 R
Áp dụng ĐLBTCN tại vị trí ban đầu và tại M:
 1
 mgh mv2 mgR(1 cos )
 2
 mv2 2mgh 2mgR(1 cos )
 h
 N 3mg cos 2mg( 1)
 R
N có giá trị lớn nhất ở điểm B và giảm khi vật lăn 
lên cao. Giá trị cực tiểu của N ứng với (điểm 
cao nhất C): h
 N mg(2 5)
 min R
Nếu vật còn ở trên rãnh tại điểm C thì nó sẽ đi 
hết đường rãnh 
Cho Nmin = 0 ta được:
 hmin 2,5R
Bài 1: Rãnh trượt gồm hai cung tròn 
AB và BD bán kính R nằm trên mặt 
phẳng thẳng đứng sao cho tiếp tuyến 
BE tại điểm tiếp giáp có phương nằm 
ngang. Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định 
độ cao h (so với đường BE) cần phải 
đặt viên bi (xem như chất điểm) sao 
cho nó có thể lăn tới điểm M1 nằm bên 
dưới đường BE một khoảng cách cũng 
bằng h.
PT Newton 2 cho viên bi tại M1
 mg N ma
 A
 o
 h
 B E
 h
 N
 o
 M1
 R 
 ● D
 mg
Chiếu lên trục hướng tâm:
 mv2
 mgcos N ma 
 n R
Vì tại M1 viên bi rời khỏi cung BD nên N = 0,do đó:
 mv2
 mg cos 
 R
Áp dụng ĐLBTCN ta được:
 1 1
 mg2h mv2 Rmg cos 
 2 2
 1 1 R h
 2h R cos R
 2 2 R
 h 0,2R
Bài 2: Ở đầu một sợi dây OA, dài l có 
 treo một vật nặng (hình vẽ). Hỏi tại 
 điểm thấp nhất A phải truyền cho vật 
 một vận tốc bé nhất bằng bao nhiêu để 
 vật có thể quay tròn trong mặt phẳng 
 thẳng đứng.
 O
 A
Sức căng T cực tiểu khi vật lên đến điểm cao nhất
PT Newton II tại điểm cao nhất B
 2 B
 vB
 mg Tmin m
 l T
Áp dụng ĐLBT cơ năng
 mg
 1 2 1 2
 mv mv 2mgl O
 2 A 2 B
 1 2 1
 mvA mgl lTmin 2mgl
 2 2 A
Điều kiện 1 5
 T 0 mv2 mgl v 5gl
 min 2 A 2
 vmin 5gl
IX. Momen động lượng và momen lực
1. ĐN: 
* Momen ĐL của chấ t điể m đối với điểm O
 L r p
* Momen của lựcF đối v ới điể m O
 M r F
  
 p mv là động lượng của chất điểm
 r là vectơ vị trí của chất điểm
  
 L có:
* điểm đặt tại O 
  
* phương thẳng góc với r và p
* chiều xác định bằng qui tắc vặn nút chai
* độ lớn L = r. p.sinα , α là góc nhỏ hơn giữa hai 
 vectơ r và p
  
 M các định tương tự  
 L
 O  
 r ● p m v
2. Các định lý và định luật 
   
 dL dr  d p   
 a) p r r F M
 dt dt dt
   L2  t2    t2  
 b) d L Mdt d L Mdt L L Mdt
 2 1 
 L1 t1 t1
   
 c) Nếu M = 0 thì L c o n s t , mômen động lượng 
 của chất điểm được bảo toàn.
   
 * Hình chiếu của L , M lên một trục đi qua O là 
 momen động lượng và momen lực đối với trục đó.
X. Chuyển động của chất điểm trong THD
1. Khảo sát chuyển động của một chất điểm khối 
 lượng m trong THD của một chất điểm khối 
 lượng M đặt cố định tại O. Chọn O làm gốc tọa 
 độ. Áp dụng định lý momen động lượng đối với 
 chất điểm m:  
 d L  
 M  
 d t L
 O
   
 F p mv
   
Mà M 0 L const
   
 Vì p m v luôn vuông góc với L , vậy quỹ đạo 
 của chất điểm phải nằm trong mặt phẳng đi qua 
  
 O và vuông góc với L .
2. Chuyển động trong trường hấp dẫn của QĐ
a) Vận tốc vũ trụ cấp một v1 : là vận tốc của một vệ
 tinh chuyển động tròn đều quanh Trái Đất. Nếu
 m là khối lượng của vệ tinh, r là bán kính quỹ
 đạo của nó thì:
 mv 2 Mm
 G
 r r 2
M, m là khối lượng của Trái Đất và của vệ tinh
Suy ra
 GM
 v 
 r
Khi nói vận tốc vũ trụ thứ nhất, người ta thường 
hiểu ngầm là vệ tinh bay ở độ cao thấp, r xấp xỉ 
bằng bán kính R của Trái Đất. Vậy: 
 GM
 v 7,8km/ s
 1 R
Một vật chỉ có thể trở thành vệ tinh nhân tạo 
chuyển động tròn nếu nó được truyền vận tốc có 
độ lớn bằng v1 và có phương song song với mặt đất
b). Vận tốc vũ trụ cấp II v2 : Đó là vận tốc tối thiểu 
 cần truyền cho một vật để nó bay ngày càng xa 
 QĐất. Áp dụng ĐLBTCN cho vật:
 mv2 Mm mv2 GMm 
 G 
 2 R 2 
 mv2 mv2 Mm GM
 Vì 0 G v 2
 2 2 R R
 Vậy : v2 2v1 11,2km/ s
 Ví dụ: Chất điểm có khối lượng m 
 được ném lên từ điểm O trên mặt đất
 với vận tốc ban đầu vo theo hướng
 nghiêng góc với mặt phẳng nằm
 ngang. Xác định tại 1 thời điểm t và đối
 với O:
a) Momen ngoại lực tác dụng lên chất
 điểm;
b)Momen động lượng của chất điểm.
 Bỏ qua sức cản không khí
Ta có:
        
a) 1 2 
 M r F gt vot mg mtvo g
 2 
 M mtvo g cos 
   1     
b) 2
 L r p m gt vot gt vo 
 2 
       
 1 2 2 1 2
 m t g vo t vo g mt vo g
 2 2
 1
 L mgt 2v cos 
 2 o