Bài giảng Vật lý đại cương 1 - Chương 1: Động học chất điểm

 Chương I
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐiỂM
I. Những khái niệm mở đầu
 - Chuyển động của một vật là sư chuyển dời vị trí
 của vật đó đối với các vật khác trong không gian và
 theo thời gian
 - Vật hay hệ vật được qui ước đứng yên khi khảo sát
 chuyển động của các vật khác gọi là hệ qui chiếu. 
 Chuyển động có tính tương đối phụ thuộc HQC.
 - Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không
 đáng kể so với những khoảng cách, những kích
 thước mà ta đang khảo sát
 - Một tập hợp chất điểm gọi là hệ chất điểm. Vật
 rắn được xem là hệ chất điểm phân bố liên tục
II.Các phương pháp mô tả chuyển động. Quỹ đạo
 Để xác định chuyển động của chất điểm, cần xác 
 định vị trí của nó trong hệ quy chiếu đã chọn ở 
 mọi thời điểm. Có 3 phương pháp để xác định vị 
 trí của chất điểm 
1.Phương pháp vectơ: Gọi O là điểm gắn cố định 
 với hệ qui chiếu, vị trí của chất điểm M được xác 
 định bởi bán kính vectơ r OM
 M
 O
2. Phương pháp tọa độ: 
 z
Gắn vào điểm gốc O của bán kính M
vectơ điểm gốc của một hệ trục tọa 
 O
độ Descartes Oxyz với các véctơ y
đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lầnx lượt là 
 i, j,k thì: r xi yj zk
Nên vị trí của M được xác định nhờ ba tọa độ x,y,z .
Phương trình quỹ đạo
Khi chất điểm chuyển động, r (t) cũng như các tọa độ
 x,y, z của nó thay đổi theo thời gian t: 
 x f (t)
 M y g(t)
 z h(t)
 các phương trình này gọi là phương trình chuyển
 động của chất điểm trong hệ tọa độ Descartes, khử
 tham số thời gian t ra khỏi các phương trình này ta
 sẽ được phương trình quỹ đạo dưới dạng thông
 thường, tức là dưới dạng hệ thức giữa các toa độ của
 chất điểm.
 f (x, y, z) = 0
3. Phương pháp tự nhiên:
 Ta lấy trên quỹ đạo một điểm cố định O làm gốc 
 và xem quỹ đạo như một trục tọa độ cong rồi quy 
 ước cho nó một chiều dương giống như đối với 
 trục tọa độ thông thường. 
 Khi đó vị trí của điểm M trên quỹ đạo được xác 
 định một cách duy nhất bởi tọa độ cong s bằng 
 khoảng cách từ điểm O tới điểm M theo cung quỹ 
 đạo và mang dấu tương ứng. 
 s = f (t) (1)
 Phương trình (1) chính là phương trình biểu 
 diển quy luật chuyển động của chất điểm M trên 
 quỹ đạo
III. Vectơ vận tốc
 1. Vectơ vận tốc trung bình
 r
 vtb 
 t
2. Vectơ vận tốc tức thời
 r d r
 v lim 
 t 0 t dt
Trong hệ t ọa độ De scart es 
 r(t) xi yj zk
 dr dx  dy dz 
 v i j k
 dt dt dt dt
  
 vx i vy j vz k
 dx dy dz
 v ; v ; v 
 x dt y dt z dt
Trong hệ tọa đ ộ tự nhiên:
 v v
 v là độ lớn của vectơ vận tốc
 là vectơ đơn vị tiếp tuyến với quỹ đạo, có chiều 
là chiều chuyển động của chất điểm.
Vectơ vận tốc đặc trưng cho phương chiều và độ 
nhanh chậm của chuyển động.
 v
 v
Vectơ gia tốc
Vectơ gia tốc trung bình
 v
 atb 
 t
Vectơ gia tốc tức thời
 v dv
 a lim 
 t 0 t dt
Trong hệ tọa độ Descartes
 dv dv dv dv  
a x i y j z k a i a j a k
 dt dt dt dt x y z
 dv d2x
a x 
 x dt dt2
 dv d2 y
a y 
 y dt dt2
 dv d2z
a z 
 z dt dt2
2. Gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến:
 dv dv d
a  v
 dt dt dt
 d d ds d
v v . v2
 dt ds dt ds
 τ τ
 Q Q’
 ds
 dθ dτ
 τ’
 R
 dθ τ’
 O
 Hình a
Xét trường hợp giới hạn khi điểm Q’ trượt trên 
quỹ đạo tiến đến điểm Q. Khi đó dây cung QQ’ 
tiến đến trùng với cung tròn QQ’ = ds của đường 
tròn mật tiếp với quỹ đạo chất điểm tại điểm Q. 
Gọi R là bán kính của vòng tròn mật tiếp. Từ 
hình a ta có:
 ds = dθ/R
Mặt khác khi đó dτ sẽ tiến tới vuông góc với τ tại 
Q. Gọi n là vecto đơn vị vuông góc với tiếp tuyến 
của quỹ đạo tại Q hướng về tâm O của đường 
tròn mật tiếp nên:
 d d n  d n d n
 d d 1 
 n n
 d ds R
 dv v2   
Vậy: a  n a a
 dt R t n
 2 2
 a at an
Từ 
 dv 
 v2 (v)2 2v 2v.a
 dt
 Như vậy nếu:
* v . a 0 Chất điểm chuyển động nhanh dần.
* v . a 0 Chất điểm chuyển động chậm dần.
* v . a 0 Chất điểm chuyển động tròn đều.
  
 a t v
  
 a 
 n a  
 a an
  
 v
 a t
 a a a
 v v v
C Đ N D C Đ C D C Đ tròn đều
  
 gọi là gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay 
at
 đổi độ lớn của vectơ vận tốc
 * Có phương tiếp tuyến với quỹ đạo
 * Cùng chiều với nếu chuyển đông nhanh dần, 
 ngược chiều với nếu chuyển động chậm dần
 dv 
 * Có giá trị a (đạo hàm độ lớn của v )
 t dt
 
an gọi là gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự 
thay đổi phương của vectơ vận tốc
 * Có phương thẳng góc với tiếp tuyến quỹ đạo
 * Có chiều hướng về phía lõm của quỹ đạo
 v2
 *Độ lớn a ,R là bán kính của đường tròn 
 n R
 tiếp xúc với quỹ đạo tại điểm xét
   
 đặc trưng cho sự thay đổi của gọi 
 a at an v
là vectơ gia tốc toàn phần
V. Vận tốc góc, gia tốc góc.
  
 1. Vectơ vận tốc góc  được định nghĩa:
 * Có phương nằm trên trục quay
 * Có chiều là chiều tiến của nút chai khi xoay nó 
 theo chiều quay của chất điểm.
 d
 * Có giá trị  
 dt  
 2. Vectơ gia tốc góc  được định nghĩa:
 * Có phương nằm trên trục quay
  
 * Cùng chiều   nếu chuyển động nhanh dần, 
 ngược chiều  nếu chuyển động chậm dần 
 d
 * Có giá trị  
 dt
a
 ω β
 ω
 R v
 R v
 r
 r
 ω
 R v
 β
 r
VI. Liên hệ giữa vận tốc và gia tốc thẳng với vận tốc 
 và gia tốc góc.
  
 1. v  r v R
 2 2
 v R 2
 2. a R
 n R R
   
 3. at  r at R
VII. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc.
 Xét hai hệ qui chiếu K và K’, K ’ chuyển động 
 tịnh tiến đối với K với vận tốc vo
 Theo phép cộng vectơ ta có:
 r r' ro
 r
 dr dr' dr
 v r’
 dt dt dt
 ro
 v v' vo
 dv dv' dv
 a o
 dt dt dt
 a a' ao
VIII. Một số dạng chuyển động cơ đặc biệt
1.Chuyển động thẳng: Khi quỹ đạo là đường thẳng
 an = 0 ==> a = at 
 a) Chuyển động thẳng đều
 at = 0 ==> v = const
 ds
 v ds vdt
 dt
 s t
 ds vdt
 so 0
 s vt so
b) Chuyển động thẳng biến đổi đều
 a = at = const 
 dv
 a = a = 
 t dt
 v t
 dv adt
 vo o
 v vo at v at vo
 ds
 at v
 dt o
 s t
 ds at vo dt
 so o
 1
 s s at2 v t
 o 2 o
 1
 s at2 v t s
 2 o o
Hệ thức cần nhớ
 dv dv ds dv
 a a v
 t dt ds dt ds
 v s
 vdv ads
 vo so
 2 2
 v vo 2a s so 
* Chú ý : Nếu chuyển động thay đổi đều nhưng quỹ 
 đạo không phải là đường thẳng thì phải thay a 
 bằng at
2. Chuyển động tròn: Khi quỹ đạo là đường tròn
 a) Chuyển động tròn đều:  const
 d  t
  d  dt
 dt  o o
   t  o
b) Chuyển động tròn thay đổi đều  const
 d   t
 d   d t
 d t 
  o o
   o  t   t  o
 d   t
  t  d  (  t  ) d t
 o o
 d t 0 0
 1
   t 2  t 
 2 o o
 2 2
Hệ thức cần nhớ:  o 2( o )
3. Chuyển động parabol
 Khảo sát chuyển động của một chất điểm xuất 
 phát từ điểm O trong trọng trường với vận tốc 
 ban đầu hợp với mặt phẳng nằm ngang góc α. 
 Giả sử gia tốc trọng trường coi như không đổi.
 Giải
 a) Quỹ đạo
 Chọn mặt ph ẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng 
 đứng chứa v o ; đó cũng là mặt phẳng chứa quỹ 
 đạo của chất điểm,hai trục tọa độ là Ox nằm 
 ngang, Oy thẳng đứng hướng lên.
 d v  
g a d v gdt
 dt
 v t  
 d v gdt
   
 v 0
 o   
 v v gt
  o 
 v gt v o
 d r
 gt v o
 dt
 r t
 d r gt v dt
 0 0 o 
 1 2
 r gt v ot
 2
Chiếu r xuống hai trục Ox, Oy ta được:
 x
 x (v0 cos ).t t 
 v0 cos 
 1
 y gt2 (v sin ).t
 2 0
 g
 y x2 xtg 
 2 2
 2v0 cos 
 Vậy quỹ đạo của chất điểm là parabol có bề lõm 
 quay xuống
b) Tầm xa L
 1 
 L = x khi y = 0
 t gt v0 sin 0
 2 
 Vì t > 0 nên :
 2v sin 
 t o 
 g
 2v 2 sin . cos v 2 sin 2 
 L 0 0
 g g
 0
 Vậy Lmax khi α = 45
c) Độ cao cực đại:
 Độ cao cực đạ i là đỉnh S của parabol. Tại đỉnh 
 của parabol v nằm ngang nên vy = 0
 v sin 
 v gt v sin 0 t 0
 y 0 g
 2
 1 vo sin vo sin 
 hmax g vo sin .
 2 g g
 v2 sin2 
 h 0
 max 2g
d) Bán kính cong
 v2 v2
 an R 
 R an
* Tại gốc:
 v2
 v v ;a g.cos R 0
 0 n g cos 
* Tại đỉnh:
 v2 cos2 
 v v v cos ;a g R 0
 x 0 n g
 y
 v
hmax
 g
 vo
 x
 O
 α an L
a
 t g
IX. Đơn vị và thứ nguyên của các đại lượng vật lý
1. Đơn vị vật lý: Muốn định nghĩa đơn vị của tất 
cả các đại lượng vật lý người ta chỉ cần chọn 
trước một số đơn vị gọi là đơn vị cơ bản , các đơn 
vị khác suy ra được từ các đơn vị cơ bản gọi là 
đơn vị dẫn xuất .
Đơn vị cơ bản : Hệ SI
- Độ dài mét (m)
- Khối lượng kilogam (kg)
- Thời gian giây (s)
2. Thứ nguyên: Thứ nguyên của một đại lượng là 
quy luật nêu lên sự phụ thuộc của đơn vị đo đại 
lượng đo vào các đơn vị cơ bản.
Ví dụ: thể tích của hình hộp chữ nhật, hình trụ 
thẳng, hình cầu lần lượt là:
 V = abc ; V = πR2h ; V = 4/3πR3 
nếu không để ý đến các hệ số, ta thấy trong mọi 
trường hợp thể tích = độ dài x độ dài x độ dài , ta 
nói thứ nguyên của thể tích là (độ dài)3
ký hiệu: 
 thetich do dai3
• Để cho cách viết đơn giản kí hiệu:
 do dài L
 thoi gian T 
 khoiluong M 
 Vậy 
 vantoc LT 1
 giatoc LT 2
Bài 1: Một chất điểm chuyển động trên mặt 
phẳng xOy với vận tốc v 2 i x j . Lúc t = 0 chất 
điểm ở gốc tọa độ O.
 a) Tìm quỹ đạo của chất điểm.
 b) Bán kính cong của quỹ đạo tại thời điểm t = 1s
a) Ta có:
 dx x t
 v 2 dx 2dt x 2t
 x 
 dt 0 0
 dy y t
 v x 2t dy 2tdt
 y 
 dt 0 0
 x2
 y t 2 
 4
• Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường parabol
• b)
 vx 2 ax 0 ;vy x 2t ay 2
 a ay 2
 2 2 2
 v vx vy 4 4t
 dv 2t
 at 
 dt 1 t 2
 4
 a2 a2 a2 
 n t 1 t 2
 v2 3
 R 2(1 t 2 ) 2 4 2
 an
• Bài 2: Hai hạt chuyển động trong trọng 
 trường đều với gia tốc g. Ban đầu hai 
 hạt ở cùng một điểm và có các vận tốc 
 v01= 3m/s, v02 = 4m/s đều nằm ngang 
 theo hai chiều ngược nhau. Xác định 
 khoảng cách giữa hai hạt tại thời điểm 
 các vectơ vận tốc của chúng vuông góc 
 nhau
Ta có:
 v1 gt vo1;
 O v
 v20 10
 v2 gt vo2
 r r
 1 2 1
 r gt2 v t;
 1 2 o1
 1
 r gt2 v t
 2 2 o2
Khoảng cách giữa 2 hạt tại thời điểm t
 d r1 r2 v01 v02 t
Tại thời điểm 2 hạt vuông góc nhau
       
 v1.v2 0 gt vo1 gt vo 2 0
 2 2 vo1vo 2
 g t v .v 0 t 
 o1 o 2 g
 v v
 d (v v ) 01 o 2 2,5m
 o1 o 2 g
Bài 3: Một bánh xe quay chậm dần 
đều, sau một phút vận tốc của nó 
giảm từ 300vòng/phút xuống 
180vòng/phút. Tìm gia tốc góc của 
bánh xe và số vòng mà bánh xe đã 
quay được trong một phút ấy.
• a)
  
  t   0
 0 t
 vòng rad
  300 10 ;
 0 phút s
 vòng rad
  100 6 
 phút s
 6 10 rad
  
 60 15 s2
 1
  t2  t
 2 0
 1 
 602 10 .60
 2 15 
 480 (rad)
Số vòng bánh xe quay được trong 1 phút
 
 N 240(vòng)
 2 
Bài 4: Thả rơi tự do một vật từ độ cao 
 19,6m.Tìm:
 a) Quãng đường mà vật rơi được trong 
 0,1s đầu và 0,1s cuối của thời gian rơi.
 b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m 
 đầu và 1m cuối của độ cao h
Chọn gốc tọa độ là vị trí thả vật, gốc thời gian là 
lúc thả vật, chiều dương hướng xuống. Ta có 
 1
 y gt 2
 2
a) Quãng đường vật rơi được trong 0,1s đầu tiên 
 1
là: h .9,8.0,12 0,049m
 1 2
Thời gian để vật rơi hết quãng đường h là:
 2h 2.19,6
 t 2s
 g 9,8
Quãng đường vật rơi trong khoảng thời gian 0,1s 
cuối của thời gian rơi:
 1
 h h g (t 0,1) 2 19, 6 4, 9.(1, 99) 2 1, 9m
 2 2
b) Thời gian vật rơi 1m đầu
 2y 2
 t 0,45s
 g 9,8
 Thời gian để vật rơi 18,6m
 2y 2.18,6
 t 1,95s
 g 9,8
 Thời gian để vật rơi 1m cuối:
 t = 2 - 1,95 = 0,05 s
Bài 5: Một h ạt r ời gốc tọa độ với vận 
 tốc đầu v o 3 i m/s và gia tốc 
 a i 0,5 j m / s2
. Tìm vận tốc của hạt khi nó đạt tọa 
 độ x lớn nhất. 
• Ta có: 
 dv v t 
 a dv adt
   
 dt v 0
 0 
 v at v0 (3 t)i 0,5 j
 xmax khi : 
 dx
 0 v 0 t 3
 dt x
 v 1,5 j
• Bài 6: Một hòn đá được ném theo 
 phương nằm ngang với vận tốc vo = 
 15m/s. Tính gia tốc tiếp tuyến và 
 gia tốc pháp tuyến sau lúc ném 1s.
Ta có:
 v
   o
 2 2 2
 v gt v0 v g t v0
 g
 dv g 2t
 a 5,36m / s2
 t dt 2 2 2
 g t v0
 2 2 2 2 2
 an a at g at 8,20m / s
• Bài 7: Một chất điểm đang quay 
 xung quanh một trục cố định với 
 gia tốc góc β =bt, trong đó b =2.10-2
 rad/s3. Hỏi trong khoảng thời gia 
 bao lâu kể từ lúc bắt đầu chuyển 
 động, vectơ gia tốc toàn phần của 
 0
 chất điểm làm một góc θ0 = 60 với 
 vectơ vận tốc của nó.
Ta có:
 2 a
 a R ;a  R n
 t n at
 a 2 O v
 tg n ; a
 at 
 d  t 1
  bt d btdt  bt2
 dt 0 0 2
 1
 3
 bt tg 3
 tg t 4 7s
 4 b 
• Bài 8: Một người đứng dưới đất thấy 
 hạt mưa rơi thẳng đứng, với tốc độ 
 10m/s. Hỏi người lái xe trên đường 
 ngang với tốc độ 1 0 3 m / s sẽ thấy hạt 
 mưa rơi với tốc độ v, lệch khỏi phương 
 thẳng đứng góc bằng bao nhiêu? 
  
Gọi v là vận tốc hạt mưa đối với đất
  1
 v là vận tốc của xe đối với đất
  2
 v12 là vận tốc hạt mưa đối với xe
Ta có: 
 v
    2
 v1 v12 v2 α
 v12 v1
 2 2
 v12 v1 v2 20m / s
 v
 tg 2 3 60o
 v1
Một chiếc thuyền bơi từ bến A đến B ở 
cùng một bên bờ sông, với vận tốc so với 
nước là v1 = 3 km/h. Cùng lúc ấy một 
cano chạy từ bến B theo hướng đến bến 
A với vận tốc đối với nước là v2 = 10 
km/h. Trong thời gian thuyền đi từ A đến 
B thì cano kịp đi được 4 lần khoảng cách 
đó và về đến B cùng lúc với thuyền. Xác 
định hướng và tốc độ của nước sông
Giả sử nước sông chảy từ A đến B và gọi khoảng 
cách AB là s, vận tốc của dòng nước là vo . Theo 
đầu bài ta có: s s s 
 2 
 v1 vo v2 vo v2 vo 
 2
 vo 40vo 20 0
 vo 39,5km / h;
 vo 0,5km / h;
 Loại nghiệm vo = -39,5km/h. Vậy vo = -0,5 km/h. 
Dấu trừ chứng tỏ dòng nước chảy từ B đến A.