Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi
Định nghĩa. Cho G=(V,E) là đồ thị có trọng số. Với H≤G thì trọng lượng của H là tổng trọng lượng của các cannh của H.
w(H)=∑_(e∈H)▒ w(e)
Nếu H là đường đi, chu trình, mạch thì w(H) được gọi là độ dài của H.
Nếu mạch H có độ dài âm thì H được gọi là mạch âm.
Khoảng cách giữa 2 đỉnh u và v là độ dài ngắn nhất của các đường đi từ u đến v.
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 1 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 1](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-1_WqJq0jLIYQ.jpg)
Trang 1
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 2 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 2](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-2_tvWyHvTtbk.jpg)
Trang 2
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 3 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 3](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-3_STE65j7nA1.jpg)
Trang 3
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 4 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 4](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-4_srL2OZAZ3p.jpg)
Trang 4
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 5 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 5](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-5_ZRWVRJPQN5.jpg)
Trang 5
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 6 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 6](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-6_tGwuLQ6otY.jpg)
Trang 6
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 7 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 7](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-7_6SJ4ClZXIl.jpg)
Trang 7
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 8 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 8](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-8_wC3ajTe5u2.jpg)
Trang 8
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 9 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 9](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-9_EvOdtkkpAN.jpg)
Trang 9
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 10 Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi trang 10](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/image/2024/02/07/5670/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di-trang-10_vY9AyCzIl0.jpg)
Trang 10
Tải về để xem bản đầy đủ
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi
![Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 6: Các bài toán về đường đi](https://s1.ebooks.com.vn/yetwygzggocsqsc5/thumb/2024/01/13/bai-giang-toan-to-hop-chuong-6-cac-bai-toan-ve-duong-di_KZb6Qfe7wC.jpg)
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG ĐI Chương 6 2 1. Tìm đường đi ngắn nhất 2. Đồ thị Euler 3. Đồ thị Hamilton Nội dung 3 1. TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 4 Định nghĩa. Cho G = (V,E) là đồ thị có trọng số. Với H G thì trọng lượng của H là tổng trọng lượng của các cạnh của H. Nếu H là đường đi, chu trình, mạch thì w(H) được gọi là độ dài của H. Nếu mạch H có độ dài âm thì H được gọi là mạch âm. Khoảng cách giữa 2 đỉnh u và v là độ dài ngắn nhất của các đường đi từ u đến v. (H) ( ) e H w w e Định nghĩa 5 Định nghĩa. Cho đồ thị G = (V, E), V = {v1,v2,,vn} có trọng số. Ma trận khoảng cách của G là ma trận D= (dij) xác định như sau: 0 ( )ij i j i j i j khi i j d w v v khi v v E khi v v E Nhận xét. Mọi đồ thị được hoàn toàn xác định bởi ma trận khoảng cách. Ma trận khoảng cách 6 0 5 31 40 0 27 73 26 0 8 49 25 38 0 16 70 0 9 23 0 12 10 0 D Ví dụ. Tìm ma trận khoảng cách của đồ thị sau 7 Ví dụ. Tìm đồ thị có ma trận khoảng cách sau: 0 12 7 5 12 0 15 16 6 7 15 0 10 5 16 0 5 6 10 5 0 Đáp án. C A B D E 12 7 15 6 5 5 10 16 8 Bài toán. Cho G = (V, E) là đồ thị có trọng số. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến v và tính khoảng cách d(u ,v). Nhận xét. Nếu đồ thị G có mạch âm trên một đường đi từ u tới v thì đường đi ngắn nhất từ u đến v sẽ không tồn tại. u v 9 Khi tìm đường đi ngắn nhất ta có thể bỏ bớt đi các cạnh song song và chỉ để lại một cạnh có trọng lượng nhỏ nhất. Đối với các khuyên có trọng lượng không âm thì cũng có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng đến kết quả của bài toán. Đối với các khuyên có trọng lượng âm thì có thể đưa đến bài toán tìm đường đi ngắn nhất không có lời giải. Một số lưu ý 10 Gọi P là đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến đỉnh v; t P. Giả sử P=P1P2 với P1 là đường đi con của P từ u đến t và P2 là đường đi con của P từ t đến v. Khi đó P1 cũng là đường đi ngắn nhất từ u đến t. w(P1’) < w(P1) w(P1’P2) < w(P1P2)=w(P) u v t P1 P1 ’ P2 Nguyên lý Bellman Chứng minh. Giả sử tồn tại P1 ’ là đường đi ngắn hơn P1 ta có Vô lý vì P là đường đi ngắn nhất từ u đến v 11 Để tìm đường đi ngắn nhất, chúng ta quan tâm tới hai thuật toán: Thuật toán Dijkstra không thể thực hiện khi đồ thị có cạnh âm Thuật toán Ford – Bellman xác định các mạch (chu trình) âm hay trả về cây đường đi ngắn nhất Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất 12 Thuật toán Dijkstra Xác định tuần tự các đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ đến lớn. Trước tiên đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất đến u0 là u0. Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0) giả sử đó là u1 Trong V\{u0,u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất (đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u0 hoặc u1) giả sử đó là u2 13 Tiếp tục như trên cho đến bao giờ tìm được khoảng cách từ u0 đến mọi đỉnh. Nếu G có n đỉnh thì: 0 = d(u0,u0) < d(u0,u1) d(u0,u2) d(u0,un-1) 14 Bước 1. i:=0, S:=V\{u0}, L(u0):=0, L(v):= với mọi v S và đánh dấu đỉnh v bởi ( ,-). Nếu n=1 thì dừng và xuất d(u0,u0)=0=L(u0) Bước 2. Với mọi v S và kề với ui (nếu đồ thị có hướng thì v là đỉnh sau của ui), đặt L(v):= min{ L(v), L(ui)+w(ui v)}. Xác định k= min L(v) , v S. Nếu k= L(vj) thì xuất d(u0,vj )= k và đánh dấu đỉnh vj bởi (k; ui). Đặt ui+1:= vj và S:=S\{ui+1} Bước 3. i:=i+1. Nếu i = n-1 thì kết thúc. Nếu không thì quay lại Bước 2 Thuật toán Dijkstra 15 Bài tập 1. Tìm đường đi ngắn nhất từ u đến các đỉnh còn lại. 7 1 3 5 3 1 2 3 3 1 4 u r s x w z y t 4 Một số ví dụ u r s t x y z w 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,u0) ( ,-) ( ,-) ( ,-) (1,u0)* ( ,-) ( ,-) - (3,y)* ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,y) ( ,-) 7 1 3 5 3 1 2 3 3 1 4 u r s x w z y t 4 7 1 3 5 3 1 2 3 3 1 4 u r s x w z y t 4 u r s t x y z w 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,u0) ( ,-) ( ,-) ( ,-) (1u0)* ( ,-) ( ,-) - (3,y)* ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (4,y) ( ,-) - - (10,r) (6,r) ( ,-) - (4,y)* ( ,-) - - (10,r) (6,r)* ( ,-) - - (9,z) - - (9,t) - (7,t)* - - (9,z) - - (8,x)* - - - - (9,z) - - - - - - - (9,z)* 18 Cây đường đi u y z w r t x s 1 2 3 1 1 3 5 Ví dụ. Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), V = { v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7} xác định bởi ma trận trọng số D. Dùng thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đến các đỉnh v2, v3, v4, v5, v6, v7 0 5 31 40 0 27 73 26 0 8 49 25 38 0 16 70 0 9 23 0 12 10 0 D 20 21 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 0* ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - (5,v1)* (31,v1) (40,v1) ( ,-) ( ,-) ( ,-) - - (31,v1)* (40,v1) (78,v2) ( ,-) ( ,-) - - - (39,v3)* (78,v2) (56,v3) (69,v3) - - - - (78,v2) (55,v4)* (69,v3) - - - - (78,v2) - (67,v6)* - - - - (77,v7) - - 22 Cây đường đi 23 Ví dụ. Dùng thuật toán Dijsktra để
File đính kèm:
bai_giang_toan_to_hop_chuong_6_cac_bai_toan_ve_duong_di.pdf