Bài giảng Toán tổ hợp - Chương 3: Một số kỹ thuật đếm khác

Bài giảng Toán tổ hợp
Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp HCM
Bài giảng Toán tổ hợp 1/34
Nội dung chương 3
Nội dung
Chương 3. MỘT SỐ KỸ THUẬT ĐẾM KHÁC
1. Sử dụng sơ đồ Ven
2. Nguyên lý bù trừ
3. Đa thức quân xe
Bài giảng Toán tổ hợp 2/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
3.1.Sử dụng sơ đồ Ven
Xét sơ đồ Ven
Ta ký hiệu
U là tập vũ trụ
A là phần bù của A trong U
N(A) là số phần tử của A.
N = N(U)
Khi đó N(A ∩B) = N −N(A)−N(B) +N(A ∩B) (1)
Bài giảng Toán tổ hợp 3/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
Ví dụ. Một trường học có 100 sinh viên, trong đó có 50 sinh viên học
tiếng Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng
Anh và tiếng Pháp. Hỏi có bao nhiêu sinh viên không học tiếng Anh
lẫn không học tiếng Pháp?
Giải. Gọi là U là tập hợp sinh viên của trường. Gọi A là tập hợp sinh
viên học tiếng Anh và P là tập hợp sinh viên học tiếng Pháp. Ta có
N = N(U) = 100, N(A) = 50, N(P ) = 40 và N(A ∩ P ) = 20.
Theo yêu cầu bài toán chúng ta cần tính N(A ∩ P ). Ta có
N(A ∩ P ) = N −N(A)−N(P ) +N(A ∩ P )
= 100− 50− 40 + 20 = 30
Bài giảng Toán tổ hợp 4/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
Ví dụ. Có bao nhiêu hoán vị các chữ số 0, 1, 2, . . . , 9 sao cho chữ số
đầu lớn hơn 1 và chữ số cuối nhỏ hơn 8?
Giải. Gọi U là tập tất cả các hoán vị của 0, 1, 2, ..., 9; A là tập tất cả
các hoán vị với chữ số đầu là 0 hoặc 1 và B là tập tất cả các hoán vị với
chữ số cuối là 8 hoặc 9. Khi đó yêu cầu của bài toán là tính N(A ∩B).
Ta có N = 10!, N(A) = 2× 9!, N(B) = 2× 9!, N(A ∩ P ) = 2× 2× 8!.
Áp dụng công thức (1) ta được
N(A ∩B)= N −N(A)−N(B) +N(A ∩B)
= 10!− (2× 9!)− (2× 9!) + (2× 2× 8!) = 2338560
Bài giảng Toán tổ hợp 5/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
Câu hỏi. Nếu ta mở rộng công thức (1) cho trường hợp 3 tập hợp thì
như thế nào?
Đáp án. Khi đó công thức là
N(A ∩B ∩ C) =N −N(A)−N(B)−N(C)
+N(A ∩B) +N(A ∩ C) +N(B ∩ C)
−N(A ∩B ∩ C) (2)
Bài giảng Toán tổ hợp 6/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
Đối với trường hợp 3 tập hợp là A1, A2, A3, ta có thể viết công thức
(2) như sau:
N(A1 ∩A2 ∩A3) = N −
∑
i
N(Ai)+)
∑
i 6=j
N(Ai ∩Aj)−N(A1 ∩A2 ∩A3)
Ví dụ. Một trường có 100 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng
Anh, 40 sinh viên học tiếng Pháp, 40 sinh viên học tiếng Đức, mỗi cặp
ngôn ngữ có 20 sinh viên học và có 10 sinh viên học cả 3 ngôn ngữ. Hỏi
có bao nhiêu sinh viên không học cả 3 tiếng Anh, Pháp và Đức?
Giải. Ta có N = 100, N(A) = N(P ) = N(D) = 40, N(A ∩ P ) =
N(P ∩D) = N(A ∩D) = 20, và N(A ∩ P ∩D) = 10. Theo công thức
(2) ta được
N(A ∩ P ∩D) = 100− (40 + 40 + 40) + (20 + 20 + 20)− 10 = 30.
Ví dụ. Có bao nhiêu số nguyên dương ≤ 70 mà nguyên tố cùng nhau
với 70?
Bài giảng Toán tổ hợp 7/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
Nhận xét. Số các số nguyên dương ≤ n mà chia hết cho k là phần
nguyên n/k.
Giải. Gọi U là tập hợp các số nguyên dương ≤ 70. Ta có ước nguyên tố
của 70 là 2, 5 và 7. Do đó muốn đếm các số nguyên tố cùng nhau với
70 ta cần đếm những số không chia hết cho 2, 5 hoặc 7.
Gọi A1, A2 và A3 lần lượt là tập các số nguyên trong U chia hết cho 2, 5
và 7. Khi đó đáp án cần tìm của bài toán là N(A1 ∩A2 ∩A3). Ta có
N = 70, N(A1) = 70/2 = 35,
N(A2) = 70/5 = 14, N(A3) = 70/7 = 10
Ta có một số chia hết cho 2 và 5 khi và chỉ khi số đó chia hết cho
10. Do đó N(A1 ∩A2) = 70/10 = 7. Tương tự ta có,
N(A2 ∩A3) = 70
5× 7 = 2, N(A1 ∩A3) =
70
2× 7 = 5.
Bài giảng Toán tổ hợp 8/34
3.1. Sử dụng sơ đồ Ven
N(A1 ∩A2 ∩A3) = 70
2× 5× 7 = 1.
Áp dụng công thức (2) ta có
N(A1 ∩A2 ∩A3) = 70− (35 + 14 + 10) + (7 + 2 + 5)− 1 = 24.
Ví dụ. Có bao nhiêu số nguyên dương ≤ 1000 mà nguyên tố cùng
nhau với
a) 50 b) 210
Bài giảng Toán tổ hợp 9/34
3.2. Nguyên lý bù trừ
3.2. Nguyên lý bù trừ
Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng công thức ở phần 1 cho trường
hợp n tập hợp A1, A2, . . . , An. Để đơn giản về mặt ký hiệu chúng ta
viết “ ∩ ” như là phép nhân. Ví dụ A1 ∩A2 ∩A3 sẽ được viết thành
A1A2A3. Bằng việc sử dụng ký hiệu này, ta có số lượng phần tử không
thuộc tất cả các tập A1, A2, . . . , An sẽ được viết là N(A1A2 . . . An).
Định lý. Cho tập vũ trụ U có N phần tử và A1, A2, . . . , An là n tập
hợp con của U. Ta đặt Sk là tổng số phần tử của tất cả tập giao của
đúng k tập hợp từ các {Ai}i=1,...,n, cụ thể
S1 =
∑
i
N(Ai), S2 =
∑
i 6=j
N(AiAj), . . . , Sn = N(A1A2 . . . An).
Khi đó
N(A1A2 . . . An) = N +
∑
k
(−1)kSk
= N − S1 + S2 − . . .+ (−1)kSk + . . .+ (−1)nSn
Bài giảng Toán tổ hợp 10/34
3.2. Nguyên lý bù trừ
Hệ quả. Cho A1, A2, . . . , An là n tập hợp con của tập vũ trụ U. Khi đó
N(A1 ∪ . . . ∪An) =
∑
k≥1
(−1)k−1Sk
= S1 − S2 + . . .+ (−1)k−1Sk + . . .+ (−1)n−1Sn
Chứng minh. Từ Định lý trên ta có
N(A1 . . . An) = N − S1 + S2 − . . .+ (−1)kSk + . . .+ (−1)nSn
= N −
(
S1 − S2 + . . .+ (−1)k−1Sk + . . .+ (−1)n−1Sn
)
.
Mặt khác N(A1 ∪ . . . ∪An) = N −N(A1 . . . An).
Do đó ta có điều phải chứng mình
Ví dụ. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình
x1 + x2 + x3 + x4 = 18 (∗)
thỏa điều kiện xi ≤ 7, ∀i = 1, . . . , 4.
Bài giảng Toán tổ hợp 11/34
3.2. Nguyên lý bù trừ
Giải. Gọi U là