Bài giảng Toán thống kê

TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ 
Mục lục 
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ .................................... 3 
I. TỔNG THỂ VÀ MẪU ................................................................................................................ 3 
1.1. Tổng thể ............................................................................................................................... 3 
1.2. Mẫu....................................................................................................................................... 3 
1.3. Các phƣơng pháp lấy mẫu .................................................................................................... 3 
II. BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU ..................................................................................... 3 
2.1. Sắp xếp số liệu...................................................................................................................... 3 
2.2. Biểu diễn hình học của mẫu ................................................................................................. 5 
III. CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA MẪU ....................................................................................... 5 
3.1. Trung bình mẫu .................................................................................................................... 5 
2.2. Phƣơng sai mẫu .................................................................................................................... 5 
2.3. Phƣơng sai hiệu chỉnh của mẫu ............................................................................................ 6 
IV. MẪU NGẪU NHIÊN .............................................................................................................. 8 
4.1. Mẫu ngẫu nhiên .................................................................................................................... 8 
4.2. Các đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên ...................................................................................... 8 
4.3. Thống kê ............................................................................................................................... 8 
V. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ ............................ 8 
5.1. Các định lý về phân phối chuẩn ........................................................................................... 8 
5.2. Phân phối khi-bình phƣơng (2) ........................................................................................... 9 
5.3. Phân phối Student................................................................................................................. 9 
5.4. Phân phối Fisher-Snedecor................................................................................................. 10 
5.5. Phân vị mức 1 – .............................................................................................................. 10 
BÀI TẬP CHƢƠNG 4 .................................................................................................................. 11 
Chương 5. ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ .......................................................................................... 12 
Khái niệm về bài toán ƣớc lƣợng tham số.................................................................................. 12 
I. ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM ............................................................................................................... 12 
1.1. Định nghĩa. ......................................................................................................................... 12 
1.2. Các loại ƣớc lƣợng ............................................................................................................. 12 
1.3. Các ƣớc lƣợng điểm thƣờng gặp. ....................................................................................... 13 
a-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên: ............................................................................................ 13 
b-/ Phƣơng sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh: .......................................................................... 13 
c-/ Tần suất ............................................................................................................................ 14 
II. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG ....................................................................................................... 14 
2.1. Khoảng tin cậy. Độ tin cậy ................................................................................................. 14 
2.2. Ƣớc lƣợng kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối chuẩn ............................................ 15 
a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai D(X) = 2. ........................................................................... 15 
b) Trƣờng hợp không biết phƣơng sai 2 .............................................................................. 16 
2.3. Ƣớc lƣợng phƣơng sai của phân phối chuẩn .......................... ... 68 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
Số u( /2) thỏa mãn P(|U| > u /2) = P(|U| ≤ u /2) = 1 – với U~N(0,1) đƣợc tìm nhƣ 
sau: Tìm số 1 – /2 trong bảng, dóng theo hàng và cột đƣợc u( /2) = số ở cột x + số ở hàng x. 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 58 
Bảng 2: Phân vị Student: P(|T| > t /2, n) = 
 
n 
0,99 0,95 0,9 0,5 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 
1 0,0157 0,0787 0,1584 1,0000 3,078 6,314 12,706 25,452 31,821 63,657 127,321 
2 0,0141 0,0708 0,1421 0,8165 1,886 2,920 4,303 6,205 6,965 9,925 14,089 
3 0,0136 0,0681 0,1366 0,7649 1,638 2,353 3,182 4,177 4,541 5,841 7,453 
4 0,0133 0,0667 0,1338 0,7407 1,533 2,132 2,776 3,495 3,747 4,604 5,598 
5 0,0132 0,0659 0,1322 0,7267 1,476 2,015 2,571 3,163 3,365 4,032 4,773 
6 0,0131 0,0654 0,1311 0,7176 1,440 1,943 2,447 2,969 3,143 3,707 4,317 
7 0,0130 0,0650 0,1303 0,7111 1,415 1,895 2,365 2,841 2,998 3,499 4,029 
8 0,0129 0,0647 0,1297 0,7064 1,397 1,860 2,306 2,752 2,896 3,355 3,833 
9 0,0129 0,0645 0,1293 0,7027 1,383 1,833 2,262 2,685 2,821 3,250 3,690 
10 0,0129 0,0643 0,1289 0,6998 1,372 1,812 2,228 2,634 2,764 3,169 3,581 
11 0,0128 0,0642 0,1286 0,6974 1,363 1,796 2,201 2,593 2,718 3,106 3,497 
12 0,0128 0,0640 0,1283 0,6955 1,356 1,782 2,179 2,560 2,681 3,055 3,428 
13 0,0128 0,0639 0,1281 0,6938 1,350 1,771 2,160 2,533 2,650 3,012 3,372 
14 0,0128 0,0638 0,1280 0,6924 1,345 1,761 2,145 2,510 2,624 2,977 3,326 
15 0,0127 0,0638 0,1278 0,6912 1,341 1,753 2,131 2,490 2,602 2,947 3,286 
16 0,0127 0,0637 0,1277 0,6901 1,337 1,746 2,120 2,473 2,583 2,921 3,252 
17 0,0127 0,0636 0,1276 0,6892 1,333 1,740 2,110 2,458 2,567 2,898 3,222 
18 0,0127 0,0636 0,1274 0,6884 1,330 1,734 2,101 2,445 2,552 2,878 3,197 
19 0,0127 0,0635 0,1274 0,6876 1,328 1,729 2,093 2,433 2,539 2,861 3,174 
20 0,0127 0,0635 0,1273 0,6870 1,325 1,725 2,086 2,423 2,528 2,845 3,153 
21 0,0127 0,0635 0,1272 0,6864 1,323 1,721 2,080 2,414 2,518 2,831 3,135 
22 0,0127 0,0634 0,1271 0,6858 1,321 1,717 2,074 2,405 2,508 2,819 3,119 
23 0,0127 0,0634 0,1271 0,6853 1,319 1,714 2,069 2,398 2,500 2,807 3,104 
24 0,0127 0,0634 0,1270 0,6848 1,318 1,711 2,064 2,391 2,492 2,797 3,091 
25 0,0127 0,0633 0,1269 0,6844 1,316 1,708 2,060 2,385 2,485 2,787 3,078 
26 0,0127 0,0633 0,1269 0,6840 1,315 1,706 2,056 2,379 2,479 2,779 3,067 
27 0,0127 0,0633 0,1268 0,6837 1,314 1,703 2,052 2,373 2,473 2,771 3,057 
28 0,0126 0,0633 0,1268 0,6834 1,313 1,701 2,048 2,368 2,467 2,763 3,047 
29 0,0126 0,0633 0,1268 0,6830 1,311 1,699 2,045 2,364 2,462 2,756 3,038 
30 0,0126 0,0632 0,1267 0,6828 1,310 1,697 2,042 2,360 2,457 2,750 3,030 
  0,0125 0,0627 0,1257 0,6745 1,282 1,645 1,960 2,241 2,326 2,576 2,807 
  0,99 0,95 0,9 0,5 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 
Số t( /2; n) thỏa mãn: 
P(|T| > t /2; n) = P(|T| ≤ t /2; n) = 1 – , với T~t(n) 
nằm ở giao của cột , dòng n 
Bài giảng Toán Thống kê 
 59 
Bảng 3: Phân vị khi bình phƣơng: 2 2α;nP(χ > χ ) = α 
 
n
0,99 0,98 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 
1 0,000
2 
0,000
6 
0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 5,412 6,635 
2 0,020 0,040 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 7,824 9,210 
3 0,115 0,185 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 9,837 11,34
5 4 0,297 0,429 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,14
3 
11,66
8 
13,27
7 5 0,554 0,752 0,831 1,145 1,610 9,236 11,07
0 
12,83
3 
13,38
8 
15,08
6 
6 0,872 1,134 1,237 1,635 2,204 10,64
5 
12,59
2 
14,44
9 
15,03
3 
16,81
2 7 1,239 1,564 1,690 2,167 2,833 12,01
7 
14,06
7 
16,01
3 
16,62
2 
18,47
5 8 1,646 2,033 2,180 2,733 3,490 13,36
2 
15,50
7 
17,53
5 
18,16
8 
20,09
0 9 2,088 2,532 2,700 3,325 4,168 14,68
4 
16,91
9 
19,02
3 
19,67
9 
21,66
6 10 2,558 3,059 3,247 3,940 4,865 15,98
7 
18,30
7 
20,48
3 
21,16
1 
23,20
9 
11 3,053 3,609 3,816 4,575 5,578 17,27
5 
19,67
5 
21,92
0 
22,61
8 
24,72
5 12 3,571 4,178 4,404 5,226 6,304 18,54
9 
21,02
6 
23,33
7 
24,05
4 
26,21
7 13 4,107 4,765 5,009 5,892 7,042 19,81
2 
22,36
2 
24,73
6 
25,47
2 
27,68
8 14 4,660 5,368 5,629 6,571 7,790 21,06
4 
23,68
5 
26,11
9 
26,87
3 
29,14
1 15 5,229 5,985 6,262 7,261 8,547 22,30
7 
24,99
6 
27,48
8 
28,25
9 
30,57
8 
16 5,812 6,614 6,908 7,962 9,312 23,54
2 
26,29
6 
28,84
5 
29,63
3 
32,00
0 17 6,408 7,255 7,564 8,672 10,08
5 
24,76
9 
27,58
7 
30,19
1 
30,99
5 
33,40
9 18 7,015 7,906 8,231 9,390 10,86
5 
25,98
9 
28,86
9 
31,52
6 
32,34
6 
34,80
5 19 7,633 8,567 8,907 10,11
7 
11,65
1 
27,20
4 
30,14
4 
32,85
2 
33,68
7 
36,19
1 20 8,260 9,237 9,591 10,85
1 
12,44
3 
28,41
2 
31,41
0 
34,17
0 
35,02
0 
37,56
6 
21 8,897 9,915 10,28
3 
11,59
1 
13,24
0 
29,61
5 
32,67
1 
35,47
9 
36,34
3 
38,93
2 22 9,542 10,60
0 
10,98
2 
12,33
8 
14,04
1 
30,81
3 
33,92
4 
36,78
1 
37,65
9 
40,28
9 23 10,19
6 
11,29
3 
11,68
9 
13,09
1 
14,84
8 
32,00
7 
35,17
2 
38,07
6 
38,96
8 
41,63
8 24 10,85
6 
11,99
2 
12,40
1 
13,84
8 
15,65
9 
33,19
6 
36,41
5 
39,36
4 
40,27
0 
42,98
0 25 11,52
4 
12,69
7 
13,12
0 
14,61
1 
16,47
3 
34,38
2 
37,65
2 
40,64
6 
41,56
6 
44,31
4 
26 12,19
8 
13,40
9 
13,84
4 
15,37
9 
17,29
2 
35,56
3 
38,88
5 
41,92
3 
42,85
6 
45,64
2 27 12,87
9 
14,12
5 
14,57
3 
16,15
1 
18,11
4 
36,74
1 
40,11
3 
43,19
5 
44,14
0 
46,96
3 28 13,56
5 
14,84
8 
15,30
8 
16,92
8 
18,93
9 
37,91
6 
41,33
7 
44,46
1 
45,41
9 
48,27
8 29 14,25
6 
15,57
5 
16,04
7 
17,70
8 
19,76
8 
39,08
7 
42,55
7 
45,72
2 
46,69
3 
49,58
8 30 14,95
3 
16,30
6 
16,79
1 
18,49
3 
20,59
9 
40,25
6 
43,77
3 
46,97
9 
47,96
2 
50,89
2 
31 15,65
5 
17,04
2 
17,53
9 
19,28
1 
21,43
4 
41,42
2 
44,98
5 
48,23
2 
49,22
6 
52,19
1 32 16,36
2 
17,78
3 
18,29
1 
20,07
2 
22,27
1 
42,58
5 
46,19
4 
49,48
0 
50,48
7 
53,48
6 33 17,07
4 
18,52
7 
19,04
7 
20,86
7 
23,11
0 
43,74
5 
47,40
0 
50,72
5 
51,74
3 
54,77
6 34 17,78
9 
19,27
5 
19,80
6 
21,66
4 
23,95
2 
44,90
3 
48,60
2 
51,96
6 
52,99
5 
56,06
1 35 18,50
9 
20,02
7 
20,56
9 
22,46
5 
24,79
7 
46,05
9 
49,80
2 
53,20
3 
54,24
4 
57,34
2 
36 19,23
3 
20,78
3 
21,33
6 
23,26
9 
25,64
3 
47,21
2 
50,99
8 
54,43
7 
55,48
9 
58,61
9 37 19,96
0 
21,54
2 
22,10
6 
24,07
5 
26,49
2 
48,36
3 
52,19
2 
55,66
8 
56,73
0 
59,89
3 38 20,69
1 
22,30
4 
22,87
8 
24,88
4 
27,34
3 
49,51
3 
53,38
4 
56,89
6 
57,96
9 
61,16
2 39 21,42
6 
23,06
9 
23,65
4 
25,69
5 
28,19
6 
50,66
0 
54,57
2 
58,12
0 
59,20
4 
62,42
8 40 22,16
4 
23,83
8 
24,43
3 
26,50
9 
29,05
1 
51,80
5 
55,75
8 
59,34
2 
60,43
6 
63,69
1 
Số 2( ; n) thỏa mãn P (2 > 2( ; n)) = P(2 ≤ 2( , n) = 1 – nằm ở cột , dòng n 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 60 
Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 
(P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 
n 
m 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
3 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 
4 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 
5 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 
6 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 
7 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 
8 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 
9 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 
10 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 
11 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 
12 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 
13 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 
14 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 
15 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 
16 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 
17 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 
18 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 
19 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 
20 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 
21 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 
22 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 
23 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.109 
24 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.088 
25 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.069 
26 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 2.052 
27 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 2.036 
28 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 2.021 
29 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 2.007 
30 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.995 
31 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 2.114 2.080 2.051 2.026 2.003 1.983 
32 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 2.103 2.070 2.040 2.015 1.992 1.972 
33 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 2.093 2.060 2.030 2.004 1.982 1.961 
34 2.883 2.650 2.494 2.380 2.294 2.225 2.170 2.123 2.084 2.050 2.021 1.995 1.972 1.952 
35 2.874 2.641 2.485 2.372 2.285 2.217 2.161 2.114 2.075 2.041 2.012 1.986 1.963 1.942 
36 2.866 2.634 2.477 2.364 2.277 2.209 2.153 2.106 2.067 2.033 2.003 1.977 1.954 1.934 
37 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 2.145 2.098 2.059 2.025 1.995 1.969 1.946 1.926 
38 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194 2.138 2.091 2.051 2.017 1.988 1.962 1.939 1.918 
39 2.845 2.612 2.456 2.342 2.255 2.187 2.131 2.084 2.044 2.010 1.981 1.954 1.931 1.911 
40 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.038 2.003 1.974 1.948 1.924 1.904 
Bài giảng Toán Thống kê 
 61 
Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 (Tiếp theo) 
(P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 
 n 
m 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
3 8.683 8.675 8.667 8.660 8.654 8.648 8.643 8.639 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 
4 5.832 5.821 5.811 5.803 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 
5 4.590 4.579 4.568 4.558 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 
6 3.908 3.896 3.884 3.874 3.865 3.856 3.849 3.841 3.835 3.829 3.823 3.818 3.813 3.808 
7 3.480 3.467 3.455 3.445 3.435 3.426 3.418 3.410 3.404 3.397 3.391 3.386 3.381 3.376 
8 3.187 3.173 3.161 3.150 3.140 3.131 3.123 3.115 3.108 3.102 3.095 3.090 3.084 3.079 
9 2.974 2.960 2.948 2.936 2.926 2.917 2.908 2.900 2.893 2.886 2.880 2.874 2.869 2.864 
10 2.812 2.798 2.785 2.774 2.764 2.754 2.745 2.737 2.730 2.723 2.716 2.710 2.705 2.700 
11 2.685 2.671 2.658 2.646 2.636 2.626 2.617 2.609 2.601 2.594 2.588 2.582 2.576 2.570 
12 2.583 2.568 2.555 2.544 2.533 2.523 2.514 2.505 2.498 2.491 2.484 2.478 2.472 2.466 
13 2.499 2.484 2.471 2.459 2.448 2.438 2.429 2.420 2.412 2.405 2.398 2.392 2.386 2.380 
14 2.428 2.413 2.400 2.388 2.377 2.367 2.357 2.349 2.341 2.333 2.326 2.320 2.314 2.308 
15 2.368 2.353 2.340 2.328 2.316 2.306 2.297 2.288 2.280 2.272 2.265 2.259 2.253 2.247 
16 2.317 2.302 2.288 2.276 2.264 2.254 2.244 2.235 2.227 2.220 2.212 2.206 2.200 2.194 
17 2.272 2.257 2.243 2.230 2.219 2.208 2.199 2.190 2.181 2.174 2.167 2.160 2.154 2.148 
18 2.233 2.217 2.203 2.191 2.179 2.168 2.159 2.150 2.141 2.134 2.126 2.119 2.113 2.107 
19 2.198 2.182 2.168 2.155 2.144 2.133 2.123 2.114 2.106 2.098 2.090 2.084 2.077 2.071 
20 2.167 2.151 2.137 2.124 2.112 2.102 2.092 2.082 2.074 2.066 2.059 2.052 2.045 2.039 
21 2.139 2.123 2.109 2.096 2.084 2.073 2.063 2.054 2.045 2.037 2.030 2.023 2.016 2.010 
22 2.114 2.098 2.084 2.071 2.059 2.048 2.038 2.028 2.020 2.012 2.004 1.997 1.990 1.984 
23 2.091 2.075 2.061 2.048 2.036 2.025 2.014 2.005 1.996 1.988 1.981 1.973 1.967 1.961 
24 2.070 2.054 2.040 2.027 2.015 2.003 1.993 1.984 1.975 1.967 1.959 1.952 1.945 1.939 
25 2.051 2.035 2.021 2.007 1.995 1.984 1.974 1.964 1.955 1.947 1.939 1.932 1.926 1.919 
26 2.034 2.018 2.003 1.990 1.978 1.966 1.956 1.946 1.938 1.929 1.921 1.914 1.907 1.901 
27 2.018 2.002 1.987 1.974 1.961 1.950 1.940 1.930 1.921 1.913 1.905 1.898 1.891 1.884 
28 2.003 1.987 1.972 1.959 1.946 1.935 1.924 1.915 1.906 1.897 1.889 1.882 1.875 1.869 
29 1.989 1.973 1.958 1.945 1.932 1.921 1.910 1.901 1.891 1.883 1.875 1.868 1.861 1.854 
30 1.976 1.960 1.945 1.932 1.919 1.908 1.897 1.887 1.878 1.870 1.862 1.854 1.847 1.841 
31 1.965 1.948 1.933 1.920 1.907 1.896 1.885 1.875 1.866 1.857 1.849 1.842 1.835 1.828 
32 1.953 1.937 1.922 1.908 1.896 1.884 1.873 1.864 1.854 1.846 1.838 1.830 1.823 1.817 
33 1.943 1.926 1.911 1.898 1.885 1.873 1.863 1.853 1.844 1.835 1.827 1.819 1.812 1.806 
34 1.933 1.917 1.902 1.888 1.875 1.863 1.853 1.843 1.833 1.825 1.817 1.809 1.802 1.795 
35 1.924 1.907 1.892 1.878 1.866 1.854 1.843 1.833 1.824 1.815 1.807 1.799 1.792 1.786 
36 1.915 1.899 1.883 1.870 1.857 1.845 1.834 1.824 1.815 1.806 1.798 1.790 1.783 1.776 
37 1.907 1.890 1.875 1.861 1.848 1.837 1.826 1.816 1.806 1.798 1.789 1.782 1.775 1.768 
38 1.899 1.883 1.867 1.853 1.841 1.829 1.818 1.808 1.798 1.790 1.781 1.774 1.766 1.760 
39 1.892 1.875 1.860 1.846 1.833 1.821 1.810 1.800 1.791 1.782 1.774 1.766 1.759 1.752 
40 1.885 1.868 1.853 1.839 1.826 1.814 1.803 1.793 1.783 1.775 1.766 1.759 1.751 1.744