Bài giảng Toán rời rạc - Chương 6: Cây

1 
CHƯƠNG 6: CÂY 
 Một số khái niệm cơ bản 
 Cây m – phân và các tính chất 
 Phép duyệt cây nhị phân 
 Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
 Thuật toán Prim và Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất trong đồ thị liên thông có trọng số 
2 
Một số khái niệm cơ bản 
Cây 
Định nghĩa: 
Cây là một đồ thị vô hướng , liên thông và không có chu trình sơ cấp 
Cây không có cạnh bội và khuyên 
Cây là một đơn đồ thị 
Ví dụ 
3 
Một số khái niệm cơ bản 
Rừng 
Định nghĩa: 
Rừng là một đồ thị vô hướng và không có chu trình 
Rừng có thể có nhiều thành phần liên thông 
Mỗi thành phần liên thông là một cây 
Ví dụ 
4 
Một số khái niệm cơ bản 
Định lý (Điều kiện đủ của cây) 
Nếu mọi cặp đỉnh của một đồ thị vô hướng G luôn tồn tại một đường đi sơ cấp duy nhất thì G là một cây. 
 (Chứng minh SV tham khảo tài liệu) 
5 
Một số khái niệm cơ bản 
Cây có gốc 
Định nghĩa 
Một cây với một đỉnh được chọn làm gốc 
Định hướng các cạnh trên cây từ gốc đi ra 
Ví dụ 
Cùng một cây, nếu chọn gốc khác nhau thì cây có gốc thu được sẽ khác nhau 
6 
Một số khái niệm cơ bản 
Cây có gốc 
Một số khái niệm 
Cha 
Anh em 
Tổ tiên 
Con cháu 
Lá 
Đỉnh trong 
Cây con 
Mức 
Chiều cao 
7 
Một số khái niệm cơ bản 
Định lý Daisy Chain 
T là đồ thị có n đỉnh. Các mệnh đề tương đương: 
T là một cây 
T không có chu trình và có n -1 cạnh 
T liên thông, mọi cạnh đều là cầu 
Giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn tồn tại một đường đi sơ cấp duy nhất 
T không có chu trình và nếu thêm một cạnh mới nối 2 đỉnh bất kỳ của T thì sẽ tao ra một chu trình 
T liên thông và có n -1 cạnh 
8 
Một số khái niệm cơ bản 
Cây m -phân 
Định nghĩa 
Cây m-phân 
Cây có gốc 
Tất cả các đỉnh trong có không quá m con 
Cây m -phân đầy đủ 
Cây có gốc 
Tất cả các đỉnh trong có đúng m con 
m =2: Cây nhị phân 
9 
Một số khái niệm cơ bản 
Cây m -phân 
Ví dụ 
T 1 : Cây nhị phân đầy đủ 
T 2 : Cây tam phân đầy đủ 
T 3 : Cây tứ phân (không đầy đủ) 
10 
Một số tính chất của cây 
Tính chất 1: 
Cây n đỉnh (n 2) có ít nhất 2 đỉnh treo 
Tính chất 2: 
Cây m -phân đầy đủ với i đỉnh trong có 
n = m . i + 1 đỉnh 
Tính chất 3: Cho cây m -phân đầy đủ có n đỉnh, có i đỉnh trong và l lá. Khi đó: 
i = ( n - 1 )/ m 
l = [( m - 1 ) n + 1 ] / m 
l = ( m - 1) i + 1 
n = l + i 
11 
Phép duyệt cây nhị phân 
Định nghĩa 
Duyệt cây 
Liệt kê tất cả các đỉnh của cây theo một thứ tự xác định, mỗi đỉnh một lần 
3 phương pháp duyệt cây 
Duyệt tiền tự (Pre-Oder) 
Duyệt trung tự (In-Oder) 
Duyệt hậu tự (Post-Oder) 
Cả 3 phương pháp duyệt trên đều được định nghĩa đệ 
quy đối với cây nhị phân (mỗi nút có tối đa 2 con lần 
lượt được gọi là con trái và con phải của nút) 
12 
Phép duyệt cây nhị phân 
Định nghĩa 
Duyệt tiền tự 
Duyệt nút gốc 
Duyệt tiền tự con trái 
Duyệt tiền tự con phải 
1 
2 
3 
13 
Phép duyệt cây nhị phân 
Định nghĩa 
Duyệt trung tự 
Duyệt trung tự con trái 
Duyệt nút gốc 
Duyệt trung tự con phải 
2 
1 
3 
14 
Phép duyệt cây nhị phân 
Định nghĩa 
Duyệt hậu tự 
Duyệt hậu tự con trái 
Duyệt hậu tự con phải 
Duyệt nút gốc 
3 
1 
2 
15 
Phép duyệt cây nhị phân 
Định nghĩa 
Ví dụ 
Duyệt tiền tự 
A B D E C F 
Duyệt trung tự 
D B E A C F 
Duyệt hậu tự 
D E B F C A 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
16 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Là cây nhị phân 
Mỗi nút trong biểu diễn cho một toán tử 2 ngôi  
Mỗi nút lá biểu diễn cho một toán hạng của biểu thức 
Nếu nút trong biểu diễn cho toán tử 2 ngôi  và có 2 con: 
Con trái biểu diễn cho biểu thức E 1 
Con phải biểu diễn cho biểu thức E 2 
khi đó nút trong này biểu diễn cho biểu thức E 1  E 2 
17 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Ví dụ: 
E = (2 + 3)^2 – (4 – 1)*(15/5) 
18 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Duyệt cây biểu thức 
Biểu thức tiền tố (duyệt tiền tự) 
 - ^ + 2 3 2 * - 4 1 / 15 5 
Biểu thức trung tố (duyệt trung tố) 
 2 + 3 ^ 2 - 4 - 1 * 15 / 5 
Biểu thức hậu tố (duyệt hậu tố) 
 2 3 + 2 ^ 4 1 - 15 5 / * - 
19 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan ( R everse P olish N otation – RPN) 
Biểu thức ở dạng hậu tố 
Sử dụng để tính giá trị biểu thức trên máy tính 
Tính từ trái qua phải 
Không sử dụng dấu ngoặc 
Sử dụng Stack (ngăn xếp) 
20 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan ( R everse P olish N otation – RPN) 
Thuật toán tính giá trị biểu thức RPN 
Đọc một ký hiệu (token) 
Nếu ký hiệu là một số 
Đẩy vào Stack 
Ngược lại, ký hiệu là một toán tử 
Lấy ra 2 toán hạng từ Stack 
Tính giá trị theo toán tử đối với 2 toán hạng 
Đẩy kết quả vào Stack 
21 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Cây biểu thức số học 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan ( R everse P olish N otation – RPN) 
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức E = (2 + 3)^2 – (4 1)*(15/5) 
- Biểu thức nhập dưới dạng ký pháp RPN 
E = 2 3 + 2 ^ 4 1 - 15 5 / * - 
- Quá trình lưu trữ của cấu trúc Stack như sau: 
22 
Ký pháp nghịch đảo Ba Lan 
Ví dụ: E = 2 3 + 2 ^ 4 1 -