Bài giảng Toán rời rạc - Chương 5: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

 CHƯƠNG 5: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 
PHẦN 1: 
 Các khái niệm cơ bản 
 Biểu diễn đồ thị 
 Một số đồ thị đặc biệt 
 Sự đẳng cấu của các đồ thị 
 Đồ thị có hướng 
 Đường đi và chu trình 
 Sự liên thông 
1 
Các khái niệm cơ bản 
Đồ thị (Graph) 
G = ( V , E ) với V ≠  
V : tập các đỉnh 
E : tập các cạnh 
Cạnh e E 
ứng với 2 đỉnh v , w V 
v , w là 2 đỉnh kề (hay liên kết) với nhau, e liên thuộc với v và w 
Ký hiệu: e = vw () 
v  w : e được gọi là vòng (khuyên) tại v 
2 
Các khái niệm cơ bản 
Đồ thị (Graph) 
Cạnh bội (song song) 
Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh 
Đơn đồ thị 
Đồ thị không có vòng và cạnh song song 
Đa đồ thị 
Các đồ thị không phải là đơn đồ thị 
3 
Các khái niệm cơ bản 
Đồ thị (Graph) 
Đồ thị đầy đủ 
Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau 
K n : đơn đồ thị đầy đủ 
Đồ thị con 
Đồ thị G ’ = ( V ’, E ’) 
V ’  V , E’  E 
Đồ thị hữu hạn 
E và V hữu hạn 
Đồ thị vô hạn 
4 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn hình học 
Mỗi đỉnh  một điểm 
Mỗi cạnh  một đường (cong hoặc thẳng) nối 2 đỉnh liên thuộc với nó 
Biểu diễn bằng ma trận 
Thường được dùng để biểu diễn trên máy tính 
2 cách biểu diễn thường dùng 
Ma trận kề 
Ma trận liên thuộc 
5 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng ma trận 
Ma trận kề 
Ma trận vuông cấp n (số đỉnh của đồ thị) 
Các phần tử được xác định bởi 
 : Nếu là một cạnh của G 
 : Nếu không là một cạnh của G 
Tính chất 
Phụ thuộc vào thứ tự liệt kê của các đỉnh 
Ma trận là đối xứng 
Một vòng được tính là một cạnh ( a kk = 1) 
6 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng ma trận 
Ma trận kề 
Ví dụ 1 
7 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng ma trận 
Ma trận kề 
Ví dụ 2 
8 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng ma trận 
Ma trận liên thuộc 
Ma trận M = ( ) nxm 
Các phần tử được xác định bởi 
 : Nếu cạnh liên thuộc với v i của G 
: : Nếu cạnh không liên thuộc với v i của G 
Tính chất 
Các cột tương ứng với các cạnh bội là giống nhau trong ma trân liên thuộc 
Các vòng ứng với một cột có đúng một phần tử bằng 1 ứng với đỉnh nối với vòng đó. 
9 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng ma trận 
Ma liên thuộc 
Ví dụ 
10 
Biểu diễn đồ thị 
Biểu diễn bằng bảng (danh sách liền kề) 
Lưu trữ các đỉnh liền kề với một đỉnh 
Ví dụ 
Đỉnh 
Đỉnh liền kề 
a 
b, c, e 
b 
a 
c 
a, c, d, e 
d 
c, e 
e 
a, c, d 
11 
Các khái niệm cơ bản 
Bậc của đỉnh 
Đỉnh của đồ thị G có bậc là n nếu nó kề với n đỉnh khác. 
Ký hiệu: deg ( v ) hay d ( v ) 
Mỗi vòng được kể là 2 cạnh tới một đỉnh 
Đỉnh cô lập  deg ( v )=0 
Đỉnh treo  deg ( v )=1 
Cạnh treo có đầu mút là một đỉnh treo 
Đồ thị rỗng: deg ( v )=0  v 
12 
Các khái niệm cơ bản 
Bậc của đỉnh 
Định lý 1.1 
Trong mọi đồ thị G = (V, E), tổng số bậc của các đỉnh của G bằng 2 lần số cạnh của nó 
Hệ quả 
Trong mọi đồ thị G = (V, E) ta có 
Số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn 
Tổng bậc của đỉnh bậc lẻ là một số chẵn 
13 
Các khái niệm cơ bản 
Bậc của đỉnh 
Định lý 1.2 
Trong mọi đơn đồ thị G = (V, E), nếu số đỉnh nhiều hơn 1 thì tồn tại ít nhất hai đỉnh cùng bậc. 
Định lý 1.3 
Trong mọi đơn đồ thị G = (V, E), nếu số đỉnh nhiều hơn 2 và có đúng hai đỉnh cùng bậc thì hai đỉnh này không đồng thời có bậc bằng 0 hoặc n-1. 
14 
Các khái niệm cơ bản 
Chứng minh và giải toán bằng phương pháp đồ thị 
Xây dựng đồ thị mô tả đầy đủ thông tin của bài toán 
Mỗi đỉnh v V  một đối tượng trong bài toán 
Mỗi cạnh e E  mối quan hệ giữa hai đối tượng 
Vẽ đồ thị mô tả bài toán 
Sử dụng các định nghĩa, tính chất, định lý,  suy ra điều cần phải chứng minh 
15 
Các khái niệm cơ bản 
Một số bài toán ví dụ 
Chứng minh rằng trong một cuộc họp tùy ý có ít 
nhất 2 đại biểu tham gia trở lên, luôn có ít nhất hai 
đại biểu mà họ có số người quen bằng nhau trong 
các đại biểu đến dự họp. 
16 
Các khái niệm cơ bản 
Một số bài toán ví dụ 
Chứng minh rằng số người mà mỗi người đã có một 
số lẻ lần bắt tay nhau trên trái đất là một con số 
chẵn. 
17 
Một số đồ thị đặc biệt 
Đồ thị đầy đủ K n 
Đơn đồ thị 
Số đỉnh: 	| V | = n 
Bậc: deg ( v ) = n – 1,  v V 
Số cạnh:	 | E | = n(n - 1) / 2 
18 
Một số đồ thị đặc biệt 
Đồ thị vòng C n 
Đơn đồ thị 
Số đỉnh: 	| V | = n  3 
Bậc: deg ( v ) = 2,  v V 
Số cạnh:	 | E | = n 
19 
Một số đồ thị đặc biệt 
Đồ thị hình bánh xe W n 
Nối các đỉnh của C n với một đỉnh mới u ta được W n 
Số đỉnh: 	| V | = n + 1, n  3 
Bậc: deg ( v ) = 3,  v V \ {u};	 
 deg(u) = n 
Số cạnh:	 | E | = 2 n 
20 
Một số đồ thị đặc biệt 
Đồ thị đều bậc k (Đồ thị k-đều) 
Mọi đỉnh đều có cùng bậc k 
Số đỉnh: 	| V | = n 
Bậc: deg ( v ) = k,  v V 
Số cạnh:	 | E | = n.k/2 
21 
Ví dụ: 
C n là đồ thị đều bậc 2 
K n là đồ thị đều bậc (n-1) 
Một số đồ thị đặc biệt 
22 
Các khối n -lập phương Q n 
Có đỉnh, mỗi đỉnh được biểu diễn bằng một dãy số nhị phân với độ dài n. 
Hai đỉnh là liền kề nếu và chỉ nếu các dãy nhị phân biểu diễn chúng chỉ khác nhau đúng 1 bit. 
Số đỉnh: 	| V | = 
Bậc: deg ( v ) = n,  v V 
Số cạnh:	 | E | = n.