Bài giảng Toán A2 - Chương 3: Không gian vector

Chương 3
KHÔNG GIAN VECTOR
Huỳnh Văn Kha
Đại Học Tôn Đức Thắng
Toán A2 - MS: C01002
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Nội dung
1 Một số khái niệm cơ bản
Khái niệm không gian vector, kg vector con
Không gian sinh bởi tập hợp
Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector
3 Tọa độ
Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở
4 Tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn
Tích vô hướng
Cơ sở trực chuẩn và trực giao hóa Gram-Schmidt
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23
Không gian vector, kg vector con
Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và
nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính
chất sau thì ta nói V là một không gian vector:
∀u, v ,w ∈ V ; ∀h, k ∈ R
1. Giao hoán: u + v = v + u
2. Kết hợp: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V
4. ∀u ∈ V ,∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0
5. h(ku) = (hk)u
6. (h + k)u = hu + ku
7. h(u + v) = hu + hv
8. 1.u = u
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 2 / 23
Ví dụ:
Tập các ma trậnMm×n cùng với phép cộng ma
trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector
Tập Rn với phép cộng và nhân:
I (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn)
I k (x1, ..., xn) = (kx1, ..., kxn)
lập thành không gian vector
Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅
Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W .
Thì ta nói W là không gian vector con của V
Ký hiệu: W ≤ V
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 3 / 23
Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V
không?
1. V = R2, W = {(x , 0) : x ∈ R}
2. V = R2, W = {(x , 1) : x ∈ R}
3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R}
4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với
A ∈Mm×n)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 4 / 23
Không gian sinh bởi tập hợp
Cho V là kgvt và S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V
Với mỗi bộ k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta gọi vector
v = k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun là một tổ hợp tuyến tính
của các vector u1, u2, . . . , un
Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , un thì
W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S
hay S sinh ra W
Ký hiệu: W = 〈S〉 = 〈u1, u2, ..., un〉
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 5 / 23
Ví dụ: Xét W = 〈u1, u2, u3〉 ≤ R4,
với u1 = (2, 0,−1, 3), u2 = (0, 1, 2,−1), u3 = (2, 2, 3, 1)
1. Các vector v1 = (−2, 3, 7,−6), v2 = (2, 1, 1, 1) có
thuộc W không?
2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c , d) ∈ W
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 6 / 23
Độc lập và phụ thuộc tuyến tính
Cho V là kgvt, S = {u1, u2, . . . , un}
S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi
k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta có:
k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun = 0 kéo theo
k1 = k2 = · · · kn = 0
Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ
thuộc tuyến tính
Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không?
1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)
2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1,−3, 1), u3 = (−5, 6, 4)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 7 / 23
Cơ sở và số chiều
Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector
độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V
đều phụ thuộc tuyến tính.
n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dimV = n
Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n
chiều là một cơ sở của không gian đó
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 8 / 23
Ví dụ:
1. Không gian Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} có
số chiều là n; có một cơ sở là B0 = {e1, e2, . . . , en},
với:

e1 = (1, 0, ..., 0)
e2 = (0, 1, ..., 0)
...
en = (0, 0, ..., 1)
Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn
2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của
R3 không?
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 9 / 23
Chú ý
Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi:
S sinh ra V , nghĩa là: 〈S〉 = V , và
S độc lập tuyến tính
Nếu S là cơ sở của V thì: dimV = số phần tử của S
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 10 / 23
Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của 〈S〉
Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V .
Khi đó, số chiều của 〈S〉 gọi là hạng của S , ký hiệu:
rank S
Nếu S ′ thu được bằng cách:
I Đổi chỗ 2 phần tử của S
I Nhân một vector của S với số khác 0
I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một
vector khác trong S
Thì 〈S〉 = 〈S ′〉
Để tìm cơ sở, số chiều của 〈S〉, ta làm như sau:
I Sắp các vector của S thành hàng
I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận
bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S)
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: K